Перевернутый маятник

Маятник с центром масс выше точки опоры

Балансировочная тележка, простая робототехническая система, около 1976 года. Тележка содержит сервосистему , которая контролирует угол стержня и перемещает тележку вперед и назад, чтобы удерживать ее в вертикальном положении.

Перевернутый маятник — это маятник , центр масс которого находится выше точки опоры . Он неустойчив и падает без дополнительной помощи. Его можно устойчиво подвесить в этом перевернутом положении, используя систему управления для контроля угла шеста и перемещения точки опоры горизонтально назад под центр масс, когда он начинает падать, сохраняя его равновесие. Перевернутый маятник — классическая задача в динамике и теории управления , и он используется в качестве эталона для тестирования стратегий управления. Он часто реализуется с точкой опоры, установленной на тележке, которая может двигаться горизонтально под управлением электронной сервосистемы, как показано на фотографии; это называется устройством тележки и шеста . ^[1] Большинство приложений ограничивают маятник одной степенью свободы , прикрепляя шест к оси вращения . В то время как обычный маятник устойчив, когда висит вниз, перевернутый маятник по своей природе неустойчив и должен активно балансироваться, чтобы оставаться в вертикальном положении; Это можно сделать либо путем приложения крутящего момента к точке поворота, либо путем перемещения точки поворота по горизонтали как части системы обратной связи , изменяя скорость вращения массы, установленной на маятнике на оси, параллельной оси поворота, и тем самым создавая чистый крутящий момент на маятнике, либо путем колебания точки поворота по вертикали. Простая демонстрация перемещения точки поворота в системе обратной связи достигается путем балансировки перевернутой метлы на конце пальца.

Вторым типом перевернутого маятника является наклономер для высоких сооружений, который состоит из троса, закрепленного в нижней части фундамента и прикрепленного к поплавку в масляной ванне в верхней части сооружения, который имеет устройства для измерения смещения нейтрального положения поплавка от его исходного положения.

Обзор

Маятник, у которого его груз висит прямо под опорным шарниром, находится в устойчивой точке равновесия , где он остается неподвижным, поскольку на маятник не действует крутящий момент. Если его сместить из этого положения, он испытывает восстанавливающий крутящий момент, который возвращает его в положение равновесия. Маятник, у которого груз находится в перевернутом положении, поддерживаемый на жестком стержне прямо над шарниром, на 180° от его устойчивого положения равновесия, находится в неустойчивой точке равновесия. В этой точке снова нет крутящего момента на маятнике, но малейшее смещение от этого положения вызывает гравитационный крутящий момент на маятнике, который ускоряет его от равновесия, заставляя его падать.

Чтобы стабилизировать маятник в этом перевернутом положении, можно использовать систему управления с обратной связью , которая отслеживает угол маятника и перемещает положение точки поворота вбок, когда маятник начинает падать, чтобы сохранить его равновесие. Перевернутый маятник является классической задачей в динамике и теории управления и широко используется в качестве эталона для тестирования алгоритмов управления ( ПИД-регуляторы , представление пространства состояний , нейронные сети , нечеткое управление , генетические алгоритмы и т. д.). Вариации этой задачи включают несколько связей, позволяющих управлять движением тележки, сохраняя при этом маятник, и балансируя систему тележка-маятник на качелях. Перевернутый маятник связан с наведением ракеты или снаряда, где центр тяжести расположен позади центра сопротивления, вызывая аэродинамическую нестабильность. ^[2] Понимание подобной проблемы может быть продемонстрировано простой робототехникой в ​​форме балансирующей тележки. Удержание перевернутой метлы на конце пальца — простая демонстрация, и эта проблема решается с помощью самобалансирующихся персональных транспортных средств, таких как Segway PT , самобалансирующийся ховерборд и самобалансирующийся моноцикл .

Другой способ стабилизации перевернутого маятника без какой-либо обратной связи или механизма управления — это быстрое колебание оси вверх и вниз. Это называется маятником Капицы . Если колебание достаточно сильное (с точки зрения его ускорения и амплитуды), то перевернутый маятник может восстанавливаться после возмущений поразительно контринтуитивным образом. Если движущая точка движется в простом гармоническом движении , движение маятника описывается уравнением Матье . ^[3]

Уравнения движения

Уравнения движения перевернутых маятников зависят от того, какие ограничения наложены на движение маятника. Перевернутые маятники могут быть созданы в различных конфигурациях, что приводит к ряду уравнений движения, описывающих поведение маятника.

Стационарная точка поворота

В конфигурации, где точка опоры маятника зафиксирована в пространстве, уравнение движения аналогично уравнению движения неперевернутого маятника . Уравнение движения ниже предполагает отсутствие трения или любого другого сопротивления движению, жесткий невесомый стержень и ограничение двумерным движением.

${\displaystyle {\ddot {\theta }}-{g \over \ell }\sin \theta =0}$

Где — угловое ускорение маятника, — стандартная сила тяжести на поверхности Земли, — длина маятника, — угловое смещение, измеренное от положения равновесия. ${\displaystyle {\ddot {\theta }}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \theta }$

При добавлении к обеим частям он имеет тот же знак, что и член углового ускорения: ${\displaystyle {\ddot {\theta }}}$

${\displaystyle {\ddot {\theta }}={g \over \ell }\sin \theta }$

Таким образом, перевернутый маятник ускоряется от вертикального неустойчивого равновесия в направлении, изначально смещенном, и ускорение обратно пропорционально длине. Высокие маятники падают медленнее, чем короткие.

Вывод с использованием крутящего момента и момента инерции:

Схематическое изображение перевернутого маятника на тележке. Стержень считается невесомым. Масса тележки и точечная масса на конце стержня обозначены как M и m. Стержень имеет длину l.

Предполагается, что маятник состоит из точечной массы массой , прикрепленной к концу невесомого жесткого стержня длиной , прикрепленного к точке опоры на конце, противоположном точечной массе. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \ell }$

Чистый крутящий момент системы должен быть равен моменту инерции, умноженному на угловое ускорение:

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }=I{\ddot {\theta }}}$

Крутящий момент под действием силы тяжести, дающий чистый крутящий момент:

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }=mg\ell \sin \theta \,\!}$

Где угол измеряется от перевернутого положения равновесия. ${\displaystyle \theta \ }$

Полученное уравнение:

${\displaystyle I{\ddot {\theta }}=mg\ell \sin \theta \,\!}$

Момент инерции точечной массы:

${\displaystyle I=mR^{2}}$

В случае перевернутого маятника радиус равен длине стержня . ${\displaystyle \ell }$

Заменяя в ${\displaystyle I=m\ell ^{2}}$

${\displaystyle m\ell ^{2}{\ddot {\theta }}=mg\ell \sin \theta \,\!}$

Масса и делится с каждой стороны, в результате чего получается: ${\displaystyle \ell ^{2}}$

${\displaystyle {\ddot {\theta }}={g \over \ell }\sin \theta }$

Перевернутый маятник на тележке

Перевернутый маятник на тележке состоит из массы наверху шеста длиной , вращающейся на горизонтально движущемся основании, как показано на соседнем изображении. Тележка ограничена линейным движением и подвержена силам, приводящим к движению или препятствующим ему. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \ell }$

Основы стабилизации

Основы стабилизации перевернутого маятника можно качественно обобщить в три этапа.

Простая система стабилизации, используемая на тележке с бокалом вина наверху.

1. Если угол наклона вправо, тележка должна ускоряться вправо и наоборот. ${\displaystyle \theta }$

2. Положение тележки относительно центра пути стабилизируется путем небольшой модуляции нулевого угла (ошибка угла, которую система управления пытается обнулить) положением тележки, то есть нулевого угла, где мал. Это заставляет шест слегка наклониться к центру пути и стабилизироваться в центре пути, где угол наклона точно вертикальный. Любое смещение в датчике наклона или наклоне пути, которое в противном случае вызвало бы нестабильность, преобразуется в смещение устойчивого положения. Дополнительное добавленное смещение обеспечивает контроль положения. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle =\theta +kx}$ ${\displaystyle k}$

3. Обычный маятник, подверженный воздействию подвижной точки опоры, такой как груз, поднимаемый краном, имеет пиковый отклик на радианной частоте маятника . Чтобы предотвратить неконтролируемое качание, спектр частот движения опоры должен быть подавлен вблизи . Перевернутому маятнику требуется тот же фильтр подавления для достижения устойчивости. ${\displaystyle \omega _{p}={\sqrt {g/\ell }}}$ ${\displaystyle \omega _{p}}$

Вследствие стратегии модуляции нулевого угла обратная связь по положению положительна, то есть внезапная команда двигаться вправо вызывает начальное движение тележки влево, за которым следует движение вправо для восстановления равновесия маятника. Взаимодействие нестабильности маятника и нестабильности положительной обратной связи по положению для создания устойчивой системы является особенностью, которая делает математический анализ интересной и сложной задачей.

Из уравнений Лагранжа

Уравнения движения можно вывести с помощью уравнений Лагранжа . Обратимся к рисунку справа, где — угол маятника длины относительно вертикального направления, а действующими силами являются сила тяжести и внешняя сила F в направлении оси x. Определим как — положение тележки. ${\displaystyle \theta (t)}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle x(t)}$

Кинетическая энергия системы равна: ${\displaystyle T}$

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}Mv_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}mv_{2}^{2},}$

где — скорость тележки, а — скорость точечной массы . и может быть выражена через x и путем записи скорости в виде первой производной положения; ${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle v_{2}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle v_{2}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle v_{1}^{2}={\dot {x}}^{2},}$

${\displaystyle v_{2}^{2}=\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}{\left(x-\ell \sin \theta \right)}\right)^{2}+\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}{\left(\ell \cos \theta \right)}\right)^{2}.}$

Упрощение выражения приводит к следующему: ${\displaystyle v_{2}}$

${\displaystyle v_{2}^{2}={\dot {x}}^{2}-2\ell {\dot {x}}{\dot {\theta }}\cos \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}.}$

Кинетическая энергия теперь определяется по формуле:

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\left(M+m\right){\dot {x}}^{2}-m\ell {\dot {x}}{\dot {\theta }}\cos \theta +{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}.}$

Обобщенные координаты системы и , каждая имеет обобщенную силу. На оси обобщенная сила может быть рассчитана через ее виртуальную работу ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Q_{x}}$

${\displaystyle Q_{x}\delta x=F\delta x,\quad Q_{x}=F,}$

на оси обобщенная сила также может быть рассчитана через ее виртуальную работу ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle Q_{\theta }}$

${\displaystyle Q_{\theta }\delta \theta =mgl\sin \theta \delta \theta ,\quad Q_{\theta }=mgl\sin \theta .}$

Согласно уравнениям Лагранжа , уравнения движения имеют вид:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\partial {T} \over \partial {\dot {x}}}-{\partial {T} \over \partial x}=F,}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\partial {T} \over \partial {\dot {\theta }}}-{\partial {T} \over \partial \theta }=mgl\sin \theta ,}$

Подстановка в эти уравнения и упрощение приводит к уравнениям, описывающим движение перевернутого маятника: ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \left(M+m\right){\ddot {x}}-m\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta +m\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta =F,}$

${\displaystyle \ell {\ddot {\theta }}-g\sin \theta ={\ddot {x}}\cos \theta .}$

Эти уравнения нелинейны, но поскольку целью системы управления является удержание маятника в вертикальном положении, уравнения можно линеаризовать относительно . ${\displaystyle \theta \approx 0}$

Из уравнений Эйлера-Лагранжа

Обобщенные силы можно записать как потенциальную энергию и , ${\displaystyle V_{x}}$ ${\displaystyle V_{\theta }}$

Согласно принципу Даламбера , обобщенные силы и потенциальная энергия связаны:

${\displaystyle Q_{j}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}}\,,}$

Однако при определенных обстоятельствах потенциальная энергия недоступна, доступны только обобщенные силы.

Получив лагранжиан , мы также можем использовать уравнение Эйлера–Лагранжа для решения уравнений движения: ${\displaystyle L=T-V}$

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)=0}$,

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \theta }}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}\right)=0}$.

Единственное различие заключается в том, следует ли включать обобщенные силы в потенциальную энергию или записывать их явно, как в правой части; в конечном итоге они все приводят к одним и тем же уравнениям. ${\displaystyle V_{j}}$ ${\displaystyle Q_{j}}$

Из второго закона Ньютона

Часто бывает полезно использовать второй закон Ньютона вместо уравнений Лагранжа , поскольку уравнения Ньютона дают силы реакции в соединении между маятником и тележкой. Эти уравнения приводят к двум уравнениям для каждого тела: одно в направлении x, а другое в направлении y. Уравнения движения тележки показаны ниже, где LHS — сумма сил на теле, а RHS — ускорение.

${\displaystyle F-R_{x}=M{\ddot {x}}}$

${\displaystyle F_{N}-R_{y}-Mg=0}$

В уравнениях выше и являются силами реакции в соединении. является нормальной силой, приложенной к тележке. Это второе уравнение зависит только от вертикальной силы реакции, поэтому уравнение может быть использовано для решения для нормальной силы. Первое уравнение может быть использовано для решения для горизонтальной силы реакции. Для того чтобы завершить уравнения движения, необходимо вычислить ускорение точечной массы, прикрепленной к маятнику. Положение точечной массы может быть задано в инерциальных координатах как ${\displaystyle R_{x}}$ ${\displaystyle R_{y}}$ ${\displaystyle F_{N}}$

${\displaystyle {\vec {r}}_{P}=(x-\ell \sin \theta ){\hat {x}}_{I}+\ell \cos \theta {\hat {y}}_{I}}$

Взяв две производные, получаем вектор ускорения в инерциальной системе отсчета.

${\displaystyle {\vec {a}}_{P/I}=({\ddot {x}}+\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta -\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta ){\hat {x}}_{I}+(-\ell {\dot {\theta }}^{2}\cos \theta -\ell {\ddot {\theta }}\sin \theta ){\hat {y}}_{I}}$

Затем, используя второй закон Ньютона, можно записать два уравнения в направлении x и направлении y. Обратите внимание, что силы реакции положительны, когда они приложены к маятнику, и отрицательны, когда они приложены к тележке. Это происходит из-за третьего закона Ньютона.

${\displaystyle R_{x}=m({\ddot {x}}+\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta -\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta )}$

${\displaystyle R_{y}-mg=m(-\ell {\dot {\theta }}^{2}\cos \theta -\ell {\ddot {\theta }}\sin \theta )}$

Первое уравнение позволяет еще одним способом вычислить горизонтальную силу реакции в случае, если приложенная сила неизвестна. Второе уравнение можно использовать для решения для вертикальной силы реакции. Первое уравнение движения выводится путем подстановки в , что дает ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F-R_{x}=M{\ddot {x}}}$ ${\displaystyle R_{x}=m({\ddot {x}}+\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta -\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta )}$

${\displaystyle \left(M+m\right){\ddot {x}}-m\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta +m\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta =F}$

При осмотре это уравнение идентично результату метода Лагранжа. Чтобы получить второе уравнение, уравнение движения маятника должно быть снабжено единичным вектором, который все время перпендикулярен маятнику и обычно обозначается как x-координата системы координат. В инерциальных координатах этот вектор можно записать с помощью простого двумерного преобразования координат

${\displaystyle {\hat {x}}_{B}=\cos \theta {\hat {x}}_{I}+\sin \theta {\hat {y}}_{I}}$

Уравнение движения маятника, записанное в векторной форме, имеет вид . Расстановка точек на обеих сторонах дает следующее в левой части (обратите внимание, что транспонирование — это то же самое, что и скалярное произведение ) ${\displaystyle \sum {\vec {F}}=m{\vec {a}}_{P/I}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}_{B}}$

${\displaystyle ({\hat {x}}_{B})^{T}\sum {\vec {F}}=({\hat {x}}_{B})^{T}(R_{x}{\hat {x}}_{I}+R_{y}{\hat {y}}_{I}-mg{\hat {y}}_{I})=({\hat {x}}_{B})^{T}(R_{p}{\hat {y}}_{B}-mg{\hat {y}}_{I})=-mg\sin \theta }$

В приведенном выше уравнении используется соотношение между компонентами сил реакции в системе кузова и компонентами сил реакции в инерционной системе. Предположение о том, что стержень, соединяющий точечную массу с тележкой, невесом, подразумевает, что этот стержень не может передавать нагрузку перпендикулярно стержню. Таким образом, компоненты сил реакции в инерционной системе можно записать просто как , что означает, что стержень может передавать нагрузки только вдоль оси самого стержня. Это приводит к другому уравнению, которое можно использовать для решения задачи натяжения самого стержня: ${\displaystyle R_{p}{\hat {y}}_{B}}$

${\displaystyle R_{p}={\sqrt {R_{x}^{2}+R_{y}^{2}}}}$

Правая часть уравнения вычисляется аналогично, с помощью точек, соответствующих ускорению маятника. Результат (после некоторого упрощения) показан ниже. ${\displaystyle {\hat {x}}_{B}}$

${\displaystyle m({\hat {x}}_{B})^{T}({\vec {a}}_{P/I})=m({\ddot {x}}\cos \theta -\ell {\ddot {\theta }})}$

Объединение левой и правой частей и деление на m дает

${\displaystyle \ell {\ddot {\theta }}-g\sin \theta ={\ddot {x}}\cos \theta }$

что снова идентично результату метода Лагранжа. Преимущество использования метода Ньютона в том, что все силы реакции раскрываются, чтобы гарантировать, что ничего не повреждено.

Для вывода уравнений движения из второго закона Ньютона, как указано выше, с использованием Symbolic Math Toolbox™ см. ^[4] и приведенные там ссылки.

Варианты

Достижение устойчивости перевернутого маятника стало обычной инженерной задачей для исследователей. ^[5] Существуют различные вариации перевернутого маятника на тележке, начиная от стержня на тележке до многосегментного перевернутого маятника на тележке. Другая вариация помещает стержень перевернутого маятника или сегментированный стержень на конец вращающейся сборки. В обоих случаях (тележка и вращающаяся система) перевернутый маятник может падать только в плоскости. Перевернутые маятники в этих проектах могут либо поддерживать равновесие только после достижения положения равновесия, либо могут достигать равновесия сами по себе. Другая платформа — двухколесный балансирующий перевернутый маятник. Двухколесная платформа может вращаться на месте, что обеспечивает большую маневренность. ^[6] Еще одна вариация балансирует на одной точке. Волчок , одноколесный велосипед или перевернутый маятник на сферическом шаре — все это балансирует на одной точке.

Рисунок, показывающий, как может быть устроен маятник Капицы: двигатель вращает кривошип с высокой скоростью, кривошип вибрирует вверх и вниз по рычагу, к которому маятник прикреплен с помощью оси.

Маятник Капицы

Перевернутый маятник, в котором ось быстро колеблется вверх и вниз, может быть устойчивым в перевернутом положении. Это называется маятником Капицы , в честь русского физика Петра Капицы, который первым его проанализировал. Уравнение движения маятника, соединенного с безмассовым колеблющимся основанием, выводится так же, как и для маятника на тележке. Положение точечной массы теперь задается как:

${\displaystyle \left(-\ell \sin \theta ,y+\ell \cos \theta \right)}$

а скорость находится путем взятия первой производной положения:

${\displaystyle v^{2}={\dot {y}}^{2}-2\ell {\dot {y}}{\dot {\theta }}\sin \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}.}$

Графики для перевернутого маятника на колебательном основании. Первый график показывает реакцию маятника на медленное колебание, второй — реакцию на быстрое колебание

Лагранжиан для этой системы можно записать как:

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}m\left({\dot {y}}^{2}-2\ell {\dot {y}}{\dot {\theta }}\sin \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)-mg\left(y+\ell \cos \theta \right)}$

и уравнение движения следует из:

${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{\partial {L} \over \partial {\dot {\theta }}}-{\partial {L} \over \partial \theta }=0}$

в результате чего:

${\displaystyle \ell {\ddot {\theta }}-{\ddot {y}}\sin \theta =g\sin \theta .}$

Если y представляет собой простое гармоническое движение , то следующее дифференциальное уравнение имеет вид: ${\displaystyle y=A\sin \omega t}$

${\displaystyle {\ddot {\theta }}-{g \over \ell }\sin \theta =-{A \over \ell }\omega ^{2}\sin \omega t\sin \theta .}$

Это уравнение не имеет элементарных замкнутых решений, но может быть исследовано различными способами. Оно близко аппроксимируется уравнением Матье , например, когда амплитуда колебаний мала. Анализ показывает, что маятник остается в вертикальном положении при быстрых колебаниях. Первый график показывает, что когда — медленное колебание, маятник быстро падает, если его вывести из вертикального положения. Угол превышает 90° через короткое время, что означает, что маятник упал на землю. Если — быстрое колебание, маятник может оставаться устойчивым около вертикального положения. Второй график показывает, что при выведении из вертикального положения маятник теперь начинает колебаться вокруг вертикального положения ( ). Отклонение от вертикального положения остается небольшим, и маятник не падает. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \theta =0}$

Примеры

Вероятно, наиболее распространенным примером стабилизированного перевернутого маятника является человек . Человек, стоящий прямо, действует как перевернутый маятник, используя ноги в качестве опоры, и без постоянных небольших мышечных корректировок упадет. Нервная система человека содержит бессознательную систему управления обратной связью , чувство равновесия или рефлекс выпрямления , которая использует проприоцептивный вход от глаз, мышц и суставов, а также ориентационный вход от вестибулярной системы, состоящей из трех полукружных каналов во внутреннем ухе и двух отолитовых органов, для внесения постоянных небольших корректировок в скелетные мышцы, чтобы удерживать нас в вертикальном положении. Ходьба, бег или балансирование на одной ноге предъявляют дополнительные требования к этой системе. Некоторые заболевания и алкогольное или наркотическое опьянение могут нарушить этот рефлекс, вызывая головокружение и потерю равновесия , неспособность стоять прямо. Полевой тест на трезвость, используемый полицией для проверки водителей на предмет воздействия алкоголя или наркотиков, проверяет этот рефлекс на предмет нарушения.

Вот несколько простых примеров: балансировка метлы или измерительной линейки вручную.

Перевернутый маятник использовался в различных устройствах, и попытка сбалансировать перевернутый маятник представляет собой уникальную инженерную проблему для исследователей. ^[7] Перевернутый маятник был центральным компонентом в конструкции нескольких ранних сейсмометров из-за присущей ему нестабильности, приводящей к измеримой реакции на любое возмущение. ^[8]

Модель перевернутого маятника использовалась в некоторых современных персональных транспортных средствах , таких как двухколесные самобалансирующиеся скутеры и одноколесные электрические моноциклы . Эти устройства кинематически нестабильны и используют электронную систему сервопривода обратной связи для удержания их в вертикальном положении.

Раскачивание маятника на тележке в перевернутое состояние маятника считается традиционной игрушкой-задачей оптимального управления /эталоном. ^{[9] [10]}

Траектория фиксированного времени подъема шеста, минимизирующая квадрат силы

Смотрите также

• Двойной перевернутый маятник
• Инерционный маятник
• Маятник Фурута
• iBOT
• Человекоподобный робот
• Шаробот

Ссылки

1. CA Hamilton Union College Старший проект 1966
2. «Устойчивость модели ракеты».
3. Митчелл, Джо. «Методы для колеблющегося маятника и уравнения Матье» (PDF) . math.ou.edu . Получено 2023-11-06 .
4. «Вывести уравнения движения и смоделировать систему тележка-шест».
5. Оой, Рич Чи. «Балансировка двухколесного автономного робота» (PDF) . robotics.ee.uwa.edu.au . Получено 2023-11-06 .
6. "Архивная копия" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2016-03-04 . Получено 2012-05-01 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
7. "Архивная копия" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2016-03-04 . Получено 2012-05-01 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
8. "Ранняя история сейсмометрии (до 1900 г.)". Архивировано из оригинала 28.11.2009.
9. «Акробот и дышло» (PDF) .
10. "Cart-Pole Swing-Up". www.cs.huji.ac.il . Получено 19 августа 2019 г.

• D. Liberzon Switching in Systems and Control (2003 Springer) стр. 89 и далее

Дальнейшее чтение

• Франклин и др. (2005). Управление динамическими системами с обратной связью, 5, Prentice Hall. ISBN 0-13-149930-0 

Внешние ссылки

• YouTube - Перевернутый маятник - Демонстрация №3
• YouTube - перевернутый маятник
• YouTube - Двойной маятник на тележке
• YouTube - Тройной маятник на тележке
• Динамическое моделирование обратного маятника на колебательном основании Архивировано 13.09.2019 на Wayback Machine
• Перевернутый маятник: анализ, проектирование и реализация
• Нелинейное качание и стабилизирующее управление перевернутой маятниковой системой
• Стабилизация нечеткого управления системами перевернутого маятника ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
• Запись в блоге о перевернутом маятнике с кодом Python
• Уравнения движения для задачи управления тележкой и шестом