Параллельная транспортировка

Построить в дифференциальной геометрии

Параллельная транспортировка вектора по замкнутому контуру (от A к N к B и обратно к A) на сфере. Угол, на который он поворачивается , пропорционален площади внутри контура. ${\displaystyle \alpha }$

В геометрии параллельная транспортировка (или параллельная трансляция [ ^a] ) — это способ транспортировки геометрических данных по гладким кривым в многообразии . Если многообразие снабжено аффинной связностью ( ковариантной производной или связностью на касательном расслоении ), то эта связность позволяет переносить векторы многообразия по кривым так, чтобы они оставались параллельными относительно связности.

Таким образом, параллельный перенос соединения обеспечивает способ в некотором смысле перемещения локальной геометрии многообразия по кривой: то есть соединения геометрий соседних точек. Может существовать множество понятий параллельного транспорта, но определение одного из них — одного способа соединения геометрических точек на кривой — равносильно обеспечению соединения . Фактически, обычное понятие соединения — это бесконечно малый аналог параллельного транспорта. Или, наоборот , параллельный транспорт — это локальная реализация соединения.

Поскольку параллельная транспортировка обеспечивает локальную реализацию соединения, она также обеспечивает локальную реализацию кривизны, известную как голономия . Теорема Амброуза -Зингера ясно показывает эту связь между кривизной и голономией.

Другие понятия связи также оснащены собственными параллельными транспортными системами. Например, связность Кошуля в векторном расслоении также допускает параллельную транспортировку векторов почти так же, как и в случае ковариантной производной. Связность Эресмана или Картана обеспечивает подъем кривых из многообразия в полное пространство главного расслоения . Такой подъем кривой иногда можно рассматривать как параллельную транспортировку систем отсчета .

Параллельный транспорт на векторном расслоении

Пусть M — гладкое многообразие. Пусть E  →  M — векторное расслоение со связностью ∇ и γ : I  →  M — гладкая кривая , параметризованная открытым интервалом I. Участок вдоль γ называется параллельным , если _ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X=0{\text{ for }}t\in I.\,}$

Например, если это касательное расслоение многообразия, в котором есть касательное векторное поле, это выражение означает, что для каждого в интервале касательные векторы в являются «постоянными» (производная обращается в нуль), когда бесконечно малое смещение от в направлении касательный вектор готов. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \gamma (t)}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$

Предположим, нам дан элемент e ₀ ∈ E _P в точке P = γ (0) ∈ M , а не сечение. Параллельный перенос e0 вдоль γ _— это продолжение e0 до параллельного _{участка} X на γ . Точнее, X — единственная часть E вдоль γ такая, что

1. ${\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}X=0}$
2. ${\displaystyle X_{\gamma (0)}=e_{0}.}$

Обратите внимание, что в любом заданном участке координат (1) определяет обыкновенное дифференциальное уравнение с начальным условием , заданным (2). Таким образом, теорема Пикара–Линделефа гарантирует существование и единственность решения.

Таким образом, связность ∇ определяет способ перемещения элементов слоев по кривой, что обеспечивает линейный изоморфизм между слоями в точках вдоль кривой:

${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}:E_{\gamma (s)}\rightarrow E_{\gamma (t)}}$

из векторного пространства, лежащего над γ( s ), в пространство над γ( t ). Этот изоморфизм известен как параллельное транспортное отображение, связанное с кривой. Изоморфизмы между слоями, полученные таким способом, будут, вообще говоря, зависеть от выбора кривой: если это не так, то параллельный транспорт вдоль каждой кривой можно использовать для определения параллельных участков E по всему M . Это возможно только в том случае, если кривизна ∇ равна нулю.

В частности, параллельный транспорт вокруг замкнутой кривой, начинающийся в точке x , определяет автоморфизм касательного пространства в точке x , который не обязательно является тривиальным. Параллельные транспортные автоморфизмы, определенные всеми замкнутыми кривыми, базирующимися в точке x , образуют группу преобразований , называемую группой голономии ∇ в точке x . Существует тесная связь между этой группой и значением кривизны ∇ в точке x ; это содержание теоремы о голономии Амброуза-Зингера .

Восстановление соединения с параллельного транспорта

Учитывая ковариантную производную ∇, параллельный транспорт вдоль кривой γ получается интегрированием условия . И наоборот, если имеется подходящее понятие параллельного транспорта, то соответствующую связь можно получить путем дифференцирования. Этот подход принадлежит, по существу, Кнебельману (1951); см. Гуггенхаймер (1977). Лумисте (2001) также придерживается этого подхода. ${\displaystyle \scriptstyle {\nabla _{\dot {\gamma }}=0}}$

Рассмотрим присвоение каждой кривой γ в многообразии набора отображений

${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}:E_{\gamma (s)}\rightarrow E_{\gamma (t)}}$

такой, что

1. ${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{s}=Id}$, тождественное преобразование E _γ(s) .
2. ${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{u}^{t}\circ \Gamma (\gamma )_{s}^{u}=\Gamma (\gamma )_{s}^{t}.}$
3. Зависимость Γ от γ, s и t «гладкая».

Понятие гладкости в условии 3 довольно сложно сформулировать (см. обсуждение параллельного транспорта в пучках волокон ниже). В частности, современные авторы, такие как Кобаяши и Номидзу, обычно рассматривают параллельную передачу соединения как происходящую от соединения в каком-то другом смысле, где плавность легче выразить.

Тем не менее, учитывая такое правило параллельного транспорта, можно восстановить связанную с ним бесконечно малую связь в E следующим образом. Пусть γ — дифференцируемая кривая в M с начальной точкой γ(0) и начальным касательным вектором X = γ′(0). Если V — сечение E над γ, то пусть

${\displaystyle \nabla _{X}V=\lim _{h\to 0}{\frac {\Gamma (\gamma )_{h}^{0}V_{\gamma (h)}-V_{\gamma (0)}}{h}}=\left.{\frac {d}{dt}}\Gamma (\gamma )_{t}^{0}V_{\gamma (t)}\right|_{t=0}.}$

Это определяет соответствующую бесконечно малую связность ∇ на E . Из этого бесконечно малого соединения восстанавливается тот же параллельный транспорт Γ.

Особый случай: касательное расслоение

Пусть M — гладкое многообразие. Тогда связность на касательном расслоении к М , называемая аффинной связностью , выделяет класс кривых, называемых (аффинными) геодезическими . ^[2] Гладкая кривая γ : I → M является аффинной геодезической, если она параллельно переносится вдоль , т.е. ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}{\dot {\gamma }}(s)={\dot {\gamma }}(t).\,}$

Если взять производную по времени, это примет более привычный вид

${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}=0.\,}$

Параллельный транспорт в римановой геометрии

В ( псевдо ) римановой геометрии метрическая связь — это любая связь, параллельные транспортные отображения которой сохраняют метрический тензор . Таким образом, метрическая связность — это любая связность Γ такая, что для любых двух векторов X , Y ∈ T _γ(s)

${\displaystyle \langle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}X,\Gamma (\gamma )_{s}^{t}Y\rangle _{\gamma (t)}=\langle X,Y\rangle _{\gamma (s)}.}$

Взяв производную в точке t = 0, соответствующий дифференциальный оператор ∇ должен удовлетворять правилу произведения относительно метрики:

${\displaystyle Z\langle X,Y\rangle =\langle \nabla _{Z}X,Y\rangle +\langle X,\nabla _{Z}Y\rangle .}$

Геодезика

Если ∇ — метрическая связность, то аффинные геодезические являются обычными геодезическими римановой геометрии и являются кривыми, минимизирующими локальное расстояние. Точнее, сначала заметим, что если γ : I → M , где I — открытый интервал, является геодезической, то норма постоянна на I . Действительно, ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle {\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t)\rangle =2\langle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t)\rangle =0.}$

Из применения леммы Гаусса следует , что если A является нормой, то расстояние, индуцированное метрикой, между двумя достаточно близкими точками на кривой γ , скажем γ ( t ₁ ) и γ ( t ₂ ), определяется выражением ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$

${\displaystyle {\mbox{dist}}{\big (}\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}){\big )}=A|t_{1}-t_{2}|.}$

Приведенная выше формула может быть неверной для точек, которые расположены недостаточно близко, поскольку геодезическая может, например, обертываться вокруг многообразия (например, на сфере).

Обобщения

Параллельная транспортировка может быть определена в более общем плане для других типов соединений, а не только для тех, которые определены в векторном пакете. Одно из обобщений касается принципиальных связей (Кобаяши и Номидзу, 1996, том 1, глава II). Пусть P → M — главное расслоение над многообразием M со структурой группы Ли G и главной связностью ω. Как и в случае векторных расслоений, главная связность ω на P определяет для каждой кривой γ в M отображение

${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}:P_{\gamma (s)}\rightarrow P_{\gamma (t)}}$

из слоя над γ( s ) в слой над γ( t ), который является изоморфизмом однородных пространств : т.е. для каждого g ∈ G. ${\displaystyle \Gamma _{\gamma (s)}gu=g\Gamma _{\gamma (s)}}$

Возможны и дальнейшие обобщения параллельного транспорта. В контексте связей Эресмана , где связь зависит от специального понятия « горизонтального подъема » касательных пространств, можно определить параллельный транспорт через горизонтальные подъемы . Связи Картана — это связи Эресмана с дополнительной структурой, которая позволяет рассматривать параллельный перенос как карту, «перекатывающую» определенное модельное пространство по кривой многообразия. Это перекатывание называется развитием .

Приближение: лестница Шильда.

Две ступеньки лестницы Шильда . Отрезки A ₁ X ₁ и A ₂ X ₂ являются аппроксимацией первого порядка параллельного переноса A ₀ X ₀ вдоль кривой.

Параллельный транспорт может быть дискретно аппроксимирован лестницей Шильда , которая делает конечные шаги вдоль кривой и аппроксимирует параллелограммы Леви-Чивита аппроксимированными параллелограммами .

Смотрите также

• Базовое введение в математику искривленного пространства-времени
• Связь (математика)
• Развитие (дифференциальная геометрия)
• Аффинное соединение
• Ковариантная производная
• Геодезические (общая теория относительности)
• Геометрическая фаза
• Производная лжи
• Лестница Шильда
• Параллелограммоид Леви-Чивита
• параллельная кривая с таким же названием, но с другим понятием

Примечания

1. В некоторых источниках, таких как Спивак ^[1]

Цитаты

1. Спивак 1999, с. 234, Том. 2, гл. 6.
2. (Кобаяши и Номидзу 1996, том 1, глава III)

Рекомендации

• Гуггенхаймер, Генрих (1977), Дифференциальная геометрия , Дувр, ISBN 0-486-63433-7
• Кнебельман (1951), «Пространства относительного параллелизма», Анналы математики , 2, Анналы математики, Том. 53, № 3, 53 (3): 387–399, номер документа : 10.2307/1969562, JSTOR  1969562.
• Кобаяши, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии, Том 1 , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3; Том 2, ISBN 0-471-15732-5 . 
• Лумисте, Ю. (2001) [1994], «Соединения на многообразии», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Спивак, Михаил (1999). Всестороннее введение в дифференциальную геометрию, Vol. II. Пресса «Публикуй или погибни» . ISBN 0914098713.

Внешние ссылки

• Демонстрация сферической геометрии. Апплет, демонстрирующий параллельный перенос касательных векторов на сфере.