Возмущение (астрономия)

Классический подход к проблеме многих тел в астрономии

Возмущающие силы Солнца на Луне в двух местах ее орбиты . Синие стрелки представляют направление и величину силы тяготения на Земле . Применение этого к положению Земли и Луны не нарушает положения относительно друг друга. Когда это вычитается из силы на Луне (черные стрелки), то остается возмущающая сила (красные стрелки) на Луне относительно Земли. Поскольку возмущающая сила различна по направлению и величине на противоположных сторонах орбиты, она вызывает изменение формы орбиты.

В астрономии возмущение — это сложное движение массивного тела, подверженного действию сил , отличных от гравитационного притяжения одного другого массивного тела . ^[1] Другие силы могут включать третье (четвертое, пятое и т. д.) тело, сопротивление , например, со стороны атмосферы , и нецентральное притяжение сплющенного или иным образом деформированного тела. ^[2]

Введение

Изучение возмущений началось с первых попыток предсказать движение планет по небу. В древние времена причины были неизвестны. Исаак Ньютон , в то время, когда он сформулировал свои законы движения и тяготения , применил их к первому анализу возмущений, ^[2] осознавая сложные трудности их вычисления. ^[a] Многие великие математики с тех пор уделяли внимание различным связанным с этим проблемам; на протяжении 18-го и 19-го веков существовала потребность в точных таблицах положения Луны и планет для морской навигации .

Сложные движения гравитационных возмущений можно разбить на части. Гипотетическое движение, которому тело следует под действием гравитации только одного другого тела, является коническим сечением и может быть описано в геометрических терминах. Это называется задачей двух тел или невозмущенной кеплеровской орбитой . Различия между этим и фактическим движением тела являются возмущениями, вызванными дополнительными гравитационными эффектами оставшегося тела или тел. Если есть только одно другое значимое тело, то возмущенное движение является задачей трех тел ; если есть несколько других тел, то это задача n тел . Общее аналитическое решение (математическое выражение для предсказания положений и движений в любое будущее время) существует для задачи двух тел; когда рассматривается более двух тел, аналитические решения существуют только для особых случаев. Даже задача двух тел становится неразрешимой, если одно из тел имеет неправильную форму. ^[6]

Орбитальная долгота и широта Меркурия , возмущенные Венерой , Юпитером и всеми планетами Солнечной системы с интервалом в 2,5 дня. Меркурий оставался бы в центре перекрестия, если бы не было возмущений.

Большинство систем, включающих множественные гравитационные притяжения, представляют одно первичное тело, доминирующее в своих эффектах (например, звезда , в случае звезды и ее планеты, или планета, в случае планеты и ее спутника). Гравитационные эффекты других тел можно рассматривать как возмущения гипотетического невозмущенного движения планеты или спутника вокруг ее первичного тела.

Математический анализ

Общие возмущения

В методах общих возмущений общие дифференциальные уравнения, либо движения, либо изменения орбитальных элементов , решаются аналитически, обычно путем разложения в ряды . Результат обычно выражается в терминах алгебраических и тригонометрических функций орбитальных элементов рассматриваемого тела и возмущающих тел. Это может быть применено в целом ко многим различным наборам условий и не является специфическим для какого-либо конкретного набора гравитирующих объектов. ^[7] Исторически общие возмущения были исследованы первыми. Классические методы известны как вариация элементов , вариация параметров или вариация констант интегрирования . В этих методах считается, что тело всегда движется в коническом сечении , однако коническое сечение постоянно изменяется из-за возмущений. Если бы все возмущения прекратились в какой-либо конкретный момент, тело продолжало бы находиться в этом (теперь неизменном) коническом сечении бесконечно; Эта коническая орбита известна как соприкасающаяся орбита , а ее орбитальные элементы в любой конкретный момент времени являются тем, что ищутся методами общих возмущений. ^[2]

Общие возмущения используют тот факт, что во многих задачах небесной механики двухчастичная орбита изменяется довольно медленно из-за возмущений; двухчастичная орбита является хорошим первым приближением. Общие возмущения применимы только в том случае, если возмущающие силы примерно на порядок меньше или меньше силы тяготения основного тела. ^[6] В Солнечной системе это обычно так; Юпитер , второе по величине тело, имеет массу около ⁠1/ 1000 ⁠ что у Солнца .

Общие методы возмущения предпочтительны для некоторых типов задач, поскольку источник определенных наблюдаемых движений легко находится. Это не обязательно так для специальных возмущений; движения будут предсказаны с аналогичной точностью, но никакая информация о конфигурациях возмущающих тел (например, орбитальный резонанс ), которые их вызвали, не будет доступна. ^[6]

Особые возмущения

В методах специальных возмущений числовые наборы данных, представляющие значения положений, скоростей и сил ускорения, действующих на интересующие тела, составляют основу численного интегрирования дифференциальных уравнений движения . ^[8] По сути, положения и скорости возмущаются напрямую, и не делается никаких попыток вычислить кривые орбит или орбитальные элементы . ^[2]

Специальные возмущения могут быть применены к любой проблеме небесной механики , поскольку она не ограничивается случаями, когда возмущающие силы малы. ^[6] Методы специальных возмущений, которые когда-то применялись только к кометам и малым планетам, теперь являются основой самых точных машинно-генерируемых планетарных эфемерид больших астрономических альманахов. ^{[2] [b]} Специальные возмущения также используются для моделирования орбиты с помощью компьютеров.

Формулировка Коуэлла

Метод Коуэлла. Силы от всех возмущающих тел (черные и серые) суммируются для формирования полной силы, действующей на тело (красное), и она численно интегрируется, начиная с начального положения (эпохи оскуляции ). ${\displaystyle \ i\ }$

Формулировка Коуэлла (названная так в честь Филиппа Х. Коуэлла , который вместе с А. С. Кромеллиным использовал аналогичный метод для предсказания возвращения кометы Галлея), возможно, является самым простым из специальных методов возмущений. ^[9] В системе взаимодействующих тел этот метод математически решает задачу о ньютоновских силах, действующих на тело , суммируя отдельные взаимодействия других тел: ${\displaystyle \ n\ }$ ${\displaystyle \ i\ }$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} _{i}=\sum _{\underset {j\neq i}{j=1}}^{n}\ G\ m_{j}{\frac {\ (\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i})\ }{\ \|\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}\|^{3}}}}$

где — вектор ускорения тела , — гравитационная постоянная , — масса тела , — векторы положения объектов и соответственно, и — расстояние от объекта до объекта , все векторы отнесены к барицентру системы. Это уравнение разлагается на компоненты в и , и они численно интегрируются для формирования новых векторов скорости и положения. Этот процесс повторяется столько раз, сколько необходимо. Преимущество метода Коуэлла — простота применения и программирования. Недостатком является то, что когда возмущения становятся большими по величине (например, когда один объект приближается к другому), погрешности метода также становятся большими. ^[10] Однако для многих задач небесной механики это никогда не происходит. Другим недостатком является то, что в системах с доминирующим центральным телом, таким как Солнце , необходимо переносить много значащих цифр в арифметике из-за большой разницы в силах центрального тела и возмущающих тел, хотя с высокоточными числами, встроенными в современные компьютеры, это не такое большое ограничение, как когда-то. ^[11] ${\displaystyle \ \mathbf {\ddot {r}} _{i}\ }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \ m_{j}\ }$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \ \mathbf {r} _{i}\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {r} _{j}\ }$ ${\displaystyle \ i\ }$ ${\displaystyle \ j\ }$ ${\displaystyle \ r_{ij}\equiv \|\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}\|\ }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \ j\ }$ ${\displaystyle \ x\ ,}$ ${\displaystyle \ y\ ,}$ ${\displaystyle \ z\ ,}$

Метод Энке

Метод Энке. Здесь сильно преувеличенная, небольшая разница δ r (синяя) между оскулирующей, невозмущенной орбитой (черная) и возмущенной орбитой (красная), численно интегрируется, начиная с начального положения (эпохи оскулации ).

Метод Энке начинается с оскулирующей орбиты в качестве опорной точки и численно интегрируется для решения вопроса об изменении от опорной точки как функции времени. ^[12] Его преимущества в том, что возмущения, как правило, малы по величине, поэтому интегрирование может осуществляться большими шагами (с получением меньших ошибок), и метод гораздо меньше подвержен влиянию экстремальных возмущений. Его недостаток — сложность; его нельзя использовать бесконечно без периодического обновления оскулирующей орбиты и продолжения оттуда, процесса, известного как ректификация . ^[10] Метод Энке похож на общий метод возмущения изменения элементов, за исключением того, что ректификация выполняется через дискретные интервалы, а не непрерывно. ^{[13] [ необходима полная цитата ]}

Пусть — радиус-вектор соприкасающейся орбиты , радиус-вектор возмущенной орбиты и отклонение от соприкасающейся орбиты, ${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \delta \mathbf {r} }$

${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} }$и являются просто уравнениями движения и ${\displaystyle {\boldsymbol {\ddot {\rho }}}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }},}$

где — гравитационный параметр , а — массы центрального тела и возмущенного тела, — возмущающее ускорение , а и — величины и . ${\displaystyle \mu =G(M+m)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{\text{per}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}}$

Подставляя из уравнений ( 3 ) и ( 4 ) в уравнение ( 2 ),

которые, в теории, можно было бы интегрировать дважды, чтобы найти . Так как соприкасающаяся орбита легко вычисляется методами двух тел, и учитываются и могут быть решены. На практике величина в скобках, , является разностью двух почти равных векторов, и необходимы дальнейшие манипуляции, чтобы избежать необходимости в дополнительных значащих цифрах . ^{[14] [15]} Метод Энке более широко использовался до появления современных компьютеров , когда большая часть вычислений орбит выполнялась на механических счетных машинах . ${\displaystyle \delta \mathbf {r} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}}$ ${\displaystyle \delta \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle {{\boldsymbol {\rho }} \over \rho ^{3}}-{\mathbf {r} \over r^{3}}}$

Периодический характер

График Gravity Simulator изменения эксцентриситета орбит Меркурия , Венеры , Земли и Марса в течение следующих 50 000 лет. Нулевая точка на этом графике — 2007 год .

В Солнечной системе многие из возмущений одной планеты другой являются периодическими, состоящими из небольших импульсов каждый раз, когда планета проходит мимо другой на своей орбите. Это заставляет тела следовать движениям, которые являются периодическими или квазипериодическими, например, Луна на своей сильно возмущенной орбите , которая является предметом лунной теории . Эта периодическая природа привела к открытию Нептуна в 1846 году в результате его возмущений орбиты Урана .

Продолжающиеся взаимные возмущения планет вызывают долгосрочные квазипериодические изменения в их орбитальных элементах , наиболее очевидные, когда орбитальные периоды двух планет почти синхронизированы. Например, пять орбит Юпитера (59,31 года) почти равны двум орбитам Сатурна (58,91 года). Это вызывает большие возмущения обоих с периодом 918 лет, временем, необходимым для того, чтобы небольшая разница в их положениях в соединении сделала один полный круг, впервые обнаруженный Лапласом . ^[2] Венера в настоящее время имеет орбиту с наименьшим эксцентриситетом , т. е. она наиболее близка к круговой , из всех планетных орбит. Через 25 000 лет Земля будет иметь более круговую (менее эксцентричную) орбиту, чем Венера. Было показано, что долгосрочные периодические возмущения в Солнечной системе могут стать хаотическими в очень длительных временных масштабах; при некоторых обстоятельствах одна или несколько планет могут пересекать орбиту другой, что приводит к столкновениям. ^[c]

Орбиты многих малых тел Солнечной системы, таких как кометы , часто сильно возмущены, особенно гравитационными полями газовых гигантов . Хотя многие из этих возмущений являются периодическими, другие таковыми не являются, и они, в частности, могут представлять собой аспекты хаотического движения . Например, в апреле 1996 года гравитационное влияние Юпитера привело к уменьшению периода орбиты кометы Хейла-Боппа с 4206 до 2380 лет, изменение, которое не будет возвращаться ни к какому периодическому принципу. ^[16]

Смотрите также

• Формирование и эволюция Солнечной системы
• Замороженная орбита
• Орбита Молнии
• Нереида — одна из внешних лун Нептуна с высоким эксцентриситетом орбиты ~0,75, часто подвергающаяся возмущениям.
• Оскулирующая орбита
• Моделирование орбиты
• Орбитальный резонанс
• Теория возмущений
• Правильные орбитальные элементы
• Устойчивость Солнечной системы

Ссылки

Сноски

1. Ньютон (1684) писал:
   «Из-за отклонения Солнца от центра тяжести центростремительная сила не всегда стремится к этому неподвижному центру, и поэтому планеты не движутся точно по эллипсам и не вращаются дважды по одной и той же орбите. Каждый раз, когда планета вращается, она описывает новую орбиту, как в движении Луны, и каждая орбита зависит от объединенных движений всех планет, не говоря уже о воздействии всех этих друг на друга. Но рассмотреть одновременно все эти причины движения и определить эти движения точными законами, допускающими легкий расчет, превышает, если я не ошибаюсь, силу любого человеческого ума». ^{[3] [5]}
2. См., например, статью в Википедии об эфемеридах развития Лаборатории реактивного движения .
3. См. ссылки на статью Википедии Устойчивость Солнечной системы .

Цитаты

1. Бейт, Мюллер и Уайт (1971), гл. 9, стр. 385
2. Moulton (1914), гл. IX
3. Newton, цитируемый профессором GE Smith (Университет Тафтса), в
   Smith, GE [stanford.edu/dept/cisst/SmithPowerpointTalk1.ppt "Замыкая цикл: проверка ньютоновской гравитации, тогда и сейчас"] ( PowerPoint ) (выступление на симпозиуме). Три лекции о роли теории в науке. Стэнфордский университет. {{cite web}}: Проверить |url=значение ( помощь )
4. Эгертон, RF "Ньютон" (конспект курса). Физика 311-12. Портленд, штат Орегон: Портлендский государственный университет . Архивировано из оригинала 2005-03-10 – через physics.pdx.edu.
5. Процитировав тот же отрывок из Ньютона ^[3], профессор Р. Ф. Эгертон (Портлендский государственный университет) заключает: «Здесь Ньютон определяет «проблему многих тел», которая остается нерешенной аналитически». ^[4]
6. Рой (1988), гл. 6–7
7. Бейт, Мюллер и Уайт (1971), стр. 387; стр. 410 §9.4.3
8. Бейт, Мюллер и Уайт (1971), стр. 387–409.
9. Cowell, PH; Crommelin, ACD (1910). «Исследование движения кометы Галлея с 1759 по 1910 год». Greenwich Observations in Astronomy . 71. Bellevue, для Канцелярии Его Величества: Neill & Co.: O1. Bibcode : 1911GOAMM..71O...1C.
10. Danby, JMA (1988). Основы небесной механики (2-е изд.). Willmann-Bell, Inc. глава 11. ISBN 0-943396-20-4.
11. Хергет, Пол (1948). Вычисление орбит . Самоиздание. С. 91 и далее.
12. Энке, Дж. Ф. (1857). Über die allgemeinen Störungen der Planeten. Berliner Astronomisches Jahrbuch für 1857 (опубликовано в 1854 году). стр. 319–397.
13. Баттин (1999), §10.2 harvp error: no target: CITEREFBattin1999 (help)
14. Бейт, Мюллер и Уайт (1971), §9.3
15. Рой (1988), §7.4
16. Yeomans, Don (10 апреля 1997 г.). "Comet Hale–Bopp orbit and ephemeris information". Пасадена, Калифорния: NASA Jet Propulsion Laboratory . Получено 23 октября 2008 г.

Библиография

• Бейт, Роджер Р.; Мюллер, Дональд Д.; Уайт, Джерри Э. (1971). Основы астродинамики . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN 0-486-60061-0.
• Moulton, FR (1914). Введение в небесную механику (2-е, исправленное издание). Macmillan.
• Рой, А.Е. (1988). Орбитальное движение (3-е изд.). Издательство Института физики. ISBN 0-85274-229-0.

Дальнейшее чтение

• П. Э. Эль-Ясберг: Введение в теорию полета искусственных спутников Земли

Внешние ссылки

• Прогнозы Solex (Альдо Витальяно) относительно положения/орбиты/близких сближений Марса
• Гравитация. Книга сэра Джорджа Бидделла Эйри 1884 года о гравитационном движении и возмущениях, в которой используется мало или совсем нет математики. (на Google books)