Номер перекрестка

Обобщенное понятие подсчета пересечений кривых

В математике , и особенно в алгебраической геометрии , число пересечений обобщает интуитивное понятие подсчета числа пересечений двух кривых до более высоких измерений, множественных (более 2) кривых и надлежащего учета касания . Необходимо определение числа пересечений, чтобы сформулировать результаты, подобные теореме Безу .

Число пересечений очевидно в некоторых случаях, например, пересечение осей x и y в плоскости, которое должно быть равно единице. Сложность возникает при вычислении пересечений в точках касания и пересечений, которые являются не просто точками, а имеют более высокую размерность. Например, если плоскость касается поверхности вдоль прямой, число пересечений вдоль прямой должно быть не менее двух. Эти вопросы систематически обсуждаются в теории пересечений .

Определение римановых поверхностей

Пусть X — риманова поверхность . Тогда число пересечений двух замкнутых кривых на X имеет простое определение в терминах интеграла. Для каждой замкнутой кривой c на X (т.е. гладкой функции ) мы можем связать дифференциальную форму компактного носителя, двойственную по Пуанкаре к c , со свойством, что интегралы по c могут быть вычислены через интегралы по X : ${\displaystyle c:S^{1}\to X}$ ${\displaystyle \eta _{c}}$

${\displaystyle \int _{c}\alpha =-\iint _{X}\alpha \wedge \eta _{c}=(\alpha ,*\eta _{c})}$, для каждого замкнутого (1-)дифференциала на X , ${\displaystyle \alpha }$

где — клиновидное произведение дифференциалов, а — звезда Ходжа . Тогда число пересечений двух замкнутых кривых, a и b , на X определяется как ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle *}$

${\displaystyle a\cdot b:=\iint _{X}\eta _{a}\wedge \eta _{b}=(\eta _{a},-*\eta _{b})=-\int _{b}\eta _{a}}$.

Они имеют следующее интуитивное определение. Они являются своего рода дельтой Дирака вдоль кривой c , полученной путем взятия дифференциала единичной ступенчатой ​​функции , которая падает от 1 до 0 через c . Более формально, мы начинаем с определения для простой замкнутой кривой c на X , функции f _{c ,} позволяя быть небольшой полосой вокруг c в форме кольца. Назовем левую и правую части как и . Затем возьмем меньшую подполосу вокруг c , , с левой и правой частями и . Затем определим f _c как ${\displaystyle \eta _{c}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega \setminus c}$ ${\displaystyle \Omega ^{+}}$ ${\displaystyle \Omega ^{-}}$ ${\displaystyle \Omega _{0}}$ ${\displaystyle \Omega _{0}^{-}}$ ${\displaystyle \Omega _{0}^{+}}$

${\displaystyle f_{c}(x)={\begin{cases}1,&x\in \Omega _{0}^{-}\\0,&x\in X\setminus \Omega ^{-}\\{\mbox{smooth interpolation}},&x\in \Omega ^{-}\setminus \Omega _{0}^{-}\end{cases}}}$.

Определение затем расширяется до произвольных замкнутых кривых. Каждая замкнутая кривая c на X гомологична для некоторых простых замкнутых кривых c i _, то есть, ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}k_{i}c_{i}}$

${\displaystyle \int _{c}\omega =\int _{\sum _{i}k_{i}c_{i}}\omega =\sum _{i=1}^{N}k_{i}\int _{c_{i}}\omega }$, для каждого дифференциала . ${\displaystyle \omega }$

Определить по ${\displaystyle \eta _{c}}$

${\displaystyle \eta _{c}=\sum _{i=1}^{N}k_{i}\eta _{c_{i}}}$.

Определение алгебраических многообразий

Обычное конструктивное определение в случае алгебраических многообразий осуществляется пошагово. Ниже приведено определение для числа пересечений делителей на неособом многообразии X .

1. Единственное число пересечения, которое можно вычислить непосредственно из определения, — это пересечение гиперповерхностей (подмногообразий X коразмерности один), которые находятся в общем положении в точке x . В частности, предположим, что у нас есть неособое многообразие X и n гиперповерхностей Z ₁ , ..., Z _{n ,} которые имеют локальные уравнения f ₁ , ..., f _n вблизи x для многочленов f _i ( t ₁ , ..., t _n ), такие, что выполняются следующие условия:

• ${\displaystyle n=\dim _{k}X}$.
• ${\displaystyle f_{i}(x)=0}$для всех i . (т.е. x находится на пересечении гиперповерхностей.)
• ${\displaystyle \dim _{x}\cap _{i=1}^{n}Z_{i}=0}$(т.е. делители находятся в общем положении.)
• Они невырождены в точке x . ${\displaystyle f_{i}}$

Тогда число пересечений в точке x (называемое кратностью пересечения в точке x ) равно

${\displaystyle (Z_{1}\cdots Z_{n})_{x}:=\dim _{k}{\mathcal {O}}_{X,x}/(f_{1},\dots ,f_{n})}$,

где — локальное кольцо X в точке x , а размерность — размерность как k -векторного пространства. Она может быть вычислена как локализация , где — максимальный идеал многочленов, обращающихся в нуль в точке x , а U — открытое аффинное множество, содержащее x и не содержащее ни одной из особенностей f _i . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$ ${\displaystyle k[U]_{{\mathfrak {m}}_{x}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$

2. Число пересечений гиперповерхностей в общем положении определяется как сумма чисел пересечений в каждой точке пересечения.

${\displaystyle (Z_{1}\cdots Z_{n})=\sum _{x\in \cap _{i}Z_{i}}(Z_{1}\cdots Z_{n})_{x}}$

3. Расширить определение до эффективных делителей по линейности, т.е.

${\displaystyle (nZ_{1}\cdots Z_{n})=n(Z_{1}\cdots Z_{n})}$и . ${\displaystyle ((Y_{1}+Z_{1})Z_{2}\cdots Z_{n})=(Y_{1}Z_{2}\cdots Z_{n})+(Z_{1}Z_{2}\cdots Z_{n})}$

4. Расширьте определение до произвольных делителей в общем положении, заметив, что каждый делитель имеет уникальное выражение, как D = P – N для некоторых эффективных делителей P и N. Итак, пусть D _i = P _i – N _i и используйте правила вида

${\displaystyle ((P_{1}-N_{1})P_{2}\cdots P_{n})=(P_{1}P_{2}\cdots P_{n})-(N_{1}P_{2}\cdots P_{n})}$

преобразовать перекресток.

5. Затем определяется число пересечений произвольных делителей с помощью « леммы Чжоу о перемещении », которая гарантирует, что мы можем найти линейно эквивалентные делители, находящиеся в общем положении, которые затем можно пересечь.

Обратите внимание, что определение числа пересечения не зависит от порядка, в котором делители появляются при вычислении этого числа.

Формула Серра Тора

Пусть V и W — два подмногообразия неособого проективного многообразия X , такие, что dim( V ) + dim( W ) = dim( X ). Тогда мы ожидаем, что пересечение V ∩ W будет конечным множеством точек. Если мы попытаемся их посчитать, могут возникнуть два вида проблем. Во-первых, даже если ожидаемая размерность V ∩ W равна нулю, фактическое пересечение может иметь большую размерность: например, число самопересечения проективной прямой в проективной плоскости . Вторая потенциальная проблема заключается в том, что даже если пересечение нульмерно, оно может быть нетрансверсальным, например, если V — плоская кривая, а W — одна из ее касательных прямых .

Первая проблема требует применения аппарата теории пересечений , подробно обсуждавшегося выше, который заменяет V и W более удобными подмногообразиями с использованием леммы о перемещении . С другой стороны, вторую проблему можно решить напрямую, без перемещения V или W. В 1965 году Жан-Пьер Серр описал, как найти кратность каждой точки пересечения методами коммутативной алгебры и гомологической алгебры . ^[1] Эта связь между геометрическим понятием пересечения и гомологическим понятием производного тензорного произведения оказала влияние и привела, в частности, к нескольким гомологическим гипотезам в коммутативной алгебре .

Формула Серра Tor гласит: пусть X — регулярное многообразие, V и W — два подмногообразия дополнительной размерности, такие, что V ∩ W нульмерно. Для любой точки x ∈ V ∩ W пусть A — локальное кольцо x . Структурные пучки V и W в точке x соответствуют идеалам I , J ⊆ A. Тогда кратность V ∩ W в точке x равна ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$

${\displaystyle e(X;V,W;x)=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\mathrm {length} _{A}(\operatorname {Tor} _{i}^{A}(A/I,A/J))}$

где length — длина модуля над локальным кольцом, а Tor — функтор Tor . Когда V и W можно переместить в трансверсальное положение, эта гомологическая формула дает ожидаемый ответ. Так, например, если V и W пересекаются трансверсально в точке x , кратность равна 1. Если V — касательная в точке x к параболе W на плоскости в точке x , то кратность в точке x равна 2.

Если и V , и W локально вырезаются регулярными последовательностями , например, если они невырождены , то в приведенной выше формуле все высшие Tor исчезают, следовательно, кратность положительна. Положительность в произвольном случае является одной из гипотез Серра о кратности .

Дополнительные определения

Определение можно значительно обобщить, например, до пересечений вдоль подмногообразий, а не только в точках, или до произвольных полных многообразий.

В алгебраической топологии число пересечения появляется как двойственное по Пуанкаре произведение чашек . В частности, если два многообразия X и Y пересекаются трансверсально в многообразии M , класс гомологии пересечения является двойственным по Пуанкаре произведение чашек двойственных по Пуанкаре множеств X и Y. ${\displaystyle D_{M}X\smile D_{M}Y}$

Определение числа пересечений по Снапперу–Клейману

Существует подход к числу пересечений, предложенный Снаппером в 1959–1960 годах и позднее развитый Картье и Клейманом, который определяет число пересечений как эйлерову характеристику.

Пусть X — схема над схемой S , Pic( X ) — группа Пикара схемы X , а G — группа Гротендика категории когерентных пучков на X , носитель которой является собственным над артиновой подсхемой схемы S .

Для каждого L в Pic( X ) определите эндоморфизм c ₁ ( L ) группы G (называемый первым классом Черна группы L ) следующим образом:

${\displaystyle c_{1}(L)F=F-L^{-1}\otimes F.}$

Он аддитивен на G, поскольку тензорное умножение с линейным расслоением является точным. Также имеется:

• ${\displaystyle c_{1}(L_{1})c_{1}(L_{2})=c_{1}(L_{1})+c_{1}(L_{2})-c_{1}(L_{1}\otimes L_{2})}$; в частности, и ездить на работу. ${\displaystyle c_{1}(L_{1})}$ ${\displaystyle c_{1}(L_{2})}$
• ${\displaystyle c_{1}(L)c_{1}(L^{-1})=c_{1}(L)+c_{1}(L^{-1}).}$
• ${\displaystyle \dim \operatorname {supp} c_{1}(L)F\leq \dim \operatorname {supp} F-1}$(это нетривиально и следует из аргумента dévissage .)

Номер перекрестка

${\displaystyle L_{1}\cdot {\dots }\cdot L_{r}}$

линейных пучков L _i тогда определяется как:

${\displaystyle L_{1}\cdot {\dots }\cdot L_{r}\cdot F=\chi (c_{1}(L_{1})\cdots c_{1}(L_{r})F)}$

где χ обозначает эйлерову характеристику . В качестве альтернативы, по индукции имеем:

${\displaystyle L_{1}\cdot {\dots }\cdot L_{r}\cdot F=\sum _{0}^{r}(-1)^{i}\chi (\wedge ^{i}(\oplus _{0}^{r}L_{j}^{-1})\otimes F).}$

Каждый раз, когда F фиксирован, это симметричный функционал относительно L _i . ${\displaystyle L_{1}\cdot {\dots }\cdot L_{r}\cdot F}$

Если L _i = O _X ( D _i ) для некоторых делителей Картье D _i , то мы будем записывать для числа пересечения. ${\displaystyle D_{1}\cdot {\dots }\cdot D_{r}}$

Пусть — морфизм S -схем, линейных расслоений на X и F в G с . Тогда ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle L_{i},1\leq i\leq m}$ ${\displaystyle m\geq \dim \operatorname {supp} F}$

${\displaystyle f^{*}L_{1}\cdots f^{*}L_{m}\cdot F=L_{1}\cdots L_{m}\cdot f_{*}F}$. ^[2]

Кратности пересечения плоских кривых

Существует уникальная функция, присваивающая каждой тройке, состоящей из пары проективных кривых и , в и точке , число, называемое кратностью пересечения и в , которое удовлетворяет следующим свойствам: ${\displaystyle (P,Q,p)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle K[x,y]}$ ${\displaystyle p\in K^{2}}$ ${\displaystyle I_{p}(P,Q)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle p}$

1. ${\displaystyle I_{p}(P,Q)=I_{p}(Q,P)}$
2. ${\displaystyle I_{p}(P,Q)=\infty }$тогда и только тогда, когда и имеют общий множитель, равный нулю ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle p}$
3. ${\displaystyle I_{p}(P,Q)=0}$тогда и только тогда, когда одно из или не равно нулю (т.е. точка не находится на пересечении двух кривых) ${\displaystyle P(p)}$ ${\displaystyle Q(p)}$ ${\displaystyle p}$
4. ${\displaystyle I_{p}(x,y)=1}$где ${\displaystyle p=(0,0)}$
5. ${\displaystyle I_{p}(P,Q_{1}Q_{2})=I_{p}(P,Q_{1})+I_{p}(P,Q_{2})}$
6. ${\displaystyle I_{p}(P+QR,Q)=I_{p}(P,Q)}$для любого ${\displaystyle R\in K[x,y]}$

Хотя эти свойства полностью характеризуют множественность пересечений, на практике она реализуется несколькими различными способами.

Одна из реализаций кратности пересечения осуществляется через размерность определенного факторпространства кольца степенных рядов . Сделав замену переменных, если необходимо, мы можем предположить, что . Пусть и будут многочленами, определяющими интересующие нас алгебраические кривые. Если исходные уравнения заданы в однородной форме, их можно получить, положив . Пусть обозначим идеал , порожденный и . Кратность пересечения — это размерность как векторного пространства над . ${\displaystyle K[[x,y]]}$ ${\displaystyle p=(0,0)}$ ${\displaystyle P(x,y)}$ ${\displaystyle Q(x,y)}$ ${\displaystyle z=1}$ ${\displaystyle I=(P,Q)}$ ${\displaystyle K[[x,y]]}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle K[[x,y]]/I}$ ${\displaystyle K}$

Другая реализация кратности пересечения происходит из результирующего двух полиномов и . В координатах, где , кривые не имеют других пересечений с , а степень относительно равна общей степени , может быть определена как наивысшая степень , которая делит результирующий полином и (при этом и рассматриваются как полиномы над ). ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle p=(0,0)}$ ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle I_{p}(P,Q)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle K[x]}$

Кратность пересечения также может быть реализована как число различных пересечений, которые существуют, если кривые слегка возмущены. Более конкретно, если и определяют кривые, которые пересекаются только один раз в замыкании открытого множества , то для плотного множества и являются гладкими и пересекаются трансверсально (т.е. имеют различные касательные линии) ровно в некотором числе точек в . Тогда мы говорим, что . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (\epsilon ,\delta )\in K^{2}}$ ${\displaystyle P-\epsilon }$ ${\displaystyle Q-\delta }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle I_{p}(P,Q)=n}$

Пример

Рассмотрим пересечение оси x с параболой в начале координат. ${\displaystyle y=x^{2}}$

Пишем и получаем ${\displaystyle P=y,}$ ${\displaystyle Q=y-x^{2},\ }$ ${\displaystyle p=(0,0)}$

${\displaystyle I_{p}(P,Q)=I_{p}(y,y-x^{2})=I_{p}(y,x^{2})=I_{p}(y,x)+I_{p}(y,x)=1+1=2.\,}$

Таким образом, кратность пересечения равна двум; это обычное касание . Аналогично можно вычислить, что кривые и с целыми числами пересекаются в начале координат с кратностью ${\displaystyle y=x^{m}}$ ${\displaystyle y=x^{n}}$ ${\displaystyle m>n\geq 0}$ ${\displaystyle n.}$

Самопересечения

Некоторые из наиболее интересных для вычисления чисел пересечения — это числа самопересечения . Это означает, что делитель перемещается к другому эквивалентному делителю в общем положении относительно первого, и они пересекаются. Таким образом, числа самопересечения могут стать четко определенными и даже отрицательными.

Приложения

Число пересечений отчасти мотивировано желанием определить пересечение так, чтобы оно удовлетворяло теореме Безу .

Число пересечений возникает при изучении неподвижных точек , которые можно разумно определить как пересечения графиков функций с диагоналями . Вычисление чисел пересечений в неподвижных точках подсчитывает неподвижные точки с кратностью и приводит к теореме Лефшеца о неподвижной точке в количественной форме.

Примечания

1. Серр, Жан-Пьер (1965). Языковая алгебра, множественность . Конспект лекций по математике. Том. 11. Шпрингер-Верлаг. стр. х+160.
2. Коллар 1996, Глава VI. Предложение 2.11.

Ссылки

• William Fulton (1974). Алгебраические кривые . Серия заметок по лекциям по математике. WA Benjamin. стр. 74–83. ISBN 0-8053-3082-8.
• Робин Хартшорн (1977). Алгебраическая геометрия . Выпускные тексты по математике . Том 52. ISBN 0-387-90244-9.Приложение А.
• Уильям Фултон (1998). Теория пересечений (2-е изд.). Springer. ISBN 9780387985497.
• Алгебраические кривые: Введение в алгебраическую геометрию , Уильям Фултон с Ричардом Вайсом. Нью-Йорк: Benjamin, 1969. Переиздание: Redwood City, CA, USA: Addison-Wesley, Advanced Book Classics, 1989. ISBN 0-201-51010-3 . Полный текст онлайн. 
• Hershel M. Farkas; Irwin Kra (1980). Римановы поверхности . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 71. pp. 40–41, 55–56. ISBN 0-387-90465-4.
• Клейман, Стивен Л. (2005), "Схема Пикара: Приложение B.", Фундаментальная алгебраическая геометрия , Математические обзоры, моногр., т. 123, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , arXiv : math/0504020 , Bibcode : 2005math......4020K, MR  2223410
• Коллар, Янош (1996), Рациональные кривые алгебраических многообразий , Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-03276-3, ISBN 978-3-642-08219-1, МР  1440180