Параллелограмм

Четырехугольник с двумя парами параллельных сторон

В евклидовой геометрии параллелограмм — это простой ( несамопересекающийся ) четырёхугольник с двумя парами параллельных сторон. Противоположные или обращенные друг к другу стороны параллелограмма имеют одинаковую длину, а противолежащие углы параллелограмма имеют одинаковую меру. Равенство противоположных сторон и противолежащих углов является прямым следствием постулата параллельности Евклида , и ни одно из этих условий не может быть доказано без обращения к постулату параллельности Евклида или одной из его эквивалентных формулировок.

Для сравнения, четырехугольник, имеющий хотя бы одну пару параллельных сторон, в американском английском называется трапецией , а в британском — трапецией.

Трехмерным аналогом параллелограмма является параллелепипед .

Слово происходит от греческого παραλληλό-γραμμον, parallēló-grammon , что означает форму «параллельных линий».

Особые случаи

• Прямоугольник — параллелограмм с четырьмя углами одинаковой величины (прямыми углами).
• Ромб – параллелограмм с четырьмя сторонами одинаковой длины. Любой параллелограмм, который не является ни прямоугольником, ни ромбом, традиционно назывался ромбоидом, но этот термин не используется в современной математике. ^[1]
• Квадрат — параллелограмм с четырьмя сторонами одинаковой длины и углами одинаковой величины (прямыми углами).

Характеристика

Простой (несамопересекающийся) четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда верно хотя бы одно из следующих утверждений: ^{[2] [3} ]

• Две пары противоположных сторон параллельны (по определению).
• Две пары противоположных сторон имеют одинаковую длину.
• Две пары противоположных углов равны по величине.
• Диагонали делят друг друга пополам.
• Одна пара противоположных сторон параллельна и имеет одинаковую длину.
• Смежные углы являются дополнительными .
• Каждая диагональ делит четырёхугольник на два равных треугольника .
• Сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей. (Это закон параллелограмма .)
• Имеет вращательную симметрию 2-го порядка.
• Сумма расстояний от любой внутренней точки до сторон не зависит от местоположения точки. ^[4] (Это расширение теоремы Вивиани .)
• В плоскости четырехугольника есть точка X, обладающая тем свойством, что каждая прямая, проходящая через точку X, делит четырехугольник на две области равной площади. ^[5]

Таким образом, все параллелограммы обладают всеми перечисленными выше свойствами, и наоборот , если хотя бы одно из этих утверждений верно для простого четырехугольника, то он считается параллелограммом.

Другие свойства

• Противоположные стороны параллелограмма параллельны (по определению) и поэтому никогда не пересекутся.
• Площадь параллелограмма в два раза больше площади треугольника, образованного одной из его диагоналей.
• Площадь параллелограмма также равна величине векторного произведения двух смежных сторон.
• Любая линия, проходящая через середину параллелограмма, делит его площадь пополам. ^[6]
• Любое невырожденное аффинное преобразование переводит параллелограмм в другой параллелограмм.
• Параллелограмм имеет вращательную симметрию порядка 2 (через 180°) (или порядка 4, если это квадрат). Если он также имеет ровно две линии отражательной симметрии , то он должен быть ромбом или овалом (неквадратным прямоугольником). Если он имеет четыре линии отражательной симметрии, то это квадрат .
• Периметр параллелограмма равен 2( a + b ), где a и b — длины смежных сторон.
• В отличие от любого другого выпуклого многоугольника, параллелограмм не может быть вписан ни в какой треугольник, площадь которого меньше его удвоенной площади. ^[7]
• Центры четырех квадратов, построенных либо внутри, либо снаружи сторон параллелограмма, являются вершинами квадрата. ^[8]
• Если две линии, параллельные сторонам параллелограмма, провести по диагонали, то параллелограммы, образованные по разные стороны от этой диагонали, будут иметь одинаковую площадь. ^[8]
• Диагонали параллелограмма делят его на четыре треугольника равной площади.

Формула площади

Параллелограмм можно перестроить в прямоугольник с той же площадью.

Анимация для формулы площади . ${\displaystyle K=bh}$

Все формулы площади для выпуклых четырехугольников общего вида применимы к параллелограммам. Дальнейшие формулы специфичны для параллелограммов:

Параллелограмм с основанием b и высотой h можно разделить на трапецию и прямоугольный треугольник , и перестроить в прямоугольник , как показано на рисунке слева. Это означает, что площадь параллелограмма такая же, как и у прямоугольника с тем же основанием и высотой:

${\displaystyle K=bh.}$

Площадь параллелограмма равна площади синей области, которая является внутренней частью параллелограмма.

Формулу площади основания × высоты можно также вывести с помощью рисунка справа. Площадь K параллелограмма справа (синяя область) равна общей площади прямоугольника за вычетом площади двух оранжевых треугольников. Площадь прямоугольника равна

${\displaystyle K_{\text{rect}}=(B+A)\times H\,}$

а площадь одного треугольника равна

${\displaystyle K_{\text{tri}}={\frac {A}{2}}\times H.\,}$

Следовательно, площадь параллелограмма равна

${\displaystyle K=K_{\text{rect}}-2\times K_{\text{tri}}=((B+A)\times H)-(A\times H)=B\times H.}$

Другая формула площади для двух сторон B и C и угла θ выглядит так:

${\displaystyle K=B\cdot C\cdot \sin \theta .\,}$

При условии, что параллелограмм не является ромбом, площадь можно выразить через стороны B и C и угол при пересечении диагоналей: ^[9] ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle K={\frac {|\tan \gamma |}{2}}\cdot \left|B^{2}-C^{2}\right|.}$

Когда параллелограмм задан длинами B и C двух смежных сторон вместе с длиной D ₁ каждой диагонали, то площадь может быть найдена по формуле Герона . В частности, это

${\displaystyle K=2{\sqrt {S(S-B)(S-C)(S-D_{1})}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {(B+C+D_{1})(-B+C+D_{1})(B-C+D_{1})(B+C-D_{1})}},}$

где и старший множитель 2 возникает из-за того, что выбранная диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. ${\displaystyle S=(B+C+D_{1})/2}$

Из координат вершины

Пусть векторы и обозначают матрицу с элементами a и b . Тогда площадь параллелограмма, образованного a и b, равна . ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times 2}}$ ${\displaystyle |\det(V)|=|a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}|\,}$

Пусть векторы и пусть . Тогда площадь параллелограмма, образованного векторами a и b, равна . ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\\b_{1}&b_{2}&\dots &b_{n}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times n}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\det(VV^{\mathrm {T} })}}}$

Пусть точек . Тогда площадь параллелограмма со знаком и вершинами в точках a , b и c эквивалентна определителю матрицы, построенной с использованием строк a , b и c, при этом последний столбец дополнен единицами следующим образом: ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle K=\left|{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&1\\b_{1}&b_{2}&1\\c_{1}&c_{2}&1\end{matrix}}\right|.}$

Доказательство того, что диагонали делят друг друга пополам

Параллелограмм ABCD

Чтобы доказать, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, воспользуемся равными треугольниками :

${\displaystyle \angle ABE\cong \angle CDE}$ (внутренние накрест лежащие углы равны по величине)

${\displaystyle \angle BAE\cong \angle DCE}$ (внутренние накрест лежащие углы равны по величине) .

(так как это углы, которые образует секущая с параллельными прямыми AB и DC ).

Кроме того, сторона AB равна по длине стороне DC , поскольку противоположные стороны параллелограмма имеют одинаковую длину.

Следовательно, треугольники ABE и CDE равны (постулат ASA, два соответствующих угла и сторона, заключенная между ними ).

Поэтому,

${\displaystyle AE=CE}$

${\displaystyle BE=DE.}$

Так как диагонали AC и BD делят друг друга на отрезки равной длины, то диагонали делят друг друга пополам.

По отдельности, поскольку диагонали AC и BD пересекаются в точке E , точка E является серединой каждой диагонали.

Решетка параллелограммов

Параллелограммы могут замостить плоскость путем переноса. Если ребра равны или углы прямые, симметрия решетки выше. Они представляют четыре решетки Браве в 2 измерениях .

Параллелограммы, возникающие из других фигур

Автомедианный треугольник

Автомедианный треугольник — это треугольник, медианы которого находятся в тех же пропорциях, что и его стороны (хотя и в другом порядке). Если ABC — автомедианный треугольник, в котором вершина A находится напротив стороны a , G — центроид (где пересекаются три медианы ABC ), а AL — одна из продолженных медиан ABC, причем L лежит на описанной окружности ABC , то BGCL — параллелограмм.

Параллелограмм Вариньона

Доказательство теоремы Вариньона без слов

Теорема Вариньона утверждает, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма, называемого его параллелограммом Вариньона . Если четырехугольник выпуклый или вогнутый (то есть не самопересекающийся), то площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади четырехугольника.

Доказательство без слов (см. рисунок):

1. Произвольный четырехугольник и его диагонали.
2. Основания подобных треугольников параллельны синей диагонали.
3. То же самое касается красной диагонали.
4. _{Пары оснований образуют параллелограмм с площадью ,} равной половине четырехугольника, Aq , так как сумма площадей четырех больших треугольников, Al _, равна 2Aq (каждая из двух пар восстанавливает четырехугольник), в то время как площадь малых треугольников, _As , _равна четверти Al (половина линейных _{размеров дает площадь четверти ), а} площадь параллелограмма равна Aq минус As .

Касательный параллелограмм эллипса

Для эллипса два диаметра называются сопряженными тогда и только тогда, когда касательная к эллипсу в конечной точке одного диаметра параллельна другому диаметру. Каждая пара сопряженных диаметров эллипса имеет соответствующий касательный параллелограмм , иногда называемый ограничивающим параллелограммом, образованный касательными к эллипсу в четырех конечных точках сопряженных диаметров. Все касательные параллелограммы для данного эллипса имеют одинаковую площадь.

Эллипс можно восстановить из любой пары сопряженных диаметров или из любого касательного параллелограмма.

Грани параллелепипеда

Параллелепипед — трёхмерная фигура, шесть граней которой являются параллелограммами .

Смотрите также

• Антипараллелограмм
• Параллелограммоид Леви-Чивиты

Ссылки

1. "CIMT - Страница больше не доступна на серверах Плимутского университета" (PDF) . www.cimt.plymouth.ac.uk . Архивировано из оригинала (PDF) 2014-05-14.
2. Оуэн Байер, Феликс Лазебник и Дейрдре Смельцер , Методы евклидовой геометрии , Математическая ассоциация Америки, 2010, стр. 51-52.
3. Залман Усискин и Дженнифер Гриффин, «Классификация четырехугольников. Исследование определения», Information Age Publishing, 2008, стр. 22.
4. Чен, Чжибо и Лян, Тянь. «Обратная теорема Вивиани», The College Mathematics Journal 37 (5), 2006, стр. 390–391.
5. Задача 5, Британская математическая олимпиада 2006 года , [1].
6. Данн, JA и Дж. Э. Претти, «Деление треугольника пополам», Mathematical Gazette 56, май 1972 г., стр. 105.
7. Вайсштейн, Эрик В. «Описание треугольника». Wolfram Math World .
8. Weisstein, Eric W. "Параллелограмм". Из MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Parallelogram.html
9. Митчелл, Дуглас В., «Площадь четырехугольника», Mathematical Gazette , июль 2009 г.

Внешние ссылки

• Параллелограмм и ромб - Анимированный курс (Построение, Окружность, Площадь)
• Вайсштейн, Эрик В. «Параллелограмм». MathWorld .
• Интерактивный параллелограмм — стороны, углы и наклон
• Площадь параллелограмма в точке разрезания узла
• Равносторонние треугольники на сторонах параллелограмма в cut-the-knot
• Определение и свойства параллелограмма с анимированным апплетом
• Интерактивный апплет, показывающий вычисление площади параллелограмма интерактивный апплет