Квазигруппа

Магма подчиняется свойству латинского квадрата

Алгебраические структуры между магмами и группами : Квазигруппа — это магма с типом делимости, заданным свойством латинского квадрата. Петля — это квазигруппа с единичным элементом .

В математике , особенно в абстрактной алгебре , квазигруппа — это алгебраическая структура, напоминающая группу в том смысле, что « деление » всегда возможно. Квазигруппы отличаются от групп в основном тем, что свойства ассоциативности и тождественности элементов являются необязательными. Фактически, непустая ассоциативная квазигруппа является группой. ^{[1] [2]}

Квазигруппа с единичным элементом называется петлей .

Определения

Существует по крайней мере два структурно эквивалентных формальных определения квазигруппы:

• Квазигруппа определяется как множество с одной бинарной операцией .
• Другой, из универсальной алгебры , определяет квазигруппу как имеющую три примитивные операции.

Однако гомоморфный образ квазигруппы, определенный с помощью одной бинарной операции, не обязательно является квазигруппой. [ ^3] Начнем с первого определения.

Алгебра

Квазигруппа ( Q , ∗) — это непустое множество Q с бинарной операцией ∗ (то есть магмой , указывающей, что квазигруппа должна удовлетворять свойству замкнутости), подчиняющееся свойству латинского квадрата . Это утверждает, что для каждого a и b в Q существуют уникальные элементы x и y в Q такие, что оба

а ∗ х = б

у ∗ а = б

(Другими словами: каждый элемент множества встречается ровно один раз в каждой строке и ровно один раз в каждом столбце таблицы умножения квазигруппы, или таблицы Кэли . Это свойство гарантирует, что таблица Кэли конечной квазигруппы, и, в частности, конечной группы, является латинским квадратом .) Требование уникальности x и y можно заменить требованием, чтобы магма была сокращаемой . ^{[4] [a]}

Уникальные решения этих уравнений записываются как x = a \ b и y = b / a . Операции '\' и '/' называются, соответственно, левым делением и правым делением . Что касается таблицы Кэли, первое уравнение (левое деление) означает, что запись b в строке a находится в столбце x , тогда как второе уравнение (правое деление) означает, что запись b в столбце a находится в строке y .

Пустое множество , снабженное пустой бинарной операцией, удовлетворяет этому определению квазигруппы. Некоторые авторы принимают пустую квазигруппу, но другие явно исключают ее. ^{[5] [6]}

Универсальная алгебра

При наличии некоторой алгебраической структуры тождество — это уравнение, в котором все переменные молчаливо универсально квантифицированы , и в котором все операции входят в число примитивных операций, свойственных этой структуре. Алгебраические структуры, удовлетворяющие аксиомам, заданным исключительно тождествами, называются многообразием . Многие стандартные результаты универсальной алгебры справедливы только для многообразий. Квазигруппы образуют многообразие, если левое и правое деление принимаются за примитивные.

Правая квазигруппа ( Q , ∗, /) — это алгебра типа (2, 2), удовлетворяющая обоим тождествам:

у = ( у / х ) ∗ х

у = ( у ∗ х ) / х .

Левая квазигруппа ( Q , ∗, \) — это алгебра типа (2, 2), удовлетворяющая обоим тождествам:

у = х ∗ ( х \ у )

у = х \ ( х ∗ у ).

Квазигруппа ( Q , ∗, \, /) — это алгебра типа (2, 2, 2) (т. е . снабженная тремя бинарными операциями), которая удовлетворяет тождествам: ^[b]

у = ( у / х ) ∗ х

у = ( у ∗ х ) / х

у = х ∗ ( х \ у )

у = х \ ( х ∗ у ).

Другими словами: умножение и деление в любом порядке, одно за другим, с одной и той же стороны на один и тот же элемент, не имеют никакого результирующего эффекта.

Следовательно, если ( Q , ∗) является квазигруппой согласно определению предыдущего раздела, то ( Q , ∗, \, /) является той же квазигруппой в смысле универсальной алгебры. И наоборот: если ( Q , ∗, \, /) является квазигруппой согласно смыслу универсальной алгебры, то ( Q , ∗) является квазигруппой согласно первому определению.

Петли

Петля — это квазигруппа с единичным элементом , то есть элементом e , таким, что

x ∗ e = x и e ∗ x = x для всех x в Q .

Отсюда следует, что единичный элемент e уникален и что каждый элемент Q имеет уникальные левый и правый обратные элементы (которые не обязательно должны быть одинаковыми).

Квазигруппа с идемпотентным элементом называется пиком («точечная идемпотентная квазигруппа»); это более слабое понятие, чем петля, но тем не менее распространенное, поскольку, например, если задана абелева группа ( A , +) , то, принимая ее операцию вычитания за квазигрупповое умножение, получаем пик ( A , −) с групповым тождеством (ноль), превращенным в «точечный идемпотент». (То есть, существует главная изотопия ( x , y , z ) ↦ ( x , − y , z ) .)

Ассоциативная петля — это группа. Группа может иметь строго неассоциативный изотоп пика, но не может иметь строго неассоциативный изотоп петли.

Существуют более слабые свойства ассоциативности, которым даны специальные названия.

Например, цикл Бола — это цикл, который удовлетворяет одному из следующих условий:

x ∗ ( y ∗ ( x ∗ z )) = ( x ∗ ( y ∗ x )) ∗ z      для каждого x , y и z в Q ( левая петля Бола ),

или еще

(( z ∗ x ) ∗ y ) ∗ x = z ∗ (( x ∗ y ) ∗ x ) для каждого x , y и z в Q ( правая петля Бола ).

Цикл, который является одновременно левым и правым циклом Бола, является циклом Муфанг . Это эквивалентно любому из следующих одиночных тождеств Муфанг, верных для всех x , y , z :

х ∗ ( у ∗ ( х ∗ z )) = (( х ∗ y ) ∗ х ) ∗ z ,

z ∗ ( x ∗ ( y ∗ x )) = (( z ∗ x ) ∗ y ) ∗ x ,

( x ∗ y ) ∗ ( z ∗ x ) = x ∗ (( y ∗ z ) ∗ x ), или

( х ∗ у ) ∗ ( z ∗ x ) = ( х ∗ ( у ∗ z )) ∗ x .

По словам Джонатана Д. Х. Смита, «петли» были названы в честь Чикагской петли , поскольку их создатели в то время изучали квазигруппы в Чикаго. ^[9]

Симметрии

(Смит 2007) называет следующие важные свойства и подклассы:

Полусимметрия

Квазигруппа является полусимметричной , если выполняется любое из следующих эквивалентных тождеств: ^[c]

х ∗ у = у / х

у ∗ х = х \ у

х = ( у ∗ х ) ∗ у

х = у ∗ ( х ∗ у ).

Хотя этот класс может показаться особенным, каждая квазигруппа Q индуцирует полусимметричную квазигруппу Q Δ на прямом произведении куба Q ³ посредством следующей операции:

( Икс ₁ , Икс ₂ , Икс ₃ ) ⋅ ( y ₁ , y ₂ , y ₃ ) знак равно ( y ₃ / Икс ₂ , y ₁ \ Икс ₃ , Икс ₁ * y ₂ ) = ( Икс ₂ // y ₃ , Икс ₃ \\ У ₁ , Икс ₁ * У ₂ ),

где "//" и "\\" — операции сопряженного деления, заданные формулами y // x = x / y и y \\ x = x \ y .

Триальность

Квазигруппа может проявлять полусимметричную тройственность . ^[10]

Полная симметрия

Более узкий класс — полностью симметричная квазигруппа (иногда сокращенно TS-квазигруппа ), в которой все сопряженные элементы совпадают как одна операция: x ∗ y = x / y = x \ y . Другой способ определить (то же самое понятие) полностью симметричную квазигруппу — это полусимметричная квазигруппа, которая является коммутативной, т. е. x ∗ y = y ∗ x .

Идемпотентные полностью симметричные квазигруппы являются в точности (т.е. в биекции с) тройками Штейнера , поэтому такая квазигруппа также называется квазигруппой Штейнера , а иногда последнюю даже сокращают до squag . Термин sloop относится к аналогу циклов, а именно, полностью симметричным циклам, которые удовлетворяют x ∗ x = 1 вместо x ∗ x = x . Без идемпотентности полностью симметричные квазигруппы соответствуют геометрическому понятию расширенной тройки Штейнера, также называемой обобщенной эллиптической кубической кривой (GECC).

Полная антисимметрия

Квазигруппа ( Q , ∗) называется слабо тотально антисимметричной, если для всех c , x , y ∈ Q имеет место следующая импликация. ^[11]

( c ∗ x ) ∗ y = ( c ∗ y ) ∗ x подразумевает, что x = y .

Квазигруппа ( Q , ∗) называется полностью антисимметричной , если, кроме того, для всех x , y ∈ Q , выполняется следующая импликация: ^[11]

x ∗ y = y ∗ x подразумевает, что x = y .

Это свойство требуется, например, в алгоритме Дамма .

Примеры

• Каждая группа является циклом, потому что a ∗ x = b тогда и только тогда, когда x = a ⁻¹ ∗ b , и y ∗ a = b тогда и только тогда, когда y = b ∗ a ⁻¹ .
• Целые числа Z ( или рациональные числа Q или действительные числа R ) с вычитанием (−) образуют квазигруппу. Эти квазигруппы не являются циклами, поскольку в них нет единичного элемента (0 является правой единицей, поскольку a − 0 = a , но не левой единицей, поскольку, в общем случае, 0 − a ≠ a ).
• Ненулевые рациональные числа Q ^× (или ненулевые действительные числа R ^× ) с делением (÷) образуют квазигруппу.
• Любое векторное пространство над полем характеристики , не равной 2, образует идемпотентную коммутативную квазигруппу относительно операции x ∗ y = ( x + y ) / 2 .
• Каждая система троек Штейнера определяет идемпотентную коммутативную квазигруппу: a ∗ b — третий элемент тройки, содержащей a и b . Эти квазигруппы также удовлетворяют ( x ∗ y ) ∗ y = x для всех x и y в квазигруппе. Эти квазигруппы известны как квазигруппы Штейнера . ^[12]
• Набор {±1, ±i, ±j, ±k} , где ii = jj = kk = +1 и со всеми другими произведениями, как в группе кватернионов, образует неассоциативный цикл порядка 8. См. гиперболические кватернионы для его применения. (Сами гиперболические кватернионы не образуют цикл или квазигруппу.)
• Ненулевые октонионы образуют неассоциативный цикл при умножении. Октонионы представляют собой особый тип цикла, известный как цикл Муфанг .
• Ассоциативная квазигруппа либо пуста, либо является группой, поскольку при наличии хотя бы одного элемента обратимость бинарной операции квазигруппы в сочетании с ассоциативностью подразумевает существование единичного элемента, что затем подразумевает существование обратных элементов, тем самым удовлетворяя всем трем требованиям группы.
• Следующая конструкция принадлежит Гансу Цассенхаузу . На базовом множестве четырехмерного векторного пространства F ⁴ над 3-элементным полем Галуа F = Z /3 Z определим

  ( Икс ₁ , Икс ₂ , Икс ₃ , Икс ₄ ) * ( y ₁ , y ₂ , y ₃ , y ₄ ) знак равно ( Икс ₁ , Икс ₂ , Икс ₃ , Икс ₄ ) + ( y ₁ , y ₂ , y ₃ , y ₄ ) + (0, 0, 0, ( x ₃ - y ₃ )( Икс ₁ y ₂ - Икс ₂ y ₁ )).

Тогда ( F ⁴ , ∗) — коммутативная петля Муфанг , не являющаяся группой. ^[13]

• В более общем случае ненулевые элементы любой алгебры с делением образуют квазигруппу с операцией умножения в алгебре.

Характеристики

В оставшейся части статьи мы будем обозначать квазигрупповое умножение просто сопоставлением .

Квазигруппы обладают свойством сокращения : если ab = ac , то b = c . Это следует из единственности левого деления ab или ac на a . Аналогично, если ba = ca , то b = c .

Свойство латинского квадрата квазигрупп подразумевает, что для любых двух из трех переменных в xy = z третья переменная определяется однозначно.

Операторы умножения

Определение квазигруппы можно трактовать как условия на левые и правые операторы умножения L _x , R _x  : Q → Q , определяемые формулой

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{x}(y)&=xy\\R_{x}(y)&=yx\\\end{aligned}}}$

Определение гласит, что оба отображения являются биекциями из Q в себя. Магма Q является квазигруппой в точности тогда, когда все эти операторы для каждого x в Q являются биекцией. Обратные отображения — это левое и правое деление, то есть,

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{x}^{-1}(y)&=x\backslash y\\R_{x}^{-1}(y)&=y/x\end{aligned}}}$

В этой записи тождества среди операций умножения и деления квазигруппы (указанные в разделе об универсальной алгебре) имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{x}L_{x}^{-1}&=\mathrm {id} \qquad &{\text{corresponding to}}\qquad x(x\backslash y)&=y\\L_{x}^{-1}L_{x}&=\mathrm {id} \qquad &{\text{corresponding to}}\qquad x\backslash (xy)&=y\\R_{x}R_{x}^{-1}&=\mathrm {id} \qquad &{\text{corresponding to}}\qquad (y/x)x&=y\\R_{x}^{-1}R_{x}&=\mathrm {id} \qquad &{\text{corresponding to}}\qquad (yx)/x&=y\end{aligned}}}$

где id обозначает отображение идентичности на Q.

латинские квадраты

Латинский квадрат, неограниченная таблица умножения для квазигруппы, 10 элементов которой — цифры 0–9.

Таблица умножения конечной квазигруппы представляет собой латинский квадрат : таблицу размера n × n , заполненную n различными символами таким образом, что каждый символ встречается ровно один раз в каждой строке и ровно один раз в каждом столбце.

Наоборот, каждый латинский квадрат может быть принят как таблица умножения квазигруппы многими способами: граничная строка (содержащая заголовки столбцов) и граничный столбец (содержащий заголовки строк) могут быть любой перестановкой элементов. См. малые латинские квадраты и квазигруппы .

Бесконечные квазигруппы

Для счетно бесконечной квазигруппы Q можно представить бесконечный массив, в котором каждая строка и каждый столбец соответствуют некоторому элементу q из Q , и где элемент a ∗ b находится в строке, соответствующей a , и столбце, отвечающем b . В этой ситуации свойство латинского квадрата также гласит, что каждая строка и каждый столбец бесконечного массива будут содержать каждое возможное значение ровно один раз.

Для несчетно бесконечной квазигруппы, такой как группа ненулевых действительных чисел при умножении, свойство латинского квадрата все еще сохраняется, хотя название несколько неудовлетворительно, поскольку невозможно создать массив комбинаций, на который распространяется вышеприведенная идея бесконечного массива, поскольку действительные числа не могут быть записаны в последовательности . (Однако это несколько вводит в заблуждение, поскольку действительные числа можно записать в последовательности длины , предполагая теорему о хорошем упорядочении .) ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

Обратные свойства

Бинарная операция квазигруппы обратима в том смысле, что оба оператора и , левый и правый операторы умножения, являются биективными и, следовательно, обратимыми . ${\displaystyle L_{x}}$ ${\displaystyle R_{x}}$

Каждый элемент цикла имеет уникальный левый и правый обратный элемент, заданный формулой

${\displaystyle x^{\lambda }=e/x\qquad x^{\lambda }x=e}$

${\displaystyle x^{\rho }=x\backslash e\qquad xx^{\rho }=e}$

Говорят, что цикл имеет ( двусторонние ) обратные элементы , если для всех x . В этом случае обратный элемент обычно обозначается как . ${\displaystyle x^{\lambda }=x^{\rho }}$ ${\displaystyle x^{-1}}$

Существуют некоторые более сильные понятия обратных величин в циклах, которые часто бывают полезны:

• Цикл имеет левое обратное свойство, если для всех и . Эквивалентно, или . ${\displaystyle x^{\lambda }(xy)=y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L_{x}^{-1}=L_{x^{\lambda }}}$ ${\displaystyle x\backslash y=x^{\lambda }y}$
• Цикл имеет правильное обратное свойство, если для всех и . Эквивалентно, или . ${\displaystyle (yx)x^{\rho }=y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle R_{x}^{-1}=R_{x^{\rho }}}$ ${\displaystyle y/x=yx^{\rho }}$
• Цикл имеет свойство антиавтоморфной инверсии , если или, что эквивалентно, если . ${\displaystyle (xy)^{\lambda }=y^{\lambda }x^{\lambda }}$ ${\displaystyle (xy)^{\rho }=y^{\rho }x^{\rho }}$
• Цикл имеет слабое обратное свойство, когда тогда и только тогда, когда . Это можно сформулировать в терминах обратных через или эквивалентно . ${\displaystyle (xy)z=e}$ ${\displaystyle x(yz)=e}$ ${\displaystyle (xy)^{\lambda }x=y^{\lambda }}$ ${\displaystyle x(yx)^{\rho }=y^{\rho }}$

Цикл имеет обратное свойство , если он имеет как левое, так и правое обратное свойство. Циклы с обратным свойством также имеют антиавтоморфные и слабообратные свойства. Фактически, любой цикл, удовлетворяющий любым двум из четырех вышеуказанных тождеств, имеет обратное свойство и, следовательно, удовлетворяет всем четырем.

Любой цикл, удовлетворяющий свойствам левой, правой или антиавтоморфной инверсии, автоматически имеет двусторонние обратные циклы.

Морфизмы

Квазигрупповой или циклический гомоморфизм — это отображение f  : Q → P между двумя квазигруппами, такое что f ( xy ) = f ( x ) f ( y ) . Квазигрупповые гомоморфизмы обязательно сохраняют левое и правое деление, а также единичные элементы (если они существуют).

Гомотопия и изотопия

Пусть Q и P — квазигруппы. Квазигрупповая гомотопия из Q в P — это тройка ( α , β , γ ) отображений из Q в P такая, что

${\displaystyle \alpha (x)\beta (y)=\gamma (xy)\,}$

для всех x , y из Q. Гомоморфизм квазигрупп — это просто гомотопия, для которой три отображения равны.

Изотопия — это гомотопия, для которой каждое из трех отображений ( α , β , γ ) является биекцией . Две квазигруппы изотопны , если между ними существует изотопия. В терминах латинских квадратов изотопия ( α , β , γ ) задается перестановкой строк α , перестановкой столбцов β и перестановкой на базовом наборе элементов γ .

Автотопия — это изотопия квазигруппы к себе. Множество всех автотопий квазигруппы образует группу с группой автоморфизмов в качестве подгруппы.

Каждая квазигруппа изотопна петле. Если петля изотопна группе, то она изоморфна этой группе и, таким образом, сама является группой. Однако квазигруппа, изотопная группе, не обязательно является группой. Например, квазигруппа на R с умножением, заданным как ( x , y ) ↦ ( x + y )/2, изотопна аддитивной группе ( R , +) , но сама не является группой, поскольку не имеет единичного элемента. Каждая медиальная квазигруппа изотопна абелевой группе по теореме Брука–Тойоды .

Спряжение (парастроф)

Левое и правое деление являются примерами формирования квазигруппы путем перестановки переменных в определяющем уравнении. Из исходной операции ∗ (т. е. x ∗ y = z ) мы можем образовать пять новых операций: x o y  := y ∗ x ( обратная операция), / и \, и их противоположности. Это составляет в общей сложности шесть операций квазигруппы, которые называются сопряженными или парастрофами ∗. Любые две из этих операций называются «сопряженными» или «парастрофическими» друг другу (и самим себе).

Изострофа (паратопия)

Если множество Q имеет две квазигрупповые операции, ∗ и ·, и одна из них изотопна сопряженной другой, то операции называются изострофными друг другу. Существует также много других названий для этого отношения «изострофности», например, паратопия .

Обобщения

Полиадические или мультиарные квазигруппы

n - арная квазигруппа — это множество с n -арной операцией ( Q , f ) с f  : Q ⁿ → Q , такое, что уравнение f ( x ₁ ,..., x _n ) = y имеет единственное решение для любой одной переменной, если все остальные n переменных указаны произвольно. Полиадический или мультиарный означает n -арный для некоторого неотрицательного целого числа n .

0-арная, или нульарная , квазигруппа — это просто постоянный элемент Q. 1-арная, или унарная , квазигруппа — это биекция Q на себя. Бинарная , или 2-арная, квазигруппа — это обычная квазигруппа.

Примером мультиарной квазигруппы является итеративная групповая операция y = x ₁ · x ₂ · ··· · x _n ; нет необходимости использовать скобки для указания порядка операций, поскольку группа ассоциативна. Можно также образовать мультиарную квазигруппу, выполняя любую последовательность тех же или разных групповых или квазигрупповых операций, если порядок операций указан.

Существуют многомерные квазигруппы, которые не могут быть представлены ни одним из этих способов. N -арная квазигруппа неприводима , если ее операция не может быть представлена ​​в виде композиции двух операций следующим образом:

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=g(x_{1},\dots ,x_{i-1},\,h(x_{i},\dots ,x_{j}),\,x_{j+1},\dots ,x_{n}),}$

где 1 ≤ i < j ≤ n и ( i, j ) ≠ (1, n ) . Конечные неприводимые n -арные квазигруппы существуют для всех n > 2 ; подробности см. в Akivis and Goldberg (2001).

n -арная квазигруппа с n -арной версией ассоциативности называется n -арной группой .

Число малых квазигрупп и циклов

Число классов изоморфизма малых квазигрупп (последовательность A057991 в OEIS ) и циклов (последовательность A057771 в OEIS ) приведено здесь: ^[14]

Смотрите также

• Кольцо деления – кольцо, в котором каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный элемент.
• Полугруппа – алгебраическая структура, состоящая из множества вместе с ассоциативной бинарной операцией
• Моноид – полугруппа с единичным элементом
• Плоское тройное кольцо – имеет аддитивную и мультипликативную петлевую структуру
• Задачи по теории петель и теории квазигрупп
• Математика судоку

Примечания

1. Для ясности одной лишь сократимости недостаточно: необходимо сохранить требование существования решения.
2. Существует шесть тождеств, которым удовлетворяют эти операции, а именно ^[7]

   y знак равно ( y / Икс ) * Икс , y знак равно Икс \ ( Икс * y ), y знак равно Икс / ( y \ x )

   y знак равно ( y * Икс ) / Икс , y знак равно Икс * ( Икс \ y ), y знак равно ( Икс / y ) \ Икс .

   Из них первые три подразумевают последние три, и наоборот, что приводит к тому, что любой набор из трех тождеств достаточен для уравнения определения квазигруппы. ^[8]
3. Первые два уравнения эквивалентны последним двум путем прямого применения свойства сокращения квазигрупп. Последняя пара показывается эквивалентной, если положить x = (( x ∗ y ) ∗ x ) ∗ ( x ∗ y ) = y ∗ ( x ∗ y ) .

Ссылки

Цитаты

1. Непустая ассоциативная квазигруппа равна группе
2. ассоциативная квазигруппа — это группа
3. Смит 2007, стр. 3, 26–27
4. Рубин и Рубин 1985, стр. 109
5. Пфлугфельдер 1990, стр. 2
6. Брук 1971, стр. 1
7. Щербаков, Пушкашу и Щербаков 2021, с. 1
8. Щербаков, Пушкашу и Щербаков 2021, с. 3, Тэм. 1, 2
9. Смит, Джонатан Д. Х. «Коды, ошибки и циклы». Запись семинара по кодам и расширениям . Получено 2 апреля 2024 г.
10. Смит, Джонатан Д. Х. Группы, триальности и гиперквазигруппы (PDF) . Университет штата Айова.
11. Damm 2007
12. Колборн и Диниц 2007, с. 497, определение 28.12
13. Романовска и Смит 1999, с. 93
14. Маккей, Мейнерт и Мирвольд, 2007 г.

Источники

• Акивис, МА; Голдберг, Владислав В. (2001). «Решение проблемы Белоусова». Discussiones Mathematicae – Общая алгебра и приложения . 21 (1): 93–103. arXiv : math/0010175 . doi :10.7151/dmgaa.1030. S2CID  18421746.
• Белоусов, В. Д. (1967). Основы теории квазигрупп и луп . М.: Изд-во «Наука». OCLC  472241611.
• Белоусов, В.Д. (1971). Алгебраические сети и квазигруппы (на русском языке). Кишинев: Издат. «Штинка». ОСЛК  8292276.
• Белоусов, В. Д. (1981). Элементы теории квазигрупп: Специальный курс . Кишинев: Изд-во Кишиневского государственного университета. OCLC  318458899.
• Брук, Р. Х. (1971) [1958]. Обзор бинарных систем. Springer. ISBN 978-0-387-03497-3.
• Chein, O.; Pflugfelder, HO; Smith, JDH, ред. (1990). Квазигруппы и циклы: теория и приложения . Берлин: Heldermann. ISBN 978-3-88538-008-5.
• Колборн, Чарльз Дж.; Диниц, Джеффри Х. (2007), Справочник комбинаторных конструкций (2-е изд.), CRC Press, ISBN 978-1-58488-506-1
• Дамм, Х. Майкл (2007). "Полностью антисимметричные квазигруппы для всех порядков n ≠ 2, 6". Дискретная математика . 307 (6): 715–729. doi : 10.1016/j.disc.2006.05.033 .
• Дудек, ВА; Глазек, К. (2008). «Вокруг теоремы Хоссу-Глускина для n -арных групп». Дискретная математика . 308 (21): 4861–76. arXiv : math/0510185 . doi :10.1016/j.disc.2007.09.005. S2CID  9545943.
• Маккей, Брендан Д.; Мейнерт, Элисон; Мирволд, Венди (2007). «Маленькие латинские квадраты, квазигруппы и петли» (PDF) . J. Comb. Des . 15 (2): 98–119. CiteSeerX  10.1.1.151.3043 . doi :10.1002/jcd.20105. S2CID  82321. Zbl  1112.05018.
• Pflugfelder, HO (1990). Квазигруппы и циклы: Введение . Берлин: Heldermann. ISBN 978-3-88538-007-8.
• Романовска, Анна Б.; Смит, Джонатан Д. Х. (1999), «Пример 4.1.3 (Коммутативная петля Муфанг Цассенхауза)», Постмодернистская алгебра , Чистая и прикладная математика, Нью-Йорк: Wiley, doi : 10.1002/9781118032589, ISBN 978-0-471-12738-3, МР  1673047
• Рубин, Х.; Рубин, Дж. Э. (1985). Эквиваленты аксиомы выбора, II . Elsevier.
• Щербаков, ВА (2017). Элементы теории квазигрупп и их применение . CRC Press. ISBN 978-1-4987-2155-4.
• Щербаков В.А.; Пушкашу, Д.И.; Щербаков, А.В. (2021). «Определения эквациональных квазигрупп». arXiv : 1003.3175v1 [math.GR].
• Смит, Дж. Д. Х. (2007). Введение в квазигруппы и их представления . CRC Press. ISBN 978-1-58488-537-5.

Внешние ссылки

• квазигруппы
• «Квазигруппа», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]