Высоко составное число

Положительное целое число, у которого делителей больше, чем у любого меньшего положительного целого числа.

Демонстрация с палочками Кюизенера первых четырех: 1, 2, 4, 6.

Составное число — это целое положительное число , у которого делителей больше , чем у любого меньшего положительного целого числа. Связанное с этим понятие — это в значительной степени составное число , положительное целое число, которое имеет по крайней мере столько же делителей, сколько любое меньшее положительное целое число. Название может вводить в заблуждение, поскольку первые два весьма составных числа (1 и 2) на самом деле не являются составными числами ; однако все дальнейшие условия таковы.

Рамануджан написал статью о сложных числах в 1915 году. ^[1]

Математик Жан-Пьер Кахан предположил, что Платон, должно быть, знал о сложных числах, поскольку он сознательно выбрал такое число, 5040 (=  7! ), как идеальное число жителей города. ^[2]

Примеры

Начальные или наименьшие 41 весьма составное число перечислены в таблице ниже (последовательность A002182 в OEIS ). Количество делителей указано в столбце d ( n ). Звездочки обозначают превосходные высококомплексные числа .

Делители первых 19 сложных чисел показаны ниже.

В таблице ниже показаны все 72 делителя числа 10080, записанные в виде произведения двух чисел 36 различными способами.

15-тысячное сложное число можно найти на сайте Ахима Фламменкампа. Это произведение 230 простых чисел:

${\displaystyle a_{0}^{14}a_{1}^{9}a_{2}^{6}a_{3}^{4}a_{4}^{4}a_{5}^{3}a_{6}^{3}a_{7}^{3}a_{8}^{2}a_{9}^{2}a_{10}^{2}a_{11}^{2}a_{12}^{2}a_{13}^{2}a_{14}^{2}a_{15}^{2}a_{16}^{2}a_{17}^{2}a_{18}^{2}a_{19}a_{20}a_{21}\cdots a_{229},}$

где – е последовательное простое число, а все пропущенные члены ( от ₂₂ до 228 ) являются множителями с показателем степени _, равным единице (т.е. число равно ). Короче говоря, это продукт семи различных первоначальных элементов: ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{14}\times 3^{9}\times 5^{6}\times \cdots \times 1451}$

${\displaystyle b_{0}^{5}b_{1}^{3}b_{2}^{2}b_{4}b_{7}b_{18}b_{229},}$

где первобытное . _ ^[3] ${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle a_{0}a_{1}\cdots a_{n}}$

График количества делителей целых чисел от 1 до 1000. Сложные числа выделены жирным шрифтом, а высшие составные числа отмечены звездочкой. В файле SVG наведите указатель мыши на полосу, чтобы просмотреть ее статистику.

простые множители

Грубо говоря, чтобы число было составным, оно должно иметь как можно меньшие простые делители , но не слишком много одинаковых. По фундаментальной теореме арифметики каждое положительное целое число n имеет уникальную простую факторизацию:

${\displaystyle n=p_{1}^{c_{1}}\times p_{2}^{c_{2}}\times \cdots \times p_{k}^{c_{k}}\qquad (1)}$

где – простые числа, а показатели степени – целые положительные числа. ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\cdots <p_{k}}$ ${\displaystyle c_{i}}$

Любой фактор числа n должен иметь одинаковую или меньшую кратность в каждом простом числе:

${\displaystyle p_{1}^{d_{1}}\times p_{2}^{d_{2}}\times \cdots \times p_{k}^{d_{k}},0\leq d_{i}\leq c_{i},0<i\leq k}$

Таким образом, число делителей числа n равно:

${\displaystyle d(n)=(c_{1}+1)\times (c_{2}+1)\times \cdots \times (c_{k}+1).\qquad (2)}$

Следовательно , для весьма составного числа n

• k заданных простых чисел p _i должны быть в точности первыми k простыми числами (2, 3, 5, ...) ; в противном случае мы могли бы заменить одно из данных простых чисел меньшим простым и, таким образом, получить число меньшее, чем n , с тем же количеством делителей (например, 10 = 2 × 5 можно заменить на 6 = 2 × 3; оба имеют четыре делителя);
• последовательность показателей должна быть невозрастающей, т.е. в противном случае, поменяв два показателя степени, мы снова получили бы число меньшее, чем n , с тем же количеством делителей (например, 18 = 2 ¹  × 3 ² можно заменить на 12 = 2 ²  × 3 ¹ ; оба имеют шесть делителей). ${\displaystyle c_{1}\geq c_{2}\geq \cdots \geq c_{k}}$

Кроме того, за исключением двух особых случаев n  = 4 и n  = 36, последний показатель степени c _k должен равняться 1. Это означает, что 1, 4 и 36 — единственные квадратные весьма составные числа. Сказать, что последовательность показателей не возрастает, равносильно утверждению, что весьма составное число является произведением простых чисел или, альтернативно, наименьшим числом для его простого сигнатуры .

Заметим, что хотя описанные выше условия и необходимы, их недостаточно для того, чтобы число было высоко составным. Например, 96 = 2 ⁵ × 3 удовлетворяет вышеуказанным условиям и имеет 12 делителей, но не является составным, поскольку существует меньшее число 60, имеющее такое же количество делителей.

Асимптотический рост и плотность

Если Q ( x ) обозначает количество сложных чисел, меньших или равных x , то существуют две константы a и b , обе больше 1, такие, что

${\displaystyle (\log x)^{a}\leq Q(x)\leq (\log x)^{b}\,.}$

Первая часть неравенства была доказана Полем Эрдёшем в 1944 году, а вторая часть — Жаном-Луи Николя в 1988 году. Имеем ^[4]

${\displaystyle 1.13862<\liminf {\frac {\log Q(x)}{\log \log x}}\leq 1.44\ }$

и

${\displaystyle \limsup {\frac {\log Q(x)}{\log \log x}}\leq 1.71\ .}$

Связанные последовательности

Диаграмма Эйлера чисел до 100:

   Обильный

   Примитивное изобилие

   Очень обильный

   Сверхобильные и очень сложные

   Колоссально обильный и превосходный высококомпозитный

   Странный

   Идеальный

   Композитный

   Дефицит

Сложные числа выше 6 также являются избыточными числами . Чтобы убедиться в этом, достаточно взглянуть на три крупнейших собственных делителя конкретного весьма составного числа. Неверно, что все сложные числа также являются числами Харшада по основанию 10. Первое HCN, не являющееся числом Харшада, равно 245 044 800, сумма цифр которого равна 27, но 27 не делится на 245 044 800 поровну.

10 из первых 38 сложных чисел являются превосходными сложными числами . Последовательность весьма составных чисел (последовательность A002182 в OEIS ) является подмножеством последовательности наименьших чисел k ровно с n делителями (последовательность A005179 в OEIS ).

Высокосоставные числа, число делителей которых также является высокосоставным числом, относятся к n = 1, 2, 6, 12, 60, 360, 1260, 2520, 5040, 55440, 277200, 720720, 3603600, 61261200, 2205403200, 293318625. 600, 6746328388800 , 195643523275200 (последовательность A189394 в OEIS ). Весьма вероятно, что эта последовательность является полной.

Положительное целое число n является в значительной степени составным числом , если d ( n ) ≥ d ( m ) для всех m ≤ n . Считающая функция Q _L ( x ) в значительной степени составных чисел удовлетворяет

${\displaystyle (\log x)^{c}\leq \log Q_{L}(x)\leq (\log x)^{d}\ }$

для положительных c , d с . ^{[5] [6]} ${\displaystyle 0.2\leq c\leq d\leq 0.5}$

Поскольку при факторизации простого составного числа используются все первые k простых чисел, каждое составное число должно быть практичным числом . ^[7] Из-за простоты использования в вычислениях с дробями многие из этих чисел используются в традиционных системах измерения и инженерных проектах.

Смотрите также

• Превосходное высокосложное число
• Очень внимательный номер
• Таблица делителей
• Функция Эйлера
• Круглое число
• Гладкий номер

Примечания

1. Рамануджан, С. (1915). «Сильно составные числа» (PDF) . Учеб. Лондонская математика. Соц . Серия 2. 14 : 347–409. дои : 10.1112/plms/s2_14.1.347. ЖФМ  45.1248.01.
2. Кахане, Жан-Пьер (февраль 2015 г.), «Извилины Бернулли и самоподобные меры после Эрдёша: личная закуска», Уведомления Американского математического общества , 62 (2): 136–140. Кахане цитирует Законы Платона , 771c.
3. Фламменкамп, Ахим, Высокосложные числа..
4. Шандор и др. (2006) с. 45
5. Шандор и др. (2006) с. 46
6. Николя, Жан-Луи (1979). «Перераспределение больших композиций». Акта Арит. (На французском). 34 (4): 379–390. дои : 10.4064/aa-34-4-379-390 . Збл  0368.10032.
7. Шринивасан, АК (1948), «Практические цифры» (PDF) , Current Science , 17 : 179–180, MR  0027799.

Рекомендации

• Шандор, Йожеф; Митринович, Драгослав С.; Крстичи, Борислав, ред. (2006). Справочник по теории чисел I. Дордрехт: Springer-Verlag . стр. 45–46. ISBN 1-4020-4215-9. Збл  1151.11300.
• Эрдеш, П. (1944). «О весьма составных числах» (PDF) . Журнал Лондонского математического общества . Вторая серия. 19 (75_Часть_3): 130–133. дои : 10.1112/jlms/19.75_part_3.130. МР  0013381.
• Алаоглу, Л. ; Эрдеш, П. (1944). «О весьма составных и подобных числах» (PDF) . Труды Американского математического общества . 56 (3): 448–469. дои : 10.2307/1990319. JSTOR  1990319. MR  0011087.
• Рамануджан, Шриниваса (1997). «Сильно составные числа» (PDF) . Журнал Рамануджана . 1 (2): 119–153. дои : 10.1023/А: 1009764017495. MR  1606180. S2CID  115619659.С аннотациями и предисловием Жана-Луи Николя и Гая Робина.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Высокосложное число». Математический мир .
• Алгоритм вычисления высокосоставных чисел
• Первые 10 000 высокосложных чисел как факторы
• Ахим Фламменкамп, первый 779674 HCN с сигмой, тау, факторами
• Онлайн-калькулятор сложных чисел

• 5040 и другие антипростые числа - доктор Джеймс Грайм, доктор Джеймс Грайм для Numberphile