Ориентированная проективная геометрия

Ориентированная проективная геометрия — это ориентированная версия реальной проективной геометрии .

В то время как действительная проективная плоскость описывает множество всех неориентированных прямых, проходящих через начало координат в R ³ , ориентированная проективная плоскость описывает прямые с заданной ориентацией. Существуют приложения в компьютерной графике и компьютерном зрении , где необходимо различать лучи света, испускаемые или поглощаемые точкой.

Элементы в ориентированном проективном пространстве определяются с помощью однородных координат со знаком . Пусть — множество элементов, исключая начало координат. ${\displaystyle \mathbb {R} _{*}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

1. Ориентированная проективная прямая , : , с отношением эквивалентности для всех . ${\displaystyle \mathbb {T} ^{1}}$ ${\displaystyle (x,w)\in \mathbb {R} _{*}^{2}}$ ${\displaystyle (x,w)\sim (ax,aw)\,}$ ${\displaystyle a>0}$
2. Ориентированная проективная плоскость , : , с для всех . ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$ ${\displaystyle (x,y,w)\in \mathbb {R} _{*}^{3}}$ ${\displaystyle (x,y,w)\sim (ax,ay,aw)\,}$ ${\displaystyle a>0}$

Эти пространства можно рассматривать как расширения евклидова пространства . можно рассматривать как объединение двух копий , множеств ( x ,1) и ( x ,-1), плюс две дополнительные точки на бесконечности, (1,0) и (-1,0). Аналогично можно рассматривать как две копии , ( x , y ,1) и ( x , y ,-1), плюс одну копию ( x , y ,0). ${\displaystyle \mathbb {T} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$

Альтернативный способ рассматривать пространства — как точки на окружности или сфере, заданные точками ( x , y , w ) с

х2 + у2 + ш2 = ^{1 .​}

Ориентированное реальное проективное пространство

Пусть n — неотрицательное целое число. (Аналитическая модель , или канонического ^[1] ) ориентированного (действительного) проективного пространства или (канонического ^[2] ) двустороннего проективного ^[3] пространства определяется как ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$

${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=\{\{\lambda Z:\lambda \in \mathbb {R} _{>0}\}:Z\in \mathbb {R} ^{n+1}\setminus \{0\}\}=\{\mathbb {R} _{>0}Z:Z\in \mathbb {R} ^{n+1}\setminus \{0\}\}.}$^[4]

Здесь мы используем для обозначения двустороннего . ${\displaystyle \mathbb {T} }$

Расстояние в ориентированном реальном проективном пространстве

Расстояния между двумя точками и в можно определить как элементы ${\displaystyle p=(p_{x},p_{y},p_{w})}$ ${\displaystyle q=(q_{x},q_{y},q_{w})}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$

${\displaystyle ((p_{x}q_{w}-q_{x}p_{w})^{2}+(p_{y}q_{w}-q_{y}p_{w})^{2},\mathrm {sign} (p_{w}q_{w})(p_{w}q_{w})^{2})}$

в . ^[5] ${\displaystyle \mathbb {T} ^{1}}$

Ориентированная комплексная проективная геометрия

Пусть n — неотрицательное целое число. Ориентированное комплексное проективное пространство определяется как ${\displaystyle {\mathbb {CP} }_{S^{1}}^{n}}$

${\displaystyle {\mathbb {CP} }_{S^{1}}^{n}=\{\{\lambda Z:\lambda \in \mathbb {R} _{>0}\}:Z\in \mathbb {C} ^{n+1}\setminus \{0\}\}=\{\mathbb {R} _{>0}Z:Z\in \mathbb {C} ^{n+1}\setminus \{0\}\}}$. ^[6] Здесь мы пишем для обозначения 1-сферы . ${\displaystyle S^{1}}$

Смотрите также

• вариационный анализ

Примечания

1. Столфи 1991, стр. 2.
2. Столфи 1991, стр. 13.
3. Вернер 2003.
4. Ямагучи 2002, стр. 33–34, Определение 4.1.
5. Столфи 1991, §17.4.
6. Ниже 2003 г.

Ссылки

• Столфи, Хорхе (1991). Ориентированная проективная геометрия . Academic Press . ISBN 978-0-12-672025-9.
  Из оригинальной докторской диссертации Стэнфордского университета «Примитивы для вычислительной геометрии» , доступной как [1].
• Гали, Шериф (2008). Введение в геометрические вычисления . Springer . ISBN 978-1-84800-114-5.
  Хорошее введение в ориентированную проективную геометрию в главах 14 и 15. Подробнее на сайте автора. Шериф Гали.
• Ямагучи, Фудзио (2002). Компьютерное геометрическое проектирование: полностью четырехмерный подход . Springer. ISBN 978-4-431-68007-9.
• Ниже Александр; Круммек, Ванесса; Рихтер-Геберт, Юрген (2003). «Сложные матроиды: фиротопы и их реализации в ранге 2». В Аронов, Борис ; Басу, Саугата; Пах, Янош ; Шарир, Миша (ред.). Дискретная и вычислительная геометрия: Festschrift Гудмана – Поллака. Спрингер. стр. 203–233. дои : 10.1007/978-3-642-55566-4. ISBN 978-3-642-62442-1.
• А. Г. Оливейра, П. Ж. де Резенде, Ф. П. СельмиДей. Расширение CGAL на ориентированную проективную плоскость T2 и ее динамическую систему визуализации , 21-й ежегодный симпозиум ACM по вычислительной геометрии, Пиза, Италия, 2005 г.
• Вернер, Томас (2003). «Комбинаторные ограничения на множественные проекции заданных точек». Труды Девятой международной конференции IEEE по компьютерному зрению . С. 1011–1016. doi :10.1109/ICCV.2003.1238459. ISBN 0-7695-1950-4. S2CID  6816538 . Получено 26 ноября 2022 г. .