Симметрия (физика)

Свойство системы, сохраняющееся при некотором преобразовании

Первая зона Бриллюэна решетки FCC с метками симметрии

В физике симметрия физической системы — это физическая или математическая особенность системы (наблюдаемая или внутренняя), которая сохраняется или остается неизменной при некотором преобразовании .

Семейство конкретных преобразований может быть непрерывным (например, вращение круга) или дискретным (например, отражение двусторонне-симметричной фигуры или вращение правильного многоугольника). Непрерывные и дискретные преобразования порождают соответствующие типы симметрий. Непрерывные симметрии могут быть описаны группами Ли , тогда как дискретные симметрии описываются конечными группами (см. Группа симметрии ).

Эти две концепции — Ли и конечные группы — являются основой фундаментальных теорий современной физики. Симметрии часто поддаются математическим формулировкам, таким как представления групп , и, кроме того, могут использоваться для упрощения многих задач.

Вероятно, наиболее важным примером симметрии в физике является то, что скорость света имеет одно и то же значение во всех системах отсчета, что описывается в специальной теории относительности группой преобразований пространства -времени , известной как группа Пуанкаре . Другой важный пример — инвариантность формы физических законов при произвольных дифференцируемых преобразованиях координат, что является важной идеей общей теории относительности .

Как своего рода инвариантность

Инвариантность определяется математически с помощью преобразований, которые оставляют некоторые свойства (например, количество) неизменными. Эта идея может быть применима к базовым наблюдениям в реальном мире. Например, температура может быть однородной по всей комнате. Поскольку температура не зависит от положения наблюдателя внутри комнаты, мы говорим, что температура инвариантна относительно изменения положения наблюдателя внутри комнаты.

Точно так же однородная сфера, повернутая вокруг своего центра, будет выглядеть точно так же, как и до вращения. Говорят, что сфера обладает сферической симметрией . Вращение вокруг любой оси сферы сохранит ее «выглядящий вид».

Инвариантность в силе

Вышеупомянутые идеи приводят к полезной идее инвариантности при обсуждении наблюдаемой физической симметрии; это можно применить и к симметрии сил.

Например, говорят, что электрическое поле, создаваемое электрически заряженным проводом бесконечной длины, обладает цилиндрической симметрией , поскольку напряженность электрического поля на заданном расстоянии r от провода будет иметь одинаковую величину в каждой точке поверхности цилиндра ( осью которого является провод) радиусом r . Вращение проволоки вокруг своей оси не меняет ни ее положения, ни плотности заряда, а значит, поле сохраняется. Напряженность поля в повернутом положении одинакова. Это, вообще говоря, неверно для произвольной системы зарядов.

В теории механики Ньютона даны два тела, каждое с массой m , начиная с начала координат и движущиеся вдоль оси x в противоположных направлениях, одно со скоростью v ₁ , а другое со скоростью v ₂ , полная кинетическая энергия системы ( как рассчитано от наблюдателя в начале координат)1/2m ( v ₁ ² + v ₂ ² ) и остается прежним, если скорости поменять местами. Полная кинетическая энергия сохраняется при отражении по оси y .

Последний пример выше иллюстрирует другой способ выражения симметрии, а именно через уравнения, описывающие некоторые аспекты физической системы. Приведенный выше пример показывает, что полная кинетическая энергия будет одинаковой, если v ₁ и v ₂ поменять местами.

Локальное и глобальное

Симметрии можно разделить на глобальные и локальные . Глобальная симметрия — это та, которая сохраняет свойство инвариантным для преобразования, которое применяется одновременно во всех точках пространства-времени , тогда как локальная симметрия — это та, которая сохраняет свойство инвариантным, когда в каждой точке пространства-времени применяется, возможно, другое преобразование симметрии ; в частности, преобразование локальной симметрии параметризуется координатами пространства-времени, тогда как глобальная симметрия - нет. Это означает, что глобальная симметрия является также локальной симметрией. Локальные симметрии играют важную роль в физике, поскольку они составляют основу калибровочных теорий .

Непрерывный

Два примера вращательной симметрии, описанные выше – сферический и цилиндрический – являются примерами непрерывной симметрии . Они характеризуются инвариантностью после непрерывного изменения геометрии системы. Например, проволоку можно повернуть на любой угол вокруг своей оси, и напряженность поля будет одинаковой на данном цилиндре. Математически непрерывные симметрии описываются преобразованиями, которые непрерывно изменяются в зависимости от их параметризации. Важным подклассом непрерывных симметрий в физике являются симметрии пространства-времени.

Пространство-время

Непрерывные симметрии пространства-времени — это симметрии, включающие преобразования пространства и времени . Их можно далее классифицировать как пространственные симметрии , включающие только пространственную геометрию, связанную с физической системой; временные симметрии , включающие только изменения во времени; или пространственно-временные симметрии , включающие изменения как в пространстве, так и во времени.

• Перевод времени : физическая система может иметь одни и те же характеристики в течение определенного интервала времени Δt ; математически это выражается как инвариантность относительно преобразования t → t + a для любых действительных параметров t и t + a в интервале. Например, в классической механике частица, на которую действует исключительно сила тяжести, будет иметь гравитационную потенциальную энергию mgh , когда подвешена на высоте h над поверхностью Земли. Если предположить, что высота частицы не изменится, это будет полная гравитационная потенциальная энергия частицы в любой момент времени. Другими словами, если рассматривать состояние частицы в некоторый момент времени t ₀ , а также в момент t ₀ + a , полная гравитационная потенциальная энергия частицы будет сохранена.
• Пространственный перевод : эти пространственные симметрии представлены преобразованиями формы r → → r → + a → и описывают те ситуации, когда свойство системы не меняется при непрерывном изменении местоположения. Например, температура в комнате может не зависеть от того, где в комнате находится термометр.
• Пространственное вращение : Эти пространственные симметрии классифицируются как правильные вращения и неправильные вращения . Первые представляют собой просто «обычные» ротации; математически они представлены квадратными матрицами с единичным определителем . Последние представлены квадратными матрицами с определителем −1 и состоят из собственного вращения в сочетании с пространственным отражением ( инверсией ). Например, сфера обладает правильной вращательной симметрией. Другие типы пространственных вращений описаны в статье «Симметрия вращения» .
• Преобразования Пуанкаре : это пространственно-временные симметрии, которые сохраняют расстояния в пространстве-времени Минковского , то есть они являются изометриями пространства Минковского. Они изучаются прежде всего в специальной теории относительности . Те изометрии, которые оставляют начало координат фиксированным, называются преобразованиями Лоренца и порождают симметрию, известную как ковариация Лоренца .
• Проективные симметрии : это пространственно-временные симметрии, которые сохраняют геодезическую структуру пространства-времени . Их можно определить на любом гладком многообразии, но они находят множество применений при изучении точных решений в общей теории относительности .
• Инверсионные преобразования : это пространственно-временные симметрии, которые обобщают преобразования Пуанкаре, включая другие конформные взаимно-однозначные преобразования координат пространства-времени. Длины не инвариантны при инверсионных преобразованиях , но существует инвариантное перекрестное отношение в четырех точках.

Математически симметрии пространства-времени обычно описываются гладкими векторными полями на гладком многообразии . Лежащие в основе локальные диффеоморфизмы , связанные с векторными полями, более непосредственно соответствуют физическим симметриям, но сами векторные поля чаще используются при классификации симметрий физической системы.

Некоторые из наиболее важных векторных полей — это векторные поля Киллинга , которые представляют собой те симметрии пространства-времени, которые сохраняют основную метрическую структуру многообразия. Грубо говоря, векторные поля Киллинга сохраняют расстояние между любыми двумя точками многообразия и часто называются изометриями .

Дискретный

Дискретная симметрия — это симметрия, описывающая прерывистые изменения в системе. Например, квадрат обладает дискретной вращательной симметрией, поскольку только поворот на кратное количество прямых углов сохранит первоначальный вид квадрата. Дискретная симметрия иногда включает в себя тот или иной тип «обмена», эти обмены обычно называются отражениями или обменами .

• Обращение времени . Многие законы физики описывают реальные явления, когда направление времени меняется на противоположное. Математически это выражается преобразованием. Например,закон движения Ньютона остается в силе, если в уравнениизаменить на. Это можно проиллюстрировать, записав движение объекта, подброшенного вертикально (пренебрегая сопротивлением воздуха), а затем воспроизведя его. Объект будет следоватьпо воздуху по одной и той же параболической траектории независимо от того, воспроизводится ли запись нормально или наоборот. Таким образом, положение симметрично относительно момента, когда объект находится на максимальной высоте. ${\displaystyle t\,\rightarrow -t}$ ${\displaystyle F\,=m{\ddot {r}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle -t}$
• Пространственная инверсия : они представлены преобразованиями формыи указывают на свойство инвариантности системы, когда координаты «инвертированы». Другими словами, это симметрия между определенным объектом и его зеркальным отражением . ${\displaystyle {\vec {r}}\,\rightarrow -{\vec {r}}}$
• Скольжение отражения : они представлены сочетанием перевода и отражения. Эти симметрии встречаются в некоторых кристаллах и в некоторых плоских симметриях, известных как симметрии обоев .

С, П и Т

Стандартная модель физики элементарных частиц имеет три связанных между собой естественных почти симметрии. Они утверждают, что Вселенная, в которой мы живем, должна быть неотличима от той, в которой происходят изменения определенного типа.

• C-симметрия (симметрия заряда), вселенная, в которой каждая частица заменена своей античастицей .
• P-симметрия (симметрия по четности), вселенная, в которой все зеркально отражено по трем физическим осям. Это исключает слабые взаимодействия, как продемонстрировал Чиен-Шиунг Ву .

• Т-симметрия (симметрия обращения времени), вселенная, в которой направление времени обращено на противоположное. Т-симметрия противоречит здравому смыслу (будущее и прошлое не симметричны), но объясняется тем фактом, что Стандартная модель описывает локальные свойства, а не глобальные, такие как энтропия . Чтобы правильно повернуть время вспять, нужно было бы перенести Большой взрыв и возникшее в результате состояние с низкой энтропией в «будущее». Поскольку мы воспринимаем «прошлое» («будущее») как имеющее более низкую (более высокую) энтропию, чем настоящее, жители этой гипотетической вселенной с обращенным временем будут воспринимать будущее так же, как мы воспринимаем прошлое, и наоборот.

Эти симметрии являются почти симметриями, потому что в современной Вселенной каждая из них нарушена. Однако Стандартная модель предсказывает, что комбинация этих трех (то есть одновременное применение всех трех преобразований) должна быть симметрией, называемой CPT-симметрией . CP-нарушение , нарушение комбинации C- и P-симметрии, необходимо для наличия во Вселенной значительных количеств барионной материи . CP-нарушение является плодотворной областью современных исследований в области физики элементарных частиц .

Суперсимметрия

Тип симметрии, известный как суперсимметрия, использовался в попытке добиться теоретических успехов в Стандартной модели. Суперсимметрия основана на идее о том, что существует еще одна физическая симметрия, помимо тех, которые уже разработаны в Стандартной модели, а именно симметрия между бозонами и фермионами . Суперсимметрия утверждает, что каждый тип бозона имеет в качестве суперсимметричного партнера фермион, называемый суперпартнером, и наоборот. Суперсимметрия еще не подтверждена экспериментально: ни одна известная частица не обладает правильными свойствами, чтобы быть суперпартнером какой-либо другой известной частицы. В настоящее время БАК готовится к запуску для проверки суперсимметрии.

Обобщенные симметрии

Обобщенные симметрии охватывают ряд недавно признанных обобщений концепции глобальной симметрии. К ним относятся симметрии высших форм, симметрии высших групп, необратимые симметрии и симметрии подсистем. ^[1]

Математика физической симметрии

Преобразования, описывающие физические симметрии, обычно образуют математическую группу . Теория групп — важная область математики для физиков.

Непрерывные симметрии математически определяются непрерывными группами (называемыми группами Ли ). Многие физические симметрии являются изометриями и определяются группами симметрии. Иногда этот термин используют для обозначения более общих типов симметрии. Совокупность всех собственных поворотов (на любой угол) вокруг любой оси сферы образует группу Ли, называемую специальной ортогональной группой SO (3). (Знак «3» относится к трехмерному пространству обычной сферы.) Таким образом, группа симметрии сферы с собственным вращением равна SO(3). Любое вращение сохраняет расстояния на поверхности шара. Набор всех преобразований Лоренца образует группу, называемую группой Лоренца (ее можно обобщить до группы Пуанкаре ).

Дискретные группы описывают дискретные симметрии. Например, симметрии равностороннего треугольника характеризуются группой симметрий S ₃ .

Тип физической теории, основанный на локальных симметриях, называется калибровочной теорией , а симметрии, естественные для такой теории, называются калибровочными симметриями . Калибровочные симметрии в Стандартной модели , используемые для описания трёх фундаментальных взаимодействий , основаны на группе SU(3) × SU(2) × U(1) . (Грубо говоря, симметрии группы SU(3) описывают сильное взаимодействие , группа SU(2) описывает слабое взаимодействие , а группа U(1) описывает электромагнитное взаимодействие .)

Также редукция по симметрии функционала энергии под действием группы и спонтанное нарушение симметрии преобразований симметричных групп, по-видимому, проясняют вопросы физики элементарных частиц ( например, объединение электромагнетизма и слабого взаимодействия в физической космологии ).

Законы сохранения и симметрия

Свойства симметрии физической системы тесно связаны с законами сохранения, характеризующими эту систему. Теорема Нётер дает точное описание этого соотношения. Теорема утверждает, что каждая непрерывная симметрия физической системы подразумевает сохранение некоторых физических свойств этой системы. И наоборот, каждая сохраняющаяся величина имеет соответствующую симметрию. Например, пространственная трансляционная симметрия (т.е. однородность пространства) приводит к сохранению (линейного) импульса , а временная трансляционная симметрия (т.е. однородность времени) приводит к сохранению энергии .

В следующей таблице суммированы некоторые фундаментальные симметрии и связанные с ними сохраняющиеся величины.

Математика

Непрерывные симметрии в физике сохраняют преобразования. Симметрию можно определить, показав, как очень небольшое преобразование влияет на различные поля частиц . Коммутатор двух из этих бесконечно малых преобразований эквивалентен третьему бесконечно малому преобразованию того же типа, следовательно, они образуют алгебру Ли .

Общее преобразование координат, описываемое как общее поле (также известное как диффеоморфизм ), оказывает бесконечно малое влияние на скалярное , спинорное или векторное поле , которое можно выразить (используя соглашение Эйнштейна о суммировании ): ${\displaystyle h(x)}$ ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle A(x)}$

${\displaystyle \delta \phi (x)=h^{\mu }(x)\partial _{\mu }\phi (x)}$

${\displaystyle \delta \psi ^{\alpha }(x)=h^{\mu }(x)\partial _{\mu }\psi ^{\alpha }(x)+\partial _{\mu }h_{\nu }(x)\sigma _{\mu \nu }^{\alpha \beta }\psi ^{\beta }(x)}$

${\displaystyle \delta A_{\mu }(x)=h^{\nu }(x)\partial _{\nu }A_{\mu }(x)+A_{\nu }(x)\partial _{\mu }h^{\nu }(x)}$

Без гравитации сохраняются только симметрии Пуанкаре, которые ограничиваются формой: ${\displaystyle h(x)}$

${\displaystyle h^{\mu }(x)=M^{\mu \nu }x_{\nu }+P^{\mu }}$

где M — антисимметричная матрица (дающая лоренцеву и вращательную симметрию), а P — общий вектор (дающий трансляционную симметрию). Другие симметрии влияют на несколько полей одновременно. Например, локальные калибровочные преобразования применимы как к векторному, так и к спинорному полю:

${\displaystyle \delta \psi ^{\alpha }(x)=\lambda (x).\tau ^{\alpha \beta }\psi ^{\beta }(x)}$

${\displaystyle \delta A_{\mu }(x)=\partial _{\mu }\lambda (x),}$

где – образующие конкретной группы Ли . До сих пор преобразования справа включали только поля одного типа. Суперсимметрии определяются по тому, как смешиваются поля разных типов. ${\displaystyle \tau }$

Другая симметрия, которая является частью некоторых теорий физики, но не является частью других, - это масштабная инвариантность, которая включает преобразования Вейля следующего типа:

${\displaystyle \delta \phi (x)=\Omega (x)\phi (x)}$

Если поля обладают такой симметрией, то можно показать, что теория поля почти наверняка также конформно инвариантна. Это означает, что в отсутствие гравитации h(x) ограничилось бы формой:

${\displaystyle h^{\mu }(x)=M^{\mu \nu }x_{\nu }+P^{\mu }+Dx_{\mu }+K^{\mu }|x|^{2}-2K^{\nu }x_{\nu }x_{\mu },}$

где D генерирует масштабные преобразования, а K генерирует специальные конформные преобразования. Например, супер -теория Янга-Миллса с N = 4 обладает такой симметрией, а общая теория относительности - нет, хотя другие теории гравитации, такие как конформная гравитация, имеют. «Действие» теории поля является инвариантом относительно всех симметрий теории. Большая часть современной теоретической физики связана с размышлениями о различных симметриях, которые может иметь Вселенная, и поиском инвариантов для построения теорий поля в качестве моделей.

В теориях струн, поскольку струну можно разложить на бесконечное число полей частиц, симметрии на мировом листе струн эквивалентны специальным преобразованиям, которые смешивают бесконечное количество полей.

Смотрите также

• Сохраняемый ток и заряд
• без координат
• Ковариантность и контравариантность
• Фиктивная сила
• Галилеева инвариантность
• Принцип ковариации
• Общая ковариация
• Состояние гармонических координат
• Инерциальная система отсчета
• Список математических тем по теории относительности
• Стандартная модель (математическая формулировка)
• Теория поглотителя Уиллера – Фейнмана

Рекомендации

1. Кордова, Клей; Думитреску, Томас; Интрилигатор, Кеннет; Шао, Шу-Хэн (2022). «Белая книга Snowmass: Обобщенные симметрии в квантовой теории поля и за ее пределами». arXiv : 2205.09545 [геп-й].

Общие читатели

• Ледерман, Л .; Хилл, Коннектикут (2011) [2005]. Симметрия и прекрасная Вселенная. Книги Прометея. ISBN 9781615920419.
• Шумм, Б. (2004). В глубине души: захватывающая дух красота физики элементарных частиц. Издательство Университета Джонса Хопкинса. ISBN 978-0-8018-7971-5.
• Стенгер, виджей (2000). Вневременная реальность: симметрия, простота и множественные вселенные . Книги Прометея. ISBN 9781573928595.Глава 12 представляет собой краткое введение в законы симметрии, инвариантности и сохранения.
• Зи, А. (2007). Страшная симметрия: поиск красоты в современной физике (2-е изд.). Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-00946-9.

Технические читатели

• Брэдинг, К.; Кастеллани, Э. (2003). Симметрии в физике: философские размышления. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-139-44202-2.
• Брэдинг, К.; Кастеллани, Э. (2007). «Симметрии и инвариантности в классической физике». В Баттерфилде, Дж.; Эрман, Дж. (ред.). Философия физики Часть Б. Северная Голландия. стр. 1331–68. ISBN 978-0-08-046665-1.
• Дебс, Т.; Рыжая, М. (2007). Объективность, инвариантность и условность: симметрия в физической науке. Издательство Гарвардского университета. ISBN 978-0-674-03413-6.
• Эрман, Дж. (2002), Законы, симметрия и нарушение симметрии: инвариантность, принципы сохранения и объективность. (PDF)Выступление на собрании Ассоциации философии науки 2002 года .
• Майнцер, К. (1996). Симметрии природы: Справочник по философии природы и науки. де Грюйтер. ISBN 978-3-11-088693-1.
• Муше, А. (2013). «Размышления о четырех гранях симметрии: как физика иллюстрирует рациональное мышление». Европейский физический журнал H . 38 (5): 661–702. arXiv : 1111.0658 . Бибкод : 2013EPJH...38..661M. CiteSeerX  10.1.1.400.2867 . дои : 10.1140/epjh/e2013-40018-4. S2CID  14475702.
• Томпсон, Уильям Дж. (1994). Угловой момент: иллюстрированное руководство по вращательной симметрии физических систем . Уайли. ISBN 0-471-55264-Х.
• Ван Фраассен, Б. (1989). Законы и симметрия. Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-151999-4.
• Вигнер, Э. (1970) [1967]. Симметрии и отражения . МТИ Пресс. ISBN 978-0-262-73021-1.

Внешние ссылки

• Фейнмановские лекции по физике Vol. Я Ч. 52: Симметрия в физических законах
• Стэнфордская энциклопедия философии : «Симметрия» - К. Брэдинг и Э. Кастеллани.
• Педагогические пособия по квантовой теории поля Щелкните ссылку на главу 6: Симметрия, инвариантность и сохранение, чтобы получить упрощенное пошаговое введение в симметрию в физике.