петля Полякова

Термическая петля Вильсона

В квантовой теории поля петля Полякова является тепловым аналогом петли Вильсона , действующей как параметр порядка для ограничения в чистых калибровочных теориях при ненулевых температурах . В частности, это петля Вильсона, которая наматывается вокруг компактифицированного евклидова временного направления тепловой квантовой теории поля . Она указывает на ограничение, поскольку ее вакуумное ожидание должно исчезать в ограниченной фазе из-за ее неинвариантности относительно преобразований центральной калибровки. Это также следует из того факта, что ожидание связано со свободной энергией отдельных кварков , которая расходится в этой фазе. Введенные Александром М. Поляковым в 1975 году ^[1], они также могут быть использованы для изучения потенциала между парами кварков при ненулевых температурах.

Определение

Тепловая квантовая теория поля формулируется в евклидовом пространстве-времени с компактифицированным мнимым временным направлением длины . Эта длина соответствует обратной температуре поля . Компактификация приводит к особому классу топологически нетривиальных петель Вильсона, которые наматываются вокруг компактного направления, известного как петли Полякова. ^[2] В теориях прямая петля Полякова на пространственной координате задается как ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta \propto 1/T}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$

${\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {x}})={\frac {1}{N}}{\text{tr}}\ {\mathcal {P}}\exp {\bigg [}\int _{0}^{\beta }dx_{4}A_{4}({\boldsymbol {x}},x_{f}){\bigg ]},}$

где — оператор упорядочения путей , а — евклидова временная компонента калибровочного поля. В решеточной теории поля этот оператор переформулируется в терминах временных полей связи в пространственной позиции как ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle A_{4}}$ ${\displaystyle U_{4}({\boldsymbol {m}},j)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {m}}}$

${\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {m}})={\frac {1}{N}}{\text{tr}}{\bigg [}\prod _{j=0}^{N_{T}-1}U_{4}({\boldsymbol {m}},j){\bigg ]}.}$

Континуальный предел решетки должен быть тщательно взят, чтобы гарантировать, что компактное направление имеет фиксированную протяженность. Это достигается путем обеспечения того, чтобы конечное число временных точек решетки было таким, что является постоянным, когда расстояние между решетками стремится к нулю. ${\displaystyle N_{T}}$ ${\displaystyle \beta =N_{T}a}$ ${\displaystyle a}$

Параметр заказа

Диаграмма рассеяния ожидаемого значения линии Полякова в моделировании калибровочной теории вокруг фазового перехода конфайнмента. Красный круг обозначает фазу конфайнмента, а синий и зеленый круги обозначают ненулевые ожидаемые значения в деконфайнментной фазе. В деконфайнментной фазе есть три кластера из-за группового центра калибровочной группы. ^[4] ${\displaystyle {\text{SU}}(3)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}}$

Калибровочные поля должны удовлетворять условию периодичности в компактифицированном направлении. Между тем, калибровочные преобразования должны удовлетворять этому условию только с точностью до члена центра группы как . Изменение базиса всегда может диагонализировать это так, что для комплексного числа . Петля Полякова топологически нетривиальна во временном направлении, поэтому в отличие от других петель Вильсона она преобразуется как при этих преобразованиях. ^[5] Поскольку это делает калибровку петли зависимой для , по теореме Элицура ненулевые значения ожиданий подразумевают, что группа центра должна быть спонтанно нарушена , подразумевая конфайнмент в чистой калибровочной теории. Это делает петлю Полякова параметром порядка для конфайнмента в тепловой чистой калибровочной теории, с конфайнментной фазой, возникающей при и деконфайнментной фазой, когда . ^[6] Например, решеточные расчеты квантовой хромодинамики с бесконечно тяжелыми кварками, которые отделяются от теории, показывают, что фазовый переход деконфайнмента происходит при температуре около МэВ. ^[7] Между тем, в калибровочной теории с кварками они нарушают группу центра, и поэтому конфайнмент должен быть выведен из спектра асимптотических состояний, цветно-нейтральных адронов . ${\displaystyle A_{\mu }({\boldsymbol {x}},x_{4}+\beta )=A_{\mu }({\boldsymbol {x}},x_{4})}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \Omega ({\boldsymbol {x}},x_{4}+\beta )=h\Omega ({\boldsymbol {x}},x_{4})}$ ${\displaystyle h=zI}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {x}})\rightarrow z\Phi ({\boldsymbol {x}})}$ ${\displaystyle z\neq 1}$ ${\displaystyle \langle \Phi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \Phi \rangle =0}$ ${\displaystyle \langle \Phi \rangle \neq 0}$ ${\displaystyle 270}$

Для калибровочных теорий, в которых отсутствует нетривиальный групповой центр, который мог бы быть нарушен в фазе ограничения, значения ожиданий петли Полякова не равны нулю даже в этой фазе. Однако они все еще являются хорошим индикатором ограничения, поскольку они обычно испытывают резкий скачок при фазовом переходе . Это имеет место, например, в модели Хиггса с исключительной калибровочной группой . ^[8] ${\displaystyle G_{2}}$

Модель Намбу–Йона-Лазинио не имеет локальной цветовой симметрии и, таким образом, не может уловить эффекты ограничения. Однако петли Полякова могут быть использованы для построения расширенной модели Намбу–Йона-Лазинио петли Полякова, которая рассматривает как хиральный конденсат , так и петли Полякова как классические однородные поля , которые связываются с кварками в соответствии с симметриями и моделями нарушения симметрии квантовой хромодинамики. ^{[9] [10] [11]}

Свободная энергия кварка

Свободная энергия кварков и антикварков , за вычетом энергии вакуума , определяется через корреляционные функции петель Полякова ^[12] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\bar {N}}}$

${\displaystyle e^{-\beta F}=\langle \Phi ({\boldsymbol {x}}_{1})\dots \Phi ({\boldsymbol {x}}_{N_{q}})\Phi ^{\dagger }({\boldsymbol {x}}'_{1})\cdots \Phi ^{\dagger }({\boldsymbol {x}}_{\bar {N}}')\rangle .}$

Эта свободная энергия — еще один способ увидеть, что петля Полякова действует как параметр порядка для ограничения, поскольку свободная энергия одного кварка определяется выражением . ^[13] Ограничение кварков означает, что для создания конфигурации с одним свободным кварком потребуется бесконечное количество энергии, поэтому его свободная энергия должна быть бесконечной, и поэтому ожидаемое значение петли Полякова должно исчезать в этой фазе, в соответствии с аргументом о нарушении симметрии центра. ${\displaystyle e^{-\beta \Delta F}=\langle \Phi ({\boldsymbol {x}})\rangle }$

Формула для свободной энергии может быть также использована для расчета потенциала между парой бесконечно массивных кварков, пространственно разделенных . Здесь потенциал является первым членом в свободной энергии, так что корреляционная функция двух петель Полякова равна ${\displaystyle r=|{\boldsymbol {x}}_{1}-{\boldsymbol {x}}_{2}|}$ ${\displaystyle V(r)}$

${\displaystyle \langle \Phi ({\boldsymbol {x}}_{1})\Phi ({\boldsymbol {x}}_{2})\rangle \propto e^{-\beta V(r)}(1+{\mathcal {O}}(e^{-\beta \Delta E(r)})),}$

где — разность энергий между потенциалом и первым возбужденным состоянием . В фазе ограничения потенциал линеен , где константа пропорциональности известна как натяжение струны. Натяжение струны, полученное из петли Полякова, всегда ограничено сверху натяжением струны, полученным из петли Вильсона. ^[14] ${\displaystyle \Delta E}$ ${\displaystyle V(r)=\sigma r}$

Смотрите также

• Кварк-глюонная плазма
• 'т петля Хуфта

Ссылки

1. Поляков, AM (1978). «Компактные калибровочные поля и инфракрасная катастрофа». Physics Letters B. 59 ( 1): 82–84. doi :10.1016/0370-2693(75)90162-8.
2. Wipf, A. [на немецком языке] (2021). "16". Статистический подход к квантовой теории поля (2-е изд.). Springer. стр. 456–459. ISBN 978-3642331046.
3. Gattringer, C.; Lang, CB (2009). "3". Квантовая хромодинамика на решетке: Вводная презентация . Lecture Notes in Physics 788. Springer. стр. 57–58. doi :10.1007/978-3-642-01850-3. ISBN 978-3642018497.
4. Kovacs, TG (2021). "Локализация при закаленном фазовом переходе SU(3)". PoS . LATTICE2021: 238. arXiv : 2112.05454 . doi : 10.22323/1.396.0238 . S2CID  245117767.
5. Белвид, Р.; Ратти, К. (2021). «2». Деконфайнмент-переход КХД . Спрингер. стр. 25–32. ISBN 978-3030672348.
6. Гринсайт, Дж. (2020). "4". Введение в проблему ограничения (2-е изд.). Springer. стр. 42–43. ISBN 978-3030515621.
7. Когут, Дж .; Стефанов, М. (2003). "7". Фазы квантовой хромодинамики . Кембридж: Cambridge University Press. стр. 178. ISBN 978-0521804509.
8. Холланд, К.; и др. (2003). «Исключительное ограничение в теории калибровок G(2)». Nucl. Phys. B . 668 (1–2): 207–236. arXiv : hep-lat/0302023 . Bibcode :2003NuPhB.668..207H. doi :10.1016/S0550-3213(03)00571-6. S2CID  119554796.
9. Фриман, Б.; и др. (2011). "4". Книга по физике CBM: сжатая барионная материя в лабораторных экспериментах . Springer. стр. 239. ISBN 978-3642132926.
10. Ratti, C.; Thaler, MA; Weise, W. [на немецком языке] (2006). "Фазы КХД: решеточная термодинамика и теоретическая модель поля". Phys. Rev. D. 73 ( 1): 014019. arXiv : hep-ph/0506234 . Bibcode : 2006PhRvD..73a4019R. doi : 10.1103/PhysRevD.73.014019. S2CID  15677961.
11. Рёсснер, С.; Ратти, К.; Вайзе, В. [на немецком языке] (2007). "Петля Полякова, дикварки и двухароматная фазовая диаграмма". Phys. Rev. D. 75 ( 3): 034007. arXiv : hep-ph/0609281 . Bibcode : 2007PhRvD..75c4007R. doi : 10.1103/PhysRevD.75.034007. S2CID  14960863.
12. Макларрен, Л. Д.; Светицкий, Б. (1981). «Освобождение кварков при высокой температуре: исследование калибровочной теории SU(2) методом Монте-Карло». Phys. Rev. D. 24 ( 2): 450–460. Bibcode : 1981PhRvD..24..450M. doi : 10.1103/PhysRevD.24.450.
13. Макеенко, Ю. (2002). "9". Методы современной калибровочной теории. Кембриджские монографии по математической физике. Кембридж: Cambridge University Press. стр. 168–169. doi :10.1017/CBO9780511535147. ISBN 978-0521809115.
14. Borgs, C.; Seiler, E. (1983). «Решеточная теория Янга-Миллса при ненулевой температуре и проблема ограничения». Communications in Mathematical Physics . 91 (3): 329–380. Bibcode :1983CMaPh..91..329B. doi :10.1007/BF01208780. S2CID  121126988.