Чистая математика — это изучение математических концепций независимо от любого применения вне математики . Эти концепции могут возникать в реальных проблемах, а полученные результаты могут впоследствии оказаться полезными для практических приложений, но чистые математики не мотивированы в первую очередь такими приложениями. Вместо этого привлекательность приписывается интеллектуальному вызову и эстетической красоте разработки логических следствий основных принципов.
Хотя чистая математика существовала как вид деятельности по крайней мере со времен Древней Греции , эта концепция была разработана около 1900 года [2] после введения теорий с контринтуитивными свойствами (таких как неевклидова геометрия и теория бесконечных множеств Кантора ) и открытия очевидных парадоксов (таких как непрерывные функции , которые нигде не дифференцируемы , и парадокс Рассела ). Это привело к необходимости обновить концепцию математической строгости и переписать всю математику соответствующим образом, с систематическим использованием аксиоматических методов . Это привело многих математиков к тому, чтобы сосредоточиться на математике ради нее самой, то есть на чистой математике.
Тем не менее, почти все математические теории оставались мотивированными проблемами, исходящими из реального мира или из менее абстрактных математических теорий. Кроме того, многие математические теории, которые казались полностью чистой математикой, в конечном итоге использовались в прикладных областях, в основном в физике и информатике . Известным ранним примером является демонстрация Исааком Ньютоном того, что его закон всемирного тяготения подразумевает, что планеты движутся по орбитам, которые являются коническими сечениями , геометрическими кривыми, которые изучались в древности Аполлонием . Другим примером является проблема факторизации больших целых чисел , которая является основой криптосистемы RSA , широко используемой для защиты интернет- коммуникаций. [3]
Из этого следует, что в настоящее время различие между чистой и прикладной математикой является скорее философской точкой зрения или предпочтением математика, а не жестким подразделением математики. [ необходима цитата ]
Древнегреческие математики были одними из первых, кто провел различие между чистой и прикладной математикой. Платон помог создать разрыв между «арифметикой», теперь называемой теорией чисел , и «логистикой», теперь называемой арифметикой . Платон считал логистику (арифметику) подходящей для бизнесменов и военных людей, которые «должны изучить искусство чисел, иначе [они] не будут знать, как выстраивать [свои] войска», а арифметику (теорию чисел) подходящей для философов, «потому что [они] должны возникнуть из моря перемен и овладеть истинным бытием». [4] Евклид Александрийский , когда один из его учеников спросил его, в чем польза изучения геометрии, попросил своего раба дать ученику три пенса, «поскольку он должен извлечь пользу из того, что узнает». [5] Греческого математика Аполлония Пергского спросили о полезности некоторых из его теорем в Книге IV «Конических сечений» , на что он с гордостью ответил: [6]
Они достойны принятия ради самих доказательств, точно так же, как мы принимаем многие другие вещи в математике именно по этой причине, а не по какой-либо другой.
И поскольку многие из его результатов не были применимы к науке или технике его времени, Аполлоний далее утверждал в предисловии к пятой книге « Коники» , что этот предмет относится к тем, которые «...кажутся достойными изучения ради них самих». [6]
Сам термин закреплен в полном названии кафедры Садлера , «Садлеровский профессор чистой математики», основанной (как профессорство) в середине девятнадцатого века. Идея отдельной дисциплины чистой математики могла возникнуть в то время. Поколение Гаусса не делало такого рода всеобъемлющего различия между чистой и прикладной . В последующие годы специализация и профессионализация (особенно в подходе Вейерштрасса к математическому анализу ) начали делать раскол более очевидным.
В начале двадцатого века математики взяли на вооружение аксиоматический метод , на который сильное влияние оказал пример Дэвида Гильберта . Логическая формулировка чистой математики, предложенная Бертраном Расселом в терминах кванторной структуры предложений, казалась все более и более правдоподобной, поскольку большие части математики становились аксиоматизированными и, таким образом, подчинялись простым критериям строгого доказательства .
Чистая математика, согласно взгляду, который можно приписать группе Бурбаки , — это то, что доказано. «Чистый математик» стал признанным призванием, достижимым посредством обучения.
Было доказано, что чистая математика полезна в инженерном образовании : [7]
Одной из центральных концепций чистой математики является идея общности; чистая математика часто демонстрирует тенденцию к увеличению общности. Использование и преимущества общности включают следующее:
Влияние обобщения на интуицию зависит как от предмета, так и от личных предпочтений или стиля обучения. Часто обобщение рассматривается как помеха интуиции, хотя оно, безусловно, может функционировать как помощь ей, особенно когда оно предоставляет аналогии с материалом, для которого у человека уже есть хорошая интуиция.
В качестве яркого примера общности программа Эрлангена включала расширение геометрии для включения неевклидовых геометрий , а также области топологии и других форм геометрии, рассматривая геометрию как изучение пространства вместе с группой преобразований. Изучение чисел , называемое алгеброй на начальном уровне бакалавриата, распространяется на абстрактную алгебру на более продвинутом уровне; а изучение функций , называемое исчислением на уровне первокурсника колледжа, становится математическим анализом и функциональным анализом на более продвинутом уровне. Каждая из этих ветвей более абстрактной математики имеет множество подспециальностей, и на самом деле существует множество связей между чистой математикой и прикладными математическими дисциплинами. Резкий рост абстракции наблюдался в середине 20-го века.
Однако на практике эти разработки привели к резкому расхождению с физикой , особенно с 1950 по 1983 год. Позже это критиковалось, например, Владимиром Арнольдом , как слишком много Гильберта , недостаточно Пуанкаре . Вопрос, похоже, еще не решен, в том, что теория струн тянет в одну сторону, в то время как дискретная математика тянет обратно к доказательству как центральному.
Математики всегда имели разные мнения относительно различия между чистой и прикладной математикой. Один из самых известных (но, возможно, неправильно понятых) современных примеров этого спора можно найти в эссе GH Hardy 1940 года A Mathematician's Apology .
Широко распространено мнение, что Харди считал прикладную математику уродливой и скучной. Хотя верно, что Харди предпочитал чистую математику, которую он часто сравнивал с живописью и поэзией , Харди видел различие между чистой и прикладной математикой просто в том, что прикладная математика стремилась выразить физическую истину в математической структуре, тогда как чистая математика выражала истины, которые были независимы от физического мира. Харди провел отдельное различие в математике между тем, что он называл «реальной» математикой, «которая имеет постоянную эстетическую ценность», и «скучными и элементарными частями математики», которые имеют практическое применение. [8]
Харди считал некоторых физиков, таких как Эйнштейн и Дирак , среди «настоящих» математиков, но в то время, когда он писал свою Апологию , он считал общую теорию относительности и квантовую механику «бесполезными», что позволяло ему придерживаться мнения, что полезна только «скучноватая» математика. Более того, Харди вкратце признал, что — так же, как применение теории матриц и теории групп к физике произошло неожиданно — может наступить время, когда некоторые виды красивой, «настоящей» математики также могут оказаться полезными.
Еще один проницательный взгляд предложен американским математиком Энди Магидом :
Я всегда думал, что хорошую модель здесь можно почерпнуть из теории колец. В этой теме есть подобласти коммутативной теории колец и некоммутативной теории колец . Несведущий наблюдатель может подумать, что они представляют собой дихотомию, но на самом деле последняя включает в себя первую: некоммутативное кольцо — это не обязательно коммутативное кольцо. Если использовать похожие соглашения, то можно было бы ссылаться на прикладную математику и неприкладную математику, где под последней мы подразумеваем не обязательно прикладную математику ... [выделено добавлено] [9]
Фридрих Энгельс утверждал в своей книге 1878 года «Анти-Дюринг» , что «совершенно неверно, что в чистой математике разум имеет дело только со своими собственными творениями и фантазиями. Понятия числа и фигуры не были изобретены ни из какого другого источника, кроме мира действительности». [10] : 36 Далее он утверждал, что «Прежде чем прийти к идее вывести форму цилиндра из вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон, должно было быть исследовано некоторое количество реальных прямоугольников и цилиндров, какими бы несовершенными они ни были по форме. Как и все другие науки, математика возникла из потребностей людей... Но, как и в каждой области мысли, на определенной стадии развития законы, которые были абстрагированы от реального мира, отрываются от реального мира и противопоставляются ему как нечто независимое, как законы, приходящие извне, которым мир должен соответствовать». [10] : 37
