Теорема Безу

Теорема Безу — это утверждение в алгебраической геометрии, касающееся числа общих нулей n многочленов от $n$ неизвестных. В своей первоначальной форме теорема утверждает, что в общем случае число общих нулей равно произведению степеней многочленов . ^[1] $Она$ названа в честь Этьена Безу .

В некоторых элементарных текстах теорема Безу относится только к случаю двух переменных и утверждает, что если две плоские алгебраические кривые степеней и не имеют общих компонент, то они имеют точки пересечения, учитываемые с учетом их кратности и включающие точки на бесконечности и точки с комплексными координатами. ^[2] $d_{1}$ $d_{2}$ $d_{1}d_{2}$

В современной формулировке теорема утверждает, что если $N$ — число общих точек над алгебраически замкнутым полем из $n$ проективных гиперповерхностей, определяемых однородными многочленами от $n + 1$ неизвестных, то $N$ либо бесконечно, либо равно произведению степеней многочленов. Более того, конечный случай встречается почти всегда.

В случае двух переменных и в случае аффинных гиперповерхностей, если не учитывать кратности и бесконечно удаленные точки, эта теорема дает только верхнюю границу числа точек, которая почти всегда достигается. Эту границу часто называют границей Безу .

Теорема Безу является фундаментальной в компьютерной алгебре и эффективной алгебраической геометрии , показывая, что большинство проблем имеют вычислительную сложность , которая является по крайней мере экспоненциальной по числу переменных. Из этого следует, что в этих областях наилучшая сложность, на которую можно надеяться, будет иметь место с алгоритмами, имеющими сложность, которая является полиномиальной по границе Безу.

История

В случае плоских кривых теорема Безу была по существу сформулирована Исааком Ньютоном в его доказательстве леммы 28 первого тома его «Начал» в 1687 году, где он утверждает, что две кривые имеют число точек пересечения, задаваемое произведением их степеней. ^[3]

Общая теорема была позднее опубликована в 1779 году в работе Этьена Безу « Théorie générale des équations algébriques» . Он предположил, что уравнения «полные», что в современной терминологии переводится как общие . Поскольку для общих многочленов нет точек на бесконечности, а все кратности равны единице, формулировка Безу верна, хотя его доказательство не соответствует современным требованиям строгости. Это и тот факт, что концепция кратности пересечения находилась за пределами знаний его времени, привели к мнению, выраженному некоторыми авторами, что его доказательство не было ни правильным, ни первым из данных доказательств. ^[4]

Доказательство утверждения, включающего кратности, требует точного определения кратностей пересечения и, следовательно, было невозможно до 20-го века. Определения кратностей, данные в первой половине 20-го века, включали непрерывные и бесконечно малые деформации . Из этого следует, что доказательства этого периода применимы только к полю комплексных чисел. Только в 1958 году Жан-Пьер Серр дал чисто алгебраическое определение кратностей, что привело к доказательству, справедливому для любого алгебраически замкнутого поля. ^[5]

Современные исследования, связанные с теоремой Безу, позволили получить различные верхние границы для системы многочленов, используя другие свойства многочленов, такие как теорема Бернштейна–Кушниренко , или обобщили ее на большой класс функций, таких как функции Нэша . ^[6]

Заявление

Плоские кривые

Предположим, что X и Y — две плоские проективные кривые, определенные над полем F , не имеющие общей компоненты (это условие означает, что X и Y определяются многочленами, без общего делителя положительной степени). Тогда общее число точек пересечения X и Y с координатами в алгебраически замкнутом поле E , содержащем F , подсчитанное с их кратностями , равно произведению степеней X и Y.

Общий случай

Обобщение в более высоком измерении можно сформулировать следующим образом:

Пусть в проективном пространстве размерности n над алгебраически замкнутым полем заданы n проективных гиперповерхностей , которые определяются n однородными многочленами от n + 1 переменных степеней. Тогда либо число точек пересечения бесконечно, либо число точек пересечения, подсчитанное с кратностью, равно произведению Если гиперповерхности находятся в относительно общем положении , то имеются точки пересечения, все с кратностью 1. $d_{1},\ldots ,d_{n}.$ $d_{1}\cdots d_{n}.$ $d_{1}\cdots d_{n}$

Существуют различные доказательства этой теоремы, которые либо выражены в чисто алгебраических терминах, либо используют язык алгебраической геометрии . Ниже приведены три алгебраических доказательства.

Теорема Безу была обобщена как так называемая мультиоднородная теорема Безу .

Аффинный случай

Аффинный случай теоремы — это следующее утверждение, доказанное в 1983 году Дэвидом Массером и Гисбертом Вюстхольцем . ^[7]

Рассмотрим $n$ аффинных гиперповерхностей , которые определены над алгебраически замкнутым полем $n$ многочленами от $n$ переменных степеней Тогда либо число точек пересечения бесконечно, либо число точек пересечения, подсчитанное с их кратностями, не превышает произведения Если гиперповерхности находятся в относительно общем положении , то имеется ровно точек пересечения, все с кратностью 1. $d_{1},\ldots ,d_{n}.$ $d_{1}\cdots d_{n}.$ $d_{1}\cdots d_{n}$

Эта версия не является прямым следствием общего случая, поскольку возможно наличие конечного числа точек пересечения в аффинном пространстве с бесконечным числом точек пересечения на бесконечности. Вышеприведенное утверждение является частным случаем более общего утверждения, которое является результатом, доказанным Массером и Вюстхольцем.

Для формулировки общего результата следует вспомнить, что точки пересечения образуют алгебраическое множество , и что существует конечное число точек пересечения тогда и только тогда, когда все компоненты пересечения имеют нулевую размерность (алгебраическое множество положительной размерности имеет бесконечность точек над алгебраически замкнутым полем). Точка пересечения называется изолированной , если она не принадлежит компоненте положительной размерности пересечения; терминология имеет смысл, поскольку изолированная точка пересечения имеет окрестности (для топологии Зарисского или для обычной топологии в случае комплексных гиперповерхностей), которые не содержат никакой другой точки пересечения.

Рассмотрим $n$ проективных гиперповерхностей, которые определены над алгебраически замкнутым полем $n$ однородными многочленами от переменных степеней Тогда сумма кратностей их изолированных точек пересечения не превышает произведения Результат остается верным для любого числа $m$ гиперповерхностей, если положить в случае и , в противном случае, если упорядочить степени для , имея То есть изолированной точки пересечения нет, если и , в противном случае граница является произведением наименьшей степени и наибольшей степеней. $n+1$ $d_{1},\ldots ,d_{n}.$ $d_{1}\cdots d_{n}.$ $d_{m+1}=0$ $m<n,$ $d_{2}\geq d_{3}\geq \cdots \geq d_{m}\geq d_{1}.$ $m<n,$ $n-1$

Примеры (плоские кривые)

Две линии

Уравнение прямой в евклидовой плоскости линейно , то есть оно приравнивает многочлен первой степени к нулю. Таким образом , граница Безу для двух прямых равна $1$ , что означает, что две прямые либо пересекаются в одной точке, либо не пересекаются. В последнем случае прямые параллельны и встречаются в точке, удаленной на бесконечность .

Это можно проверить с помощью уравнений. Уравнение первой линии можно записать в форме наклона-пересечения или в проективных координатах (если линия вертикальная, можно поменять местами $x$ и $y$ ). Если уравнение второй линии (в проективных координатах) подставить вместо y $,$ то получим Если получить $x$ -координату точки пересечения, решив последнее уравнение относительно $x$ и положив $t$ $= 1.$ $y=sx+m$ $y=sx+mt$ $ax+by+ct=0,$ $sx+mt$ $(a+bs)x+(c+bm)t=0.$ $a+bs\neq 0,$

Если это так, то две прямые параллельны, поскольку имеют одинаковый наклон. Если они различны, и подставленное уравнение дает $t$ $= 0.$ Это дает точку в бесконечности с проективными координатами $(1,$ $s$ $, 0)$ . $a+bs=0,$ $s=-a/b,$ $m\neq -c/b,$

Линия и кривая

Как и выше, можно записать уравнение прямой в проективных координатах как Если кривая задана в проективных координатах однородным многочленом степени $n$ , то подстановка $y$ дает однородный многочлен степени $n$ по $x$ и $t$ . Основная теорема алгебры подразумевает, что ее можно разложить на линейные множители. Каждый множитель дает отношение координат $x$ и $t$ точки пересечения, а кратность множителя равна кратности точки пересечения. $y=sx+mt.$ $p(x,y,t)$

Если $t$ рассматривать как координату бесконечности , то множитель, равный $t,$ представляет точку пересечения в бесконечности.

Если хотя бы одна частная производная многочлена $p$ не равна нулю в точке пересечения, то касательная кривой в этой точке определена (см. Алгебраическая кривая § Касательная в точке ), а кратность пересечения больше единицы тогда и только тогда, когда прямая касается кривой. Если все частные производные равны нулю, то точка пересечения является особой точкой , а кратность пересечения не менее двух.

Две конические секции

Два конических сечения обычно пересекаются в четырех точках, некоторые из которых могут совпадать. Для правильного учета всех точек пересечения может потребоваться разрешить комплексные координаты и включить точки на бесконечной прямой в проективной плоскости. Например:

Две окружности никогда не пересекаются более чем в двух точках на плоскости, в то время как теорема Безу предсказывает четыре. Расхождение возникает из того факта, что каждая окружность проходит через одни и те же две комплексные точки на бесконечной прямой. Записывая окружность в однородных координатах , мы получаем , из чего ясно, что две точки $(1 :$ $i$ $: 0)$ и $(1 : -$ $i$ $: 0)$ лежат на каждой окружности. Когда две окружности вообще не пересекаются в действительной плоскости, два других пересечения имеют недействительные координаты, или, если окружности концентричны, то они пересекаются ровно в двух точках на бесконечной прямой с кратностью пересечения два. $(xa)^{2}+(yb)^{2}=r^{2}$ $(x-az)^{2}+(y-bz)^{2}-r^{2}z^{2}=0,$
Любая коника должна пересекать прямую на бесконечности в двух точках согласно теореме. Гипербола пересекает ее в двух действительных точках, соответствующих двум направлениям асимптот. Эллипс пересекает ее в двух комплексных точках, которые сопряжены друг другу — в случае окружности это точки $(1 : i : 0)$ и $(1 : - i : 0)$ . Парабола пересекает ее только в одной точке, но это точка касания, и поэтому она учитывается дважды.
На следующих рисунках показаны примеры, в которых окружность $x 2 + y 2 - 1 = 0$ пересекается с другим эллипсом в меньшем количестве точек пересечения, поскольку по крайней мере одна из них имеет кратность больше единицы:

Пересечение эллипса и единичной окружности

Два пересечения кратности 2
$x^{2}+4y^{2}-1=0$
Два пересечения кратностей 3 и 1
$5x^{2}+6xy+5y^{2}+6y-5=0$
Одно пересечение кратности 4
$4x^{2}+y^{2}+6x+2=0$

Множественность

Понятие кратности является основополагающим для теоремы Безу, поскольку оно позволяет иметь равенство вместо гораздо более слабого неравенства.

Интуитивно, кратность общего нуля нескольких многочленов — это число нулей, на которые может распасться общий ноль при небольшом изменении коэффициентов. Например, касательная к кривой — это линия, пересекающая кривую в точке, которая разделяется на несколько точек, если линия слегка сдвинута. Это число в общем случае равно двум (обычные точки), но может быть и больше (три для точек перегиба , четыре для точек волнистости и т. д.). Это число — «кратность касания» касательной.

Это определение кратностей через деформацию было достаточным до конца 19 века, но имело несколько проблем, которые привели к более удобным современным определениям: Деформации трудно манипулировать; например, в случае корня одномерного многочлена , чтобы доказать, что кратность, полученная деформацией, равна кратности соответствующего линейного множителя многочлена, нужно знать, что корни являются непрерывными функциями коэффициентов. Деформации не могут использоваться над полями положительной характеристики . Более того, существуют случаи, когда удобную деформацию трудно определить (как в случае более чем двух плоских кривых, имеющих общую точку пересечения), и даже случаи, когда никакая деформация невозможна. ^{[ необходима цитата ]}

В настоящее время, следуя Жану-Пьеру Серру , кратность обычно определяется как длина локального кольца , связанного с точкой, где рассматривается кратность. ^[5] Можно показать, что большинство конкретных определений являются частным случаем определения Серра.

В случае теоремы Безу можно избежать общей теории пересечений , поскольку существуют доказательства (см. ниже), которые связывают с каждыми входными данными для теоремы полином от коэффициентов уравнений, который разлагается на линейные множители, каждый из которых соответствует одной точке пересечения. Таким образом, кратность точки пересечения равна кратности соответствующего множителя. Доказательство того, что эта кратность равна той, которая получается деформацией, следует из того факта, что точки пересечения и разложенный полином непрерывно зависят от корней.

Доказательства

Используя полученное (плоские кривые)

Пусть $P$ и $Q$ — два однородных многочлена относительно неизвестных $x, y, t$ соответствующих степеней $p$ и $q$ . Их нули — однородные координаты двух проективных кривых . Таким образом, однородные координаты их точек пересечения — общие нули $P$ и $Q.$

Собирая вместе степени одной неизвестной, скажем, $y$ , мы получаем одномерные многочлены, коэффициенты которых являются однородными многочленами по $x$ и $t$ .

По техническим причинам необходимо изменить координаты так, чтобы степени по оси $y$ точек $P$ и $Q$ были равны их общим степеням ( $p$ и $q$ ), а каждая линия, проходящая через две точки пересечения, не проходила через точку $(0, 1, 0)$ (это означает, что никакие две точки не имеют одинаковой декартовой координаты $x$ ) .

Результирующий $R$ $($ $x$ $,$ $t$ $)$ P и $Q$ относительно $y$ является однородным многочленом по $x$ и $t$ , обладающим следующим свойством: с тогда и только тогда, когда существует такой, что является общим нулем $P$ и $Q$ (см. $Результирующий$ § Нули ). Вышеуказанное техническое условие гарантирует, что является уникальным. Первое вышеприведенное техническое условие означает, что степени, используемые в определении результирующего, равны $p$ и $q$ ; это подразумевает, что степень $R$ равна $pq$ (см. Результирующий § Однородность ). $R(\альфа,\тау)=0$ $(\альфа,\тау)\neq (0,0)$ $\бета$ $(\альфа,\бета,\тау)$ $\бета$

Так как $R$ — однородный многочлен от двух неизвестных, то из основной теоремы алгебры следует, что $R$ — произведение $pq$ линейных многочленов. Если определить кратность общего нуля $P$ и $Q$ как число вхождений соответствующего множителя в произведение, то теорема Безу будет доказана.

Для доказательства того, что кратность пересечения, которая только что была определена, равна определению в терминах деформации, достаточно заметить, что результирующая, а значит, и ее линейные множители являются непрерывными функциями коэффициентов $P$ и $Q.$

Доказательство равенства с другими определениями кратностей пересечения опирается на технические детали этих определений и поэтому выходит за рамки данной статьи.

С использованиемУ-результирующий

В начале 20 века Фрэнсис Соуэрби Маколей ввел многомерный результант (также известный как результант Маколея ) $n$ однородных многочленов от $n$ неизвестных, который является обобщением обычного результанта двух многочленов. Результант Маколея — это полиномиальная функция коэффициентов $n$ однородных многочленов, которая равна нулю тогда и только тогда, когда многочлены имеют нетривиальный (то есть некоторая компонента отлична от нуля) общий ноль в алгебраически замкнутом поле, содержащем коэффициенты.

U $-$ результант является частным случаем результанта Маколея, также введенного Маколеем. При заданных $n$ однородных многочленах от $n$ $+ 1$ неизвестных U $-$ результант является результантом и где коэффициенты являются вспомогательными неизвестными. $U$ -результант является однородным многочленом, степень которого является произведением степеней $f_{1},\ldots ,f_{n}$ $x_{0},\ldots ,x_{n},$ $f_{1},\ldots ,f_{n},$ $U_{0}x_{0}+\cdots +U_{n}x_{n},$ $U_{0},\ldots ,U_{n}$ $U_{0},\ldots ,U_{n},$ $f_{i}.$

Хотя многомерный многочлен, как правило, неприводим , $U$ -результант можно разложить на линейные (относительно ) многочлены над алгебраически замкнутым полем, содержащим коэффициенты Эти линейные множители соответствуют общим нулям следующим образом: каждому общему нулю соответствует линейный множитель и наоборот. $U_{i}$ $f_{i}.$ $f_{i}$ $(\альфа _{0},\ldots,\альфа _{n})$ $(\альфа _{0}U_{0}+\cdots +\альфа _{n}U_{n}),$

Это доказывает теорему Безу, если кратность общего нуля определить как кратность соответствующего линейного множителя результанта $U.$ Что касается предыдущего доказательства, то равенство этой кратности определению по деформации следует из непрерывности результанта $U$ как функции коэффициентов $f_{i}.$

Это доказательство теоремы Безу, по-видимому, является старейшим доказательством, удовлетворяющим современным критериям строгости.

Используя степень идеала

Теорему Безу можно доказать методом рекуррентного вычисления числа многочленов, используя следующую теорему.

Пусть $V$ — проективное алгебраическое множество размерности и степени , а $H$ $—$ гиперповерхность (определяемая одним многочленом) степени , которая не содержит ни одной неприводимой компоненты V ; при этих гипотезах пересечение $V$ и $H$ имеет размерность и степень $\дельта$ $d_{1}$ $d_{2}$ $\дельта -1$ $d_{1}d_{2}.$

Для (наброска) доказательства с использованием рядов Гильберта см. Ряды Гильберта и Многочлены Гильберта § Степень проективного многообразия и Теорема Безу .

Помимо того, что эта теорема позволяет дать концептуально простое доказательство теоремы Безу, она имеет основополагающее значение для теории пересечений , поскольку эта теория по существу посвящена изучению кратностей пересечений, когда гипотезы приведенной выше теоремы неприменимы.

Смотрите также

Теорема Безу о многооднородности
Теорема AF+BG – Об алгебраических кривых, проходящих через все точки пересечения двух других кривых
Теорема Бернштейна–Кушниренко – О числе общих нулей полиномов Лорана

Примечания

^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Теорема Безу», Архив истории математики Мактьютора , Университет Сент-Эндрюс
↑ Фултон 1974.
↑ Ньютон 1966.
^ Кирван, Фрэнсис (1992). Комплексные алгебраические кривые . Соединенное Королевство: Cambridge University Press. ISBN 0-521-42353-8.
^ ab Serre 1965.
^ Раманакорайсина, Р. (1989). «Теорема Безу для функций Нэша». Журнал чистой и прикладной алгебры . 61 (3): 295–301. doi : 10.1016/0022-4049(89)90080-7 .
^ Массер и Вюстхольц 1983.

Ссылки

Фултон, Уильям (1974). Алгебраические кривые . Серия лекций по математике. WA Benjamin. стр. 112. ISBN 0-8053-3081-4 .
Masser, David ; Wüstholz, Gisbert (1983). "Поля большой степени трансцендентности, порожденные значениями эллиптических функций". Inventiones Mathematicae . 72 (3). Springer: 407–464. Bibcode :1983InMat..72..407M. doi :10.1007/BF01398396. S2CID 120947443.
Ньютон, И. (1966), Principia Vol. I. Движение тел (основано на 2-м издании Ньютона (1713); переведено Эндрю Моттом (1729) и отредактировано Флорианом Каджори (1934) ред.), Беркли, Калифорния: University of California Press, ISBN 978-0-520-00928-8Альтернативный перевод более раннего (2-го) издания «Начал» Ньютона .
Серр, Жан-Пьер (1965). Местная и множественная алгебра: курс в Коллеж де Франс, 1957–1958, редакция Пьера Габриэля . Спрингер.

Внешние ссылки

«Теорема Безу», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Безу». Математический мир .
Теорема Безу на MathPages