В математике карта или отображение — это функция в общем смысле. [1] Эти термины, возможно, возникли в процессе создания географической карты : нанесения поверхности Земли на лист бумаги. [2]
Термин карта может использоваться для различения некоторых специальных типов функций, таких как гомоморфизмы . Например, линейная карта — это гомоморфизм векторных пространств , тогда как термин « линейная функция» может иметь это значение или может означать линейный многочлен . [3] [4] В теории категорий карта может относиться к морфизму . [2] Термин «преобразование» можно использовать взаимозаменяемо, [2] но преобразование часто относится к функции из множества в себя. Есть также несколько менее распространенных применений в логике и теории графов .
Во многих разделах математики термин « карта» используется для обозначения функции , [5] [6] [7] иногда с определенным свойством, имеющим особое значение для этой отрасли. Например, «карта» — это « непрерывная функция » в топологии , « линейное преобразование » в линейной алгебре и т. д.
Некоторые авторы, такие как Серж Ланг , [8] используют термин «функция» только для обозначения карт, в которых кодомен представляет собой набор чисел (т.е. подмножество R или C ), и резервируют термин « отображение» для более общих функций.
Карты определенных видов являются предметом многих важных теорий. К ним относятся гомоморфизмы в абстрактной алгебре , изометрии в геометрии , операторы в анализе и представления в теории групп . [2]
В теории динамических систем карта обозначает функцию эволюции, используемую для создания дискретных динамических систем .
Частичное отображение — это частичная функция . Сопутствующая терминология, такая как домен , кодомен , инъективный и непрерывный , может одинаково применяться к картам и функциям с тем же значением. Все эти варианты использования могут применяться к «картам» как к общим функциям или как к функциям со специальными свойствами.
В теории категорий «карта» часто используется как синоним « морфизма » или «стрелки», которая является функцией, учитывающей структуру, и поэтому может подразумевать большую структуру, чем «функция». [9] Например, морфизм в конкретной категории (т.е. морфизм, который можно рассматривать как функцию) несет в себе информацию о своей области определения (источник морфизма) и его кодомене (цель ). В широко используемом определении функции — это подмножество, состоящее из всех пар для . В этом смысле функция не фиксирует набор , используемый в качестве кодомена; только диапазон определяется функцией.