Метрическое пространство

Математическое пространство с понятием расстояния

Плоскость (набор точек) может быть оснащена различными метриками. В метрике такси красный, желтый и синий пути имеют одинаковую длину ( 12) и являются кратчайшими путями. В евклидовой метрике зеленый путь имеет длину и является уникальным кратчайшим путем, тогда как красный, желтый и синий пути по-прежнему имеют длину 12. ${\displaystyle 6{\sqrt {2}}\approx 8.49}$

В математике метрическое пространство — это множество вместе с понятием расстояния между его элементами , обычно называемыми точками . Расстояние измеряется функцией, называемой метрикой или функцией расстояния . ^[1] Метрические пространства являются наиболее общей установкой для изучения многих концепций математического анализа и геометрии .

Наиболее известным примером метрического пространства является трехмерное евклидово пространство с его обычным понятием расстояния. Другие известные примеры — сфера, снабженная угловым расстоянием , и гиперболическая плоскость . Метрика может соответствовать метафорическому , а не физическому понятию расстояния: например, набор 100-символьных строк Unicode может быть снабжен расстоянием Хэмминга , которое измеряет количество символов, которые необходимо изменить, чтобы перейти от одной строки к другой.

Поскольку они очень общие, метрические пространства являются инструментом, используемым во многих различных областях математики. Многие типы математических объектов имеют естественное понятие расстояния и, следовательно, допускают структуру метрического пространства, включая римановы многообразия , нормированные векторные пространства и графы . В абстрактной алгебре p - адические числа возникают как элементы завершения метрической структуры на рациональных числах . Метрические пространства также изучаются сами по себе в метрической геометрии ^[2] и анализе метрических пространств . ^[3]

Многие из основных понятий математического анализа , включая шары , полноту , а также равномерную , липшицеву и гельдеровскую непрерывность , могут быть определены в контексте метрических пространств. Другие понятия, такие как непрерывность , компактность , открытые и замкнутые множества , могут быть определены для метрических пространств, но также и в еще более общем контексте топологических пространств .

Определение и иллюстрация

Мотивация

Диаграмма, иллюстрирующая расстояние по большой окружности (голубым цветом) и расстояние по прямой (красным цветом) между двумя точками P и Q на сфере.

Чтобы увидеть полезность различных понятий расстояния, рассмотрим поверхность Земли как набор точек. Мы можем измерить расстояние между двумя такими точками по длине кратчайшего пути вдоль поверхности , « по прямой »; это особенно полезно для судоходства и авиации. Мы также можем измерить расстояние по прямой между двумя точками через недра Земли; это понятие, например, естественно в сейсмологии , поскольку оно примерно соответствует времени, которое требуется сейсмическим волнам для прохождения между этими двумя точками.

Понятие расстояния, закодированное аксиомами метрического пространства, имеет относительно немного требований. Эта общность дает метрическим пространствам большую гибкость. В то же время, понятие достаточно сильное, чтобы закодировать множество интуитивных фактов о том, что означает расстояние. Это означает, что общие результаты о метрических пространствах могут применяться во многих различных контекстах.

Как и многие фундаментальные математические концепции, метрику в метрическом пространстве можно интерпретировать многими различными способами. Конкретную метрику лучше всего рассматривать не как измерение физического расстояния, а как стоимость перехода из одного состояния в другое (как в случае с метриками Вассерштейна в пространствах мер ) или степень различия между двумя объектами (например, расстояние Хэмминга между двумя строками символов или расстояние Громова–Хаусдорфа между самими метрическими пространствами).

Определение

Формально метрическое пространство представляет собой упорядоченную пару ( M , d ), где M — множество, а d — метрика на M , т. е. функция , удовлетворяющая следующим аксиомам для всех точек : ^{[4] [5]} $${\displaystyle d\,\colon M\times M\to \mathbb {R} }$$ ${\displaystyle x,y,z\in M}$

1. Расстояние от точки до самой себя равно нулю: $${\displaystyle d(x,x)=0}$$
2. (Положительность) Расстояние между двумя различными точками всегда положительно: $${\displaystyle {\text{If }}x\neq y{\text{, then }}d(x,y)>0}$$
3. ( Симметрия ) Расстояние от x до y всегда равно расстоянию от y до x : $${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$$
4. Справедливо неравенство треугольника : Это естественное свойство как физических, так и метафорических представлений о расстоянии: вы можете добраться до z из x , сделав крюк через y , но это не сделает ваше путешествие короче прямого пути. $${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$$

Если метрика d однозначна, то часто, злоупотребляя обозначениями, говорят о «метрическом пространстве M ».

Принимая все аксиомы, кроме второй, можно показать, что расстояние всегда неотрицательно: Поэтому вторую аксиому можно ослабить до и объединить с первой, чтобы получить . ^[6] $${\displaystyle 0=d(x,x)\leq d(x,y)+d(y,x)=2d(x,y)}$$ ${\textstyle {\text{If }}x\neq y{\text{, then }}d(x,y)\neq 0}$ ${\textstyle d(x,y)=0\iff x=y}$

Простые примеры

Реальные цифры

Действительные числа с функцией расстояния, заданной абсолютной разностью, образуют метрическое пространство. Многие свойства метрических пространств и функций между ними являются обобщениями понятий действительного анализа и совпадают с этими понятиями при применении к действительной прямой. ${\displaystyle d(x,y)=|y-x|}$

Метрики на евклидовых пространствах

Сравнение расстояний Чебышева, Евклида и такси для гипотенузы треугольника 3-4-5 на шахматной доске

Евклидова плоскость может быть снабжена множеством различных метрик. Евклидово расстояние, знакомое по школьной математике, можно определить как ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ $${\displaystyle d_{2}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.}$$

Расстояние такси или Манхэттенское расстояние определяется и может рассматриваться как расстояние, которое вам необходимо проехать по горизонтальным и вертикальным линиям, чтобы добраться из одной точки в другую, как показано в верхней части статьи. $${\displaystyle d_{1}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=|x_{2}-x_{1}|+|y_{2}-y_{1}|}$$

Максимальное расстояние , , или расстояние Чебышева определяется как Это расстояние не имеет простого объяснения в терминах путей на плоскости, но оно все еще удовлетворяет аксиомам метрического пространства. Его можно представить себе аналогично числу ходов, которые король должен был бы сделать на шахматной доске, чтобы переместиться из одной точки в другую на данном пространстве. ${\displaystyle L^{\infty }}$ $${\displaystyle d_{\infty }((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=\max\{|x_{2}-x_{1}|,|y_{2}-y_{1}|\}.}$$

На самом деле, эти три расстояния, хотя и имеют различные свойства, в чем-то похожи. Неформально, точки, которые близки в одном, близки и в других. Это наблюдение можно количественно выразить с помощью формулы, которая справедлива для каждой пары точек . $${\displaystyle d_{\infty }(p,q)\leq d_{2}(p,q)\leq d_{1}(p,q)\leq 2d_{\infty }(p,q),}$$ ${\displaystyle p,q\in \mathbb {R} ^{2}}$

Радикально иное расстояние можно определить, установив Используя скобки Айверсона , В этой дискретной метрике все различные точки находятся на расстоянии 1 единицы друг от друга: ни одна из них не находится близко друг к другу, и ни одна из них не находится слишком далеко друг от друга. Интуитивно, дискретная метрика больше не помнит, что множество является плоскостью, а рассматривает его просто как недифференцированный набор точек. $${\displaystyle d(p,q)={\begin{cases}0,&{\text{if }}p=q,\\1,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$ $${\displaystyle d(p,q)=[p\neq q]}$$

Все эти показатели имеют смысл как для , так и для . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Подпространства

При наличии метрического пространства ( M , d ) и подмножества мы можем рассматривать A как метрическое пространство, измеряя расстояния так же, как мы это делали бы в M . Формально, индуцированная метрика на A является функцией, определяемой следующим образом: Например, если мы возьмем двумерную сферу S ² как подмножество , евклидова метрика на индуцирует метрику прямой линии на S ^{2 ,} описанную выше. Еще два полезных примера — открытый интервал (0, 1) и закрытый интервал [0, 1], рассматриваемые как подпространства действительной прямой. ${\displaystyle A\subseteq M}$ ${\displaystyle d_{A}:A\times A\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle d_{A}(x,y)=d(x,y).}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

История

Артур Кэли в своей статье «О расстоянии» расширил метрические концепции за пределы евклидовой геометрии в области, ограниченные коникой в ​​проективном пространстве. Его расстояние было задано логарифмом двойного отношения . Любая проективность, оставляющая конику стабильной, также оставляет двойное отношение постоянным, поэтому изометрии неявны. Этот метод предоставляет модели для эллиптической геометрии и гиперболической геометрии , а Феликс Клейн в нескольких публикациях основал область неевклидовой геометрии с помощью метрики Кэли-Клейна .

Идея абстрактного пространства с метрическими свойствами была рассмотрена в 1906 году Рене Морисом Фреше ^[7] , а термин метрическое пространство был введен Феликсом Хаусдорфом в 1914 году. ^{[8] [9] [10]}

Работа Фреше заложила основу для понимания сходимости , непрерывности и других ключевых концепций в негеометрических пространствах. Это позволило математикам изучать функции и последовательности более широко и гибко. Это было важно для развивающейся области функционального анализа. Такие математики, как Хаусдорф и Стефан Банах, еще больше усовершенствовали и расширили рамки метрических пространств. Хаусдорф представил топологические пространства как обобщение метрических пространств. Работа Банаха по функциональному анализу в значительной степени опиралась на метрическую структуру. Со временем метрические пространства стали центральной частью современной математики . Они оказали влияние на различные области, включая топологию , геометрию и прикладную математику . Метрические пространства продолжают играть решающую роль в изучении абстрактных математических понятий.

Основные понятия

Функция расстояния достаточна для определения понятий близости и сходимости, которые впервые были разработаны в реальном анализе . Свойства, которые зависят от структуры метрического пространства, называются метрическими свойствами . Каждое метрическое пространство также является топологическим пространством , и некоторые метрические свойства также могут быть перефразированы без ссылки на расстояние на языке топологии; то есть они действительно являются топологическими свойствами .

Топология метрического пространства

Для любой точки x в метрическом пространстве M и любого действительного числа r > 0 открытый шар радиуса r вокруг x определяется как множество точек, которые строго меньше расстояния r от x : Это естественный способ определить множество точек, которые относительно близки к x . Следовательно, множество является окрестностью x (неформально, оно содержит все точки, «достаточно близкие» к x ) , если оно содержит открытый шар радиуса r вокруг x для некоторого r > 0 . $${\displaystyle B_{r}(x)=\{y\in M:d(x,y)<r\}.}$$ ${\displaystyle N\subseteq M}$

Открытое множество — это множество, которое является окрестностью всех своих точек. Из этого следует, что открытые шары образуют базу для топологии на M. Другими словами, открытые множества M — это в точности объединения открытых шаров. Как и в любой топологии, замкнутые множества являются дополнениями открытых множеств. Множества могут быть как открытыми, так и замкнутыми, а также ни открытыми, ни замкнутыми.

Эта топология не несет всей информации о метрическом пространстве. Например, расстояния d ₁ , d ₂ и d _{∞ ,} определенные выше, все индуцируют одну и ту же топологию на , хотя они ведут себя по-разному во многих отношениях. Аналогично, с евклидовой метрикой и ее подпространством интервал (0, 1) с индуцированной метрикой гомеоморфны , но имеют совершенно разные метрические свойства. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Наоборот, не каждому топологическому пространству можно задать метрику. Топологические пространства, совместимые с метрикой, называются метризуемыми и особенно хорошо ведут себя во многих отношениях: в частности, они являются паракомпактными ^[11] хаусдорфовыми пространствами (следовательно, нормальными ) и с первой счетностью . ^[a] Теорема Нагаты–Смирнова о метризации дает характеристику метризуемости в терминах других топологических свойств, без ссылки на метрики.

Конвергенция

Сходимость последовательностей в евклидовом пространстве определяется следующим образом:

Последовательность ( x _n ) сходится к точке x , если для каждого ε > 0 существует целое число N такое, что для всех n > N , d ( x _n , x ) < ε .

Сходимость последовательностей в топологическом пространстве определяется следующим образом:

Последовательность ( x _n ) сходится к точке x , если для каждого открытого множества U , содержащего x , существует целое число N такое, что для всех n > N , . ${\displaystyle x_{n}\in U}$

В метрических пространствах оба эти определения имеют смысл и эквивалентны. Это общая закономерность для топологических свойств метрических пространств: хотя их можно определить чисто топологическим способом, часто существует способ, использующий метрику, которую легче сформулировать или которая более знакома из реального анализа.

Полнота

Неформально, метрическое пространство является полным, если в нем нет «недостающих точек»: каждая последовательность, которая выглядит так, будто должна сходиться к чему-то, на самом деле сходится.

Чтобы сделать это точным: последовательность ( x _n ) в метрическом пространстве M является последовательностью Коши , если для каждого ε > 0 существует целое число N такое, что для всех m , n > N , d ( x _m , x _n ) < ε . По неравенству треугольника любая сходящаяся последовательность является последовательностью Коши: если x _m и x _n оба находятся на расстоянии менее ε от предела, то они находятся на расстоянии менее 2ε друг от друга. Если верно обратное — каждая последовательность Коши в M сходится — то M является полным.

Евклидовы пространства полны, как и другие метрики, описанные выше. Два примера пространств, которые не являются полными, — это (0, 1) и рациональные числа, каждое из которых имеет метрику, индуцированную из . Можно считать, что (0, 1) «отсутствует» в своих конечных точках 0 и 1. Рациональные числа отсутствую во всех иррациональных числах, поскольку любое иррациональное число имеет последовательность рациональных чисел, сходящуюся к нему в (например, его последовательные десятичные приближения). Эти примеры показывают, что полнота не является топологическим свойством, поскольку является полным, а гомеоморфное пространство (0, 1) — нет. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Это понятие «отсутствующих точек» можно уточнить. Фактически, каждое метрическое пространство имеет уникальное завершение , которое является полным пространством, содержащим данное пространство как плотное подмножество. Например, [0, 1] является завершением (0, 1) , а действительные числа являются завершением рациональных чисел.

Так как с полными пространствами, как правило, легче работать, завершения важны во всей математике. Например, в абстрактной алгебре p -адические числа определяются как завершение рациональных чисел в другой метрике. Завершение особенно распространено как инструмент в функциональном анализе . Часто есть набор хороших функций и способ измерения расстояний между ними. Взятие завершения этого метрического пространства дает новый набор функций, которые могут быть менее хорошими, но тем не менее полезными, поскольку они ведут себя подобно исходным хорошим функциям в важных отношениях. Например, слабые решения дифференциальных уравнений обычно живут в завершении ( пространстве Соболева ), а не в исходном пространстве хороших функций, для которого дифференциальное уравнение фактически имеет смысл.

Ограниченные и полностью ограниченные пространства

Диаметр набора.

Метрическое пространство M ограничено , если существует r такое, что никакая пара точек в M не находится на расстоянии большем, чем r друг от друга. ^[b] Наименьшее такое r называетсядиаметр М.​​

Пространство M называется предкомпактным или вполне ограниченным , если для любого r > 0 существует конечное покрытие M открытыми шарами радиуса r . Каждое вполне ограниченное пространство ограничено. Чтобы увидеть это, начнем с конечного покрытия r -шарами для некоторого произвольного r . Поскольку подмножество M , состоящее из центров этих шаров, конечно, оно имеет конечный диаметр, скажем, D . По неравенству треугольника диаметр всего пространства не превышает D + 2 r . Обратное утверждение неверно: примером метрического пространства, которое ограничено, но не вполне ограничено, является (или любое другое бесконечное множество) с дискретной метрикой. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Компактность

Компактность — топологическое свойство, обобщающее свойства замкнутого и ограниченного подмножества евклидова пространства. Существует несколько эквивалентных определений компактности в метрических пространствах:

1. Метрическое пространство M называется компактным, если каждое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие (обычное топологическое определение).
2. Метрическое пространство M компактно, если каждая последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность. (Для общих топологических пространств это называется секвенциальной компактностью и не эквивалентно компактности.)
3. Метрическое пространство M компактно, если оно полно и вполне ограничено. (Это определение записано в терминах метрических свойств и не имеет смысла для общего топологического пространства, но тем не менее оно топологически инвариантно, поскольку эквивалентно компактности.)

Одним из примеров компактного пространства является замкнутый интервал [0, 1] .

Компактность важна по тем же причинам, что и полнота: она позволяет легко находить пределы. Другим важным инструментом является числовая лемма Лебега , которая показывает, что для любого открытого покрытия компактного пространства каждая точка находится относительно глубоко внутри одного из множеств покрытия.

Функции между метрическими пространствами

Диаграмма Эйлера типов функций между метрическими пространствами.

В отличие от топологических пространств или алгебраических структур, таких как группы или кольца , не существует единого «правильного» типа функции сохранения структуры между метрическими пространствами. Вместо этого мы работаем с различными типами функций в зависимости от наших целей. В этом разделе предположим, что и являются двумя метрическими пространствами. Слова «функция» и «отображение» используются взаимозаменяемо. ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$ ${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$

Изометрии

Одной из интерпретаций «сохраняющей структуру» карты является та, которая полностью сохраняет функцию расстояния:

Функция сохраняет расстояние ^[12], если для каждой пары точек x и y в M ₁ , ${\displaystyle f:M_{1}\to M_{2}}$ $${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))=d_{1}(x,y).}$$

Из аксиом метрического пространства следует, что функция сохранения расстояния является инъективной. Биективная функция сохранения расстояния называется изометрией . [ ^13] Один, возможно, неочевидный пример изометрии между пространствами, описанный в этой статье, — это отображение, определяемое формулой ${\displaystyle f:(\mathbb {R} ^{2},d_{1})\to (\mathbb {R} ^{2},d_{\infty })}$ $${\displaystyle f(x,y)=(x+y,x-y).}$$

Если между пространствами M ₁ и M ₂ существует изометрия , то они называются изометричными . Метрические пространства, которые являются изометричными, по существу идентичны .

Непрерывные карты

На другом конце спектра можно полностью забыть о метрической структуре и изучать непрерывные отображения , которые сохраняют только топологическую структуру. Существует несколько эквивалентных определений непрерывности для метрических пространств. Наиболее важными являются:

• Топологическое определение. Функция непрерывна , если для каждого открытого множества U в M ₂ прообраз открыт. ${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)}$
• Последовательная непрерывность . Функциянепрерывна, если всякий раз, когда последовательность ( x _n ) сходится к точке x в M ₁ , последовательностьсходится к точке f ( x ) в M ₂ . ${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$ ${\displaystyle f(x_{1}),f(x_{2}),\ldots }$

(Эти первые два определения не эквивалентны для всех топологических пространств.)

• Определение ε–δ. Функция непрерывна, если для каждой точки x в M ₁ и каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех y в M ₁ имеем ${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$ $${\displaystyle d_{1}(x,y)<\delta \implies d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon .}$$

Гомеоморфизм — это непрерывная биекция, обратная которой также непрерывна; если между M ₁ и M ₂ существует гомеоморфизм , то они называются гомеоморфными . Гомеоморфные пространства одинаковы с точки зрения топологии, но могут иметь совершенно разные метрические свойства. Например, является неограниченным и полным, тогда как (0, 1) ограничено, но не полно. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Равномерно непрерывные отображения

Функция равномерно непрерывна , если для каждого действительного числа ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех точек x и y в M ₁ таких, что , имеем ${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$ ${\displaystyle d(x,y)<\delta }$ $${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon .}$$

Единственное различие между этим определением и определением непрерывности через ε–δ заключается в порядке кванторов: выбор δ должен зависеть только от ε, а не от точки x . Однако это тонкое изменение имеет большое значение. Например, равномерно непрерывные отображения переводят последовательности Коши в M ₁ в последовательности Коши в M ₂ . Другими словами, равномерная непрерывность сохраняет некоторые метрические свойства, которые не являются чисто топологическими.

С другой стороны, теорема Гейне–Кантора утверждает, что если M ₁ компактно, то всякое непрерывное отображение равномерно непрерывно. Другими словами, равномерная непрерывность не может различать какие-либо нетопологические особенности компактных метрических пространств.

Карты Липшица и сокращения

Липшицево отображение — это отображение, которое растягивает расстояния не более чем на ограниченный множитель. Формально, при заданном вещественном числе K > 0 , отображение является K - Липшицевым , если липшицевы отображения особенно важны в метрической геометрии, поскольку они обеспечивают большую гибкость, чем сохраняющие расстояния отображения, но все еще существенно используют метрику. ^[14] Например, кривая в метрическом пространстве спрямляема (имеет конечную длину) тогда и только тогда, когда она имеет липшицеву репараметризацию. ${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$ $${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))\leq Kd_{1}(x,y)\quad {\text{for all}}\quad x,y\in M_{1}.}$$

1-Липшицево отображение иногда называют нерасширяющимся или метрическим отображением . Метрические отображения обычно считаются морфизмами категории метрических пространств .

K - Липшицево отображение для K < 1 называется сжатием . Теорема Банаха о неподвижной точке утверждает, что если M — полное метрическое пространство, то каждое сжатие допускает единственную неподвижную точку . Если метрическое пространство M компактно, результат справедлив для немного более слабого условия на f : отображение допускает единственную неподвижную точку, если ${\displaystyle f:M\to M}$ ${\displaystyle f:M\to M}$ $${\displaystyle d(f(x),f(y))<d(x,y)\quad {\mbox{for all}}\quad x\neq y\in M_{1}.}$$

Квази-изометрии

Квазиизометрия — это отображение, которое сохраняет «крупномасштабную структуру» метрического пространства. Квазиизометрии не обязательно должны быть непрерывными. Например, и его подпространство являются квазиизометрическими, даже если одно из них связно, а другое — дискретно. Отношение эквивалентности квазиизометрии важно в геометрической теории групп : лемма Шварца–Милнора утверждает, что все пространства, на которых группа действует геометрически, являются квазиизометрическими. ^[15] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$

Формально отображение является квазиизометрическим вложением , если существуют константы A ≥ 1 и B ≥ 0, такие что Оно является квазиизометрией, если, кроме того, оно квазисюръективно , т.е. существует константа C ≥ 0 , такая, что каждая точка в находится на расстоянии не более C от некоторой точки изображения . ${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$ $${\displaystyle {\frac {1}{A}}d_{2}(f(x),f(y))-B\leq d_{1}(x,y)\leq Ad_{2}(f(x),f(y))+B\quad {\text{ for all }}\quad x,y\in M_{1}.}$$ ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle f(M_{1})}$

Понятия эквивалентности метрического пространства

Даны два метрических пространства и : ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$ ${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$

• Они называются гомеоморфными (топологически изоморфными), если между ними существует гомеоморфизм (т. е. непрерывная биекция с непрерывной инверсией). Если и тождественное отображение является гомеоморфизмом, то и называются топологически эквивалентными . ${\displaystyle M_{1}=M_{2}}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$
• Они называются равномерными (равномерно изоморфными), если между ними существует равномерный изоморфизм (т. е. равномерно непрерывная биекция с равномерно непрерывным обратным отображением).
• Они называются билипшицевыми гомеоморфными, если между ними существует билипшицева биекция (т. е. липшицева биекция с липшицевой инверсией).
• Они называются изометрическими , если между ними существует (биективная) изометрия . В этом случае два метрических пространства по сути идентичны.
• Они называются квазиизометричными, если между ними существует квазиизометрия .

Метрические пространства с дополнительной структурой

Нормированные векторные пространства

Нормированное векторное пространство — это векторное пространство, снабженное нормой , которая является функцией, измеряющей длину векторов. Норма вектора v обычно обозначается как . Любое нормированное векторное пространство может быть снабжено метрикой, в которой расстояние между двумя векторами x и y задается как Метрика d называется индуцированной нормой . Наоборот, ^[16] если метрика d на векторном пространстве X есть ${\displaystyle \lVert v\rVert }$ $${\displaystyle d(x,y):=\lVert x-y\rVert .}$$ ${\displaystyle \lVert {\cdot }\rVert }$

• инвариант трансляции: для каждого x , y и a в X ; и ${\displaystyle d(x,y)=d(x+a,y+a)}$
• абсолютно однородный :для любыхxиyизXи действительного числаα; ${\displaystyle d(\alpha x,\alpha y)=|\alpha |d(x,y)}$

тогда это метрика, индуцированная нормой . Аналогичная связь существует между полунормами и псевдометриками . $${\displaystyle \lVert x\rVert :=d(x,0).}$$

Среди примеров метрик, индуцированных нормой, есть метрики d ₁ , d ₂ и d _∞ на , которые индуцированы манхэттенской нормой , евклидовой нормой и максимальной нормой соответственно. В более общем смысле, вложение Куратовского позволяет рассматривать любое метрическое пространство как подпространство нормированного векторного пространства. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Бесконечномерные нормированные векторные пространства, в частности пространства функций, изучаются в функциональном анализе . Полнота особенно важна в этом контексте: полное нормированное векторное пространство известно как банахово пространство . Необычное свойство нормированных векторных пространств состоит в том, что линейные преобразования между ними непрерывны тогда и только тогда, когда они липшицевы. Такие преобразования известны как ограниченные операторы .

Длина пробелов

Одно из возможных приближений для длины дуги кривой. Приближение никогда не бывает длиннее длины дуги, что оправдывает определение длины дуги как супремума .

Кривая в метрическом пространстве ( M , d ) является непрерывной функцией . Длина γ измеряется как В общем случае этот супремум может быть бесконечным; кривая конечной длины называется спрямляемой . ^[17] Предположим, что длина кривой γ равна расстоянию между ее конечными точками, то есть это кратчайший возможный путь между ее конечными точками. После перепараметризации по длине дуги γ становится геодезической : кривой, которая является функцией сохранения расстояния. ^[15] Геодезическая — это кратчайший возможный путь между любыми двумя ее точками. [ ^c] ${\displaystyle \gamma :[0,T]\to M}$ $${\displaystyle L(\gamma )=\sup _{0=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=T}\left\{\sum _{k=1}^{n}d(\gamma (x_{k-1}),\gamma (x_{k}))\right\}.}$$

Геодезическое метрическое пространство — это метрическое пространство, допускающее геодезическую линию между любыми двумя своими точками. Пространства и являются геодезическими метрическими пространствами. В геодезические линии уникальны, но в часто существует бесконечно много геодезических линий между двумя точками, как показано на рисунке в верхней части статьи. ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d_{1})}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d_{2})}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d_{2})}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d_{1})}$

Пространство M является пространством длины (или метрика d является внутренней ), если расстояние между любыми двумя точками x и y является инфимумом длин путей между ними. В отличие от геодезического метрического пространства, инфимум не обязательно должен быть достигнут. Примером пространства длины, которое не является геодезическим, является евклидова плоскость за вычетом начала координат: точки (1, 0) и (-1, 0) могут быть соединены путями длины, произвольно близкой к 2, но не путем длины 2. Примером метрического пространства, которое не является пространством длины, является метрика прямой линии на сфере: прямая линия между двумя точками, проходящая через центр Земли, короче любого пути по поверхности.

Для любого метрического пространства ( M , d ) можно определить новую внутреннюю функцию расстояния d _intrinsic на M , установив расстояние между точками x и y равным инфимуму d -длин путей между ними. Например, если d — это расстояние по прямой на сфере, то d _intrinsic — это расстояние по большой окружности. Однако в некоторых случаях d _intrinsic может иметь бесконечные значения. Например, если M — это снежинка Коха с метрикой подпространства d, индуцированной из , то полученное внутреннее расстояние бесконечно для любой пары различных точек. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Римановы многообразия

Риманово многообразие — это пространство, снабженное римановым метрическим тензором , который определяет длины касательных векторов в каждой точке. Это можно рассматривать как определение понятия расстояния в бесконечно малой степени. В частности, дифференцируемый путь в римановом многообразии M имеет длину, определяемую как интеграл длины касательного вектора к пути: На связном римановом многообразии расстояние между двумя точками определяется как инфимум длин гладких путей между ними. Эта конструкция обобщается на другие виды бесконечно малых метрик на многообразиях, такие как субримановы и финслеровы метрики . ${\displaystyle \gamma :[0,T]\to M}$ $${\displaystyle L(\gamma )=\int _{0}^{T}|{\dot {\gamma }}(t)|dt.}$$

Риманова метрика однозначно определяется функцией расстояния; это означает, что в принципе вся информация о римановом многообразии может быть восстановлена ​​из его функции расстояния. Одним из направлений в метрической геометрии является нахождение чисто метрических ( «синтетических» ) формулировок свойств римановых многообразий. Например, риманово многообразие является CAT( k ) пространством (синтетическое условие, которое зависит исключительно от метрики) тогда и только тогда, когда его секционная кривизна ограничена сверху k . ^[20] Таким образом, CAT( k ) пространства обобщают верхние границы кривизны на общие метрические пространства.

Метрические мерные пространства

Действительный анализ использует как метрику на , так и меру Лебега . Поэтому обобщения многих идей из анализа естественным образом находятся в метрических мерных пространствах: пространствах, которые имеют как меру, так и метрику, которые совместимы друг с другом. Формально, метрическое мерное пространство — это метрическое пространство, снабженное регулярной мерой Бореля, такой, что каждый шар имеет положительную меру. ^[21] Например, евклидовы пространства размерности n , и, в более общем случае, n -мерные римановы многообразия, естественным образом имеют структуру метрического мерного пространства, снабженного мерой Лебега . Некоторые фрактальные метрические пространства, такие как коврик Серпинского, могут быть снабжены α-мерной мерой Хаусдорфа , где α — размерность Хаусдорфа . В общем случае, однако, метрическое пространство может не иметь «очевидного» выбора меры. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Одно из применений метрических мерных пространств — обобщение понятия кривизны Риччи за пределы римановых многообразий. Так же, как CAT( k ) и пространства Александрова обобщают оценки секционной кривизны, пространства RCD являются классом метрических мерных пространств, которые обобщают нижние оценки кривизны Риччи. ^[22]

Дополнительные примеры и приложения

Графы и конечные метрические пространства

Аметрическое пространство дискретно , если его индуцированная топология является дискретной топологией . Хотя многие понятия, такие как полнота и компактность, не представляют интереса для таких пространств, они, тем не менее, являются объектом изучения в нескольких разделах математики. В частности,Конечные метрические пространства (те, которые имеют конечное число точек) изучаются в комбинаторике и теоретической информатике . ^[23] Вложения в другие метрические пространства изучены особенно хорошо. Например, не каждое конечное метрическое пространство может быть изометрически вложено в евклидово пространство или в гильбертово пространство . С другой стороны, в худшем случае требуемое искажение (константа Билипшица) является только логарифмическим по числу точек. ^{[24] [25]}

Для любого неориентированного связного графа G множество вершин V графа G можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние между вершинами x и y как длину кратчайшего реберного пути, соединяющего их. Это также называется расстоянием кратчайшего пути или геодезическим расстоянием . В геометрической теории групп эта конструкция применяется к графу Кэли (обычно бесконечной) конечно-порожденной группы , что дает метрику слова . С точностью до гомеоморфизма Билипшица метрика слова зависит только от группы, а не от выбранного конечного порождающего множества. ^[15]

Расстояния между математическими объектами

В современной математике часто изучают пространства, точки которых сами являются математическими объектами. Функция расстояния в таком пространстве обычно направлена ​​на измерение различия между двумя объектами. Вот несколько примеров:

• Функции в метрическое пространство. Если X — любое множество, а M — метрическое пространство, то множество всех ограниченных функций (т. е. тех функций, образ которых является ограниченным подмножеством ) можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние между двумя ограниченными функциями f и g как Эта метрика называется равномерной метрикой или метрикой супремума. ^[26] Если M полно, то это функциональное пространство также полно; более того, если X также является топологическим пространством, то подпространство, состоящее из всех ограниченных непрерывных функций из X в M , также полно. Когда X является подпространством , это функциональное пространство известно как классическое пространство Винера . ${\displaystyle f\colon X\to M}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in X}d(f(x),g(x)).}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Метрики строк и расстояния редактирования . Существует много способов измерения расстояний между строками символов , которые могут представлять предложения в компьютерной лингвистике или кодовые слова в теории кодирования . Расстояния редактирования пытаются измерить количество изменений, необходимых для перехода от одной строки к другой. Например, расстояние Хэмминга измеряет минимальное количество необходимых замен, в то время как расстояние Левенштейна измеряет минимальное количество удалений, вставок и замен; оба эти расстояния можно рассматривать как расстояния в соответствующем графе.
• Расстояние редактирования графа — это мера различия между двумя графами , определяемая как минимальное количество операций редактирования графа, необходимых для преобразования одного графа в другой.
• Метрики Вассерштейна измеряют расстояние между двумя мерами в одном и том же метрическом пространстве. Расстояние Вассерштейна между двумя мерами — это, грубо говоря, стоимость переноса одной меры в другую.
• Множество всех матриц размера m на n над некоторым полем является метрическим пространством относительно рангового расстояния . ${\displaystyle d(A,B)=\mathrm {rank} (B-A)}$
• Метрика Хелли в теории игр измеряет разницу между стратегиями в игре.

Расстояние Хаусдорфа и Громова–Хаусдорфа

Идея пространств математических объектов может быть применена также к подмножествам метрического пространства, а также к самим метрическим пространствам. Расстояние Хаусдорфа и расстояние Громова–Хаусдорфа определяют метрики на множестве компактных подмножеств метрического пространства и множестве компактных метрических пространств соответственно.

Предположим, что ( M , d ) — метрическое пространство, и пусть S — подмножество M . Расстояние от S до точки x из M неформально равно расстоянию от x до ближайшей точки S . Однако, поскольку может не быть ни одной ближайшей точки, оно определяется через инфимум : В частности, тогда и только тогда, когда x принадлежит замыканию S . Более того, расстояния между точками и множествами удовлетворяют версии неравенства треугольника: и, следовательно, отображение, определяемое как , непрерывно. Между прочим, это показывает, что метрические пространства полностью регулярны . $${\displaystyle d(x,S)=\inf\{d(x,s):s\in S\}.}$$ ${\displaystyle d(x,S)=0}$ $${\displaystyle d(x,S)\leq d(x,y)+d(y,S),}$$ ${\displaystyle d_{S}:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle d_{S}(x)=d(x,S)}$

Если даны два подмножества S и T множества M , их расстояние Хаусдорфа равно Неформально, два множества S и T близки друг к другу по расстоянию Хаусдорфа, если ни один элемент S не находится слишком далеко от T и наоборот. Например, если S — открытое множество в евклидовом пространстве, T — ε-сеть внутри S , то . В общем случае расстояние Хаусдорфа может быть бесконечным или нулевым. Однако расстояние Хаусдорфа между двумя различными компактными множествами всегда положительно и конечно. Таким образом, расстояние Хаусдорфа определяет метрику на множестве компактных подмножеств M . $${\displaystyle d_{H}(S,T)=\max\{\sup\{d(s,T):s\in S\},\sup\{d(t,S):t\in T\}\}.}$$ ${\displaystyle d_{H}(S,T)<\varepsilon }$ ${\displaystyle d_{H}(S,T)}$

Метрика Громова–Хаусдорфа определяет расстояние между (классами изометрии) компактных метрических пространств. Расстояние Громова–Хаусдорфа между компактными пространствами X и Y является инфимумом расстояния Хаусдорфа по всем метрическим пространствам Z , которые содержат X и Y как подпространства. Хотя точное значение расстояния Громова–Хаусдорфа редко бывает полезно знать, полученная топология нашла множество применений.

Разные примеры

• Если задано метрическое пространство ( X , d ) и возрастающая вогнутая функция , такая, что f ( t ) = 0 тогда и только тогда, когда t = 0 , то также является метрикой на X. Если f ( t ) = t ^α для некоторого действительного числа α < 1 , такая метрика известна как снежинка d . ^[27] ${\displaystyle f\colon [0,\infty )\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle d_{f}(x,y)=f(d(x,y))}$
• Плотная оболочка метрического пространства — это еще одно метрическое пространство, которое можно рассматривать как абстрактную версию выпуклой оболочки .
• Метрика хода коня , минимальное число ходов коня, необходимое для достижения одной точки из другой, является метрикой на . ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$
• Метрика British Rail (также называемая «метрикой почтового отделения» или « метрикой SNCF ») на нормированном векторном пространстве задается как для различных точек и , и . В более общем случае ее можно заменить функцией, принимающей произвольное множество неотрицательных действительных чисел и принимающей значение не более одного раза: тогда метрика определяется как для различных точек и , и . Название намекает на тенденцию железнодорожных поездок проходить через Лондон (или Париж) независимо от их конечного пункта назначения. ${\displaystyle d(x,y)=\lVert x\rVert +\lVert y\rVert }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle d(x,x)=0}$ ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle d(x,y)=f(x)+f(y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle d(x,x)=0}$
• Метрика Робинсона-Фоулдса, используемая для расчета расстояний между филогенетическими деревьями в филогенетике ^[28]

Конструкции

Метрические пространства продуктов

Если — метрические пространства, а N — евклидова норма на , то — метрическое пространство, где метрика произведения определяется как и индуцированная топология согласуется с топологией произведения . По эквивалентности норм в конечных размерностях топологически эквивалентная метрика получается, если N — норма такси , p-норма , максимальная норма или любая другая норма, которая не убывает с ростом координат положительного n -кортежа (что приводит к неравенству треугольника). ${\displaystyle (M_{1},d_{1}),\ldots ,(M_{n},d_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\bigl (}M_{1}\times \cdots \times M_{n},d_{\times }{\bigr )}}$ $${\displaystyle d_{\times }{\bigl (}(x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n}){\bigr )}=N{\bigl (}d_{1}(x_{1},y_{1}),\ldots ,d_{n}(x_{n},y_{n}){\bigr )},}$$

Аналогично, метрику на топологическом произведении счетного числа метрических пространств можно получить с помощью метрики $${\displaystyle d(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}{\frac {d_{i}(x_{i},y_{i})}{1+d_{i}(x_{i},y_{i})}}.}$$

Топологическое произведение несчетного числа метрических пространств не обязано быть метризуемым. Например, несчетное произведение копий не является счетно-первым и, следовательно, не метризуемым. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Факторные метрические пространства

Если M — метрическое пространство с метрикой d , а — отношение эквивалентности на M , то мы можем наделить фактормножество псевдометрикой. Расстояние между двумя классами эквивалентности и определяется как где инфимум берется по всем конечным последовательностям и с , , . ^[29] В общем случае это определит только псевдометрику , т.е. не обязательно подразумевает, что . Однако для некоторых отношений эквивалентности (например, заданных склеиванием многогранников вдоль граней) — метрика. ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle M/\!\sim }$ ${\displaystyle [x]}$ ${\displaystyle [y]}$ $${\displaystyle d'([x],[y])=\inf\{d(p_{1},q_{1})+d(p_{2},q_{2})+\dotsb +d(p_{n},q_{n})\},}$$ ${\displaystyle (p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})}$ ${\displaystyle (q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}$ ${\displaystyle p_{1}\sim x}$ ${\displaystyle q_{n}\sim y}$ ${\displaystyle q_{i}\sim p_{i+1},i=1,2,\dots ,n-1}$ ${\displaystyle d'([x],[y])=0}$ ${\displaystyle [x]=[y]}$ ${\displaystyle d'}$

Факторная метрика характеризуется следующим универсальным свойством . Если — метрическое (т.е. 1-липшицево) отображение между метрическими пространствами, удовлетворяющее f ( x ) = f ( y ) всякий раз , когда , то индуцированная функция , заданная как , является метрическим отображением ${\displaystyle d'}$ ${\displaystyle f\,\colon (M,d)\to (X,\delta )}$ ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle {\overline {f}}\,\colon {M/\sim }\to X}$ ${\displaystyle {\overline {f}}([x])=f(x)}$ ${\displaystyle {\overline {f}}\,\colon (M/\sim ,d')\to (X,\delta ).}$

Факторная метрика не всегда индуцирует факторную топологию . Например, топологическое факторное метрического пространства, определяющее все точки формы , не метризуемо, поскольку оно не является счетно-пересчетным , но факторная метрика является хорошо определенной метрикой на том же множестве, которая индуцирует более грубую топологию . Более того, различные метрики на исходном топологическом пространстве (несвязное объединение счетного числа интервалов) приводят к различным топологиям на факторном. ^[30] ${\displaystyle \mathbb {N} \times [0,1]}$ ${\displaystyle (n,0)}$

Топологическое пространство является последовательным тогда и только тогда, когда оно является (топологическим) фактором метрического пространства. ^[31]

Обобщения метрических пространств

Существует несколько понятий пространств, которые имеют меньшую структуру, чем метрическое пространство, но большую, чем топологическое пространство.

• Равномерные пространства — это пространства, в которых расстояния не определены, но определена равномерная непрерывность.
• Пространства приближения — это пространства, в которых определены расстояния от точки до множества, а не от точки до точки. Они обладают особенно хорошими свойствами с точки зрения теории категорий .
• Пространства непрерывности представляют собой обобщение метрических пространств и частично упорядоченных множеств , которое можно использовать для унификации понятий метрических пространств и областей .

Существует также множество способов ослабления аксиом для метрики, что приводит к различным понятиям обобщенных метрических пространств. Эти обобщения также могут быть объединены. Терминология, используемая для их описания, не полностью стандартизирована. В частности, в функциональном анализе псевдометрики часто происходят от полунорм на векторных пространствах, и поэтому естественно называть их «полуметриками». Это противоречит использованию термина в топологии .

Расширенные метрики

Некоторые авторы определяют метрики таким образом, чтобы позволить функции расстояния d достигать значения ∞, т.е. расстояния являются неотрицательными числами на расширенной числовой прямой . ^[4] Такая функция также называется расширенной метрикой или «∞-метрикой». Каждая расширенная метрика может быть заменена вещественнозначной метрикой, которая топологически эквивалентна. Это можно сделать с помощью субаддитивной монотонно возрастающей ограниченной функции, которая равна нулю в нуле, например или . ${\displaystyle d'(x,y)=d(x,y)/(1+d(x,y))}$ ${\displaystyle d''(x,y)=\min(1,d(x,y))}$

Метрики, оцениваемые в структурах, отличных от реальных чисел

Требование, чтобы метрика принимала значения, можно смягчить, чтобы рассмотреть метрики со значениями в других структурах, включая: ${\displaystyle [0,\infty )}$

• Упорядоченные поля , дающие понятие обобщенной метрики .
• Более общие направленные множества . При отсутствии операции сложения неравенство треугольника не имеет смысла и заменяется ультраметрическим неравенством . Это приводит к понятию обобщенной ультраметрики . ^[32]

Эти обобщения по-прежнему создают однородную структуру в пространстве.

Псевдометрия

Псевдометрика на — это функция , которая удовлетворяет аксиомам для метрики, за исключением того, что вместо второго (тождества неразличимых) требуется только для всех. [ ^33] Другими словами, аксиомы для псевдометрики следующие: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d:X\times X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle d(x,x)=0}$ ${\displaystyle x}$

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$
2. ${\displaystyle d(x,x)=0}$
3. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$
4. ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$.

В некоторых контекстах псевдометрики называются полуметриками ^[34] из-за их связи с полунормами .

Квазиметрика

Иногда квазиметрика определяется как функция, которая удовлетворяет всем аксиомам для метрики, за исключением, возможно, симметрии. ^[35] Название этого обобщения не полностью стандартизировано. ^[36]

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$
2. ${\displaystyle d(x,y)=0\iff x=y}$
3. ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$

Квазиметрики распространены в реальной жизни. Например, если задано множество X горных деревень, типичное время ходьбы между элементами X образует квазиметрику, поскольку подъем в гору занимает больше времени, чем спуск. Другим примером является длина поездки на машине в городе с односторонним движением: здесь кратчайший путь из точки A в точку B проходит по другому набору улиц, чем кратчайший путь из B в A , и может иметь другую длину.

Квазиметрика на вещественных числах может быть определена установкой 1 может быть заменена, например, бесконечностью или любой другой субаддитивной функцией y - x . Эта квазиметрика описывает стоимость модификации металлического стержня: его размер легко уменьшить, спилив его , но его трудно или невозможно увеличить. $${\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}x-y&{\text{if }}x\geq y,\\1&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle 1+{\sqrt {y-x}}}$

Если задана квазиметрика на X , можно определить R -шар вокруг x как множество . Как и в случае метрики, такие шары образуют основу топологии на X , но эта топология не обязательно должна быть метризуемой. Например, топология, индуцированная квазиметрикой на вещественных числах, описанных выше, является (обратной) линией Зоргенфрея . ${\displaystyle \{y\in X|d(x,y)\leq R\}}$

Метаметрика или частичные метрики

В метаметрике все аксиомы метрики выполняются, за исключением того, что расстояние между идентичными точками не обязательно равно нулю. Другими словами, аксиомы для метаметрики следующие:

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$
2. ${\displaystyle d(x,y)=0\implies x=y}$
3. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$
4. ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z).}$

Метаметрики появляются при изучении гиперболических метрических пространств Громова и их границ. Визуальная метаметрика на таком пространстве удовлетворяет для точек на границе, но в противном случае приблизительно равна расстоянию от до границы. Метаметрики были впервые определены Юсси Вяйсяля. ^[37] В другой работе функция, удовлетворяющая этим аксиомам, называется частичной метрикой ^{[38] [39]} или смещенной метрикой . ^[33] ${\displaystyle d(x,x)=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle d(x,x)}$ ${\displaystyle x}$

Семиметрика

Полуметрика на — это функция , которая удовлетворяет первым трём аксиомам, но не обязательно неравенству треугольника: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d:X\times X\to \mathbb {R} }$

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$
2. ${\displaystyle d(x,y)=0\iff x=y}$
3. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$

Некоторые авторы работают с более слабой формой неравенства треугольника, например:

ρ-инфрейметрика неравенство подразумевает ρ-релаксированное неравенство треугольника (предполагая первую аксиому), а ρ-релаксированное неравенство треугольника подразумевает 2ρ-инфрейметрика неравенство. Полуметрики, удовлетворяющие этим эквивалентным условиям, иногда называют квазиметриками ^[40] , ниаметриками ^[41] или инфрейметриками ^[42] .

ρ-инфреймрические неравенства были введены для моделирования времени задержки приема-передачи в Интернете . ^[42] Неравенство треугольника подразумевает 2-инфреймрическое неравенство, а ультраметрическое неравенство — это в точности 1-инфреймрическое неравенство.

Преметрики

Ослабление последних трех аксиом приводит к понятию преметрики , т.е. функции, удовлетворяющей следующим условиям:

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$
2. ${\displaystyle d(x,x)=0}$

Это не стандартный термин. Иногда он используется для обозначения других обобщений метрик, таких как псевдополуметрика ^[43] или псевдометрика; ^[44] в переводах русских книг он иногда появляется как «праметрика». ^[45] Преметрика, которая удовлетворяет симметрии, т.е. псевдополуметрика, также называется расстоянием. ^[46]

Любая предварительная метрика порождает топологию следующим образом. Для положительного действительного числа -шар с центром в точке определяется как ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle B_{r}(p)=\{x|d(x,p)<r\}.}$

Множество называется открытым, если для любой точки множества существует -шар с центром в , который содержится в множестве. Каждое предметрическое пространство является топологическим пространством, и фактически последовательным пространством . В общем случае сами -шары не обязательно должны быть открытыми множествами относительно этой топологии. Что касается метрик, то расстояние между двумя множествами и , определяется как ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle d(A,B)={\underset {x\in A,y\in B}{\inf }}d(x,y).}$

Это определяет предварительную метрику на множестве мощности предварительного пространства. Если мы начнем с (псевдополу-)метрического пространства, мы получим псевдополуметрику, т.е. симметричную предварительную метрику. Любая предварительная метрика порождает оператор предзакрытия следующим образом: ${\displaystyle cl}$

${\displaystyle cl(A)=\{x|d(x,A)=0\}.}$

Псевдоквазиметрика

Префиксы псевдо- , квази- и полу- также могут быть объединены, например, псевдоквазиметрика (иногда называемая полуметрикой ) ослабляет как аксиому неразличимости, так и аксиому симметрии и является просто преметрикой, удовлетворяющей неравенству треугольника. Для псевдоквазиметрических пространств открытые -шары образуют базис открытых множеств. Очень простым примером псевдоквазиметрического пространства является множество с преметрикой, заданной и Соответствующим топологическим пространством является пространство Серпинского . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \{0,1\}}$ ${\displaystyle d(0,1)=1}$ ${\displaystyle d(1,0)=0.}$

Множества, оснащенные расширенной псевдоквазиметрикой, изучались Уильямом Ловером как «обобщенные метрические пространства». ^[47] С категориальной точки зрения расширенные псевдометрические пространства и расширенные псевдоквазиметрические пространства, вместе с их соответствующими нерасширяющимися отображениями, являются наиболее хорошо ведущими себя категориями метрических пространств . Можно брать произвольные произведения и копроизведения и формировать объекты-факторы в пределах данной категории. Если отбросить «расширенный», можно брать только конечные произведения и копроизведения. Если отбросить «псевдо», нельзя брать факторы.

Ловер также дал альтернативное определение таких пространств как обогащенных категорий . Упорядоченное множество можно рассматривать как категорию с одним морфизмом, если и ни одного в противном случае. Использование + в качестве тензорного произведения и 0 в качестве тождества превращает эту категорию в моноидальную категорию . Каждое (расширенное псевдоквази-)метрическое пространство теперь можно рассматривать как категорию, обогащенную над : ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq )}$ ${\displaystyle a\to b}$ ${\displaystyle a\geq b}$ ${\displaystyle R^{*}}$ ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle M^{*}}$ ${\displaystyle R^{*}}$

• Объектами категории являются точки М.
• Для каждой пары точек x и y , такой что , существует единственный морфизм, которому присвоен объект . ${\displaystyle d(x,y)<\infty }$ ${\displaystyle d(x,y)}$ ${\displaystyle R^{*}}$
• Неравенство треугольника и тот факт, что для всех точек x вытекают из свойств композиции и тождества в обогащенной категории. ${\displaystyle d(x,x)=0}$
• Поскольку является частично упорядоченным множеством, все диаграммы , необходимые для обогащенной категории, коммутируют автоматически. ${\displaystyle R^{*}}$

Метрики на мультимножествах

Понятие метрики можно обобщить от расстояния между двумя элементами до числа, присвоенного мультимножеству элементов. Мультимножество — это обобщение понятия множества , в котором элемент может встречаться более одного раза. Определим объединение мультимножеств следующим образом: если элемент x встречается m раз в X и n раз в Y , то он встречается m + n раз в U. Функция d на множестве непустых конечных мультимножеств элементов множества M является метрикой ^[48], если ${\displaystyle U=XY}$

1. ${\displaystyle d(X)=0}$если все элементы X равны, а в противном случае ( положительная определенность ) ${\displaystyle d(X)>0}$
2. ${\displaystyle d(X)}$зависит только от (неупорядоченного) мультимножества X ( симметрия )
3. ${\displaystyle d(XY)\leq d(XZ)+d(ZY)}$( неравенство треугольника )

Рассматривая случаи аксиом 1 и 2, в которых мультимножество X имеет два элемента, и случай аксиомы 3, в котором мультимножества X , Y и Z имеют по одному элементу, можно восстановить обычные аксиомы для метрики. То есть, каждая метрика мультимножества дает обычную метрику, если ограничиться множествами из двух элементов.

Простым примером является множество всех непустых конечных мультимножеств целых чисел с . Более сложными примерами являются информационное расстояние в мультимножествах; ^[48] и нормализованное расстояние сжатия (NCD) в мультимножествах. ^[49] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d(X)=\max(X)-\min(X)}$

Смотрите также

• Акустическая метрика  – тензор, характеризующий сигнальные свойства среды.
• Полное метрическое пространство  – Метрическая геометрия
• Разнообразие (математика)  – Обобщение метрических пространств
• Обобщенное метрическое пространство
• Четвертая проблема Гильберта  – Построить все метрические пространства, в которых линии напоминают линии на сфере.
• Метрическое дерево
• Расстояние Минковского  – Математическая метрика в нормированном векторном пространстве
• Функция знакового расстояния  – расстояние от точки до границы множества
• Мера сходства  – действительная функция, которая количественно определяет сходство между двумя объектами.
• Пространство (математика)  – математическое множество с некоторой добавленной структурой.
• Ультраметрическое пространство  – Тип метрического пространства

Примечания

1. Шары с рациональным радиусом вокруг точки x образуют базис окрестности этой точки.
2. В контексте интервалов на действительной прямой или, в более общем смысле, областей в евклидовом пространстве ограниченные множества иногда называют «конечными интервалами» или «конечными областями». Однако они обычно не имеют конечного числа элементов, и хотя все они имеют конечный объем , то же самое относится и ко многим неограниченным множествам. Поэтому эта терминология неточна.
3. Это отличается от использования в римановой геометрии , где геодезические являются только локально кратчайшими путями. Некоторые авторы определяют геодезические в метрических пространствах таким же образом. ^{[18] [19]}

Цитаты

1. Чех 1969, стр. 42.
2. Бураго, Бураго и Иванов 2001.
3. Хейнонен 2001.
4. Бураго, Бураго и Иванов 2001, с. 1.
5. Громов 2007, стр. xv.
6. Глисон, Эндрю (1991). Основы абстрактного анализа (1-е изд.). Тейлор и Фрэнсис . стр. 223. doi :10.1201/9781315275444. ISBN 9781315275444. S2CID  62222843.
7. Фреше, М. (декабрь 1906 г.). «Sur quelques Points du Calcul Fonctionnel». Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . 22 (1): 1–72. дои : 10.1007/BF03018603. S2CID  123251660.
8. Ф. Хаусдорф (1914) Grundzuge der Mengenlehre
9. Блумберг, Генри (1927). «Grundzüge der Mengenlehre» Хаусдорфа. Бюллетень Американского математического общества . 6 : 778–781. дои : 10.1090/S0002-9904-1920-03378-1 .
10. Мохамед А. Кхамси и Уильям А. Кирк (2001) Введение в метрические пространства и теорию неподвижных точек , стр. 14, John Wiley & Sons
11. Рудин, Мэри Эллен. Новое доказательство того, что метрические пространства являются паракомпактными Архивировано 2016-04-12 в Wayback Machine . Труды Американского математического общества, т. 20, № 2. (февраль, 1969), стр. 603.
12. Бураго, Бураго и Иванов 2001, с. 2.
13. Бураго, Бураго и Иванов 2001, стр. 2.
    Некоторые авторы называют любую функцию, сохраняющую расстояние, изометрией, например, Мункрес 2000, стр. 181.
14. Громов 2007, стр. xvii.
15. Маргалит и Томас 2017.
16. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 47–66.
17. Бураго, Бураго и Иванов 2001, Определение 2.3.1.
18. Бураго, Бураго и Иванов 2001, Определение 2.5.27.
19. Громов 2007, Определение 1.9.
20. Бураго, Бураго и Иванов 2001, с. 127.
21. Хейнонен 2007, стр. 191.
22. Джильи, Никола (2018-10-18). «Конспект лекций по дифференциальному исчислению на пространствах RCD». Публикации Научно-исследовательского института математических наук . 54 (4): 855–918. arXiv : 1703.06829 . doi :10.4171/PRIMS/54-4-4. S2CID  119129867.
23. Linial, Nathan (2003). «Конечные метрические пространства — комбинаторика, геометрия и алгоритмы». Труды ICM, Пекин 2002. Том 3. С. 573–586. arXiv : math/0304466 .
24. Бургейн, Дж. (1985). «О липшицевом вложении конечных метрических пространств в гильбертово пространство». Israel Journal of Mathematics . 52 (1–2): 46–52. doi :10.1007/BF02776078. S2CID  121649019.
25. Иржи Матоушек и Ассаф Наор , ред. "Открытые проблемы вложений конечных метрических пространств". Архивировано 2010-12-26 на Wayback Machine .
26. Ó Searcóid 2006, стр. 107.
27. Готтлиб, Ли-Ад; Соломон, Шей (2014-06-08). Легкие гаечные ключи для метрик снежинки . SOCG '14: Труды тридцатого ежегодного симпозиума по вычислительной геометрии. С. 387–395. arXiv : 1401.5014 . doi :10.1145/2582112.2582140.
28. Робинсон, ДФ; Фулдс, ЛР (февраль 1981 г.). «Сравнение филогенетических деревьев» . Математические биологические науки . 53 (1–2): 131–147. doi :10.1016/0025-5564(81)90043-2. ​​S2CID  121156920.
29. Бураго, Бураго и Иванов 2001, Определение 3.1.12.
30. См. Burago, Burago & Ivanov 2001, пример 3.1.17, хотя в этой книге ошибочно утверждается, что фактор гомеоморфен топологическому фактору. ${\displaystyle \mathbb {N} \times [0,1]/\mathbb {N} \times \{0\}}$
31. Горхэм, Энтони. Последовательная сходимость в топологических пространствах. Архивировано 2011-06-04 в Wayback Machine . Диссертацию с отличием, Королевский колледж, Оксфорд (апрель 2001 г.), стр. 14
32. Hitzler & Seda 2016, Определение 4.3.1.
33. Hitzler & Seda 2016, Определение 4.2.1.
34. Бураго, Бураго и Иванов 2001, Определение 1.1.4.
35. Стин и Зеебах (1995); Смит (1988)
36. Ролевич (1987) называет их «полуметриками». Этот же термин часто используется для двух других обобщений метрик.
37. Вяйсяля 2005.
38. "Частичные метрики: добро пожаловать". www.dcs.warwick.ac.uk . Архивировано из оригинала 2017-07-27 . Получено 2018-05-02 .
39. Букатин, Майкл; Копперман, Ральф; Мэтьюз, Стив; Паджухеш, Хомерира (2009-10-01). "Partial Metric Spaces" (PDF) . American Mathematical Monthly . 116 (8): 708–718. doi :10.4169/193009709X460831. S2CID  13969183.
40. Ся 2009.
41. Ся 2008.
42. Fraigniaud, Lebhar & Viennot 2008.
43. Булдыгин и Козаченко 2000.
44. Хелемский 2006.
45. Архангельский и Понтрягин (1990); Альдрованди и Перейра (2017)
46. Деза и Лоран 1997.
47. Ловер (1973); Викерс (2005)
48. Vitanyi 2011.
49. Коэн и Витаний 2012.

Ссылки

• Альдрованди, Рубен; Перейра, Хосе Джеральдо (2017), Введение в геометрическую физику (2-е изд.), Хакенсак, Нью-Джерси: World Scientific, стр. 20, ISBN 978-981-3146-81-5, г-н  3561561
• Архангельский, А.В .; Понтрягин, Л.С. (1990), Общая топология I: Основные понятия и конструкции Теория размерности , Энциклопедия математических наук, Springer , ISBN 3-540-18178-4
• Брайант, Виктор (1985). Метрические пространства: итерации и применение . Cambridge University Press. ISBN 0-521-31897-1.
• Булдыгин, В. В.; Козаченко, Ю. В. (2000), Метрическая характеристика случайных величин и случайных процессов , Переводы математических монографий, т. 188, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 129, doi : 10.1090/mmono/188, ISBN 0-8218-0533-9, г-н  1743716
• Бураго, Дмитрий ; Бураго, Юрий ; Иванов, Сергей (2001). Курс метрической геометрии . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-2129-6.
• Чех, Эдуард (1969). Точечные множества . Academic Press. ISBN 0121648508.
• Коэн, Эндрю Р.; Витаний, Пол МБ (2012), «Нормализованное расстояние сжатия мультимножеств с приложениями», IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence , 37 (8): 1602–1614, arXiv : 1212.5711 , doi : 10.1109/TPAMI.2014.2375175, PMC  4566858 , PMID  26352998
• Деза, Мишель Мари ; Лоран, Моник (1997), Геометрия сечений и метрик, Алгоритмы и комбинаторика, т. 15, Springer-Verlag, Берлин, стр. 27, doi :10.1007/978-3-642-04295-9, ISBN 3-540-61611-X, МР  1460488
• Fraigniaud, P.; Lebhar, E.; Viennot, L. (2008), "Инфраметрическая модель для Интернета", 2008 IEEE INFOCOM - 27-я конференция по компьютерным коммуникациям , стр. 1085–1093, CiteSeerX  10.1.1.113.6748 , doi :10.1109/INFOCOM.2008.163, ISBN 978-1-4244-2026-1, S2CID  5733968
• Громов, Михаил (2007). Метрические структуры для римановых и неримановых пространств . Бостон: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4582-3.
• Хейнонен, Юха (2001). Лекции по анализу метрических пространств . Нью-Йорк: Springer. ISBN 0-387-95104-0.
• Хейнонен, Юха (24.01.2007). «Негладкое исчисление». Бюллетень Американского математического общества . 44 (2): 163–232. doi : 10.1090/S0273-0979-07-01140-8 .
• Хелемский, А. Я. (2006), Лекции и упражнения по функциональному анализу, Переводы математических монографий, т. 233, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 14, doi : 10.1090/mmono/233 , ISBN 978-0-8218-4098-6, МР  2248303
• Hitzler, Pascal ; Seda, Anthony (2016-04-19). Математические аспекты семантики логического программирования. CRC Press. hdl :20.500.12657/40111. ISBN 978-1-4398-2962-2.
• Ловер, Ф. Уильям (декабрь 1973 г.). «Метрические пространства, обобщенная логика и закрытые категории». Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano . 43 (1): 135–166. дои : 10.1007/BF02924844. S2CID  1845177.
• Маргалит, Дэн ; Томас, Энн (2017). «Офисный час 7. Квази-изометрии». Офисные часы с геометрическим теоретиком групп . Princeton University Press. стр. 125–145. ISBN 978-1-4008-8539-8. JSTOR  j.ctt1vwmg8g.11.
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе издание). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011), Топологические векторные пространства , Чистая и прикладная математика (Второе издание), Бока-Ратон, Флорида: CRC Press, ISBN 978-1584888666, OCLC  144216834
• Ó Сиркоид, Мишель (2006). Метрические пространства . Лондон: Спрингер. ISBN 1-84628-369-8.
• Пападопулос, Атанас (2014). Метрические пространства, выпуклость и неположительная кривизна (Второе изд.). Цюрих, Швейцария: Европейское математическое общество . ISBN 978-3-03719-132-3.
• Ролевич, Стефан (1987). Функциональный анализ и теория управления: линейные системы . Springer . ISBN 90-277-2186-6.
• Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа (третье изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X. OCLC  1502474.
• Смит, М. (1988), «Квазиравномерности: согласование областей с метрическими пространствами», в Main, М.; Melton, А.; Mislove, М.; Schmidt, Д. (ред.), Математические основы семантики языков программирования , Lecture Notes in Computer Science, т. 298, Springer-Verlag, стр. 236–253, doi :10.1007/3-540-19020-1_12, ISBN 978-3-540-19020-2
• Стин, Линн Артур; Зеебах, Дж. Артур-младший (1995) [1978]. Контрпримеры в топологии . Дувр . ISBN 978-0-486-68735-3. МР  0507446.
• Витаний, Пол МБ (2011). «Информационное расстояние в кратных». Труды IEEE по теории информации . 57 (4): 2451–2456. arXiv : 0905.3347 . doi : 10.1109/TIT.2011.2110130. S2CID  6302496.
• Вяйсяля, Юсси (2005). «Гиперболические пространства Громова» (PDF) . Экспозиции Mathematicae . 23 (3): 187–231. дои : 10.1016/j.exmath.2005.01.010 . МР  2164775.
• Викерс, Стивен (2005). «Локальное пополнение обобщенных метрических пространств, I». Теория и приложения категорий . 14 (15): 328–356. MR  2182680.
• Вайсштейн, Эрик В. «Метрика продукта». MathWorld .
• Ся, Цинлань (2008). «Геодезическая задача в околометрических пространствах». Журнал геометрического анализа . 19 (2): 452–479. arXiv : 0807.3377 . doi :10.1007/s12220-008-9065-4. S2CID  17475581.
• Xia, Q. (2009). «Геодезическая задача в квазиметрических пространствах». Журнал геометрического анализа . 19 (2): 452–479. arXiv : 0807.3377 . doi :10.1007/s12220-008-9065-4. S2CID  17475581.

Внешние ссылки

• «Метрическое пространство», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Далеко и близко — несколько примеров функций расстояния в cut-the-knot .