Ортонормированный базис

Конкретный линейный базис (математика)

В математике , в частности, в линейной алгебре , ортонормированный базис для пространства скалярного произведения с конечной размерностью — это базис , для которого векторы ортонормальны , то есть все они являются единичными векторами и ортогональны друг другу. ^{[1] [2] [3]} Например, стандартный базис для евклидова пространства — это ортонормированный базис, где соответствующий скалярный продукт — это скалярное произведение векторов. Образ стандартного базиса при вращении или отражении (или любом ортогональном преобразовании ) также ортонормален, и каждый ортонормированный базис для возникает таким образом. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Для общего пространства внутреннего произведения ортонормированный базис может быть использован для определения нормализованных ортогональных координат на Под этими координатами внутреннее произведение становится скалярным произведением векторов. Таким образом, наличие ортонормированного базиса сводит изучение конечномерного пространства внутреннего произведения к изучению под скалярным произведением. Каждое конечномерное пространство внутреннего произведения имеет ортонормированный базис, который может быть получен из произвольного базиса с помощью процесса Грама–Шмидта . ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

В функциональном анализе понятие ортонормированного базиса может быть обобщено на произвольные (бесконечномерные) пространства скалярного произведения . ^[4] Для заданного предгильбертова пространства ортонормированный базис для представляет собой ортонормированный набор векторов со свойством, что каждый вектор в может быть записан как бесконечная линейная комбинация векторов в базисе. В этом случае ортонормированный базис иногда называют гильбертовым базисом для Обратите внимание, что ортонормированный базис в этом смысле, как правило, не является базисом Гамеля , поскольку требуются бесконечные линейные комбинации. ^[5] В частности, линейная оболочка базиса должна быть плотной в, хотя и не обязательно во всем пространстве. ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle H,}$

Если мы перейдем к гильбертовым пространствам , неортонормальный набор векторов, имеющий ту же линейную оболочку, что и ортонормированный базис, может вообще не быть базисом. Например, любая квадратично-интегрируемая функция на интервале может быть выражена ( почти всюду ) как бесконечная сумма полиномов Лежандра (ортонормированный базис), но не обязательно как бесконечная сумма мономов ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle x^{n}.}$

Другое обобщение — псевдо-внутренние пространства произведений, конечномерные векторные пространства, снабженные невырожденной симметричной билинейной формой, известной как метрический тензор . В таком базисе метрика принимает форму с положительными и отрицательными единицами. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\text{diag}}(+1,\cdots ,+1,-1,\cdots ,-1)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

Примеры

• Для , набор векторов называется стандартным базисом и образует ортонормированный базис относительно стандартного скалярного произведения. Обратите внимание, что и стандартный базис, и стандартное скалярное произведение полагаются на просмотр как декартово произведение ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {e_{1}} ={\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}}\ ,\ \mathbf {e_{2}} ={\begin{pmatrix}0&1&0\end{pmatrix}}\ ,\ \mathbf {e_{3}} ={\begin{pmatrix}0&0&1\end{pmatrix}}\right\},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$

  Доказательство: Прямое вычисление показывает, что внутренние произведения этих векторов равны нулю, и что каждая из их величин равна единице, Это означает, что является ортонормированным набором. Все векторы могут быть выражены как сумма базисных векторов, масштабированных так, что охватывает и, следовательно, должен быть базисом. Можно также показать, что стандартный базис, повернутый вокруг оси, проходящей через начало координат, или отраженный в плоскости, проходящей через начало координат, также образует ортонормированный базис . ${\displaystyle \left\langle \mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{2}} \right\rangle =\left\langle \mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{3}} \right\rangle =\left\langle \mathbf {e_{2}} ,\mathbf {e_{3}} \right\rangle =0}$ ${\displaystyle \left\|\mathbf {e_{1}} \right\|=\left\|\mathbf {e_{2}} \right\|=\left\|\mathbf {e_{3}} \right\|=1.}$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{2}} ,\mathbf {e_{3}} \right\}}$ ${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} )\in \mathbb {R} ^{3}}$ $${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} )=\mathbf {xe_{1}} +\mathbf {ye_{2}} +\mathbf {ze_{3}} ,}$$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{2}} ,\mathbf {e_{3}} \right\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

• Для стандартный базис и скалярное произведение определяются аналогично. Любой другой ортонормированный базис связан со стандартным базисом ортогональным преобразованием в группе O(n). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Для псевдоевклидова пространства ортогональный базис с метрикой вместо этого удовлетворяет , если , если и если . Любые два ортонормированных базиса связаны псевдоортогональным преобразованием. В случае это преобразования Лоренца. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q},}$ ${\displaystyle \{e_{\mu }\}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\nu })=0}$ ${\displaystyle \mu \neq \nu }$ ${\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\mu })=+1}$ ${\displaystyle 1\leq \mu \leq p}$ ${\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\mu })=-1}$ ${\displaystyle p+1\leq \mu \leq p+q}$ ${\displaystyle (p,q)=(1,3)}$
• Множество с , где обозначает показательную функцию , образует ортонормированный базис пространства функций с конечными интегралами Лебега относительно 2-нормы . Это имеет основополагающее значение для изучения рядов Фурье . ${\displaystyle \left\{f_{n}:n\in \mathbb {Z} \right\}}$ ${\displaystyle f_{n}(x)=\exp(2\pi inx),}$ ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle L^{2}([0,1]),}$
• Набор с , если и в противном случае образует ортонормированный базис ${\displaystyle \left\{e_{b}:b\in B\right\}}$ ${\displaystyle e_{b}(c)=1}$ ${\displaystyle b=c}$ ${\displaystyle e_{b}(c)=0}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(B).}$
• Собственные функции задачи Штурма–Лиувилля .
• Векторы -столбцы ортогональной матрицы образуют ортонормированный набор.

Основная формула

Если — ортогональный базис, то каждый элемент можно записать как ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle x\in H}$ $${\displaystyle x=\sum _{b\in B}{\frac {\langle x,b\rangle }{\lVert b\rVert ^{2}}}b.}$$

Когда ортонормально, это упрощается до и квадрат нормы может быть определен как ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle x=\sum _{b\in B}\langle x,b\rangle b}$$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \|x\|^{2}=\sum _{b\in B}|\langle x,b\rangle |^{2}.}$$

Даже если несчетно , только счетное число членов в этой сумме будет ненулевым, и выражение, следовательно, хорошо определено. Эта сумма также называется разложением Фурье , а формула обычно известна как тождество Парсеваля . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x,}$

Если — ортонормированный базис, то изоморфен в следующем смысле : существует биективное линейное отображение такое, что ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(B)}$ ${\displaystyle \Phi :H\to \ell ^{2}(B)}$ $${\displaystyle \langle \Phi (x),\Phi (y)\rangle =\langle x,y\rangle \ \ \forall \ x,y\in H.}$$

Ортонормальная система

Набор взаимно ортонормальных векторов в гильбертовом пространстве называется ортонормированной системой. Ортонормированный базис — это ортонормированная система с дополнительным свойством, что линейная оболочка плотна в . ^[6] В качестве альтернативы набор можно рассматривать как полный или неполный относительно . То есть, мы можем взять наименьшее замкнутое линейное подпространство, содержащее Тогда будет ортонормированным базисом , который, конечно, может быть меньше самого себя, будучи неполным ортонормированным набором, или быть , когда он является полным ортонормированным набором. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle V\subseteq H}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V;}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H,}$

Существование

Используя лемму Цорна и процесс Грама–Шмидта (или, проще говоря, хорошо упорядоченную и трансфинитную рекурсию), можно показать, что каждое гильбертово пространство допускает ортонормированный базис; ^[7] более того, любые два ортонормированных базиса одного и того же пространства имеют одинаковую мощность (это можно доказать способом, похожим на доказательство обычной теоремы о размерности для векторных пространств , с отдельными случаями в зависимости от того, является ли больший кандидат на базис счетным или нет). Гильбертово пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда оно допускает счетный ортонормированный базис. (Можно доказать это последнее утверждение, не используя аксиому выбора . Однако для этого пришлось бы использовать аксиому счетного выбора .)

Выбор базиса как выбор изоморфизма

Для конкретности обсудим ортонормированные базисы для действительного -мерного векторного пространства с положительно определенной симметричной билинейной формой . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \phi =\langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Один из способов рассматривать ортонормированный базис относительно — это набор векторов , которые позволяют нам записать , и или . Относительно этого базиса компоненты особенно просты: (где — дельта Кронекера ). ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{e_{i}\}}$ ${\displaystyle v=v^{i}e_{i}\ \ \forall \ v\in V}$ ${\displaystyle v^{i}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (v^{i})\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi (e_{i},e_{j})=\delta _{ij}}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

Теперь мы можем рассматривать базис как отображение , которое является изоморфизмом пространств внутреннего произведения: чтобы сделать это более явным, мы можем записать ${\displaystyle \psi _{\mathcal {B}}:V\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \psi _{\mathcal {B}}:(V,\phi )\rightarrow (\mathbb {R} ^{n},\delta _{ij}).}$

Явно мы можем записать, где находится двойственный базисный элемент к . ${\displaystyle (\psi _{\mathcal {B}}(v))^{i}=e^{i}(v)=\phi (e_{i},v)}$ ${\displaystyle e^{i}}$ ${\displaystyle e_{i}}$

Обратное — это компонентная карта

${\displaystyle C_{\mathcal {B}}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow V,(v^{i})\mapsto \sum _{i=1}^{n}v^{i}e_{i}.}$

Эти определения делают очевидным, что существует биекция

${\displaystyle \{{\text{Space of orthogonal bases }}{\mathcal {B}}\}\leftrightarrow \{{\text{Space of isomorphisms }}V\leftrightarrow \mathbb {R} ^{n}\}.}$

Пространство изоморфизмов допускает действия ортогональных групп либо на стороне , либо на стороне . Для конкретности мы фиксируем изоморфизмы так, чтобы они указывали в направлении , и рассмотрим пространство таких отображений, . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\rightarrow V}$ ${\displaystyle {\text{Iso}}(\mathbb {R} ^{n}\rightarrow V)}$

Это пространство допускает левое действие группы изометрий , то есть такое, что , с действием, заданным композицией: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle R\in {\text{GL}}(V)}$ ${\displaystyle \phi (\cdot ,\cdot )=\phi (R\cdot ,R\cdot )}$ ${\displaystyle R*C=R\circ C.}$

Это пространство также допускает правое действие группы изометрий , то есть , причем действие снова задается композицией: . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle R_{ij}\in {\text{O}}(n)\subset {\text{Mat}}_{n\times n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C*R_{ij}=C\circ R_{ij}}$

Как основное однородное пространство

Множество ортонормированных базисов для со стандартным скалярным произведением является главным однородным пространством или G-торсором для ортогональной группы и называется многообразием Штифеля ортонормированных -фреймов . ^[8] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle G={\text{O}}(n),}$ ${\displaystyle V_{n}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle n}$

Другими словами, пространство ортонормированных базисов похоже на ортогональную группу, но без выбора базовой точки: если задано пространство ортонормированных базисов, нет естественного выбора ортонормированного базиса, но как только он задан, между базисами и ортогональной группой устанавливается взаимно-однозначное соответствие. Конкретно, линейное отображение определяется тем, куда оно отправляет данный базис: так же, как обратимое отображение может преобразовать любой базис в любой другой базис, ортогональное отображение может преобразовать любой ортогональный базис в любой другой ортогональный базис.

Другие многообразия Штифеля для неполных ортонормированных базисов (ортонормированные -реперы) по - прежнему являются однородными пространствами для ортогональной группы, но не главными однородными пространствами: любой -репер может быть преобразован в любой другой -репер с помощью ортогонального отображения, но это отображение не определяется однозначно. ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle k<n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

• Набор ортонормированных базисов для представляет собой G-торсор для . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$ ${\displaystyle G={\text{O}}(p,q)}$
• Набор ортонормированных базисов для представляет собой G-торсор для . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle G={\text{U}}(n)}$
• Набор ортонормированных базисов для представляет собой G-торсор для . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{p,q}}$ ${\displaystyle G={\text{U}}(p,q)}$
• Множество правых ортонормированных базисов для представляет собой G-торсор для ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle G={\text{SO}}(n)}$

Смотрите также

• Ортогональный базис
• Базис (линейная алгебра)  – набор векторов, используемых для определения координат.
• Ортонормальная система координат  – Евклидово пространство без расстояний и углов
• Базис Шаудера  – вычислительный инструмент
• Тотальное множество  – подмножество топологического векторного пространства, линейная оболочка которого плотна.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback

Примечания

1. Лэй, Дэвид С. (2006). Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.). Эддисон–Уэсли . ISBN 0-321-28713-4.
2. Стрэнг, Гилберт (2006). Линейная алгебра и ее приложения (4-е изд.). Брукс Коул . ISBN 0-03-010567-6.
3. Акслер, Шелдон (2002). Линейная алгебра, сделанная правильно (2-е изд.). Springer . ISBN 0-387-98258-2.
4. Рудин, Уолтер (1987). Действительный и комплексный анализ . McGraw-Hill . ISBN 0-07-054234-1.
5. Роман 2008, стр. 218, гл. 9.
6. Стейнварт и Кристманн 2008, с. 503.
7. Линейный функциональный анализ Авторы: Райнн, Брайан, Янгсон, MA стр. 79
8. "CU Faculty". engfac.cooper.edu . Получено 2021-04-15 .

Ссылки

• Роман, Стивен (2008). Продвинутая линейная алгебра . Graduate Texts in Mathematics (Третье изд.). Springer. ISBN 978-0-387-72828-5.(стр. 218, гл.9)
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Стейнварт, Инго; Кристманн, Андреас (2008). Машины опорных векторов . Нью-Йорк: Спрингер. дои : 10.1007/978-0-387-77242-4. ISBN 978-0-387-77241-7.

Внешние ссылки

• В этой публикации на Stack Exchange обсуждается, почему набор дельта-функций Дирака не является базисом L2 ⁽ [0,1]).