Плотность заряда

Электрический заряд на единицу длины, площади или объема

В электромагнетизме плотность заряда — это количество электрического заряда на единицу длины , площади поверхности или объёма . Объемная плотность заряда (обозначается греческой буквой ρ) — это количество заряда на единицу объема, измеряемое в системе СИ в кулонах на кубический метр (Кл⋅м ⁻³ ) в любой точке объёма. ^{[1] [2] [3]} Плотность поверхностного заряда (σ) — это количество заряда на единицу площади, измеряемое в кулонах на квадратный метр (Кл⋅м ⁻² ), в любой точке распределения поверхностного заряда на двумерном пространстве. поверхность. Линейная плотность заряда (λ) — это количество заряда на единицу длины, измеряемое в кулонах на метр (Кл⋅м ^-1 ), в любой точке линейного распределения заряда. Плотность заряда может быть как положительной, так и отрицательной, поскольку электрический заряд может быть как положительным, так и отрицательным.

Как и плотность массы , плотность заряда может меняться в зависимости от положения. В классической электромагнитной теории плотность заряда идеализируется как непрерывная скалярная функция положения , как в жидкости, и , , и обычно рассматривается как непрерывное распределение заряда , хотя все реальные распределения заряда состоят из дискретных заряженных частиц. Из-за сохранения электрического заряда плотность заряда в любом объеме может измениться только в том случае, если электрический ток заряда течет в объем или из него. Это выражается уравнением непрерывности , которое связывает скорость изменения плотности заряда и плотности тока . ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\displaystyle \rho ({\boldsymbol {x}})}$ ${\displaystyle \sigma ({\boldsymbol {x}})}$ ${\displaystyle \lambda ({\boldsymbol {x}})}$ ${\displaystyle \rho ({\boldsymbol {x}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {J}}({\boldsymbol {x}})}$

Поскольку весь заряд переносится субатомными частицами , которые можно идеализировать как точки, концепция непрерывного распределения заряда является приближением, которое становится неточным на малых масштабах длины. Распределение заряда в конечном итоге состоит из отдельных заряженных частиц, разделенных областями, не содержащими заряда. ^[4] Например, заряд электрически заряженного металлического объекта состоит из электронов проводимости , хаотично перемещающихся в кристаллической решетке металла . Статическое электричество вызывается поверхностными зарядами, состоящими из ионов на поверхности объектов, а объемный заряд в вакуумной трубке состоит из облака свободных электронов, хаотично движущихся в пространстве. Плотность носителей заряда в проводнике равна числу подвижных носителей заряда ( электронов , ионов и т. д.) в единице объема. Плотность заряда в любой точке равна плотности носителей заряда, умноженной на элементарный заряд частиц. Однако поскольку элементарный заряд электрона настолько мал (1,6⋅10 ⁻¹⁹ Кл) и их так много в макроскопическом объеме (в кубическом сантиметре меди около 10 ²² электронов проводимости), непрерывное приближение имеет вид очень точен применительно к макроскопическим объемам и даже к микроскопическим объемам выше нанометрового уровня.

В еще меньших масштабах атомов и молекул из-за принципа неопределенности квантовой механики заряженная частица не имеет точного положения, а представлена ​​распределением вероятностей , поэтому заряд отдельной частицы не сосредоточен в какой-то точке, а «размазывается» в пространстве и действует как истинное непрерывное распределение заряда. ^[4] Это значение понятий «распределение заряда» и «плотность заряда», используемых в химии и химической связи . Электрон представлен волновой функцией , квадрат которой пропорционален вероятности найти электрон в любой точке пространства, а значит , пропорционален плотности заряда электрона в любой точке. В атомах и молекулах заряд электронов распределен в облаках, называемых орбиталями , которые окружают атом или молекулу и отвечают за химические связи . ${\displaystyle \psi ({\boldsymbol {x}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\displaystyle |\psi ({\boldsymbol {x}})|^{2}}$

Определения

Постоянные начисления

Непрерывное распределение заряда. Объемная плотность заряда ρ — это количество заряда на единицу объема (трехмерное), плотность поверхностного заряда σ — количество на единицу площади поверхности (круг) с внешней единичной нормалью n̂ , d — дипольный момент между двумя точечными зарядами, объемная плотность из них — плотность поляризации P. Вектор положения r — точка для расчета электрического поля ; r' — точка заряженного объекта.

Ниже приведены определения непрерывного распределения заряда. ^{[5] [6]}

Линейная плотность заряда — это отношение бесконечно малого электрического заряда dQ (единица СИ: C ) к бесконечно малому линейному элементу ,

$${\displaystyle \lambda _{q}={\frac {dQ}{d\ell }}\,,}$$

площади поверхности dS

$${\displaystyle \sigma _{q}={\frac {dQ}{dS}}\,,}$$

объема dV

$${\displaystyle \rho _{q}={\frac {dQ}{dV}}\,,}$$

Интегрирование определений дает общий заряд Q области в соответствии с линейным интегралом линейной плотности заряда λ _q ( r ) по линии или 1d кривой C ,

$${\displaystyle Q=\int _{L}\lambda _{q}(\mathbf {r} )\,d\ell }$$

поверхностный интеграл_qrS

$${\displaystyle Q=\int _{S}\sigma _{q}(\mathbf {r} )\,dS}$$

объемный интегралρ _qrV

$${\displaystyle Q=\int _{V}\rho _{q}(\mathbf {r} )\,dV}$$

qплотность массыплотность чиселплотность вероятностиλσρдлины волныудельного электрического сопротивления и проводимость

В контексте электромагнетизма индексы обычно опускаются для простоты: λ , σ , ρ . Другие обозначения могут включать: ρ _ℓ , ρ _s , ρ _v , ρ _L , ρ _S , ρ _V и т. д.

Общий заряд, разделенный на длину, площадь поверхности или объем, будет средней плотностью заряда:

$${\displaystyle \langle \lambda _{q}\rangle ={\frac {Q}{\ell }}\,,\quad \langle \sigma _{q}\rangle ={\frac {Q}{S}}\,,\quad \langle \rho _{q}\rangle ={\frac {Q}{V}}\,.}$$

Бесплатно, связанно и за полную плату

В диэлектрических материалах общий заряд объекта можно разделить на «свободные» и «связанные» заряды.

Связанные заряды создают электрические диполи в ответ на приложенное электрическое поле E и поляризуют другие близлежащие диполи, стремясь выстроить их в линию; чистое накопление заряда в результате ориентации диполей представляет собой связанный заряд. Их называют связанными, потому что их нельзя удалить: в диэлектрике зарядами являются электроны, связанные с ядрами . ^[6]

Свободные заряды — это избыточные заряды, которые могут прийти в электростатическое равновесие , т. е. когда заряды не движутся и результирующее электрическое поле не зависит от времени, или образовывать электрические токи . ^[5]

Полная плотность заряда

С точки зрения объемной плотности заряда полная плотность заряда равна:

$${\displaystyle \rho =\rho _{\text{f}}+\rho _{\text{b}}\,.}$$

$${\displaystyle \sigma =\sigma _{\text{f}}+\sigma _{\text{b}}\,.}$$

Связанный заряд

Связанный поверхностный заряд — это заряд, накопленный на поверхности диэлектрика , определяемый дипольным моментом, перпендикулярным поверхности: ^[6]

$${\displaystyle q_{b}={\frac {\mathbf {d} \cdot \mathbf {\hat {n}} }{|\mathbf {s} |}}}$$

sэлектрический дипольный моментединичный вектор нормали ${\displaystyle \mathbf {d} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

Взяв бесконечно малые значения :

$${\displaystyle dq_{b}={\frac {d\mathbf {d} }{|\mathbf {s} |}}\cdot \mathbf {\hat {n}} }$$

dS

$${\displaystyle \sigma _{b}={\frac {dq_{b}}{dS}}={\frac {d\mathbf {d} }{|\mathbf {s} |dS}}\cdot \mathbf {\hat {n}} ={\frac {d\mathbf {d} }{dV}}\cdot \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {P} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,.}$$

Pплотность поляризацииэлектрических дипольных моментовdVэлемент объема

Используя теорему о дивергенции , связанная объемная плотность заряда внутри материала равна

$${\displaystyle q_{b}=\int \rho _{b}\,dV=-\oint _{S}\mathbf {P} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,dS=-\int \nabla \cdot \mathbf {P} \,dV}$$

$${\displaystyle \rho _{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P} \,.}$$

Отрицательный знак возникает из-за противоположных знаков зарядов в диполях: один конец находится в объеме объекта, другой — на поверхности.

Ниже приведен более строгий вывод. ^[6]

Вывод связанных поверхностных и объемных плотностей зарядов из внутренних дипольных моментов (связанных зарядов)

Электрический потенциал , обусловленный дипольным моментом d , равен:

$${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\cdot \mathbf {d} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}}$$

Для непрерывного распределения материал можно разделить на бесконечное количество бесконечно малых диполей .

$${\displaystyle d\mathbf {d} =\mathbf {P} dV=\mathbf {P} d^{3}\mathbf {r} }$$

где dV = d ³ r′ — элемент объема, поэтому потенциал — это интеграл объема по объекту:

$${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint {\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\cdot \mathbf {P} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}d^{3}\mathbf {r'} }$$

С

$${\displaystyle \nabla '\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)\equiv \left(\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial }{\partial x'}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial }{\partial y'}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial }{\partial z'}}\right)\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}}$$

где ∇′ — градиент в координатах r′ ,

$${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint \mathbf {P} \cdot \nabla '\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)d^{3}\mathbf {r'} }$$

Интегрирование по частям

$${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint \left[\nabla '\cdot \left({\frac {\mathbf {P} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)-{\frac {1}{\mathbf {r} -\mathbf {r} '}}(\nabla '\cdot \mathbf {P} )\right]d^{3}\mathbf {r'} }$$

используя теорему о дивергенции:

${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$ ${\displaystyle {\scriptstyle S}}$ ${\displaystyle {\frac {\mathbf {P} \cdot \mathbf {\hat {n}} dS'}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint {\frac {\nabla '\cdot \mathbf {P} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}\mathbf {r'} }$

который распадается на потенциал поверхностного заряда ( поверхностный интеграл ) и потенциал, обусловленный объемным зарядом (объемный интеграл):

${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$ ${\displaystyle {\scriptstyle S}}$ ${\displaystyle {\frac {\sigma _{b}dS'}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint {\frac {\rho _{b}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}\mathbf {r'} }$

то есть

$${\displaystyle \sigma _{b}=\mathbf {P} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,,\quad \rho _{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P} }$$

Плотность свободного заряда

Плотность свободного заряда служит полезным упрощением закона Гаусса для электричества; объемный интеграл от него - это свободный заряд, заключенный в заряженном объекте, - равный чистому потоку электрического поля смещения D , выходящего из объекта:

${\displaystyle \Phi _{D}=}$ ${\displaystyle {\scriptstyle S}}$ ${\displaystyle \mathbf {D} \cdot \mathbf {\hat {n}} dS=\iiint \rho _{f}dV}$

Более подробную информацию см. в уравнениях Максвелла и определяющих соотношениях .

Однородная плотность заряда

Для частного случая однородной плотности заряда ρ ₀ , независимой от положения, т. е. постоянной по всей области материала, уравнение упрощается до:

$${\displaystyle Q=V\rho _{0}.}$$

Доказательство

Начнем с определения непрерывной объемной плотности заряда:

$${\displaystyle Q=\int _{V}\rho _{q}(\mathbf {r} )\,dV.}$$

Тогда, по определению однородности, ρ _q ( r ) является константой, обозначаемой ρ _{q , 0} (чтобы различать постоянную и непостоянную плотности), и поэтому по свойствам интеграла можно вывести за пределы интеграла, в результате чего в:

$${\displaystyle Q=\rho _{q,0}\int _{V}\,dV=\rho _{0}V}$$

$${\displaystyle Q=V\rho _{q,0}.}$$

Эквивалентные доказательства для линейной плотности заряда и поверхностной плотности заряда следуют тем же аргументам, что и выше.

Дискретные расходы

Для одного точечного заряда q в положении r ₀ внутри области трехмерного пространства R , такого как электрон , объемная плотность заряда может быть выражена дельта- функцией Дирака :

$${\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=q\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})}$$

r

Как всегда, интеграл от плотности заряда по определенной области пространства — это заряд, содержащийся в этой области. Дельта-функция обладает свойством просеивания для любой функции f :

$${\displaystyle \int _{R}d^{3}\mathbf {r} f(\mathbf {r} )\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=f(\mathbf {r} _{0})}$$

RRq

$${\displaystyle Q=\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \,\rho _{q}=\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \,q\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=q\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \,\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=q}$$

Это можно распространить на N дискретных точечных носителей заряда. Плотность заряда системы в точке r представляет собой сумму плотностей зарядов для каждого заряда q _i в позиции r _i , где i = 1, 2, ..., N :

$${\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{N}\ q_{i}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})}$$

Дельта-функция для каждого заряда q _i в сумме δ ( r − r _i ) гарантирует, что интеграл плотности заряда по R возвращает общий заряд в R :

$${\displaystyle Q=\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \sum _{i=1}^{N}\ q_{i}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})=\sum _{i=1}^{N}\ q_{i}\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})=\sum _{i=1}^{N}\ q_{i}}$$

Если все носители заряда имеют одинаковый заряд q (для электронов q = − e , заряд электрона ), плотность заряда может быть выражена через количество носителей заряда на единицу объема, n ( r ), по формуле

$${\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=qn(\mathbf {r} )\,.}$$

Аналогичные уравнения используются для линейной и поверхностной плотности заряда.

Плотность заряда в специальной теории относительности

В специальной теории относительности длина отрезка проволоки зависит от скорости наблюдателя из-за сокращения длины , поэтому плотность заряда также будет зависеть от скорости. Энтони Френч ^[7] описал, как сила магнитного поля провода с током возникает из-за этой относительной плотности заряда. Он использовал (стр. 260) диаграмму Минковского , чтобы показать, «как нейтральный провод с током несет результирующую плотность заряда, наблюдаемую в движущейся системе отсчета». Когда плотность заряда измеряется в движущейся системе отсчета, это называется собственной плотностью заряда . ^{[8] [9] [10]}

Оказывается, плотность заряда ρ и плотность тока J преобразуются вместе как вектор четырехтоков при преобразованиях Лоренца .

Плотность заряда в квантовой механике

В квантовой механике плотность заряда ρ _q связана с волновой функцией ψ ( r ) уравнением

$${\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=q|\psi (\mathbf {r} )|^{2}}$$

q| ψ ( р ) | ² = ψ *( r ) ψ ( r )функция плотности вероятностиrrR

$${\displaystyle Q=\int _{R}q|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\,d^{3}\mathbf {r} }$$

d ³ rмера интегрирования

Для системы одинаковых фермионов плотность чисел определяется как сумма плотности вероятности каждой частицы в:

${\displaystyle n(\mathbf {r} )=\sum _{i}\langle \psi |\delta ^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}')|\psi \rangle }$

${\displaystyle n(\mathbf {r} )=\sum _{i}\int {\mathrm {d} }^{3}\mathbf {r} _{2}\cdots \int {\mathrm {d} }^{3}\mathbf {r} _{N}\,\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} ',\dots ,\mathbf {r} _{N})\Psi (\mathbf {r} ,\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} ',\dots ,\mathbf {r} _{N}).}$

Используя условие симметризации:

$${\displaystyle n(\mathbf {r} )=N\int {\mathrm {d} }^{3}\mathbf {r} _{2}\cdots \int {\mathrm {d} }^{3}\mathbf {r} _{N}\,\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{N})\Psi (\mathbf {r} ,\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{N}).}$$

${\textstyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=q\cdot n(\mathbf {r} )}$

Потенциальная энергия системы записывается как:

$${\displaystyle \langle \psi |U|\psi \rangle =\int V(\mathbf {r} )n(\mathbf {r} )\delta ^{3}\mathbf {r} }$$

$${\displaystyle U_{ee}[n]=J[n]={\frac {1}{2}}\int \delta ^{3}\mathbf {r} '\int \delta ^{3}\mathbf {r} \left({\frac {(en(\mathbf {r} ))(en(\mathbf {r} '))}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)={\frac {1}{2}}\int \delta ^{3}\mathbf {r} '\int \delta ^{3}\mathbf {r} \left({\frac {\rho (\mathbf {r} )\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)}$$

Затем энергия определяется с использованием метода Хартри-Фока как:

${\displaystyle E[n]=I+J-K}$

Где I — кинетическая и потенциальная энергия электронов, обусловленная положительными зарядами, J — энергия взаимодействия электрона с электроном, а K — обменная энергия электронов. ^{[11] [12]}

Приложение

Плотность заряда появляется в уравнении непрерывности электрического тока, а также в уравнениях Максвелла . Это основной источник электромагнитного поля ; когда распределение заряда движется, это соответствует плотности тока . Плотность заряда молекул влияет на химические процессы и процессы разделения. Например, плотность заряда влияет на связь металл-металл и водородную связь . ^[13] В процессах разделения, таких как нанофильтрация , плотность заряда ионов влияет на их отторжение мембраной. ^[14]

Смотрите также

• Уравнение непрерывности, связывающее плотность заряда и плотность тока
• Ионный потенциал
• Волна плотности заряда

Рекомендации

1. Премьер-министр Уилан, М.Дж. Ходжсон (1978). Основные принципы физики (2-е изд.). Джон Мюррей. ISBN 0-7195-3382-1.
2. «Физика 2: Электричество и магнетизм, Конспект курса, глава 2, стр. 15-16» (PDF) . MIT OpenCourseware . Массачусетский Институт Технологий. 2007 . Проверено 3 декабря 2017 г.
3. Сервей, Раймонд А.; Джуэтт, Джон В. (2013). Физика для ученых и инженеров, Vol. 2, 9-е изд. Cengage Обучение. п. 704. ИСБН 9781133954149.
4. Перселл, Эдвард (22 сентября 2011 г.). Электричество и магнетизм. Издательство Кембриджского университета. ISBN 9781107013605.
5. IS Грант; В. Р. Филлипс (2008). Электромагнетизм (2-е изд.). Манчестерская физика, Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-92712-9.
6. DJ Гриффитс (2007). Введение в электродинамику (3-е изд.). Pearson Education, Дорлинг Киндерсли. ISBN 978-81-7758-293-2.
7. Френч, А. (1968). «8: Относительность и электричество». Специальная теория относительности . WW Нортон . стр. 229–265.
8. Молд, Ричард А. (2001). «Сила Лоренца». Основная теория относительности . Springer Science & Business Media . ISBN 0-387-95210-1.
9. Лоуден, Дерек Ф. (2012). Введение в тензорное исчисление: теория относительности и космология . Курьерская компания. п. 74. ИСБН 978-0-486-13214-3.
10. Вандерлинде, Джек (2006). «11.1: Четырехпотенциал и закон Кулона». Классическая электромагнитная теория . Springer Science & Business Media. п. 314. ИСБН 1-4020-2700-1.
11. Сакураи, Джун Джон; Наполитано, Джим (2021). Современная квантовая механика (3-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. 443–453. ISBN 978-1-108-47322-4.
12. Литтлджон, Роберт Г. «Метод Хартри-Фока в атомах» (PDF) .
13. Р. Дж. Гиллеспи и PLA Popelier (2001). «Химическая связь и молекулярная геометрия». Экологические науки и технологии . Издательство Оксфордского университета. 52 (7): 4108–4116. Бибкод : 2018EnST...52.4108E. doi : 10.1021/acs.est.7b06400. ПМИД  29510032.
14. Рази Эпштейн, Эвиатар Шаульский, Надир Дизге, Дэвид М. Варсингер, Менахем Элимелех (2018). «Зависимое от плотности ионного заряда исключение Доннана в нанофильтрации одновалентных анионов». Экологические науки и технологии . 52 (7): 4108–4116. Бибкод : 2018EnST...52.4108E. doi : 10.1021/acs.est.7b06400. ПМИД  29510032.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

• А. Халперн (1988). 3000 решенных задач по физике . Серия Шаум, МакГроу Хилл. ISBN 978-0-07-025734-4.
• Г. Воан (2010). Кембриджский справочник физических формул . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-57507-2.
• П. А. Типлер, Г. Моска (2008). Физика для ученых и инженеров - с современной физикой (6-е изд.). Фриман. ISBN 978-0-7167-8964-2.
• Р.Г. Лернер , Г.Л. Тригг (1991). Энциклопедия физики (2-е изд.). Издатели ВХК. ISBN 978-0-89573-752-6.
• CB Паркер (1994). Энциклопедия физики МакГроу Хилла (2-е изд.). Издатели ВХК. ISBN 978-0-07-051400-3.

Внешние ссылки

• [1] - Пространственные распределения заряда