Эндоморфизм Фробениуса

В коммутативной алгебре и теории поля эндоморфизм Фробениуса ( в честь Фердинанда Георга Фробениуса ) — специальный эндоморфизм коммутативных колец с простой характеристикой $p$ — важный класс, включающий конечные поля . Эндоморфизм отображает каждый элемент в его $p$ -ю степень. В определенных контекстах это автоморфизм , но в целом это неверно.

Определение

Пусть $R$ — коммутативное кольцо с простой характеристикой $p$ ( например, область целостности положительной характеристики всегда имеет простую характеристику). Эндоморфизм Фробениуса F определяется формулой

F(r)=r^{p}

для всех r в R. Он соблюдает умножение R :

F(rs)=(rs)^{p}=r^{p}s^{p}=F(r)F(s),

и $F (1)$ также равно 1. Более того, он также учитывает добавление $R$ . Выражение $(r + s) p$ можно расширить, используя биномиальную теорему . Поскольку $p$ простое, оно делит $p!$ но не любой $вопрос!$ для $q < p$ ; поэтому он разделит числитель , но не знаменатель явной формулы биномиальных коэффициентов

{\frac {p!}{k!(pk)!}},

если $1 \leq k \leq п - 1$ . Следовательно, коэффициенты всех членов, кроме $r p$ и $sp,$ делятся на $p$ и, следовательно, равны нулю. ^[1] Таким образом

F(r+s)=(r+s)^{p}=r^{p}+s^{p}=F(r)+F(s).

Это показывает, что F — кольцевой гомоморфизм .

Если $φ : R \to S$ — гомоморфизм колец характеристики $p$ , то

\varphi (x^{p})=\varphi (x)^{p}.

Если $FR$ и $FS$ $—$ эндоморфизмы Фробениуса $R$ и $S$ $,$ то это можно переписать как:

\varphi \circ F_{R}=F_{S}\circ \varphi.

Это означает, что эндоморфизм Фробениуса является естественным преобразованием тождественного функтора в категории характеристических $p$ -колец в самого себя.

Если кольцо $R$ — кольцо без нильпотентных элементов, то эндоморфизм Фробениуса инъективен : $F (r) = 0$ означает $r p = 0$ , что по определению означает, что $r$ нильпотентен порядка не выше $p$ . На самом деле это необходимо и достаточно, поскольку если $r$ нильпотентно, то одна из его степеней будет нильпотентна порядка не выше $p$ . В частности, если $R$ — поле, то эндоморфизм Фробениуса инъективен.

Морфизм Фробениуса не обязательно сюръективен , даже если $R$ — поле. Например, пусть $K = Fp (t)$ — конечное поле из $p элементов вместе$ $с$ одним трансцендентным элементом ; эквивалентно, $K$ — поле рациональных функций с коэффициентами из $F p$ . Тогда образ $F$ не содержит $t$ . Если бы это было так, то существовала бы рациональная функция $q (t)/ r (t) ,$ $p$ -я степень которой $q (t) p / r (t) p$ была бы равна $t$ . Но степень этой $p$ -й степени (разница между степенями ее числителя и знаменателя) равна $p deg(q) - p deg(r)$ , что кратно $p$ . В частности, оно не может быть равно 1, что является степенью $t$ . Это противоречие; так что t $не$ в образе $F.$

Поле $K$ называется совершенным , если оно имеет нулевую характеристику или положительную характеристику и его эндоморфизм Фробениуса является автоморфизмом. Например, все конечные поля совершенны.

Неподвижные точки эндоморфизма Фробениуса

Рассмотрим конечное поле $Fp .$ По малой теореме Ферма каждый элемент $x$ из $F p$ удовлетворяет условию $x p = x$ . Эквивалентно, это корень многочлена $X p - X$ . Следовательно, элементы $F p$ определяют $p$ корней этого уравнения, и поскольку это уравнение имеет степень $p,$ оно имеет не более $p$ корней в любом расширении . В частности, если $K$ — алгебраическое расширение $F p$ (такое как алгебраическое замыкание или другое конечное поле), то $F p$ — фиксированное поле автоморфизма Фробениуса $K$ .

Пусть $R$ — кольцо характеристики $p > 0$ . Если $R$ — область целостности, то по тем же соображениям неподвижные точки Фробениуса являются элементами простого поля. Однако если $R$ не является областью, то $X p - X$ может иметь более $p$ корней; например, это происходит, если $R = F p \times F p$ .

Аналогичным свойством на конечном поле обладает n- я итерация автоморфизма Фробениуса: каждый элемент является корнем , поэтому, если $K$ является алгебраическим расширением и $F$ является автоморфизмом Фробениуса $K$ , то фиксированное поле $F$ $н$ есть . Если R — область, являющаяся -алгеброй , то неподвижные точки n- й итерации Фробениуса являются элементами образа . $\mathbf {F} _{p^{n}}$ $\mathbf {F} _{p^{n}}$ $X^{p^{n}}-X$ $\mathbf {F} _{p^{n}}$ $\mathbf {F} _{p^{n}}$ $\mathbf {F} _{p^{n}}$ $\mathbf {F} _{p^{n}}$

Итерация карты Фробениуса дает последовательность элементов в $R$ :

x,x^{p},x^{p^{2}},x^{p^{3}},\ldots .

Эта последовательность итераций используется для определения замыкания Фробениуса и точного замыкания идеала.

Как генератор групп Галуа

Группа Галуа расширения конечных полей порождается итерацией автоморфизма Фробениуса. Сначала рассмотрим случай, когда основным полем является простое поле $F p$ . Пусть $F q$ — конечное поле из $q$ элементов, где $q = p n$ . Автоморфизм Фробениуса $F$ группы $F q$ фиксирует простое поле $F p$ , поэтому оно является элементом группы Галуа $Gal(F q / F p)$ . Фактически, поскольку группа Галуа циклична с q − 1 элементами , мы знаем, что группа Галуа циклическая и $F$ является генератором. Порядок $F$ равен $n,$ потому что $F$ $j$ действует на элемент $x$ , отправляя его в $x$ $p$ $j$ , и может иметь только много корней, поскольку мы находимся в поле. Каждый автоморфизм $F$ $q$ является степенью $F$ , а образующие — это степени $F$ $i,$ где $i$ взаимно просто с $n$ . $\mathbf {F} _{q}^{\times }$ $x^{p^{j}}=x$ $p^{j}$

Теперь рассмотрим конечное поле $F q f$ как расширение $F q$ , где $q = p n,$ как указано выше. Если $n > 1$ , то автоморфизм Фробениуса F $F$ $q f не$ фиксирует основное поле $F q$ , но его $n-я$ итерация $F n$ фиксирует. Группа Галуа $Gal(F q f / F q)$ циклическая порядка $f$ и порождается $F n$ . Это подгруппа $Gal(F q f / F p),$ порожденная $F n$ . Генераторы $Gal(F q f / F q)$ — это степени $F ni$ , где $i$ взаимно просто с $f$ .

Автоморфизм Фробениуса не является генератором абсолютной группы Галуа.

\operatorname {Гал} \left({\overline {\mathbf {F} _{q}}}/\mathbf {F} _{q}\right),

потому что эта группа Галуа изоморфна проконечным целым числам

{\widehat {\mathbf {Z}}}=\varprojlim _{n}\mathbf {Z} /n\mathbf {Z},

которые не являются циклическими. Однако, поскольку автоморфизм Фробениуса является генератором группы Галуа каждого конечного расширения $F q$ , он является генератором каждого конечного фактора абсолютной группы Галуа. Следовательно, это топологический генератор в обычной топологии Крулля на абсолютной группе Галуа.

Фробениус за схемы

Существует несколько различных способов определения морфизма Фробениуса для схемы . Наиболее фундаментальным является абсолютный морфизм Фробениуса. Однако абсолютный морфизм Фробениуса плохо ведет себя в относительной ситуации, поскольку не обращает внимания на базовую схему. Существует несколько различных способов адаптации морфизма Фробениуса к относительной ситуации, каждый из которых полезен в определенных ситуациях.

Абсолютный морфизм Фробениуса

Предположим, что $X$ — схема характеристики $p > 0$ . Выберите открытое аффинное подмножество $U = Spec A$ of $X$ . Кольцо $A$ является $Fp -$ алгеброй, поэтому оно допускает эндоморфизм Фробениуса. Если $V$ — открытое аффинное подмножество $U$ , то по естественности Фробениуса морфизм Фробениуса на $U$ , ограниченный на $V$ , является морфизмом Фробениуса на $V.$ Следовательно, морфизм Фробениуса склеивается, образуя эндоморфизм $X$ . Этот эндоморфизм называется абсолютным морфизмом Фробениуса X $и$ обозначается $F X$ . По определению, это гомеоморфизм $X$ самого себя. Абсолютный морфизм Фробениуса представляет собой естественное преобразование тождественного функтора на категории $F p$ -схем в самого себя.

Если $X$ — $S-$ схема и морфизм Фробениуса $S$ тождественен, то абсолютный морфизм Фробениуса является морфизмом $S$ -схем. Однако в целом это не так. Например, рассмотрим кольцо . Пусть $X$ и $S$ равны $Spec$ $A,$ причем структурная карта $X$ $\to$ $S$ является тождественной. Морфизм Фробениуса $на$ $A$ переводит $a$ в $p$ . Это не морфизм -алгебр . Если бы это было так, то умножение на элемент $b$ in коммутировало бы с применением эндоморфизма Фробениуса. Но это неправда, потому что: $A=\mathbf {F} _{p^{2}}$ $\mathbf {F} _{p^{2}}$ $\mathbf {F} _{p^{2}}$

b\cdot a=ba\neq F(b)\cdot a=b^{p}a.

Первое — это действие $b$ в структуре -алгебры, с которой начинается $A$ , а второе — действие , индуцированное Фробениусом. Следовательно, морфизм Фробениуса на $Spec$ $A$ не является морфизмом -схем . $\mathbf {F} _{p^{2}}$ $\mathbf {F} _{p^{2}}$ $\mathbf {F} _{p^{2}}$

Абсолютный морфизм Фробениуса — это чисто неотделимый морфизм степени $p$ . Его дифференциал равен нулю. Он сохраняет продукты, а это означает , что для любых двух схем $X$ и $Y$ $F X \times Y = F X \times F Y$ .

Ограничение и расширение скаляров Фробениуса

Предположим, что φ $: X \to S —$ структурный морфизм $S$ -схемы $X.$ Базовая схема $S$ имеет морфизм Фробениуса F _S . Соединение $φ$ с FS приводит к $S$ -схеме X _F_, названной Фробениусом ограничением скаляров . Ограничение скаляров на самом деле является функтором, поскольку $S$ -морфизм $X$ $\to$ $Y$ индуцирует $S$ -морфизм $X$ $F$ $\to$ $Y$ $F$ .

Например, рассмотрим кольцо A характеристики $p > 0$ и конечно определенную алгебру над A :

R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}).

Действие A на R определяется следующим образом:

c\cdot \sum a_{\alpha }X^{\alpha }=\sum ca_{\alpha }X^{\alpha },

где α — мультииндекс. Пусть $X =$ Spec $R.$ Тогда $X F$ — аффинная схема $Spec R$ , но ее структурный морфизм $Spec R \to Spec A$ и, следовательно, действие A на R различны:

c\cdot \sum a_{\alpha }X^{\alpha }=\sum F(c)a_{\alpha }X^{\alpha }=\sum c^{p}a_{\alpha }X^{\alpha }.

Поскольку ограничение скаляров Фробениусом представляет собой просто композицию, многие свойства $X$ наследуются X _F при соответствующих гипотезах о морфизме Фробениуса. Например, если $X$ и S _F оба относятся к конечному типу, то и X _F тоже .

Расширение скаляров Фробениусом определяется как:

X^{(p)}=X\times _{S}S_{F}.

Проекция на $S-$ фактор делает $X (p)$ $S$ - схемой . Если $S$ неясно из контекста, то $X (p)$ обозначается $X (p / S)$ . Подобно ограничению скаляров, расширение скаляров является функтором: $S$ -морфизм $X \to Y$ определяет $S$ -морфизм $X (p) \to Y (p)$ .

Как и раньше, рассмотрим кольцо A и конечно определенную алгебру R над A , и снова пусть $X = Spec R.$ Затем:

X^{(p)}=\operatorname {Spec} R\otimes _{A}A_{F}.

Глобальная секция $X (p)$ имеет вид:

\sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}=\sum _{i}\sum _{\alpha }X^{\alpha }\otimes a_{i\alpha }^{p}b_{i},

где α — мультииндекс, а все a _iα и b _i — элемент A . Действие элемента c из A на этом участке:

c\cdot \sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}=\sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}c.

Следовательно, $X (p)$ изоморфно:

\operatorname {Spec} A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\left(f_{1}^{(p)},\ldots ,f_{m}^{(p)}\right),

где, если:

f_{j}=\sum _{\beta }f_{j\beta }X^{\beta },

затем:

f_{j}^{(p)}=\sum _{\beta }f_{j\beta }^{p}X^{\beta }.

Аналогичное описание справедливо для произвольных A -алгебр R .

Поскольку расширение скаляров представляет собой изменение базы, оно сохраняет пределы и сопутствующие произведения. Это подразумевает, в частности, что если $X$ имеет алгебраическую структуру, определенную в терминах конечных пределов (например, групповую схему), то и $X (p)$ тоже . Более того, изменение базы означает, что расширение скаляров сохраняет такие свойства, как конечный тип, конечное представление, разделенность, аффинность и т. д.

Расширение скаляров корректно относительно замены базы: для морфизма $S' \to S$ существует естественный изоморфизм:

X^{(p/S)}\times _{S}S'\cong (X\times _{S}S')^{(p/S')}.

Родственник Фробениус

Пусть $X$ — $S$ -схема со структурным морфизмом $φ$ . Относительный морфизм Фробениуса X $-$ это морфизм:

F_{X/S}:X\to X^{(p)}

определяется универсальным свойством обратного хода $X (p)$ (см. диаграмму выше):

F_{X/S}=(F_{X},\varphi ).

Поскольку абсолютный морфизм Фробениуса естественен, относительный морфизм Фробениуса является морфизмом $S$ -схем.

Рассмотрим, например, A -алгебру:

R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}).

У нас есть:

R^{(p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1}^{(p)},\ldots ,f_{m}^{(p)}).

Относительный морфизм Фробениуса — это гомоморфизм $R (p) \to R$ , определяемый формулой:

\sum _{i}\sum _{\alpha }X^{\alpha }\otimes a_{i\alpha }\mapsto \sum _{i}\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{p\alpha }.

Относительный Фробениус совместим с заменой базы в том смысле, что при естественном изоморфизме $X (p / S) \times S S'$ и $(X \times SS') (p / S')$ мы имеем:

F_{X/S}\times 1_{S'}=F_{X\times _{S}S'/S'}.

Относительный Фробениус — универсальный гомеоморфизм. Если $X \to S$ — открытое погружение, то оно тождественно. Если $X \to S$ — замкнутое погружение, определенное идеальным пучком I из $OS S$ , то $X (p)$ определяется идеальным пучком $I p$ , а относительный Фробениус — это отображение увеличения $O S / I p \to O S / I$ .

X неразветвлено над $S$ тогда и только тогда, когда F _{X / S} неразветвлено и тогда и только тогда, когда F _{X / S} — мономорфизм. X эталь над $S$ тогда и только тогда, когда F _{X / S} этальна и тогда и только тогда, когда F _{X / S} является изоморфизмом.

Арифметика Фробениуса

Арифметический морфизм Фробениуса S $-схемы$ X $является$ морфизмом:

F_{X/S}^{a}:X^{(p)}\to X\times _{S}S\cong X

определяется:

F_{X/S}^{a}=1_{X}\times F_{S}.

То есть это изменение _базы FS на 1 _X.

Опять же, если:

R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}),

R^{(p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m})\otimes _{A}A_{F},

тогда арифметика Фробениуса является гомоморфизмом:

\sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}\mapsto \sum _{i}\sum _{\alpha }a_{i\alpha }b_{i}^{p}X^{\alpha }.

Если мы перепишем $R (p)$ как:

R^{(p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\left(f_{1}^{(p)},\ldots ,f_{m}^{(p)}\right),

тогда этот гомоморфизм:

\sum a_{\alpha }X^{\alpha }\mapsto \sum a_{\alpha }^{p}X^{\alpha }.

Геометрический Фробениус

Предположим, что абсолютный морфизм Фробениуса $S$ обратим с обратным . Обозначим S $-схему$ . Тогда существует расширение скаляров $X$ на : $F_{S}^{-1}$ $S_{F^{-1}}$ $F_{S}^{-1}:S\to S$ $F_{S}^{-1}$

X^{(1/p)}=X\times _{S}S_{F^{-1}}.

Если:

R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}),

затем расширение скаляров дает: $F_{S}^{-1}$

R^{(1/p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m})\otimes _{A}A_{F^{-1}}.

Если:

f_{j}=\sum _{\beta }f_{j\beta }X^{\beta },

тогда пишем:

f_{j}^{(1/p)}=\sum _{\beta }f_{j\beta }^{1/p}X^{\beta },

и тогда существует изоморфизм:

R^{(1/p)}\cong A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1}^{(1/p)},\ldots ,f_{m}^{(1/p)}).

Геометрический морфизм Фробениуса S $-схемы$ X $является$ морфизмом:

F_{X/S}^{g}:X^{(1/p)}\to X\times _{S}S\cong X

определяется:

F_{X/S}^{g}=1_{X}\times F_{S}^{-1}.

Это базовое изменение на $1$ $X$ . $F_{S}^{-1}$

Продолжая наш пример с A и R , приведенный выше, геометрический Фробениус определяется как:

\sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}\mapsto \sum _{i}\sum _{\alpha }a_{i\alpha }b_{i}^{1/p}X^{\alpha }.

После переписывания R ^{(1/ p )} в терминах геометрический Фробениус имеет вид: $\{f_{j}^{(1/p)}\}$

\sum a_{\alpha }X^{\alpha }\mapsto \sum a_{\alpha }^{1/p}X^{\alpha }.

Арифметический и геометрический Фробениус как действия Галуа

Предположим, что морфизм Фробениуса группы $S$ является изоморфизмом. Затем он порождает подгруппу группы автоморфизмов $S$ . Если $S = Spec k$ — спектр конечного поля, то его группа автоморфизмов — это группа Галуа поля над простым полем, а морфизм Фробениуса и его обратный являются генераторами группы автоморфизмов. Кроме того, $X (p)$ и $X (1/ p)$ могут быть отождествлены с $X.$ Арифметические и геометрические морфизмы Фробениуса тогда являются эндоморфизмами $X$ и поэтому приводят к действию группы Галуа k на X .

Рассмотрим множество K -точек $X (K)$ . Этот набор имеет действие Галуа: каждая такая точка x соответствует гомоморфизму $O X \to K$ из структурного пучка в K , который факторизуется через k(x) , поле вычетов в x , а действие Фробениуса на x - это применение морфизма Фробениуса к полю вычетов. Это действие Галуа согласуется с действием арифметики Фробениуса: составной морфизм

{\mathcal {O}}_{X}\to k(x){\xrightarrow {\overset {}{F}}}k(x)

то же самое, что составной морфизм:

{\mathcal {O}}_{X}{\xrightarrow {{\overset {}{F}}_{X/S}^{a}}}{\mathcal {O}}_{X}\to k(x)

по определению арифметики Фробениуса. Следовательно, арифметика Фробениуса явно показывает действие группы Галуа на точки как эндоморфизм X .

Фробениус для местных полей

Для неразветвленного конечного расширения $L/K$ локальных полей существует понятие эндоморфизма Фробениуса , которое индуцирует эндоморфизм Фробениуса в соответствующем расширении полей вычетов . ^[2]

Предположим, что $L/K$ — неразветвленное расширение локальных полей с кольцом целых чисел OK _поля K таким $,$ что поле вычетов, целые числа $K$ по модулю их единственного максимального идеала $φ$ , является конечным полем порядка $q$ , где $q$ — степень простого числа. Если $Φ$ является простым числом $L$ , лежащим над $φ$ , то, что $L/K$ неразветвлено, по определению означает, что целые числа $L$ по модулю $Φ$ , поле вычетов $L$ , будут конечным полем порядка $qf,$ расширяющим поле вычетов $K$ , где $f$ — степень $L / K$ . Мы можем определить отображение Фробениуса для элементов кольца целых чисел $O L$ группы $L$ как автоморфизм $s Φ$ группы $L$ такой, что

s_{\Phi }(x)\equiv x^{q}\mod \Phi .

Фробениус для глобальных полей

В теории алгебраических чисел элементы Фробениуса определяются для расширений $L / K$ глобальных полей , которые являются конечными расширениями Галуа для простых идеалов $Φ$ поля $L$ , неразветвленных в $L / K$ . Поскольку расширение неразветвлено, группа разложения $Φ$ является группой Галуа расширения полей вычетов. Тогда элемент Фробениуса можно определить для элементов кольца целых чисел $L$ , как и в локальном случае, следующим образом:

s_{\Phi }(x)\equiv x^{q}\mod \Phi ,

где $q$ — порядок поля вычетов $O K /(Φ \cap O K)$ .

Лифты Фробениуса соответствуют p-выводам .

Примеры

Полином

х 5 - х - 1

имеет дискриминант

19\times151

и поэтому неразветвлен в простом числе 3; оно также неприводимо $по модулю 3. Следовательно$ $,$ присоединение его корня $ρ$ к полю $3$ - адических чисел $Q3$ дает неразветвленное расширение $Q3 (ρ)$ поля $Q3 .$ Мы можем найти образ $ρ$ при отображении Фробениуса, найдя ближайший к ρ3 корень $,$ $что$ можно сделать методом Ньютона . Таким образом получим элемент кольца целых $Z 3 [ρ]$ ; это многочлен четвертой степени от $ρ$ с коэффициентами в $3$ -адических целых числах $Z 3$ . По модулю $38$ этот многочлен равен

\rho ^{3}+3(460+183\rho -354\rho ^{2}-979\rho ^{3}-575\rho ^{4})

Это алгебраично над $Q$ и является правильным глобальным образом Фробениуса с точки зрения вложения $Q$ в $Q 3$ ; при этом коэффициенты алгебраические и результат можно выразить алгебраически. Однако они имеют степень 120, порядок группы Галуа, что иллюстрирует тот факт, что явные вычисления гораздо легче выполнить, если будет достаточно $p$ -адических результатов.

Если $L/K$ является абелевым расширением глобальных полей, мы получаем гораздо более сильное сравнение, поскольку оно зависит только от простого числа φ $в$ базовом поле $K.$ В качестве примера рассмотрим расширение $Q (β)$ языка $Q$ , полученное присоединением корня $β,$ удовлетворяющего

\beta ^{5}+\beta ^{4}-4\beta ^{3}-3\beta ^{2}+3\beta +1=0

к $К.$ Это расширение циклическое пятого порядка с корнями

2\cos {\tfrac {2\pi n}{11}}

для целого числа $n$ . Его корни представляют собой полиномы Чебышева от $β$ :

β 2 - 2, β 3 - 3 β, β 5 - 5 β 3 + 5 β

дайте результат отображения Фробениуса для простых чисел 2, 3 и 5 и т. д. для больших простых чисел, не равных 11 или имеющих форму $22 n + 1$ (которые расщепляются). Сразу видно, как отображение Фробениуса дает результат, равный по модулю $p$ $p$ -й степени корня $β$ .