Принцип передачи

Концепция в теории моделей

В теории моделей принцип переноса утверждает, что все утверждения некоторого языка, истинные для некоторой структуры, истинны и для другой структуры. Одним из первых примеров был принцип Лефшеца , который утверждает, что любое предложение на языке полей первого порядка , истинное для комплексных чисел , также истинно для любого алгебраически замкнутого поля характеристики .

История

Начальная форма принципа переноса была описана Лейбницем под названием « Закон непрерывности ». ^[1] Здесь предполагается, что бесконечно малые величины обладают «теми же» свойствами, что и заметные числа. Принцип переноса можно также рассматривать как строгую формализацию принципа постоянства . Похожие тенденции можно обнаружить у Коши , который использовал бесконечно малые величины для определения как непрерывности функций (в Cours d'Analyse ), так и формы дельта-функции Дирака . ^{[1] : 903}

В 1955 году Ежи Лос доказал принцип переноса для любой гипердействительной числовой системы. Наиболее часто он используется в нестандартном анализе гипердействительных чисел Абрахама Робинсона , где принцип переноса утверждает, что любое предложение, выраженное на определенном формальном языке, которое верно для действительных чисел , верно также и для гипердействительных чисел.

Принцип переноса для гиперреалий

Принцип переноса касается логической связи между свойствами действительных чисел R и свойствами большего поля, обозначаемого * R, называемого гипердействительными числами . Поле * R включает в себя, в частности, бесконечно малые («бесконечно малые») числа, обеспечивая строгую математическую реализацию проекта, инициированного Лейбницем.

Идея состоит в том, чтобы выразить анализ над R на подходящем языке математической логики , а затем указать, что этот язык применим в равной степени к * R. Это оказывается возможным, поскольку на теоретико-множественном уровне предложения на таком языке интерпретируются как применимые только к внутренним множествам, а не ко всем множествам. Как выразился Робинсон , предложения [теории] интерпретируются в * R в смысле Хенкина. [ ^2]

Теорема о том, что каждое утверждение, справедливое над R , справедливо также над * R , называется принципом переноса.

Существует несколько различных версий принципа переноса, в зависимости от того, какая модель нестандартной математики используется. В терминах теории моделей принцип переноса утверждает, что отображение из стандартной модели в нестандартную модель является элементарным вложением (вложением, сохраняющим значения истинности всех утверждений в языке), или иногда ограниченным элементарным вложением (похожим, но только для утверждений с ограниченными кванторами ). ^{[ необходимо разъяснение ]}

Принцип переноса, по-видимому, приводит к противоречиям, если с ним обращаться неправильно. Например, поскольку гипердействительные числа образуют неархимедово упорядоченное поле , а действительные числа образуют архимедово упорядоченное поле, свойство быть архимедовым («каждое положительное действительное число больше, чем для некоторого положительного целого числа ») на первый взгляд кажется не удовлетворяющим принципу переноса. Утверждение «каждое положительное гипердействительное число больше, чем для некоторого положительного целого числа » ложно; однако правильная интерпретация — «каждое положительное гипердействительное число больше, чем для некоторого положительного гиперцелого числа ». Другими словами, гипердействительные числа кажутся архимедовыми внутреннему наблюдателю, живущему в нестандартной вселенной, но кажутся неархимедовыми внешнему наблюдателю за пределами вселенной. ${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle n}$

Формулировка принципа переноса, доступная на уровне новичка, представлена ​​в книге Кейслера «Элементарное исчисление: подход к бесконечно малым» .

Пример

Каждое вещественное число удовлетворяет неравенству , где — функция целой части . По типичному применению принципа переноса каждое гипервещественное число удовлетворяет неравенству , где — естественное расширение функции целой части. Если — бесконечно, то и гиперцелое число также бесконечно. ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle x\geq \lfloor x\rfloor ,}$$ ${\displaystyle \lfloor \,\cdot \,\rfloor }$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle x\geq {}^{*}\!\lfloor x\rfloor ,}$$ ${\displaystyle {}^{*}\!\lfloor \,\cdot \,\rfloor }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {}^{*}\!\lfloor x\rfloor }$

Обобщения понятия числа

Исторически понятие числа неоднократно обобщалось. Добавление к натуральным числам было крупным интеллектуальным достижением своего времени. Добавление отрицательных целых чисел к форме уже представляло собой отход от сферы непосредственного опыта в сферу математических моделей. Дальнейшее расширение, рациональные числа, более знакомо неспециалисту, чем их завершение , отчасти потому, что действительные числа не соответствуют никакой физической реальности (в смысле измерения и вычисления), отличной от той, что представлена ​​. Таким образом, понятие иррационального числа бессмысленно даже для самого мощного компьютера с плавающей точкой. Необходимость такого расширения вытекает не из физического наблюдения, а скорее из внутренних требований математической согласованности. Бесконечно малые вошли в математический дискурс в то время, когда такое понятие требовалось математическими разработками того времени, а именно появлением того, что стало известно как исчисление бесконечно малых . Как уже упоминалось выше, математическое обоснование этого последнего расширения было отложено на три столетия. Кейслер писал: ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

«Обсуждая реальную линию, мы отметили, что у нас нет способа узнать, какова на самом деле линия в физическом пространстве. Она может быть похожа на гиперреальную линию, на реальную линию или ни на то, ни на другое. Однако в приложениях исчисления полезно представлять линию в физическом пространстве как гиперреальную линию».

Самосогласованное развитие гиперреальных чисел оказалось возможным, если каждое истинное логическое утверждение первого порядка , которое использует базовую арифметику ( натуральные числа , плюс, умножение, сравнение) и количественно оценивает только действительные числа, предполагалось истинным в переосмысленной форме, если мы предположим, что оно количественно оценивает гиперреальные числа. Например, мы можем утверждать, что для каждого действительного числа существует другое число, большее его:

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad \exists y\in \mathbb {R} \quad x<y.}$

То же самое будет справедливо и для гиперреалий:

${\displaystyle \forall x\in {}^{\star }\mathbb {R} \quad \exists y\in {}^{\star }\mathbb {R} \quad x<y.}$

Другим примером является утверждение, что если к числу прибавить 1, то получится большее число:

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad x<x+1}$

что также будет справедливо для гиперреалов:

${\displaystyle \forall x\in {}^{\star }\mathbb {R} \quad x<x+1.}$

Правильное общее утверждение, формулирующее эти эквивалентности, называется принципом переноса. Обратите внимание, что во многих формулах анализа квантификация осуществляется по объектам более высокого порядка, таким как функции и множества, что делает принцип переноса несколько более тонким, чем показывают приведенные выше примеры.

Различия между R и*Р

Однако принцип переноса не означает, что R и * R ведут себя одинаково. Например, в * R существует элемент ω такой, что

${\displaystyle 1<\omega ,\quad 1+1<\omega ,\quad 1+1+1<\omega ,\quad 1+1+1+1<\omega ,\ldots }$

но такого числа нет в R. Это возможно, поскольку несуществование этого числа не может быть выражено как утверждение первого порядка указанного выше типа. Гипердействительное число, такое как ω, называется бесконечно большим; обратные величины бесконечно больших чисел являются бесконечно малыми.

Гиперреальные числа * R образуют упорядоченное поле, содержащее в качестве подполя действительные числа R. В отличие от действительных чисел, гиперреальные числа не образуют стандартного метрического пространства , но в силу своего порядка они несут топологию порядка .

Конструкции гиперреального

Гиперреальные числа могут быть разработаны либо аксиоматически, либо более конструктивно ориентированными методами. Суть аксиоматического подхода заключается в утверждении (1) существования по крайней мере одного бесконечно малого числа и (2) справедливости принципа переноса. В следующем подразделе мы дадим подробное описание более конструктивного подхода. Этот метод позволяет построить гиперреальные числа, если задан теоретико-множественный объект, называемый ультрафильтром , но сам ультрафильтр не может быть явно построен. Владимир Кановей и Шелах ^[3] дают конструкцию определимого, счетно насыщенного элементарного расширения структуры, состоящей из действительных чисел и всех финитных отношений на нем.

В самом общем виде перенос представляет собой ограниченное элементарное вложение между структурами.

Заявление

Упорядоченное поле * ^R нестандартных действительных чисел правильно включает действительное поле R . Как и все упорядоченные поля, которые правильно включают R , это поле неархимедово . Это означает, что некоторые члены x  ≠ 0 из ^* R являются бесконечно малыми , т.е.

${\displaystyle \underbrace {\left|x\right|+\cdots +\left|x\right|} _{n{\text{ terms}}}<1{\text{ for every finite [[cardinal number]] }}n.}$

Единственная бесконечно малая величина в R — это 0. Некоторые другие члены ^* R , обратные величины y ненулевых бесконечно малых величин, бесконечны, т.е.

${\displaystyle \underbrace {1+\cdots +1} _{n{\text{ terms}}}<\left|y\right|{\text{ for every finite [[cardinal number]] }}n.}$

Базовый набор поля ^* R — это образ R при отображении A  ↦  ^* A из подмножеств A поля R в подмножества ^* R. В каждом случае

${\displaystyle A\subseteq {^{*}\!A},}$

с равенством тогда и только тогда, когда A конечно. Множества вида ^* A для некоторых называются стандартными подмножествами ^* R . Стандартные множества принадлежат к гораздо большему классу подмножеств ^* R , называемых внутренними множествами. Аналогично каждая функция ${\displaystyle \scriptstyle A\,\subseteq \,\mathbb {R} }$

${\displaystyle f:A\rightarrow \mathbb {R} }$

распространяется на функцию

${\displaystyle {^{*}\!f}:{^{*}\!A}\rightarrow {^{*}\mathbb {R} };}$

Они называются стандартными функциями и принадлежат к гораздо большему классу внутренних функций . Множества и функции, которые не являются внутренними, являются внешними .

Важность этих концепций вытекает из их роли в следующем предложении и иллюстрируется приведенными ниже примерами.

Принцип передачи:

• Предположим, что утверждение, которое истинно для ^* R, может быть выражено через функции конечного числа переменных (например, ( x ,  y ) ↦  x  +  y ), отношения между конечным числом переменных (например, x  ≤  y ), финитные логические связки, такие как и , или , не , если... то... , и кванторы

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} {\text{ and }}\exists x\in \mathbb {R} .}$

Например, одно из таких предложений:

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \ \exists y\in \mathbb {R} \ x+y=0.}$

Такое предложение истинно в R тогда и только тогда, когда оно истинно в ^* R, когда квантор

${\displaystyle \forall x\in {^{*}\!\mathbb {R} }}$

заменяет

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,}$

и аналогично для . ${\displaystyle \exists }$

• Предположим, что предложение, иначе выражаемое так же просто, как рассмотренные выше, упоминает некоторые конкретные множества . Такое предложение истинно в R тогда и только тогда, когда оно истинно в ^* R с каждым таким " A ", замененным соответствующим ^* A. Вот два примера: ${\displaystyle \scriptstyle A\,\subseteq \,\mathbb {R} }$

• Набор

${\displaystyle [0,1]^{\ast }=\{\,x\in \mathbb {R} :0\leq x\leq 1\,\}^{\ast }}$

должно быть

${\displaystyle \{\,x\in {^{*}\mathbb {R} }:0\leq x\leq 1\,\},}$

включая не только члены R между 0 и 1 включительно, но также и члены ^* R между 0 и 1, которые отличаются от тех на бесконечно малые величины. Чтобы увидеть это, заметьте, что предложение

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \ (x\in [0,1]{\text{ if and only if }}0\leq x\leq 1)}$

верно в R , и применим принцип переноса.

• Множество ^* N не должно иметь верхней границы в ^* R (поскольку предложение, выражающее несуществование верхней границы N в R, достаточно простое для того, чтобы к нему можно было применить принцип переноса) и должно содержать n  + 1, если оно содержит n , но не должно содержать ничего между n и n  + 1. Члены

${\displaystyle {^{*}\mathbb {N} }\setminus \mathbb {N} }$

являются «бесконечными целыми числами».)

• Предположим, что предложение, иначе выражаемое так же просто, как рассмотренные выше, содержит квантификатор

${\displaystyle \forall A\subseteq \mathbb {R} \dots {\text{ or }}\exists A\subseteq \mathbb {R} \dots \ .}$

Такое предложение истинно в R тогда и только тогда, когда оно истинно в ^* R после указанных выше изменений и замены кванторов на

${\displaystyle [\forall {\text{ internal }}A\subseteq {^{*}\mathbb {R} }\dots ]}$

и

${\displaystyle [\exists {\text{ internal }}A\subseteq {^{*}\mathbb {R} }\dots ]\ .}$

Три примера

Подходящим местом для гиперреального принципа переноса является мир внутренних сущностей. Таким образом, свойство хорошего упорядочения натуральных чисел при переносе приводит к тому, что каждое внутреннее подмножество имеет наименьший элемент. В этом разделе внутренние множества обсуждаются более подробно. ${\displaystyle \mathbb {N} }$

• Каждое непустое внутреннее подмножество ^* R , имеющее верхнюю границу в ^* R , имеет наименьшую верхнюю границу в ^* R. Следовательно, множество всех бесконечно малых является внешним.
  • Принцип хорошего порядка подразумевает, что каждое непустое внутреннее подмножество ^* N имеет наименьший элемент. Следовательно, множество

${\displaystyle {^{*}\mathbb {N} }\setminus \mathbb {N} }$

всех бесконечных целых чисел является внешним.

• Если n — бесконечное целое число, то множество {1, ...,  n } (которое не является стандартным) должно быть внутренним. Чтобы доказать это, сначала заметим, что следующее тривиально верно:

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \ \exists A\subseteq \mathbb {N} \ \forall x\in \mathbb {N} \ [x\in A{\text{ iff }}x\leq n].}$

Следовательно

${\displaystyle \forall n\in {^{*}\mathbb {N} }\ \exists {\text{ internal }}A\subseteq {^{*}\mathbb {N} }\ \forall x\in {^{*}\mathbb {N} }\ [x\in A{\text{ iff }}x\leq n].}$

• Как и с внутренними наборами, так и с внутренними функциями: Заменить

${\displaystyle \forall f:A\rightarrow \mathbb {R} \dots }$

с

${\displaystyle \forall {\text{ internal }}f:{^{*}\!A}\rightarrow {^{*}\mathbb {R} }\dots }$

при применении принципа переноса, а также аналогично с вместо . ${\displaystyle \exists }$ ${\displaystyle \forall }$

Например: Если n — бесконечное целое число, то дополнение образа любой внутренней однозначной функции ƒ из бесконечного множества {1, ...,  n } в {1, ...,  n ,  n  + 1,  n  + 2,  n  + 3} имеет ровно три члена по принципу переноса. Из-за бесконечности области определения дополнения образов однозначной функции из первого множества во второе имеют множество размеров, но большинство этих функций являются внешними.

Последний пример мотивирует важное определение: *-конечное (произносится как звездно-конечное ) подмножество ^* R — это такое подмножество, которое может быть помещено во внутреннее взаимно-однозначное соответствие с {1, ...,  n } для некоторого n  ∈  ^* N .

Смотрите также

• Элементарное исчисление: подход к бесконечно малым величинам
• Принцип постоянства
• Общность алгебры

Примечания

1. Keisler, H. Jerome. «Элементарное исчисление: подход к бесконечно малым». стр. 902.
2. Робинсон, А. Метафизика исчисления, в «Проблемах философии математики», под ред. Лакатоса (Амстердам: Северная Голландия), стр. 28–46, 1967. Переиздано в Собрании сочинений 1979 года. Страница 29.
3. Кановей, Владимир; Шелах, Сахарон (2004), «Определимая нестандартная модель действительных чисел» (PDF) , Журнал символической логики , 69 : 159–164, arXiv : math/0311165 , doi : 10.2178/jsl/1080938834, S2CID  15104702

Ссылки

• Чан, Чэнь Чан; Кейслер, Х. Джером (1990) [1973], Теория моделей , Исследования по логике и основаниям математики (3-е изд.), Elsevier , ISBN 978-0-444-88054-3
• Харди, Майкл: «Масштабированные булевы алгебры». Adv. in Appl. Math. 29 (2002), № 2, 243–292.
• Кановей, Владимир; Шелах, Сахарон (2004), «Определимая нестандартная модель действительных чисел», Журнал символической логики , 69 : 159–164, arXiv : math/0311165 , doi : 10.2178/jsl/1080938834, S2CID  15104702
• Кейслер, Х. Джером (2000). «Элементарное исчисление: подход к бесконечно малым».
• Кульман, Ф.-В. (2001) [1994], "Принцип переноса", Энциклопедия математики , EMS Press
• Лось, Ежи (1955) Quelques remarques, theorèmes et problèmes sur les definissables d'algèbres. Математическая интерпретация формальных систем, стр. 98–113. Издательство Северной Голландии, Амстердам.
• Робинсон, Абрахам (1996), Нестандартный анализ , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-04490-3, МР  0205854