Свободное падение

Движение тела, подчиняющееся только силе тяжести

В ньютоновской физике свободное падение — это любое движение тела , при котором единственной силой , действующей на него, является гравитация . В контексте общей теории относительности , где гравитация сводится к искривлению пространства-времени , на тело в свободном падении не действует никакая сила.

Объект в техническом смысле термина «свободное падение» не обязательно может быть падением в обычном понимании этого термина. Объект, движущийся вверх, обычно не считается падающим, но если на него действует только сила тяжести, говорят, что он находится в свободном падении. Таким образом , Луна находится в свободном падении вокруг Земли , хотя ее орбитальная скорость удерживает ее на очень далекой орбите от поверхности Земли .

В примерно однородном гравитационном поле сила тяжести действует на каждую часть тела примерно одинаково. Когда нет других сил, таких как нормальная сила , действующая между телом (например, астронавтом на орбите) и окружающими его объектами, это приводит к ощущению невесомости , состоянию, которое также возникает, когда гравитационное поле слабое (например, как будто вдали от любого источника гравитации).

Термин «свободное падение» часто используется более широко, чем в строгом смысле, определенном выше. Таким образом, падение в атмосфере без раскрытого парашюта или подъемного устройства также часто называют свободным падением . Аэродинамические силы сопротивления в таких ситуациях не позволяют им создать полную невесомость, и, таким образом, «свободное падение» парашютиста после достижения предельной скорости создает ощущение веса тела, поддерживаемого на воздушной подушке .

История

В западном мире до XVI века обычно предполагалось, что скорость падающего тела будет пропорциональна его весу — то есть ожидалось, что объект массой 10 кг упадет в десять раз быстрее, чем идентичный в остальном объект массой 1 кг. та же среда. Древнегреческий философ Аристотель (384–322 до н. э.) обсуждал падающие предметы в «Физике» (Книга VII), одной из старейших книг по механике (см. Аристотелевскую физику ). Хотя в VI веке Иоанн Филопон оспорил этот аргумент и сказал, что, по наблюдениям, два шара очень разного веса будут падать почти с одинаковой скоростью. ^[1]

В Ираке XII века Абу'л-Баракат аль-Багдади дал объяснение гравитационному ускорению падающих тел. По словам Шломо Пайнса , теория движения аль-Багдади была «старейшим отрицанием фундаментального динамического закона Аристотеля [а именно, что постоянная сила производит равномерное движение] [и, таким образом, является] смутным предвосхищением фундаментального закона движения». классическая механика [а именно, что сила, приложенная непрерывно, вызывает ускорение]». ^[2]

Галилео Галилей

Согласно легенде, которая может быть апокрифической, в 1589–1592 годах Галилей сбросил с Пизанской башни два объекта неравной массы . Учитывая скорость, с которой могло произойти такое падение, сомнительно, что Галилей смог бы извлечь много информации из этого эксперимента. Большинство его наблюдений за падающими телами на самом деле касались тел, катящихся по пандусам. Это настолько замедлило процесс, что он смог измерять временные интервалы с помощью водяных часов и собственного пульса (секундомеры еще не были изобретены). Он повторил это «целую сотню раз», пока не достиг «такой точности, при которой отклонение между двумя наблюдениями никогда не превышало одной десятой доли пульса». В 1589–1592 годах Галилей написал «De Motu Antiquiora» , неопубликованную рукопись о движении падающих тел. ^{[ нужна цитата ]}

Примеры

Примеры объектов, находящихся в свободном падении, включают:

• Космический корабль ( в космосе) с выключенной двигательной установкой (например, на непрерывной орбите или на суборбитальной траектории ( баллистика ) с подъемом на несколько минут, а затем вниз).
• Предмет упал на верх капельной трубки .
• Предмет, брошенный вверх, или человек, прыгающий с земли на низкой скорости (т.е. пока сопротивление воздуха незначительно по сравнению с весом).

Технически объект находится в свободном падении, даже когда движется вверх или мгновенно находится в состоянии покоя в верхней части своего движения. Если гравитация является единственным действующим фактором, то ускорение ^[3] всегда направлено вниз и имеет одинаковую величину для всех тел, обычно обозначаемую . ${\displaystyle g}$

Поскольку в отсутствие других сил все объекты падают с одинаковой скоростью, в этих ситуациях объекты и люди будут испытывать невесомость .

Примеры объектов, не находящихся в свободном падении:

• Полет на самолете: есть еще и дополнительная подъемная сила .
• Стоя на земле: силе гравитации противодействует нормальная сила земли.
• Спуск на Землю с помощью парашюта, который уравновешивает силу гравитации аэродинамической силой сопротивления (а у некоторых парашютов - дополнительной подъемной силой).

Пример падающего парашютиста, который еще не раскрыл парашют, не считается свободным падением с точки зрения физики, поскольку он испытывает силу сопротивления , равную его весу, как только он достигает предельной скорости (см. Ниже).

Измерено время падения небольшой стальной сферы, падающей с разной высоты. Данные хорошо согласуются с предсказанным временем падения , где h — высота, а g — ускорение свободного падения под действием силы тяжести. ${\displaystyle {\sqrt {2h/g}}}$

У поверхности Земли объект, находящийся в свободном падении в вакууме, будет ускоряться примерно со скоростью 9,8 м/с ² , независимо от его массы . Из-за сопротивления воздуха, действующего на упавший объект, объект в конечном итоге достигнет предельной скорости, которая для парашютиста-человека составляет около 53 м/с (190 км/ч или 118 миль в час ^[4] ). Конечная скорость зависит от многих факторов, включая массу, коэффициент сопротивления и относительную площадь поверхности, и будет достигнута только в том случае, если падение произойдет с достаточной высоты. Типичный парашютист в положении распростертого орла достигнет предельной скорости примерно через 12 секунд, за это время он упадет с высоты около 450 м (1500 футов). ^[4]

Свободное падение было продемонстрировано на Луне астронавтом Дэвидом Скоттом 2 августа 1971 года. Он одновременно выпустил молот и перо с одной и той же высоты над поверхностью Луны. Молот и перо упали с одинаковой скоростью и одновременно ударились о поверхность. Это продемонстрировало открытие Галилея о том, что при отсутствии сопротивления воздуха все объекты испытывают одинаковое ускорение под действием силы тяжести. Однако на Луне ускорение свободного падения составляет примерно 1,63 м/с ² , или всего лишь _около 1/6 ^{земного}  .

Свободное падение в механике Ньютона.

Равномерное гравитационное поле без сопротивления воздуха.

Это «учебный» случай вертикального движения объекта, падающего на небольшое расстояние близко к поверхности планеты. Это хорошее приближение в воздухе, если сила гравитации, действующая на объект, намного превышает силу сопротивления воздуха, или, что то же самое, скорость объекта всегда намного меньше конечной скорости (см. Ниже).

Свободное падение

${\displaystyle v(t)=v_{0}-gt\,}$

${\displaystyle y(t)=v_{0}t+y_{0}-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

где

${\displaystyle v_{0}\,}$— начальная скорость (м/с).

${\displaystyle v(t)\,}$— вертикальная скорость по времени (м/с).

${\displaystyle y_{0}\,}$— начальная высота (м).

${\displaystyle y(t)\,}$— высота относительно времени (м).

${\displaystyle t\,}$истекло время (с).

${\displaystyle g\,}$– ускорение свободного падения (9,81 м/с ² у поверхности земли).

Если начальная скорость равна нулю, то расстояние, пройденное от начального положения, будет расти как квадрат прошедшего времени. Более того, поскольку сумма нечетных чисел дает идеальные квадраты , расстояние, пройденное в последовательные интервалы времени, увеличивается пропорционально нечетным числам. Такое описание поведения падающих тел дал Галилей. ^[5]

Однородное гравитационное поле с сопротивлением воздуха.

Ускорение небольшого метеороида при вхождении в атмосферу Земли с разными начальными скоростями

Этот случай, который применим к парашютистам, парашютистам или любому телу массы , и площади поперечного сечения , с числом Рейнольдса , значительно превышающим критическое число Рейнольдса, так что сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости падения, , имеет уравнение движения ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=mg-{\frac {1}{2}}\rho C_{\mathrm {D} }Av^{2}\,,}$

где плотность воздуха и коэффициент аэродинамического сопротивления , который предполагается постоянным, хотя в общем случае он будет зависеть от числа Рейнольдса. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle C_{\mathrm {D} }}$

Предполагая, что объект падает из состояния покоя и плотность воздуха не меняется с высотой, решение будет следующим:

${\displaystyle v(t)=v_{\infty }\tanh \left({\frac {gt}{v_{\infty }}}\right),}$

где конечная скорость определяется выражением

${\displaystyle v_{\infty }={\sqrt {\frac {2mg}{\rho C_{D}A}}}\,.}$

Зависимость скорости объекта от времени можно интегрировать по времени, чтобы найти вертикальное положение как функцию времени:

${\displaystyle y=y_{0}-{\frac {v_{\infty }^{2}}{g}}\ln \cosh \left({\frac {gt}{v_{\infty }}}\right).}$

Используя цифру 56 м/с для конечной скорости человека, можно найти, что через 10 секунд он упадет на 348 метров и достигнет 94% конечной скорости, а через 12 секунд он упадет на 455 метров и достигнет 97% конечной скорости. Однако, когда плотность воздуха нельзя считать постоянной, например, для объектов, падающих с большой высоты, уравнение движения становится гораздо сложнее решить аналитически, и обычно требуется численное моделирование движения. На рисунке показаны силы, действующие на метеороиды, падающие через верхние слои атмосферы Земли. Прыжки HALO , в том числе рекордные прыжки Джо Киттингера и Феликса Баумгартнера , также относятся к этой категории. ^[6]

Гравитационное поле по закону обратных квадратов

Можно сказать, что два объекта в космосе, вращающиеся вокруг друг друга, в отсутствие других сил находятся в свободном падении друг вокруг друга, например, что Луна или искусственный спутник «падает вокруг» Земли, или планета «падает вокруг» Солнца. . Предположение о сферических объектах означает, что уравнение движения подчиняется закону всемирного тяготения Ньютона , а решениями гравитационной задачи двух тел являются эллиптические орбиты, подчиняющиеся законам движения планет Кеплера . Эту связь между падающими вблизи Земли объектами и объектами, вращающимися по орбите, лучше всего иллюстрирует мысленный эксперимент « пушечное ядро ​​Ньютона» .

Движение двух объектов, движущихся радиально навстречу друг другу без углового момента , можно рассматривать как частный случай эллиптической орбиты с эксцентриситетом е = 1 ( радиальная эллиптическая траектория ). Это позволяет рассчитать время свободного падения двухточечных объектов на радиальной траектории. Решение этого уравнения движения дает время как функцию разделения:

${\displaystyle t(y)={\sqrt {\frac {{y_{0}}^{3}}{2\mu }}}\left({\sqrt {{\frac {y}{y_{0}}}\left(1-{\frac {y}{y_{0}}}\right)}}+\arccos {\sqrt {\frac {y}{y_{0}}}}\right),}$

где

${\displaystyle t}$это время после начала осени

${\displaystyle y}$расстояние между центрами тел

${\displaystyle y_{0}}$является начальным значением ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \mu =G(m_{1}+m_{2})}$— стандартный гравитационный параметр .

Подставив, получим время свободного падения . ${\displaystyle y=0}$

Разделение как функция времени определяется обратным уравнением. Обратное в точности представлено аналитическим степенным рядом:

${\displaystyle y(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{r\to 0}\left({\frac {x^{n}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} r^{\,n-1}}}\left[r^{n}\left({\frac {7}{2}}(\arcsin({\sqrt {r}})-{\sqrt {r-r^{2}}})\right)^{-{\frac {2}{3}}n}\right]\right)\right].}$

Оценка этого дает: ^{[7] [8]}

${\displaystyle y(t)=y_{0}\left(x-{\frac {1}{5}}x^{2}-{\frac {3}{175}}x^{3}-{\frac {23}{7875}}x^{4}-{\frac {1894}{3031875}}x^{5}-{\frac {3293}{21896875}}x^{6}-{\frac {2418092}{62077640625}}x^{7}-\cdots \right)\ ,}$

где

${\displaystyle x=\left[{\frac {3}{2}}\left({\frac {\pi }{2}}-t{\sqrt {\frac {2\mu }{{y_{0}}^{3}}}}\right)\right]^{2/3}.}$

Свободное падение в общей теории относительности

В общей теории относительности на объект, находящийся в свободном падении, не действуют никакие силы, и он представляет собой инерционное тело, движущееся по геодезической . Вдали от каких-либо источников искривления пространства-времени, где пространство-время плоское, ньютоновская теория свободного падения согласуется с общей теорией относительности. В противном случае эти двое не согласны; например, только общая теория относительности может объяснить прецессию орбит , распад орбит или спираль компактных двойных систем из-за гравитационных волн , а также относительность направления ( геодезическую прецессию и перетаскивание системы отсчета ).

Экспериментальное наблюдение о том, что все объекты в свободном падении ускоряются с одинаковой скоростью, как это было отмечено Галилеем и затем воплощено в теории Ньютона как равенство гравитационной и инертной масс, а позже подтверждено с высокой точностью современными формами эксперимента Этвеша , является основе принципа эквивалентности , на основе которого первоначально взлетела общая теория относительности Эйнштейна.

Смотрите также

• Уравнения падающего тела
• G-сила
• Высотный военный парашютный спорт
• Самолет с пониженной гравитацией
• Предельная скорость
• Невесомость

Рекомендации

1. Коэн, Моррис Р.; Драбкин И.Е., ред. (1958). Справочник по греческой науке . Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета. п. 220.
2. Пайнс, Шломо (1970). «Абул-Баракат аль-Багдади, Хибат Аллах». Словарь научной биографии . Том. 1. Нью-Йорк: Сыновья Чарльза Скрибнера. стр. 26–28. ISBN 0-684-10114-9.
   ( см. Абель Б. Франко (октябрь 2003 г.). «Avempace, Projectile Motion и Impetus Theory», Journal of the History of Ideas 64 (4), стр. 521-546 [528].)
3. "Лекции Фейнмана по физике, том I, глава 8: Движение" .
4. «График свободного падения» (PDF) . Публикации Грин-Харбора. 2010 . Проверено 14 марта 2016 г.
5. Оленик, Ричард П.; Апостол, Том М.; Гудштейн, Дэвид Л. (14 января 2008 г.). Механическая Вселенная: Введение в механику и тепло. Издательство Кембриджского университета. п. 18. ISBN 978-0-521-71592-8.
6. Анализ таких прыжков дан у Мохаззаби, П.; Ши, Дж. (1996). «Свободное падение с большой высоты» (PDF) . Американский журнал физики . 64 (10): 1242. Бибкод : 1996AmJPh..64.1242M. дои : 10.1119/1.18386.
7. Фунг, СК (2008). «От падения Луны к движениям по законам обратных квадратов». Европейский журнал физики . 29 (5): 987–1003. Бибкод : 2008EJPh...29..987F. дои : 10.1088/0143-0807/29/5/012 . S2CID  122494969.
8. Мунган, Карл Э. (2009). «Радиальное движение двух взаимно притягивающихся частиц» (PDF) . Учитель физики . 47 (8): 502–507. Бибкод : 2009PhTea..47..502M. дои : 10.1119/1.3246467.

Внешние ссылки

• Калькулятор формулы свободного падения
• Образовательный сайт The Way Things Fall