Куб (алгебра)

$y = x 3$ для значений $1 \leq x \leq 25$ .

В арифметике и алгебре куб числа n $—$ это его третья степень , то есть результат умножения трёх экземпляров числа $n$ вместе. Куб числа или любого другого математического выражения обозначается верхним индексом 3, например 2 ³ = 8 или $(x + 1) 3$ .

Куб — это также число, умноженное на его квадрат :

п 3 знак равно п \times п 2 знак равно п \times п \times п

Функция куба — это функция $x \mapsto x 3$ (часто обозначаемая $y = x 3$ ), которая отображает число в его куб. Это нечетная функция , так как

(- п) 3 знак равно -(п 3)

Объем геометрического куба равен длине его стороны, отсюда и название. Обратная операция , заключающаяся в нахождении числа, куб которого равен $n,$ называется извлечением кубического корня числа $n$ . Он определяет сторону куба заданного объема. Оно также $возведено$ в третью степень.

График кубической функции известен как кубическая парабола . Поскольку функция куба является нечетной функцией, эта кривая имеет центр симметрии в начале координат, но не имеет оси симметрии .

В целых числах

Число куба , или идеальный куб , а иногда просто куб , — это число, которое является кубом целого числа . Неотрицательные совершенные кубы до 60 ³ (последовательность A000578 в OEIS ):

С геометрической точки зрения, положительное целое число $m$ является идеальным кубом тогда и только тогда, когда можно объединить $m$ твердых единичных кубов в более крупный сплошной куб. Например, 27 маленьких кубиков можно скомпоновать в один более крупный с видом кубика Рубика , так как 3×3×3 = 27 .

Разницу между кубами последовательных целых чисел можно выразить следующим образом:

п 3 - (п - 1) 3 знак равно 3(п - 1) п + 1

или

(п + 1) 3 - п 3 знак равно 3(п + 1) п + 1

Не существует минимально идеального куба, поскольку куб отрицательного целого числа отрицательен. Например, (−4) × (−4) × (−4) = −64 .

База десять

В отличие от идеальных квадратов , идеальные кубы не имеют небольшого количества возможностей для последних двух цифр. За исключением кубов, делящихся на 5, где только 25 , 75 и 00 могут быть последними двумя цифрами, любая пара цифр с последней нечетной цифрой может быть последними цифрами идеального куба. Для четных кубов существуют значительные ограничения: только 00 , $o$ 2 , $e$ 4 , $o$ 6 и $e$ 8 могут быть последними двумя цифрами идеального куба (где $o$ означает любую нечетную цифру, а $e$ - любую четную цифру). Некоторые кубические числа также являются квадратными числами; например, 64 — это квадратное число (8 × 8) и число куба (4 × 4 × 4) . Это происходит тогда и только тогда, когда число представляет собой совершенную шестую степень (в данном случае 2 ⁶ ).

Последние цифры каждой третьей степени:

Однако легко показать, что большинство чисел не являются идеальными кубами, поскольку все идеальные кубы должны иметь цифровой корень 1 , 8 или 9 . То есть их значения по модулю 9 могут быть только 0, 1 и 8. Более того, цифровой корень куба любого числа можно определить по остатку, который дает число при делении на 3:

Если число x делится на 3, его куб имеет цифровой корень 9; то есть,
${\text{if}}\quad x\equiv 0{\pmod {3}}\quad {\text{then}}\quad x^{3}\equiv 0{\pmod {9}}{ \text{ (на самом деле}}\quad 0{\pmod {27}}{\text{)}};$
Если при делении на 3 остаток равен 1, его куб имеет цифровой корень 1; то есть,
${\text{if}}\quad x\equiv 1{\pmod {3}}\quad {\text{then}}\quad x^{3}\equiv 1{\pmod {9}};$
Если при делении на 3 остаток равен 2, его куб имеет цифровой корень 8; то есть,
${\text{if}}\quad x\equiv 2{\pmod {3}}\quad {\text{then}}\quad x^{3}\equiv 8{\pmod {9}}.$

Суммы двух кубов

Суммы трёх кубиков

Предполагается, что каждое целое число (положительное или отрицательное), не соответствующее ± $4$ по модулю $9,$ можно записать в виде суммы трех (положительных или отрицательных) кубов бесконечным числом способов. ^[1] Например, . Целые числа, конгруэнтные $\pm4$ по модулю $9,$ исключаются, поскольку их нельзя записать в виде суммы трех кубов. $6=2^{3}+(-1)^{3}+(-1)^{3}$

Наименьшее такое целое число, для которого такая сумма неизвестна, равно 114. В сентябре 2019 года было обнаружено, что предыдущее наименьшее такое целое число без известной суммы трех кубов, 42, удовлетворяет этому уравнению: ^[2]

42=(-80538738812075974)^{3}+80435758145817515^{3}+12602123297335631^{3}.

Одно из решений приведено в таблице ниже для $n$ $\leq 78$ и $n$ , не соответствующего $4$ или $5$ по модулю $9$ . Выбранное решение является примитивным ( $НОД($ $x$ $,$ $y$ $,$ $z$ $) = 1$ ), не имеет формы или (поскольку они представляют собой бесконечные семейства решений) удовлетворяет $0 \leq |$ $х$ $| \leq |$ $й$ $| \leq |$ $г$ $|$ , и имеет минимальные значения $|$ $г$ $|$ и $|$ $й$ $|$ (проверено в таком порядке). ^[3]^[4]^[5] $x^{3}+y^{3}+z^{3}=n$ $c^{3}+(-c)^{3}+n^{3}=n^{3}$ $(n+6nc^{3})^{3}+(n-6nc^{3})^{3}+(-6nc^{2})^{3}=2n^{3}$

Выбираются только примитивные решения, поскольку непримитивные решения можно тривиально вывести из решений для меньшего значения $n$ . Например, для $n = 24$ решение получается из решения путем умножения всего на. Следовательно, выбирается другое решение. Аналогично, для $n$ $= 48$ исключается решение $($ $x$ $,$ $y$ $,$ $z$ $) = (-2, -2, 4) , и это решение$ $($ $x$ $,$ $y$ $,$ $z$ $) = (-23, -26, 31 ),$ который выбран. $2^{3}+2^{3}+2^{3}=24$ $1^{3}+1^{3}+1^{3}=3$ $8=2^{3}.$

Великая теорема Ферма для кубов.

Уравнение $x 3 + y 3 = z 3$ не имеет нетривиальных (т. е. $xyz \neq 0$ ) решений в целых числах. На самом деле его нет в целых числах Эйзенштейна . ^[6]

Оба эти утверждения верны и для уравнения ^[7] $x 3 + y 3 = 3 z 3$ .

Сумма первых n кубиков

Сумма первых $n$ кубиков равна квадрату числа $n-$ го треугольника :

1^{3}+2^{3}+\dots +n^{3}=(1+2+\dots +n)^{2}=\left({\frac {n(n+) 1)}{2}}\вправо)^{2}.

Доказательства. Чарльз Уитстон (1854) дает особенно простой вывод, разлагая каждый куб суммы на набор последовательных нечетных чисел. Он начинает с указания личности

n^{3}=\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\left(n^{2}-n+1+2\right)+\left(n ^{2}-n+1+4\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n{\text{ последовательные нечетные числа}}}.

Это тождество связано с треугольными числами следующим образом: $T_ {n}$

n^{3}=\sum _{k=T_{n-1}+1}^{T_{n}}(2k-1),

и, таким образом, формирование слагаемых начинается сразу после тех, которые формируют все предыдущие значения до . Применение этого свойства вместе с другим известным тождеством: $n^{3}$ $1^{3}$ $(n-1)^{3}$

n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1),

мы получаем следующий вывод:

{\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{3}&=1+8+27+64+\cdots +n^{3}\\&=\underbrace {1} _{1^{3}}+\underbrace {3+5} _{2^{3}}+\underbrace {7+9+11} _{3^{3}}+\underbrace {13 +15+17+19} _{4^{3}}+\cdots +\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\cdots +\left(n^{2}+ n-1\right)} _{n^{3}}\\&=\underbrace {\underbrace {\underbrace {\underbrace {1} _{1^{2}}+3} _{2^{2 }}+5} _{3^{2}}+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{\left({\frac {n^{2}+n} {2}}\right)^{2}}\\&=(1+2+\cdots +n)^{2}\\&={\bigg (}\sum _{k=1}^{n }k{\bigg )}^{2}.\end{aligned}}

В более поздней математической литературе Штейн (1971) использует интерпретацию этих чисел с помощью подсчета прямоугольников для формирования геометрического доказательства тождества (см. также Benjamin, Quinn & Wurtz 2006); он отмечает, что это также можно легко (но неинформативно) доказать с помощью индукции, и заявляет, что Тёплиц (1963) предоставляет «интересное старое арабское доказательство». Каним (2004) предоставляет чисто визуальное доказательство, Бенджамин и Оррисон (2002) предоставляют два дополнительных доказательства, а Нельсен (1993) дает семь геометрических доказательств.

Например, сумма первых 5 кубиков равна квадрату 5-го треугольного числа,

1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}=15^{2}

Аналогичный результат можно получить для суммы первых $y$ нечетных кубов:

1^{3}+3^{3}+\dots +(2y-1)^{3}=(xy)^{2}

но $x$ , $y$ должны удовлетворять отрицательному уравнению Пелля $x 2 - 2 y 2 = -1$ . Например, для $y = 5$ и $29$ тогда

1^{3}+3^{3}+\dots +9^{3}=(7\cdot 5)^{2}

1^{3}+3^{3}+\dots +57^{3}=(41\cdot 29)^{2}

и так далее. Кроме того, каждое четное совершенное число , кроме наименьшего, является суммой первых $двух. '"`UNIQ--templatestyles-00000076-QINU`"' р -1/2 $ нечетные кубики ( p = 3, 5, 7, ...):

28=2^{2}(2^{3}-1)=1^{3}+3^{3}

496=2^{4}(2^{5}-1)=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}

8128=2^{6}(2^{7}-1)=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+ 11^{3}+13^{3}+15^{3}

Сумма кубов чисел в арифметической прогрессии

Есть примеры кубов чисел в арифметической прогрессии , сумма которых равна кубу:

3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}

11^{3}+12^{3}+13^{3}+14^{3}=20^{3}

31^{3}+33^{3}+35^{3}+37^{3}+39^{3}+41^{3}=66^{3}

причем первое из них иногда называют загадочным числом Платона . Формула $F$ для нахождения суммы $n$ кубов чисел в арифметической прогрессии с общей разностью $d$ и исходным кубом $a 3$ ,

F(d,a,n)=a^{3}+(a+d)^{3}+(a+2d)^{3}+\cdots +(a+dn-d)^{3}

дан кем-то

F(d,a,n)=(n/4)(2a-d+dn)(2a^{2}-2ad+2adn-d^{2}n+d^{2}n^{2})

Параметрическое решение

F(d,a,n)=y^{3}

известен для частного случая $d = 1$ или последовательных кубов, найденного Пальяни в 1829 году. ^[8]

Кубы как суммы последовательных нечетных целых чисел

В последовательности нечетных целых чисел 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ... первым является куб ( 1 = 1 ³ ); сумма следующих двух – следующий куб ( 3 + 5 = 2 ³ ); сумма следующих трёх — следующий куб ( 7 + 9 + 11 = 3 ³ ); и так далее.

Задача Уоринга для кубов

Каждое положительное целое число можно записать как сумму девяти (или меньше) положительных кубов. Этот верхний предел в девять кубов нельзя уменьшить, потому что, например, 23 нельзя записать как сумму менее девяти положительных кубов:

23 = 2 ³ + 2 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ .

В рациональных числах

Каждое положительное рациональное число представляет собой сумму трех положительных рациональных кубов ^[9] , и существуют рациональные числа, которые не являются суммой двух рациональных кубов. ^[10]

В действительных числах, других полях и кольцах

В действительных числах функция куба сохраняет порядок: большие числа имеют большие кубы. Другими словами, кубы (строго) монотонно увеличиваются . Кроме того, ее кодоменом является вся действительная прямая : функция $x \mapsto x 3 : R \to R$ является сюръекцией (принимает все возможные значения). Только три числа равны своим кубам: −1 , и 1 . Если $-1 < x < 0$ или $1 < x$ , то $x 3 > x$ . Если $x < -1$ или $0 < x < 1$ , то $x 3 < x$ . Все вышеупомянутые свойства относятся также к любой более высокой нечетной степени ( $x 5$ , $x 7$ , ...) действительных чисел. Равенства и неравенства верны также в любом упорядоченном кольце .

Объемы подобных евклидовых тел связаны как кубы их линейных размеров.

В комплексных числах куб чисто мнимого числа также является чисто мнимым. Например, $я 3 = - я$ .

Производная $x$ $3$ равна $3$ $x$ $2$ .

Кубы иногда обладают сюръективным свойством в других полях , например, в $F p$ для такого простого числа $p$ , что $p \neq 1 (mod 3)$ , ^[11] , но не обязательно: см. контрпример с рациональными числами выше. Также в $F 7$ только три элемента 0, ±1 являются совершенными кубами из семи. −1, 0 и 1 — совершенные кубы в любом месте и единственные элементы поля, равные собственным кубам: $x 3 - x = x (x - 1)(x + 1)$ .

История

Определение кубов больших чисел было очень распространено во многих древних цивилизациях . Месопотамские математики к старовавилонскому периоду (20-16 вв. до н. э.) создали клинописные таблички с таблицами для вычисления кубов и кубических корней. ^[12]^[13] Кубические уравнения были известны древнегреческому математику Диофанту . ^[14] Герой Александрийский разработал метод вычисления кубических корней в I веке нашей эры. ^[15] Методы решения кубических уравнений и извлечения кубических корней представлены в «Девяти главах математического искусства» , китайском математическом тексте, составленном примерно во 2 веке до нашей эры и прокомментированном Лю Хуэем в 3 веке нашей эры. ^[16]