Càdlàg

Правая непрерывная функция с левыми пределами

В математике функция càdlàg ( фр . continue à droite, limite à gauche ), RCLL («непрерывная справа с пределами слева») или corlol («непрерывная справа, предел слева») — это функция, определённая на действительных числах (или их подмножестве ), которая всюду непрерывна справа и имеет пределы слева везде. Функции Càdlàg важны при изучении стохастических процессов , которые допускают (или даже требуют) скачков, в отличие от броуновского движения , которое имеет непрерывные траектории выборки. Совокупность функций càdlàg на заданной области известна как пространство Скорохода .

Два связанных термина — càglàd , что означает « continue à gauche, limite à droite » (перестановка слева направо от càdlàg), и càllàl, что означает « continue à l'un, limite à l'autre » (непрерывный с одной стороны, предельный с другой) для функции, которая в каждой точке области определения либо càdlàg, либо càglàd.

Определение

Примерами функций càdlàg являются кумулятивные функции распределения .

Пример кумулятивной функции распределения со счетно бесконечным множеством разрывов

Пусть будет метрическим пространством , и пусть . Функция называется функцией càdlàg , если для каждого , ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:E\to M}$ ${\displaystyle t\in E}$

• существует левый предел ; и ${\displaystyle f(t-):=\lim _{s\to t^{-}}f(s)}$
• правый предел существует и равен . ${\displaystyle f(t+):=\lim _{s\to t^{+}}f(s)}$ ${\displaystyle f(t)}$

То есть, непрерывен справа с пределами слева. ${\displaystyle f}$

Примеры

• Все функции, непрерывные на подмножестве действительных чисел, являются функциями càdlàg на этом подмножестве.
• Как следствие их определения, все кумулятивные функции распределения являются функциями càdlàg. Например, кумулятивная в точке соответствует вероятности быть ниже или равной , а именно . Другими словами, полуоткрытый интервал интереса для двухстороннего распределения является закрытым справа. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbb {P} [X\leq r]}$ ${\displaystyle (-\infty ,r]}$
• Правая производная любой выпуклой функции, определенной на открытом интервале, является возрастающей функцией cadlag. ${\displaystyle f_{+}^{\prime }}$ ${\displaystyle f}$

Скороход космос

Множество всех функций càdlàg из в часто обозначается (или просто ) и называется пространством Скорохода в честь украинского математика Анатолия Скорохода . Пространству Скорохода можно приписать топологию , которая интуитивно позволяет нам «немного покачивать пространство и время» (тогда как традиционная топология равномерной сходимости позволяет нам только «немного покачивать пространство»). ^[1] Для простоты возьмем и — см. Биллингсли ^[2] для более общей конструкции. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {D} (E:M)}$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$ ${\displaystyle E=[0,T]}$ ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}$

Сначала мы должны определить аналог модуля непрерывности , . Для любого , положим ${\displaystyle \varpi '_{f}(\delta )}$ ${\displaystyle F\subseteq E}$

${\displaystyle w_{f}(F):=\sup _{s,t\in F}|f(s)-f(t)|}$

и, для , определим модуль càdlàg как ${\displaystyle \delta >0}$

${\displaystyle \varpi '_{f}(\delta ):=\inf _{\Pi }\max _{1\leq i\leq k}w_{f}([t_{i-1},t_{i})),}$

где инфимум пробегает все разбиения , причем . Это определение имеет смысл для не-càdlàg (так же, как обычный модуль непрерывности имеет смысл для разрывных функций). является càdlàg тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle \Pi =\{0=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{k}=T\},\;k\in E}$ ${\displaystyle \min _{i}(t_{i}-t_{i+1})>\delta }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \lim _{\delta \to 0}\varpi '_{f}(\delta )=0}$

Теперь обозначим множество всех строго возрастающих , непрерывных биекций из в себя (это «колебания во времени»). Пусть ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \|f\|:=\sup _{t\in E}|f(t)|}$

Обозначим равномерную норму на функциях на . Определим метрику Скорохода на как ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$

${\displaystyle \sigma (f,g):=\inf _{\lambda \in \Lambda }\max\{\|\lambda -I\|,\|f-g\circ \lambda \|\},}$

где - функция тождества. В терминах интуиции "покачиваний" измеряет размер "покачиваний во времени" и измеряет размер "покачиваний в пространстве". ${\displaystyle I:E\to E}$ ${\displaystyle \|\lambda -I\|}$ ${\displaystyle \|f-g\circ \lambda \|}$

Метрика Скорохода действительно является метрикой. Топология, порожденная называется топологией Скорохода на . ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$

Эквивалентная метрика,

${\displaystyle d(f,g):=\inf _{\lambda \in \Lambda }(\|\lambda -I\|+\|f-g\circ \lambda \|),}$

был введен независимо и использовался в теории управления для анализа систем переключения. ^[3]

Свойства пространства Скорохода

Обобщение равномерной топологии

Пространство непрерывных функций на является подпространством . Топология Скорохода, релятивизированная к , совпадает с равномерной топологией там. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$ ${\displaystyle C}$

Полнота

Хотя не является полным пространством относительно метрики Скорохода , существует топологически эквивалентная метрика, относительно которой является полным. ^[4] ${\displaystyle \mathbb {D} }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma _{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$

Разделимость

Относительно либо , либо является сепарабельным пространством . Таким образом, пространство Скорохода является польским пространством . ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma _{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$

Теснота в пространстве Скорохода

Применяя теорему Арцела–Асколи , можно показать, что последовательность вероятностных мер на пространстве Скорохода является плотной тогда и только тогда, когда выполняются оба следующих условия: ${\displaystyle (\mu _{n})_{n=1,2,\dots }}$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}{\big (}\{f\in \mathbb {D} \;|\;\|f\|\geq a\}{\big )}=0,}$

и

${\displaystyle \lim _{\delta \to 0}\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}{\big (}\{f\in \mathbb {D} \;|\;\varpi '_{f}(\delta )\geq \varepsilon \}{\big )}=0{\text{ for all }}\varepsilon >0.}$

Алгебраическая и топологическая структура

При топологии Скорохода и поточечном сложении функций не является топологической группой, как видно из следующего примера: ${\displaystyle \mathbb {D} }$

Пусть — полуинтервал, а — последовательность характеристических функций. Несмотря на то, что в топологии Скорохода последовательность не сходится к 0. ${\displaystyle E=[0,2)}$ ${\displaystyle f_{n}=\chi _{[1-1/n,2)}\in \mathbb {D} }$ ${\displaystyle f_{n}\rightarrow \chi _{[1,2)}}$ ${\displaystyle f_{n}-\chi _{[1,2)}}$

Смотрите также

• Классическое пространство Винера

Ссылки

1. "Пространство Скорохода - Энциклопедия математики".
2. Биллингсли, П. Сходимость вероятностных мер . Нью-Йорк: Wiley.
3. Georgiou, TT и Smith, MC (2000). «Надежность релаксационного осциллятора». International Journal of Robust and Nonlinear Control . 10 (11–12): 1005–1024. doi :10.1002/1099-1239(200009/10)10:11/12<1005::AID-RNC536>3.0.CO;2-Q.{{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
4. Биллингсли, П. Сходимость вероятностных мер . Нью-Йорк: Wiley.

Дальнейшее чтение

• Биллингсли, Патрик (1995). Вероятность и мера . Нью-Йорк, Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-00710-2.
• Биллингсли, Патрик (1999). Сходимость вероятностных мер . Нью-Йорк, Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-19745-9.