Задача трех тел

Приблизительные траектории трех одинаковых тел, расположенных в вершинах разностороннего треугольника и имеющих нулевые начальные скорости. Центр масс , в соответствии с законом сохранения импульса , остается на месте.

В физике , в частности в классической механике , задача трех тел заключается в том, чтобы взять начальные положения и скорости (или импульсы ) трех точечных масс , которые вращаются вокруг друг друга в пространстве, и рассчитать их последующие траектории, используя законы движения Ньютона и закон всемирного тяготения Ньютона . ^[1]

В отличие от задачи двух тел , задача трех тел не имеет общего замкнутого решения , то есть не существует уравнения, которое всегда ее решает. ^[1] Когда три тела вращаются вокруг друг друга, результирующая динамическая система является хаотичной для большинства начальных условий . Поскольку для большинства систем трех тел не существует решаемых уравнений, единственный способ предсказать движения тел — оценить их с помощью численных методов .

Задача трех тел является частным случаем задачи n-тел . Исторически первой конкретной задачей трех тел, получившей широкое изучение, была задача с участием Земли , Луны и Солнца . ^[2] В расширенном современном смысле задача трех тел — это любая задача в классической механике или квантовой механике , которая моделирует движение трех частиц.

Математическое описание

Математическая формулировка задачи трех тел может быть дана в терминах ньютоновских уравнений движения для векторных положений трех гравитационно взаимодействующих тел с массами : $\mathbf {r_{i}} =(x_{i},y_{i},z_{i})$ $m_{i}$

${\begin{align}{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {1} }&=-Gm_{2}{\frac {\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} }{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} |^{3}}}-Gm_{3}{\frac {\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} }{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} |^{3}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {2} }&=-Gm_{3}{\frac {\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} }{|\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} |^{3}}}-Gm_{1}{\frac {\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} }{|\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} |^{3}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {3} }&=-Gm_{1}{\frac {\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} }{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} |^{3}}}-Gm_{2}{\frac {\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} }{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} |^{3}}}.\end{align}}$ где - гравитационная постоянная . Как описывает астроном Юхан Франк, "Эти три векторных дифференциальных уравнения второго порядка эквивалентны 18 скалярным дифференциальным уравнениям первого порядка". ^[3]^[^{нужен лучший источник}^] Как отмечает Джун Барроу-Грин в отношении альтернативного представления, если $G$

$P_{i}$ представьте три частицы с массами , расстояниями = и координатами (i,j = 1,2,3) в инерциальной системе координат ... задача описывается девятью дифференциальными уравнениями второго порядка. ^[4]^{: 8} $m_{i}$ $P_{i}$ $P_{j}$ $r_{ij}$ $q_{ij}$

Эту задачу можно также эквивалентно сформулировать в гамильтоновом формализме , в этом случае она описывается набором из 18 дифференциальных уравнений первого порядка, по одному для каждого компонента положений и импульсов : ^[^{необходима ссылка}^]^[5] $\mathbf {r_{i}}$ $\mathbf {p_{i}}$

${\frac {d\mathbf {r_{i}} }{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p_{i}} }}, \qquad {\frac {d\mathbf {p_{i}} }{dt}}=- {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {r_{i}} }},$

где находится гамильтониан : ^[^{необходима ссылка}^] ${\mathcal {H}}$

${\mathcal {H}}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} |}}-{\frac {Gm_{2}m_{3}}{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} |}}-{\frac {Gm_{3}m_{1}}{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} |}}+{\frac {\mathbf {p_{1}} ^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {\mathbf {p_{2}} ^{2}}{2m_{2}}}+{\frac {\mathbf {p_{3}} ^{2}}{2m_{3}}}.$

В этом случае — это просто полная энергия системы, гравитационная плюс кинетическая. ^[^{необходима цитата}^] ${\mathcal {H}}$

Ограниченная задача трех тел

В ограниченной формулировке задачи трех тел , в описании Барроу-Грина, ^[4]^{: 11–14}

два... тела вращаются вокруг своего центра масс по круговым орбитам под влиянием их взаимного гравитационного притяжения и... образуют систему из двух тел... [движение] которых известно. Третье тело (обычно называемое планетоидом), предполагаемое безмассовым по отношению к двум другим, движется в плоскости, определяемой двумя вращающимися телами, и, находясь под их гравитационным влиянием, не оказывает никакого собственного влияния. ^[4]^{: 11}

По словам Барроу-Грина, «проблема тогда заключается в том, чтобы определить движение третьего тела». ^[4]^{: 11}

То есть предполагается, что это движение двух тел состоит из круговых орбит вокруг центра масс , а планетоид движется в плоскости, определяемой круговыми орбитами. ^{[ необходимо разъяснение ]} (То есть, полезно рассмотреть эффективный потенциал . ^{[ необходимо разъяснение ]}^{[ по мнению кого? ]} ) По отношению к вращающейся системе отсчета два со-орбитальных тела неподвижны, а третье может быть неподвижным также в точках Лагранжа или двигаться вокруг них, например, по подковообразной орбите . ^{[ необходимо цитирование ]}

Ограниченную задачу трех тел легче анализировать теоретически, чем полную задачу. Она также представляет практический интерес, поскольку точно описывает множество реальных проблем, наиболее важным примером которых является система Земля–Луна–Солнце. По этим причинам она сыграла важную роль в историческом развитии задачи трех тел. ^[6]

Математически проблема формулируется следующим образом. ^{[ необходима цитата ]} Пусть будут массами двух массивных тел с (плоскими) координатами и , и пусть будут координатами планетоида. Для простоты выберем единицы измерения так, чтобы расстояние между двумя массивными телами, а также гравитационная постоянная были равны . Тогда движение планетоида будет задано как: ^[^{необходима цитата}^] $m_{1,2}$ $(x_{1},y_{1})$ $(x_{2},y_{2})$ $(x,y)$ $1$

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-m_{1}{\frac {x-x_{1}}{r_{1}^{3}}}-m_{2}{\frac {x-x_{2}}{r_{2}^{3}}},\\{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-m_{1}{\frac {y-y_{1}}{r_{1}^{3}}}-m_{2}{\frac {y-y_{2}}{r_{2}^{3}}},\end{aligned}}$

где . ^[^{необходима цитата}^] В этой форме уравнения движения несут явную зависимость от времени через координаты ; ^[^{необходима цитата}^] однако, эта зависимость от времени может быть устранена посредством преобразования во вращающуюся систему отсчета, что упрощает любой последующий анализ. ^[^{оригинальное исследование?}^]^[7] $r_{i}={\sqrt {(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}}}$ $x_{i}(t),y_{i}(t)$

Решения

Общее решение

В то время как система из трех тел, взаимодействующих гравитационно, является хаотичной , система из трех тел, взаимодействующих упруго, таковой не является. ^{[ необходимо разъяснение ]}

Не существует общего замкнутого решения для задачи трех тел. ^[1] Другими словами, у нее нет общего решения, которое можно было бы выразить в терминах конечного числа стандартных математических операций. Более того, движение трех тел, как правило, неповторяющееся, за исключением особых случаев. ^[8]

Однако в 1912 году финский математик Карл Фритьоф Сундман доказал, что существует аналитическое решение задачи трёх тел в виде ряда Пюизё , а именно степенного ряда по степеням $t 1/3$ . ^[9] Этот ряд сходится для всех действительных $t$ , за исключением начальных условий, соответствующих нулевому угловому моменту . На практике последнее ограничение несущественно, поскольку начальные условия с нулевым угловым моментом встречаются редко, имея нулевую меру Лебега .

Важным моментом в доказательстве этого результата является тот факт, что радиус сходимости этого ряда определяется расстоянием до ближайшей сингулярности. Поэтому необходимо изучить возможные сингулярности задач трех тел. Как кратко обсуждается ниже, единственными сингулярностями в задаче трех тел являются бинарные столкновения (столкновения двух частиц в один момент времени) и тройные столкновения (столкновения трех частиц в один момент времени).

Столкновения любого числа маловероятны, поскольку было показано, что они соответствуют набору начальных условий меры ноль. Но не известно ни одного критерия, который можно было бы применить к начальному состоянию, чтобы избежать столкновений для соответствующего решения. Поэтому стратегия Сундмана состояла из следующих шагов:

Использование соответствующей замены переменных для продолжения анализа решения за пределами бинарного столкновения в процессе, известном как регуляризация .
Доказав, что тройные столкновения происходят только тогда, когда угловой момент $L$ равен нулю. Ограничив начальные данные до $L \neq 0$ , он удалил все действительные сингулярности из преобразованных уравнений для задачи трех тел.
Показывая, что если $L \neq 0$ , то не только не может быть тройного столкновения, но и система строго ограничена от тройного столкновения. Это подразумевает, по теореме о существовании Коши для дифференциальных уравнений, что нет сложных особенностей в полосе (зависящей от значения $L$ ) в комплексной плоскости с центром вокруг действительной оси (связанной с теоремой Коши–Ковалевской ).
Найдите конформное преобразование, которое отображает эту полосу в единичный круг. Например, если $s = t 1/3$ (новая переменная после регуляризации) и если $| ln s | \leq β$ , ^{[ необходимо разъяснение ]} то это отображение задается как $\sigma ={\frac {e^{\frac {\pi s}{2\beta }}-1}{e^{\frac {\pi s}{2\beta }}+1}}.$

На этом доказательство теоремы Сундмана завершено.

Соответствующий ряд сходится крайне медленно. То есть, для получения значения с осмысленной точностью требуется так много членов, что это решение имеет мало практического применения. Действительно, в 1930 году Дэвид Белорицкий подсчитал, что если ряд Сундмана использовать для астрономических наблюдений, то вычисления будут включать по крайней мере 10^{8 000 000} терминов.^[10]

Решения для особых случаев

В 1767 году Леонард Эйлер нашел три семейства периодических решений, в которых три массы в каждый момент времени коллинеарны.

В 1772 году Лагранж нашел семейство решений, в которых три массы в каждый момент времени образуют равносторонний треугольник. Вместе с коллинеарными решениями Эйлера эти решения образуют центральные конфигурации для задачи трех тел. Эти решения справедливы для любых отношений масс, и массы движутся по кеплеровским эллипсам . Эти четыре семейства являются единственными известными решениями, для которых существуют явные аналитические формулы. В частном случае круговой ограниченной задачи трех тел эти решения, рассматриваемые в системе отсчета, вращающейся вместе с основными телами, становятся точками, называемыми точками Лагранжа и обозначенными L ₁ , L ₂ , L ₃ , L ₄ и L ₅ , причем L ₄ и L ₅ являются симметричными примерами решения Лагранжа.

В работах, обобщенных в 1892–1899 годах, Анри Пуанкаре установил существование бесконечного числа периодических решений ограниченной задачи трех тел, а также предложил методы продолжения этих решений в общую задачу трех тел.

В 1893 году Мейссель сформулировал то, что сейчас называется пифагорейской задачей трех тел: три массы в соотношении 3:4:5 покоятся в вершинах прямоугольного треугольника 3:4:5 , причем самое тяжелое тело находится в прямом углу, а самое легкое — в меньшем остром углу. Бурро ^[11] продолжил исследование этой проблемы в 1913 году. В 1967 году Виктор Себехей и К. Фредерик Петерс установили возможный выход самого легкого тела для этой проблемы с помощью численного интегрирования, одновременно найдя близкое периодическое решение. ^[12]

В 1970-х годах Мишель Хенон и Роджер А. Брук нашли по набору решений, которые являются частью одного и того же семейства решений: семейства Брук-Хенона-Хаджидеметриу. В этом семействе все три объекта имеют одинаковую массу и могут проявлять как ретроградную, так и прямую формы. В некоторых решениях Брук два тела следуют по одному и тому же пути. ^[14]

В 1993 году физик Крис Мур из Института Санта-Фе нашел решение с нулевым угловым моментом с тремя равными массами, движущимися по восьмерке. ^[15] В 2000 году математики Ален Шенсинер и Ричард Монтгомери доказали его формальное существование. ^[16]^[17] Было численно показано, что решение устойчиво при малых возмущениях массы и орбитальных параметров, что делает возможным наблюдение таких орбит в физической вселенной. Но утверждалось, что это маловероятно, поскольку область устойчивости мала. Например, вероятность события бинарного-бинарного рассеяния [ ^{необходимо разъяснение ]} , приводящего к орбите в форме восьмерки, была оценена как малая доля процента. ^[18]

В 2013 году физики Милован Шуваков и Велько Дмитрашинович из Института физики в Белграде открыли 13 новых семейств решений для задачи трех тел с равной массой и нулевым угловым моментом. ^[8]^[14]

В 2015 году физик Ана Худомал открыла 14 новых семейств решений для задачи трех тел с равной массой и нулевым угловым моментом. ^[19]

В 2017 году исследователи Сяомин Ли и Шицзюнь Ляо обнаружили 669 новых периодических орбит для задачи трех тел с равными массами и нулевым угловым моментом. ^[20] За этим в 2018 году последовало еще 1223 новых решения для системы с нулевым угловым моментом неравных масс. ^[21]

В 2018 году Ли и Ляо сообщили о 234 решениях задачи трех тел «свободного падения» с неравной массой. ^[22] Формулировка свободного падения начинается со всех трех тел в состоянии покоя. Из-за этого массы в конфигурации свободного падения не вращаются по замкнутой «петле», а движутся вперед и назад по открытой «траектории».

В 2023 году Иван Христов, Радослава Христова, Дмитрашинович и Киётака Таникава опубликовали поиск по «периодическим орбитам свободного падения» для задачи трёх тел, ограниченной случаем равной массы, и нашли 12 409 различных решений. ^[23]

Численные подходы

Используя компьютер, проблема может быть решена с произвольно высокой точностью с помощью численного интегрирования , хотя высокая точность требует большого количества процессорного времени. Были попытки создания компьютерных программ, которые численно решают задачу трех тел (и, в более широком смысле, задачу n-тел ), включающую как электромагнитные, так и гравитационные взаимодействия, и включающую современные теории физики, такие как специальная теория относительности . ^[24] Кроме того, используя теорию случайных блужданий , можно вычислить приблизительную вероятность различных результатов. ^[25]^[26]

История

Гравитационная проблема трех тел в ее традиционном понимании восходит по сути к 1687 году, когда Исаак Ньютон опубликовал свой труд Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica , в котором Ньютон попытался выяснить, возможна ли какая-либо долгосрочная устойчивость, особенно для такой системы, как наша Земля , Луна и Солнце. Руководствуясь выдающимися астрономами эпохи Возрождения Николаем Коперником , Тихо Браге и Иоганном Кеплером , он познакомил последующие поколения с началом гравитационной проблемы трех тел. ^[27] В предложении 66 книги 1 « Начал» и его 22 следствиях Ньютон сделал первые шаги в определении и изучении проблемы движения трех массивных тел, подверженных их взаимно возмущающему гравитационному притяжению. В предложениях 25–35 книги 3 Ньютон также сделал первые шаги в применении результатов предложения 66 к лунной теории , движению Луны под гравитационным влиянием Земли и Солнца. ^[28] Позднее эта проблема была применена также к взаимодействиям других планет с Землей и Солнцем. ^[27]

Физическая проблема была впервые рассмотрена Америго Веспуччи , а затем Галилео Галилеем , а также Симоном Стевином , но они не осознали, какой вклад они внесли. Хотя Галилей определил, что скорость падения всех тел изменяется равномерно и одинаково, он не применил это к планетарным движениям. ^[27] В то время как в 1499 году Веспуччи использовал знание положения Луны, чтобы определить свое положение в Бразилии. ^[29] Это стало технически важным в 1720-х годах, поскольку точное решение было бы применимо к навигации, в частности, для определения долготы в море , решенное на практике изобретением Джоном Харрисоном морского хронометра . Однако точность лунной теории была низкой из-за возмущающего воздействия Солнца и планет на движение Луны вокруг Земли.

Жан ле Ронд д'Аламбер и Алексис Клеро , которые долгое время соперничали, оба пытались проанализировать проблему в некоторой степени общности; они представили свои конкурирующие первые анализы в Королевскую академию наук в 1747 году. ^[30] Именно в связи с их исследованиями в Париже в 1740-х годах стало широко использоваться название «задача трех тел» ( фр . Problème des trois Corps ). Отчет, опубликованный в 1761 году Жаном ле Рондом д'Аламбером, указывает, что это название впервые было использовано в 1747 году. ^[31]

С конца 19-го века до начала 20-го века подход к решению задачи трех тел с использованием короткодействующих притягивающих двух тел был разработан учеными, которые предложили П. Ф. Бедаку, Х.-В. Хаммеру и У. ван Колку идею перенормировки короткодействующей задачи трех тел, предоставив ученым редкий пример предельного цикла ренормгруппы в начале 21-го века. ^[32]Джордж Уильям Хилл работал над ограниченной задачей в конце 19-го века с применением движения Венеры и Меркурия . ^[33]

В начале 20-го века Карл Сундман подошел к проблеме математически и систематически, предоставив функциональное теоретическое доказательство проблемы, действительное для всех значений времени. Это был первый раз, когда ученые теоретически решили задачу трех тел. Однако, поскольку не было достаточно качественного решения этой системы, и оно было слишком медленным для того, чтобы ученые могли применить его на практике, это решение все еще оставляло некоторые вопросы нерешенными. ^{[34] В 1970-х годах}В. Ефимов открыл следствие для трех тел из двух тел , что было названо эффектом Ефимова . ^[35]

В 2017 году Шицзюнь Ляо и Сяомин Ли применили новую стратегию численного моделирования для хаотических систем, называемую чистым численным моделированием (CNS), с использованием национального суперкомпьютера, чтобы успешно получить 695 семейств периодических решений системы трех тел с равной массой. ^[36]

В 2019 году Брин и др. анонсировали быстрый решатель нейронной сети для задачи трех тел, обученный с использованием численного интегратора. ^[37]

По сообщениям, в сентябре 2023 года было найдено несколько возможных решений проблемы. ^[38]^[39]

Другие проблемы, связанные с тремя телами

Термин «задача трех тел» иногда используется в более общем смысле для обозначения любой физической проблемы, связанной с взаимодействием трех тел.

Квантово-механическим аналогом гравитационной задачи трех тел в классической механике является атом гелия , в котором ядро гелия и два электрона взаимодействуют в соответствии с обратным квадратом кулоновского взаимодействия . Как и гравитационная задача трех тел, атом гелия не может быть решен точно. ^[40]

Однако и в классической, и в квантовой механике существуют нетривиальные законы взаимодействия помимо силы обратных квадратов, которые приводят к точным аналитическим решениям для трех тел. Одна из таких моделей состоит из комбинации гармонического притяжения и отталкивающей силы обратных кубов. ^[41] Эта модель считается нетривиальной, поскольку она связана с набором нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих сингулярности (по сравнению, например, с одними гармоническими взаимодействиями, которые приводят к легко решаемой системе линейных дифференциальных уравнений). В этих двух отношениях она аналогична (неразрешимым) моделям, имеющим кулоновские взаимодействия, и в результате была предложена в качестве инструмента для интуитивного понимания физических систем, таких как атом гелия. ^[41]^[42]

В модели точечных вихрей движение вихрей в двумерной идеальной жидкости описывается уравнениями движения, которые содержат только производные по времени первого порядка. Т.е. в отличие от ньютоновской механики, именно скорость , а не ускорение определяется их относительным положением. Как следствие, задача с тремя вихрями по-прежнему интегрируема , ^[43] в то время как для получения хаотического поведения требуется не менее четырех вихрей. ^[44] Можно провести параллели между движением пассивной частицы-трассера в поле скоростей трех вихрей и ограниченной задачей трех тел ньютоновской механики. ^[45]

Гравитационная задача трех тел также изучалась с использованием общей теории относительности . Физически релятивистское рассмотрение становится необходимым в системах с очень сильными гравитационными полями, например, вблизи горизонта событий черной дыры . Однако релятивистская задача значительно сложнее, чем в ньютоновской механике, и требуются сложные численные методы . Даже полная задача двух тел (т. е. для произвольного отношения масс) не имеет строгого аналитического решения в общей теории относительности. ^[46]

н-проблема с телом

Задача трех тел является частным случаем задачи $n$ тел , которая описывает, как $n$ объектов движутся под действием одной из физических сил, такой как гравитация . Эти задачи имеют глобальное аналитическое решение в виде сходящегося степенного ряда, как было доказано Карлом Ф. Сундманом для $n = 3$ и Цюдуном Вангом для $n > 3$ (подробнее см . задачу n тел ). Однако ряды Сундмана и Ванг сходятся так медленно, что они бесполезны для практических целей; ^[47] поэтому в настоящее время необходимо аппроксимировать решения численным анализом в виде численного интегрирования или, в некоторых случаях, классических приближений тригонометрических рядов (см. моделирование $n$ тел ). Атомные системы, например атомы, ионы и молекулы, можно рассматривать в терминах квантовой задачи $n$ тел. Среди классических физических систем задача $n$ тел обычно относится к галактике или скоплению галактик ; планетарные системы , такие как звезды , планеты и их спутники , также можно рассматривать как системы $n$ тел. Некоторые приложения удобно рассматривать с помощью теории возмущений , в которой система рассматривается как задача двух тел плюс дополнительные силы, вызывающие отклонения от гипотетической невозмущенной траектории двух тел.

Смотрите также

Ссылки

^ abc Барроу-Грин, июнь (2008). «Проблема трех тел». В Gowers, Timothy; Барроу-Грин, июнь; Leader, Imre (ред.). The Princeton Companion to Mathematics . Princeton University Press. стр. 726–728.
^ "Исторические заметки: Задача трех тел" . Получено 19 июля 2017 г.
^ Этот подробный отчет о представлении вектора, по-видимому, взят, путем обобщения, из выражения, представленного астрономом Юханом Франком из LSU , получившим образование в Кембридже , как он представил в своих заметках для класса по физике 7221 в 2006 году, см. Frank, Juhan (11 октября 2006 г.). "PHYS 7221 Special Lecture—The Three-Body Problem" (раздаточный материал для класса) . Батон-Руж, Луизиана: Опубликовано мной и кафедрой физики и астрономии LSU . [Цитата] Так же, как и в задаче двух тел, удобнее всего работать в системе центра масс (ЦМ), обозначая положение массы . Ньютоновские уравнения движения в этой системе имеют вид = ... ${\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {i} }$ $\mathbf {x_{i}}$ $\mathbf {m_{i}}$ ${\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {i} }$ . ^{[ нужен лучший источник ]}
^ abcd Более общее обсуждение представления этих уравнений в невекторных форматах, явно не связанных с представлением в тексте, см. в авторитетной работе Barrow-Green, June (1997). Poincaré and the Three Body Problem . American Mathematical Society. pp. 8–12. Bibcode :1997ptbp.book.....B. ISBN 978-0-8218-0367-7.
^ Для связанного представления гамильтониана, который выбирает единицы и представление для упрощения математики, см. Barrow-Green, стр. 8, op. cit.
^ Монтгомери, Ричард (август 2019 г.). «Проблема трех тел». Scientific American . Получено 7 мая 2024 г. .
^ Обратите внимание, что в следующем источнике не утверждается, что «зависимость от времени может быть устранена посредством преобразования во вращающуюся систему отсчета». Для связанного, но отличного представления ограниченной задачи трех тел — с интегралом Якоби для «энергии в совместно вращающейся (неинерциальной) системе отсчета основных тел» — см. Кришнасвами, Говинд С.; Сенапати, Гималаи (2019). «Введение в классическую задачу трех тел: от периодических решений к нестабильностям и хаосу». Resonance . 24 . Springer: 87–114, особенно с. 94f. arXiv : 1901.07289 . doi :10.1007/s12045-019-0760-1. $m_{3}$
^ ab Cartwright, Jon (8 марта 2013 г.). "Физики обнаружили целых 13 новых решений задачи трех тел". Science Now . Получено 04.04.2013 .
^ Барроу-Грин, Дж. (2010). Драматический эпизод Сандмана, Historia Mathematica 37, стр. 164–203.
^ Белоришки, Д. (1930). «Практическое применение методов М. Сундмана для решения особых проблем трех корпусов». Астрономический бюллетень . Серия 2. 6 : 417–434. Бибкод : 1930BuAst...6..417B.
^ Буррау (1913). «Numerische Berechnung eines Spezialfalles des Dreikörperproblems». Астрономические Нахрихтен . 195 (6): 113–118. Бибкод : 1913AN....195..113B. дои : 10.1002/asna.19131950602.
^ Виктор Себехей; К. Фредерик Петерс (1967). "Полное решение общей задачи трех тел". Astronomical Journal . 72 : 876. Bibcode : 1967AJ.....72..876S. doi : 10.1086/110355 .
^ Здесь гравитационная постоянная G была установлена равной 1, а начальные условия r ₁ (0) = - r ₃ (0) = (-0,97000436, 0,24308753); r ₂ (0) = (0,0); v ₁ (0) = v ₃ (0) = (0,4662036850, 0,4323657300); v ₂ (0) = (-0,93240737, -0,86473146). Значения получены из Chenciner & Montgomery (2000).
^ аб Шуваков, М.; Дмитрашинович, В. «Галерея трех тел» . Проверено 12 августа 2015 г.
^ Мур, Кристофер (1993). «Косы в классической динамике» (PDF) . Physical Review Letters . 70 (24): 3675–3679. Bibcode :1993PhRvL..70.3675M. doi :10.1103/PhysRevLett.70.3675. PMID 10053934. Архивировано из оригинала (PDF) 2018-10-08 . Получено 2016-01-01 .
^ Ченчинер, Ален; Монтгомери, Ричард (2000). «Замечательное периодическое решение задачи трех тел в случае равных масс». Annals of Mathematics . Вторая серия. 152 (3): 881–902. arXiv : math/0011268 . Bibcode :2000math.....11268C. doi :10.2307/2661357. JSTOR 2661357. S2CID 10024592.
^ Монтгомери, Ричард (2001). «Новое решение задачи трех тел» (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 48 : 471–481.
^ Хегги, Дуглас К. (2000). «Новый результат двоично-бинарного рассеяния». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 318 (4): L61–L63. arXiv : astro-ph/9604016 . Bibcode : 2000MNRAS.318L..61H. doi : 10.1046/j.1365-8711.2000.04027.x .
^ Худомал, Ана (октябрь 2015 г.). "Новые периодические решения задачи трех тел и гравитационные волны" (PDF) . Диссертация на степень магистра наук на физическом факультете Белградского университета . Получено 5 февраля 2019 г.
^ Ли, Сяомин; Ляо, Шицзюнь (декабрь 2017 г.). «Более шести сотен новых семейств ньютоновских периодических плоских бесстолкновительных трехтельных орбит». Science China Physics, Mechanics & Astronomy . 60 (12): 129511. arXiv : 1705.00527 . Bibcode :2017SCPMA..60l9511L. doi :10.1007/s11433-017-9078-5. ISSN 1674-7348. S2CID 84838204.
^ Ли, Сяомин; Цзин, Ипэн; Ляо, Шицзюнь (август 2018 г.). «1223 новых периодических орбиты плоской задачи трех тел с неравной массой и нулевым угловым моментом». Публикации Астрономического общества Японии . 70 (4) 64. arXiv : 1709.04775 . doi : 10.1093/pasj/psy057 .
^ Ли, Сяомин; Ляо, Шицзюнь (2019). «Бесстолкновительные периодические орбиты в задаче о трех телах со свободным падением». Новая астрономия . 70 : 22–26. arXiv : 1805.07980 . Bibcode : 2019NewA...70...22L. doi : 10.1016/j.newast.2019.01.003. S2CID 89615142.
^ Христов, Иван; Христова, Радослава; Дмитрашинович, Велько; Таникава, Киётака (2024). "Повторный взгляд на трехчастичные периодические бесстолкновительные орбиты свободного падения с равной массой". Небесная механика и динамическая астрономия . 136 (1): 7. arXiv : 2308.16159 . Bibcode : 2024CeMDA.136....7H. doi : 10.1007/s10569-023-10177-w.
^ "3body simulator". 3body simulator . Архивировано из оригинала 2022-11-17 . Получено 2022-11-17 .
^ Технион (6 октября 2021 г.). «Столетняя загадка физики? Решена». SciTechDaily . SciTech . Получено 12 октября 2021 г. .
^ Ginat, Yonadav Barry; Perets, Hagai B. (23 июля 2021 г.). "Analytical, Statistical Approximate Solution of Dissipative and Nondissipative Binary-Single Stellar Encounters". Physical Review . 11 (3): 031020. arXiv : 2011.00010 . Bibcode :2021PhRvX..11c1020G. doi :10.1103/PhysRevX.11.031020. S2CID 235485570 . Получено 12 октября 2021 г. .
^ abc Валтонен, Маури (2016). Задача трех тел от Пифагора до Хокинга . Springer. ISBN 978-3-319-22726-9. OCLC 1171227640.
^ Ньютон, Исаак (1726). Philosophiæ naturalis principia mathematica. Лондон: G. & J. Innys. doi :10.14711/spcol/b706487 . Получено 05.10.2022 – через Гонконгский университет науки и технологий.
^ "Америго Веспуччи". Биография . 23 июня 2021 г. Получено 2022-10-05 .
↑ Мемуары обеих сторон 1747 года можно прочитать в томе «Историй» (включая «Мемуары» ) Королевской академии наук за 1745 год (опубликованном с опозданием в Париже в 1749 году) (на французском языке):
Клеро: «О системе мира, согласно принципам всемирного тяготения» (стр. 329–364); и
Д'Аламбер: «Общий метод определения орбит и движений всех планет, принимая во внимание их взаимные действия» (на стр. 365–390). Своеобразная датировка объясняется примечанием, напечатанным на стр. 390 раздела «Мемуары»: «Хотя предыдущие мемуары гг. Клеро и д'Аламбера были прочитаны только в течение 1747 года, было сочтено целесообразным опубликовать их в томе за этот год» (т. е. томе, посвященном трудам 1745 года, но опубликованном в 1749 году).
^ Жан ле Рон д'Аламбер в статье 1761 года, в которой рассматривается математическая история проблемы, упоминает, что Эйлер предложил метод интегрирования определенного дифференциального уравнения «в 1740 году (за семь лет до того, как возник вопрос о проблеме трех тел). )»: см. Даламбер, «Opuscules Mathématiques», т. 2, Париж 1761, Quatorzième Mémoire («Réflexions sur le Problème des trois Corps, avec de Nouvelles Tables de la Lune ...»), стр. 329–312, гл. VI, с. 245.
^ Mohr, RF; Furnstahl, RJ; Hammer, H.-W.; Perry, RJ; Wilson, KG (январь 2006 г.). «Точные численные результаты для предельных циклов в квантовой задаче трех тел». Annals of Physics . 321 (1): 225–259. arXiv : nucl-th/0509076 . Bibcode : 2006AnPhy.321..225M. doi : 10.1016/j.aop.2005.10.002. ISSN 0003-4916. S2CID 119073191.
^ «Компланарное движение двух планет, одна из которых имеет нулевую массу». Annals of Mathematics , т. III, стр. 65–73, 1887.
^ Барроу-Грин, июнь (1996-10-29). Пуанкаре и задача трех тел (PDF) . История математики. Том 11. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. doi :10.1090/hmath/011. ISBN 978-0-8218-0367-7.
^ Ефимов, В. (1970-12-21). "Уровни энергии, возникающие из-за резонансных двухчастичных сил в трехчастичной системе". Physics Letters B . 33 (8): 563–564. Bibcode :1970PhLB...33..563E. doi :10.1016/0370-2693(70)90349-7. ISSN 0370-2693.
^ Ляо, Шицзюнь; Ли, Сяомин (2019-11-01). «О периодических решениях задачи трех тел». National Science Review . 6 (6): 1070–1071. doi :10.1093/nsr/nwz102. ISSN 2095-5138. PMC 8291409. PMID 34691975 .
^ Брин, Филип Г.; Фоли, Кристофер Н.; Бекхольт, Тьярда; Портегис Цварт, Саймон (2020). «Ньютон против машины: решение хаотической задачи трех тел с использованием глубоких нейронных сетей». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 494 (2): 2465–2470. arXiv : 1910.07291 . doi : 10.1093/mnras/staa713 . S2CID 204734498.
^ Уотсон, Клэр (23 сентября 2023 г.). «Мы только что получили 12 000 новых решений печально известной задачи трех тел». ScienceAlert . Архивировано из оригинала 24 сентября 2023 г. Получено 23 сентября 2023 г.
^ Христов, Иван; Христова, Радослава; Дмитрашинович, Велько; Таникава, Киётака (2024). "Повторный взгляд на трехчастичные периодические бесстолкновительные орбиты свободного падения с равной массой". Небесная механика и динамическая астрономия . 136 (1). arXiv : 2308.16159 . Bibcode :2024CeMDA.136....7H. doi :10.1007/s10569-023-10177-w.
^ Гриффитс, Дэвид Дж. (2004). Введение в квантовую механику (2-е изд.) . Prentice Hall. стр. 311. ISBN 978-0-13-111892-8. OCLC 40251748.
^ ab Crandall, R.; Whitnell, R.; Bettega, R. (1984). «Точно растворимая двухэлектронная атомная модель». American Journal of Physics . 52 (5): 438–442. Bibcode : 1984AmJPh..52..438C. doi : 10.1119/1.13650.
^ Калоджеро, Ф. (1969). «Решение задачи трех тел в одном измерении». Журнал математической физики . 10 (12): 2191–2196. Bibcode : 1969JMP....10.2191C. doi : 10.1063/1.1664820.
^ Ареф, Хассан (1979-03-01). «Движение трех вихрей». Физика жидкостей . 22 (3): 393–400. Bibcode : 1979PhFl...22..393A. doi : 10.1063/1.862605. ISSN 0031-9171.
^ Ареф, Хассан; Помфри, Нил (1980-08-18). «Интегрируемые и хаотические движения четырех вихрей». Physics Letters A. 78 ( 4): 297–300. Bibcode : 1980PhLA...78..297A. doi : 10.1016/0375-9601(80)90375-8. ISSN 0375-9601.
^ Neufeld, Z; Tél, T (1997-03-21). «Аналог динамики вихрей ограниченной задачи трех тел: адвекция в поле трех идентичных точечных вихрей». Journal of Physics A: Mathematical and General . 30 (6): 2263–2280. Bibcode : 1997JPhA...30.2263N. doi : 10.1088/0305-4470/30/6/043. ISSN 0305-4470.
^ Musielak, ZE; Quarles, B. (2014). «Проблема трех тел». Reports on Progress in Physics . 77 (6): 065901. arXiv : 1508.02312 . Bibcode : 2014RPPh...77f5901M. doi : 10.1088/0034-4885/77/6/065901. ISSN 0034-4885. PMID 24913140. S2CID 38140668.
^ Флорин Диаку . «Решение проблемы n тел», The Mathematical Intelligencer , 1996.

Дальнейшее чтение

Aarseth, SJ (2003). Gravitational n-Body Simulations . Нью-Йорк: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-43272-6.
Багла, Дж. С. (2005). «Космологическое моделирование N-тел: методы, область применения и статус». Current Science . 88 : 1088–1100. arXiv : astro-ph/0411043 . Bibcode : 2005CSci...88.1088B.
Chambers, JE; Wetherill, GW (1998). «Создание планет земной группы: N-тело интеграции планетарных эмбрионов в трех измерениях». Icarus . 136 (2): 304–327. Bibcode :1998Icar..136..304C. CiteSeerX 10.1.1.64.7797 . doi :10.1006/icar.1998.6007.
Эфстатиу, Г.; Дэвис, М.; Уайт, СДМ; Френк, К.С. (1985). «Численные методы для больших космологических симуляций N-тел». Astrophysical Journal . 57 : 241–260. Bibcode :1985ApJS...57..241E. doi : 10.1086/191003 .
Халковер, Нил Д. (1978). «Проблема трех тел с нулевой энергией». Журнал математики Индианского университета . 27 (3): 409–447. Bibcode : 1978IUMJ...27..409H. doi : 10.1512/iumj.1978.27.27030 .
Халковер, Нил Д. (1980). «Центральные конфигурации и гиперболо-эллиптическое движение в задаче трех тел». Небесная механика . 21 (1): 37–41. Bibcode : 1980CeMec..21...37H. doi : 10.1007/BF01230244. S2CID 123404551.
Ли, Сяомин; Ляо, Шицзюнь (2014). «О стабильности трех классов ньютоновских трехтельных плоских периодических орбит». Science China Physics, Mechanics & Astronomy . 57 (11): 2121–2126. arXiv : 1312.6796 . Bibcode :2014SCPMA..57.2121L. doi :10.1007/s11433-014-5563-5. S2CID 73682020.
Мур, Кристофер (1993). «Косы в классической динамике» (PDF) . Physical Review Letters . 70 (24): 3675–3679. Bibcode :1993PhRvL..70.3675M. doi :10.1103/PhysRevLett.70.3675. PMID 10053934. Архивировано из оригинала (PDF) 2018-10-08 . Получено 2016-01-01 .
Пуанкаре, А. (1967). Новые методы небесной механики (3 тома, английский перевод). Американский институт физики. ISBN 978-1-56396-117-5.
Шуваков, Милован; Дмитрашинович, В. (2013). "Три класса ньютоновских трехтельных плоских периодических орбит". Physical Review Letters . 110 (10): 114301. arXiv : 1303.0181 . Bibcode :2013PhRvL.110k4301S. doi :10.1103/PhysRevLett.110.114301. PMID 25166541. S2CID 118554305.

Внешние ссылки

Шенчинер, Ален (2007). "Задача трех тел". Scholarpedia . 2 (10): 2111. Bibcode :2007SchpJ...2.2111C. doi : 10.4249/scholarpedia.2111 .
Новое исследование предполагает, что «задача трех тел» может быть не такой уж хаотичной ( Live Science, 22 октября 2024 г.)
Физики обнаружили целых 13 новых решений задачи трех тел ( Science, 8 марта 2013 г.)
3body simulator Архивировано 17.11.2022 в Wayback Machine – пример компьютерной программы, которая решает задачу трех тел численно