Самолет Брэгга

Лучевая диаграмма формулировки фон Лауэ

В физике плоскость Брэгга — это плоскость в обратном пространстве , которая делит пополам вектор обратной решетки под прямым углом. ^[1] Плоскость Брэгга определяется как часть условия фон Лауэ для дифракционных пиков в рентгеновской дифракционной кристаллографии . ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {K} }$

Учитывая соседнюю диаграмму, приходящая плоская рентгеновская волна определяется следующим образом:

${\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }=\cos {(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )}+i\sin {(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )}}$

Где падающий волновой вектор определяется выражением: ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {k} }$

${\displaystyle \mathbf {k} ={\frac {2\pi }{\lambda }}{\hat {n}}}$

где – длина волны падающего фотона . В то время как формулировка Брэгга предполагает уникальный выбор прямых плоскостей решетки и зеркальное отражение падающих рентгеновских лучей, формула фон Лауэ предполагает только монохроматический свет и что каждый рассеивающий центр действует как источник вторичных вейвлетов, как описано принципом Гюйгенса . Каждая рассеянная волна вносит вклад в новую плоскую волну, определяемую формулой: ${\displaystyle \scriptstyle \lambda }$

${\displaystyle \mathbf {k^{\prime }} ={\frac {2\pi }{\lambda }}{\hat {n}}^{\prime }}$

Условием конструктивной интерференции в направлении является то, что разность хода между фотонами равна целому кратному (м) их длине волны. Тогда мы знаем, что для конструктивной интерференции имеем: ${\displaystyle \scriptstyle {\hat {n}}^{\prime }}$

${\displaystyle |\mathbf {d} |\cos {\theta }+|\mathbf {d} |\cos {\theta ^{\prime }}=\mathbf {d} \cdot \left({\hat {n}}-{\hat {n}}^{\prime }\right)=m\lambda }$

где . Умножив сказанное на, сформулируем условие через волновые векторы и : ${\displaystyle \scriptstyle m~\in ~\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {2\pi }{\lambda }}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {k^{\prime }} }$

${\displaystyle \mathbf {d} \cdot \left(\mathbf {k} -\mathbf {k^{\prime }} \right)=2\pi m}$

Плоскость Брэгга синего цвета и связанный с ней вектор обратной решетки K.

Теперь представьте, что кристалл представляет собой массив рассеивающих центров, каждый из которых находится в определенной точке решетки Браве . Мы можем установить один из центров рассеяния в качестве начала массива. Поскольку точки решетки смещаются векторами решетки Браве, рассеянные волны конструктивно интерферируют, когда вышеуказанное условие выполняется одновременно для всех значений, которые являются векторами решетки Браве, тогда условие принимает вид: ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {R} }$

${\displaystyle \mathbf {R} \cdot \left(\mathbf {k} -\mathbf {k^{\prime }} \right)=2\pi m}$

Эквивалентное утверждение (см. математическое описание обратной решетки ) гласит:

${\displaystyle e^{i\left(\mathbf {k} -\mathbf {k^{\prime }} \right)\cdot \mathbf {R} }=1}$

Сравнивая это уравнение с определением вектора обратной решетки, мы видим, что конструктивная интерференция возникает, если – вектор обратной решетки. Мы замечаем, что , имея ту же величину, мы можем переформулировать формулировку Фон Лауэ, требуя, чтобы вершина падающего волнового вектора , , должна лежать в плоскости, которая является серединным перпендикуляром вектора обратной решетки . Эта обратная пространственная плоскость является плоскостью Брэгга . ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {K} ~=~\mathbf {k} \,-\,\mathbf {k^{\prime }} }$ ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {k^{\prime }} }$ ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {K} }$

Смотрите также

• Рентгеновская кристаллография
• Обратная решетка
• Решетка Браве
• Порошковая дифракция
• Линия Кикучи
• Зона Бриллюэна

Рекомендации

1. Эшкрофт, Нил В.; Мермин, Дэвид (2 января 1976 г.). Физика твердого тела (1-е изд.). Брукс Коул. стр. 96–100. ISBN 0-03-083993-9.