Математика не имеет общепринятого определения. Различные школы мысли, особенно в философии , выдвинули радикально разные определения. Все они спорны. [1] [2]
Аристотель определил математику как: [3]
Наука о количестве .
В классификации наук Аристотеля дискретные величины изучались арифметикой , непрерывные величины — геометрией . [4] Аристотель также считал, что количество само по себе не отличает математику от таких наук, как физика; по его мнению, абстракция и изучение количества как свойства, «отделимого в мысли» от реальных случаев, отличают математику. [5]
Определение Огюста Конта было попыткой объяснить роль математики в координации явлений во всех других областях : [6]
Наука косвенного измерения. [3] Огюст Конт 1851
«Косвенность» в определении Конта относится к определению величин, которые не могут быть измерены напрямую, таких как расстояние до планет или размер атомов, посредством их отношений к величинам, которые могут быть измерены напрямую. [7]
Предшествующие типы определений, которые преобладали со времен Аристотеля [4], были заброшены в 19 веке, поскольку были разработаны новые разделы математики, которые не имели очевидной связи с измерением или физическим миром, такие как теория групп , проективная геометрия [ 3] и неевклидова геометрия [8] .
Три ведущих типа определения математики сегодня называются логицистами , интуиционистами и формалистами , каждый из которых отражает отдельную философию математики . У каждого есть свои недостатки, ни один из них не достиг общепринятого консенсуса, и все три кажутся непримиримыми. [9]
Поскольку математики стремились к большей строгости и более абстрактным основам , некоторые предлагали определять математику исключительно с точки зрения дедукции и логики :
Математика — это наука, которая делает необходимые выводы. [10] Бенджамин Пирс 1870
Вся математика есть символическая логика. [8] Бертран Рассел 1903
Пирс не считал, что математика — это то же самое, что и логика, поскольку он считал, что математика делает только гипотетические утверждения, а не категорические . [11] Определение Рассела, с другой стороны, выражает точку зрения логика без оговорок. [9]
Вместо того чтобы характеризовать математику с помощью дедуктивной логики, интуиционизм рассматривает математику прежде всего как процесс конструирования идей в уме: [9]
Единственно возможное основание математики должно быть найдено в этой конструкции, при этом необходимо внимательно следить за тем, какие конструкции интуиция допускает, а какие нет. [12] Л.Э. Брауэр 1907
... интуиционистская математика есть не что иное, как исследование предельных пределов, которых интеллект может достичь в своем саморазвертывании. [12] Аренд Гейтинг 1968
Интуиционизм возник из философии математика Л. Э. Дж. Брауэра и также привел к развитию модифицированной интуиционистской логики . В результате интуиционизм породил некоторые действительно отличные результаты, которые, хотя и являются последовательными и обоснованными, отличаются от некоторых теорем, основанных на классической логике. [9]
Формализм полностью отрицает логические или интуитивные значения, делая сами символы и правила объектами изучения. [9] Формалистское определение:
Математика — это наука о формальных системах. [13] Хаскелл Карри 1951
Другие определения подчеркивают закономерность, порядок или структуру. Например:
Математика — это классификация и изучение всех возможных закономерностей. [14] Уолтер Уорвик Сойер , 1955
Еще один подход делает абстракцию определяющим критерием:
Математика — это обширная область знаний, в которой изучаются свойства и взаимодействия идеализированных объектов. [15]
Большинство современных справочных работ определяют математику, обобщая ее основные темы и методы:
Абстрактная наука, которая дедуктивно исследует выводы, подразумеваемые в элементарных концепциях пространственных и числовых отношений, и которая включает в себя в качестве своих основных разделов геометрию, арифметику и алгебру. [16] Оксфордский словарь английского языка , 1933
Изучение измерения, свойств и отношений величин и множеств с использованием чисел и символов. [17] American Heritage Dictionary , 2000
Наука о структуре, порядке и отношениях, которая развилась из элементарных практик подсчета, измерения и описания форм объектов. [18] Encyclopaedia Britannica , 2006
Бертран Рассел написал это знаменитое ироничное определение, описывающее, как все термины в математике в конечном итоге определяются посредством ссылки на неопределенные термины:
Предмет, в котором мы никогда не знаем, о чем говорим, и является ли то, что мы говорим, правдой. [19] Бертран Рассел 1901
Многие другие попытки охарактеризовать математику привели к появлению юмора или поэтической прозы:
Математик — слепой в темной комнате, ищущий черную кошку, которой там нет. [20] Чарльз Дарвин [21]
Математик, как художник или поэт, является создателем моделей. Если его модели более постоянны, чем их, то это потому, что они созданы с идеями. [22] GH Hardy , 1940
Математика — это искусство давать разным вещам одно и то же имя. [10] Анри Пуанкаре
Математика — это наука искусных операций с понятиями и правилами, изобретенными именно для этой цели. [этой целью является искусная операция ....] [23] Юджин Вигнер
Математика — это не книга, заключенная в обложку и скрепленная медными застежками, содержимое которой нужно только терпение, чтобы обыскать; это не рудник, сокровища которого могут занять много времени, чтобы стать достоянием публики, но который заполняет лишь ограниченное число жил и залежей; это не почва, чье плодородие может быть исчерпано урожаем последовательных урожаев; это не континент или океан, площадь которого может быть нанесена на карту и его контуры определены: она безгранична, как то пространство, которое она находит слишком узким для своих устремлений; ее возможности так же бесконечны, как миры, которые вечно теснятся и множатся под взором астронома; она так же неспособна быть ограничена установленными границами или быть сведенной к определениям постоянной значимости, как сознание жизни, которое, кажется, дремлет в каждой монаде, в каждом атоме материи, в каждой клетке листа и почки и вечно готово вырваться наружу в новых формах растительного и животного существования. [24] Джеймс Джозеф Сильвестр
Что такое математика? Для чего она нужна? Чем занимаются математики в наши дни? Разве все это не закончилось давным-давно? Сколько новых чисел вы вообще можете придумать? Является ли сегодняшняя математика всего лишь вопросом огромных вычислений, где математик — своего рода смотритель зоопарка, следящий за тем, чтобы драгоценные компьютеры были накормлены и напоены? Если нет, то что это, как не непостижимые излияния сверхмощных умников с головами в облаках и ногами, свисающими с высоких балконов их башен из слоновой кости? Математика — это все это и ничего из этого. В основном она просто другая. Она не такая, какой вы ее ожидаете, вы отворачиваетесь на мгновение, и она меняется. Это, безусловно, не просто фиксированный объем знаний, ее рост не ограничивается изобретением новых чисел, и ее скрытые щупальца пронизывают каждый аспект современной жизни. [24] Ян Стюарт
Сначала необходимо спросить, что подразумевается под математикой вообще. Известные ученые спорили по этому поводу до посинения, и все же не было достигнуто единого мнения о том, является ли математика естественной наукой, отраслью гуманитарных наук или формой искусства.
