поверхность Зейферта

Ориентируемая поверхность, граница которой представляет собой узел или связь

Поверхность Зейферта, ограниченная множеством колец Борромео .

В математике поверхность Зейферта (названная в честь немецкого математика Герберта Зейферта ^{[1] [2]} ) — это ориентируемая поверхность , границей которой является заданный узел или связь .

Такие поверхности могут быть использованы для изучения свойств соответствующего узла или связи. Например, многие инварианты узлов проще всего вычислить с помощью поверхности Зейферта. Поверхности Зейферта также интересны сами по себе и являются предметом значительных исследований.

В частности, пусть L — это ориентированный узел или зацепление в евклидовом 3-пространстве (или в 3-сфере ). Поверхность Зейферта — это компактная , связная , ориентированная поверхность S, вложенная в 3-пространство, граница которой — L , такая, что ориентация на L — это просто индуцированная ориентация из S.

Обратите внимание, что любая компактная, связная, ориентированная поверхность с непустой границей в евклидовом 3-пространстве является поверхностью Зейферта, связанной с ее граничным звеном. Один узел или звено может иметь много различных неэквивалентных поверхностей Зейферта. Поверхность Зейферта должна быть ориентированной . Также возможно связать поверхности с узлами, которые не являются ни ориентированными, ни ориентируемыми.

Примеры

Поверхность Зейферта для зацепления Хопфа . Это кольцо, а не лента Мёбиуса. Оно имеет два полуоборота и, таким образом, является ориентируемым.

Стандартная лента Мёбиуса имеет границу в виде узла , но не является поверхностью Зейферта для узла, поскольку она неориентируема.

Раскраска «шахматной доски» обычной минимальной пересекающейся проекции узла трилистника дает ленту Мёбиуса с тремя полуповоротами. Как и в предыдущем примере, это не поверхность Зейферта, поскольку она неориентируема. Применение алгоритма Зейферта к этой диаграмме, как и ожидалось, действительно дает поверхность Зейферта; в этом случае это проколотый тор рода g = 1, а матрица Зейферта равна

${\displaystyle V={\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Существование и матрица Зейферта

Это теорема о том, что любая связь всегда имеет связанную с ней поверхность Зейферта. Эта теорема была впервые опубликована Франклом и Понтрягиным в 1930 году. ^[3] Другое доказательство было опубликовано в 1934 году Гербертом Зейфертом и опирается на то, что сейчас называется алгоритмом Зейферта. Алгоритм создает поверхность Зейферта , учитывая проекцию рассматриваемого узла или связи. ${\displaystyle S}$

Предположим, что link имеет m компонент ( m = 1 для узла), диаграмма имеет d точек пересечения, и разрешение пересечений (сохраняя ориентацию узла) дает f окружностей. Тогда поверхность строится из f непересекающихся дисков путем присоединения d полос. Группа гомологии является свободной абелевой на 2 g образующих, где ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H_{1}(S)}$

${\displaystyle g={\frac {1}{2}}(2+d-f-m)}$

является родом . Форма пересечения Q на кососимметрична , и существует базис из 2 g циклов с равным прямой сумме g копий матрицы ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H_{1}(S)}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{2g}}$ ${\displaystyle Q=(Q(a_{i},a_{j}))}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}$

Иллюстрация (изотопных кривых) отталкиваний генератора гомологии a в положительном и отрицательном направлениях для поверхности Зейферта узла восьмерки.

Целочисленная матрица Зейферта размером 2 g × 2 g

${\displaystyle V=(v(i,j))}$

имеет число связей в евклидовом 3-пространстве (или в 3-сфере ) для a _i и "выталкивание" a _j в положительном направлении . Точнее, вспоминая, что поверхности Зейферта являются двустворчатыми, что означает, что мы можем расширить вложение до вложения , учитывая некоторую представительную петлю , которая является генератором гомологии внутри , положительное выталкивание равно , а отрицательное выталкивание равно . ^[4] ${\displaystyle v(i,j)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\times [-1,1]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x\times \{1\}}$ ${\displaystyle x\times \{-1\}}$

С этим у нас есть

${\displaystyle V-V^{*}=Q,}$

где V ^∗ = ( v ( j , i )) транспонированная матрица. Каждая целая матрица 2 g × 2 g с возникает как матрица Зейферта узла с родом g поверхности Зейферта. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V-V^{*}=Q}$

Полином Александера вычисляется из матрицы Зейферта, по которой является полиномом степени не выше 2g от неопределенности. Полином Александера не зависит от выбора поверхности Зейферта и является инвариантом узла или зацепления. ${\displaystyle A(t)=\det \left(V-tV^{*}\right),}$ ${\displaystyle t.}$ ${\displaystyle S,}$

Сигнатура узла — это сигнатура симметричной матрицы Зейферта. Это снова инвариант узла или связи. ${\displaystyle V+V^{\mathrm {T} }.}$

Род узла

Поверхности Зейферта вовсе не уникальны: поверхность Зейферта S рода g и матрица Зейферта V могут быть изменены топологической хирургией , что приведет к поверхности Зейферта S ′ рода g + 1 и матрице Зейферта

${\displaystyle V'=V\oplus {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.}$

Род узла K — это инвариант узла, определяемый минимальным родом g поверхности Зейферта для K.

Например:

• Узел -тривиатура , который по определению является границей диска, имеет род нуль. Более того, узел-тривиатура — единственный узел с родом ноль.
• Узел -трилистник имеет род 1, как и узел-восьмерка .
• Род ( p ,  q ) -торического узла равен ( p − 1)( q − 1)/2
• Степень многочлена Александера узла равна нижней границе его удвоенного рода.

Фундаментальным свойством рода является то, что он аддитивен по отношению к сумме узлов :

${\displaystyle g(K_{1}\mathbin {\#} K_{2})=g(K_{1})+g(K_{2})}$

В общем случае род узла трудно вычислить, и алгоритм Зейферта обычно не создает поверхность Зейферта наименьшего рода. По этой причине иногда полезны другие связанные инварианты. Канонический род узла — это наименьший род всех поверхностей Зейферта, которые могут быть построены алгоритмом Зейферта, а свободный род — это наименьший род всех поверхностей Зейферта, дополнением которых в является handlebody . (Дополнение поверхности Зейферта, сгенерированное алгоритмом Зейферта, всегда является handlebody.) Для любого узла неравенство, очевидно, выполняется, поэтому, в частности, эти инварианты устанавливают верхние границы рода. ^[5] ${\displaystyle g_{c}}$ ${\displaystyle g_{f}}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle g\leq g_{f}\leq g_{c}}$

Род узлов является NP-полным согласно работе Яна Эйгола , Джоэла Хасса и Уильяма Терстона . ^[6]

Было показано, что существуют поверхности Зейферта того же рода, которые не становятся изотопными ни топологически, ни гладко в 4-шаре. ^{[7] [8]}

Смотрите также

• Номер перекрестной крышки
• Инвариант узла Арфа
• Мурасуги сумма
• Род слайсов

Ссылки

1. Зайферт, Х. (1934). «Über das Geschlecht von Knoten». Математика. Аннален (на немецком языке). 110 (1): 571–592. дои : 10.1007/BF01448044. S2CID  122221512.
2. van Wijk, Jarke J. ; Cohen, Arjeh M. (2006). «Визуализация поверхностей Зейферта». IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics . 12 (4): 485–496. doi :10.1109/TVCG.2006.83. PMID  16805258. S2CID  4131932.
3. Франкл, Ф.; Понтрягин, Л. (1930). «Ein Knotensatz mit Anwendung auf die Dimensionstheorie». Математика. Аннален (на немецком языке). 102 (1): 785–789. дои : 10.1007/BF01782377. S2CID  123184354.
4. Дейл Рольфсен. Узлы и Связи. (1976), 146–147.
5. Бриттенхэм, Марк (24 сентября 1998 г.). «Ограничение канонического рода ограничивает объем». arXiv : math/9809142 .
6. Агол, Ян ; Хасс, Джоэл ; Терстон, Уильям (2002-05-19). "3-manifold knot genus is NP-complete". Труды тридцать четвертого ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений . STOC '02. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, США: Ассоциация вычислительной техники. стр. 761–766. arXiv : math/0205057 . doi :10.1145/509907.510016. ISBN 978-1-58113-495-7. S2CID  10401375 – по ссылке автора.
7. Хейден, Кайл; Ким, Сынвон; Миллер, Мэгги; Пак, Чжон Хван; Сандберг, Айзек (30.05.2022). «Поверхности Сейферта в 4-шаре». arXiv : 2205.15283 [math.GT].
8. «Специальные поверхности остаются различимыми в четырех измерениях». Журнал Quanta . 2022-06-16 . Получено 2022-07-16 .

Внешние ссылки

• Программа SeifertView Джека ван Вейка визуализирует поверхности Зейферта узлов, построенных с использованием алгоритма Зейферта.