График повторяемости

В описательной статистике и теории хаоса рекуррентный график ( РП ) — это график, показывающий для каждого момента времени моменты времени, в которые состояние динамической системы возвращается к предыдущему состоянию в , т. е. когда траектория фазового пространства посещает примерно ту же область в фазовом пространстве, что и в момент времени . Другими словами, это график ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle {\vec {x}}(i)\approx {\vec {x}}(j),}$

показывая на горизонтальной оси и на вертикальной оси, где находится состояние системы (или ее траектория в фазовом пространстве). ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$

Фон

Естественные процессы могут иметь отчетливое повторяющееся поведение, например, периодичности (как сезонные циклы или циклы Миланковича ), но также и нерегулярные цикличности (как Эль-Ниньо, Южное колебание, интервалы сердцебиения). Более того, повторяемость состояний, в том смысле, что состояния снова произвольно близки после некоторого времени расхождения , является фундаментальным свойством детерминированных динамических систем и типична для нелинейных или хаотических систем (ср. теорему о возвращаемости Пуанкаре ). Повторяемость состояний в природе известна уже давно и также обсуждалась в ранних работах (например, Анри Пуанкаре 1890).

Подробное описание

Одним из способов визуализации повторяющейся природы состояний по их траектории через фазовое пространство является рекуррентный график, введенный Экманном и др. (1987). ^[1] Часто фазовое пространство не имеет достаточно низкой размерности (два или три) для изображения, поскольку фазовые пространства более высокой размерности могут быть визуализированы только путем проекции в двух- или трехмерные подпространства. Одним из часто используемых инструментов для изучения поведения таких траекторий фазового пространства является отображение Пуанкаре . Другим инструментом является рекуррентный график, который позволяет нам исследовать многие аспекты m -мерной траектории фазового пространства через двумерное представление.

При рекуррентности траектория возвращается в местоположение (состояние) в фазовом пространстве, которое она посещала ранее с точностью до небольшой ошибки . График рекуррентности представляет собой совокупность пар времен таких рекуррентностей, т. е. набор с , с и дискретными точками времени и состояние системы в момент времени (местоположение траектории в момент времени ). Математически это выражается бинарной матрицей рекуррентности ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(i)\approx {\vec {x}}(j)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(i)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle R(i,j)={\begin{cases}1&{\text{if}}\quad \|{\vec {x}}(i)-{\vec {x}}(j)\|\leq \varepsilon \\0&{\text{otherwise}},\end{cases}}}$

где — норма, а порог повторения. Альтернативное, более формальное выражение — использование функции шага Хевисайда с нормой вектора расстояния между и . Альтернативные определения повторения рассматривают различные расстояния , например, угловое расстояние , нечеткое расстояние или расстояние редактирования . ^[2] ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle R(i,j)=\Theta (\varepsilon -D_{i,j})}$ ${\displaystyle D_{i,j}=\|{\vec {x}}(i)-{\vec {x}}(j)\|}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(i)}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(j)}$ ${\displaystyle D_{i,j}}$

График повторяемости визуализируется цветной (в основном черной) точкой в ​​координатах , а время откладывается по осям - и -. ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle R(i,j)=1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Если доступен только временной ряд , фазовое пространство можно реконструировать, например, с помощью вложения с задержкой по времени (см. теорему Такенса ): ${\displaystyle u(i)}$

${\displaystyle {\vec {x}}(i)=(u(i),u(i+\tau ),\ldots ,u(i+\tau (m-1)),}$

где — временной ряд, размерность вложения и временная задержка. Реконструкция фазового пространства не является существенной частью графика рекуррентности (хотя часто упоминается в литературе), поскольку она основана на траекториях фазового пространства, которые могут быть получены непосредственно из переменных системы (например, из трех переменных системы Лоренца ). ${\displaystyle u(i)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \tau }$

Визуальный вид графика рекуррентности дает подсказки о динамике системы. Вызванный характерным поведением траектории фазового пространства, график рекуррентности содержит типичные мелкомасштабные структуры, такие как отдельные точки, диагональные линии и вертикальные/горизонтальные линии (или смесь последних, которая объединяется в протяженные кластеры). Крупномасштабная структура, также называемая текстурой , может быть визуально охарактеризована как однородная , периодическая , дрейфовая или нарушенная . Например, график может показать, что если траектория строго периодична с периодом , то все такие пары времен будут разделены кратным и видны как диагональные линии. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

Типичные примеры графиков повторения (верхний ряд: временные ряды (построенные с течением времени); нижний ряд: соответствующие графики повторения). Слева направо: некоррелированные стохастические данные ( белый шум ), гармонические колебания с двумя частотами, хаотические данные ( логистическая карта ) с линейным трендом и данные из процесса авторегрессии .

Мелкомасштабные структуры в рекуррентных диаграммах содержат информацию об определенных характеристиках динамики базовой системы. Например, длина диагональных линий, видимых на рекуррентной диаграмме, связана с расхождением траекторий фазового пространства, таким образом, может представлять информацию о хаотичности. ^[3] Таким образом, анализ квантификации рекуррентности количественно определяет распределение этих мелкомасштабных структур. ^{[4] [5] [6]} Эта квантификация может использоваться для количественного описания рекуррентных диаграмм. Приложениями являются классификация, прогнозирование, нелинейная оценка параметров и анализ переходов. В отличие от эвристического подхода анализа квантификации рекуррентности, который зависит от выбора параметров встраивания, некоторые динамические инварианты, такие как корреляционная размерность , энтропия K2 или взаимная информация , которые не зависят от встраивания, также могут быть получены из рекуррентных диаграмм. Основой этих динамических инвариантов являются частота повторения и распределение длин диагональных линий. ^[3] Более поздние приложения используют графики повторения как инструмент для визуализации временных рядов в подходах машинного обучения и изучения пространственно-временных повторений. ^[2]

Графики близкой доходности похожи на графики повторений. Разница в том, что относительное время между повторениями используется для оси - (вместо абсолютного времени). ^[6] ${\displaystyle y}$

Главное преимущество рекуррентных диаграмм заключается в том, что они предоставляют полезную информацию даже для коротких и нестационарных данных, где другие методы неэффективны.

Расширения

Многомерные расширения графиков рекуррентности были разработаны в виде графиков перекрестной рекуррентности и графиков совместной рекуррентности .

Диаграммы перекрестной рекуррентности рассматривают траектории фазового пространства двух различных систем в одном и том же фазовом пространстве: ^[7]

${\displaystyle \mathbf {CR} (i,j)=\Theta (\varepsilon -\|{\vec {x}}(i)-{\vec {y}}(j)\|),\quad {\vec {x}}(i),\,{\vec {y}}(i)\in \mathbb {R} ^{m},\quad i=1,\dots ,N_{x},\ j=1,\dots ,N_{y}.}$

Размерность обеих систем должна быть одинаковой, но количество рассматриваемых состояний (т. е. длина данных) может быть разным. Диаграммы перекрестной рекуррентности сравнивают возникновение схожих состояний двух систем. Их можно использовать для анализа сходства динамической эволюции между двумя различными системами, для поиска схожих шаблонов соответствия в двух системах или для изучения временных отношений двух схожих систем, чья временная шкала отличается. ^[8]

Совместные рекуррентные диаграммы являются произведением Адамара рекуррентных диаграмм рассматриваемых подсистем, ^[9] например, для двух систем , а совместная рекуррентная диаграмма имеет вид ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle {\vec {y}}}$

${\displaystyle \mathbf {JR} (i,j)=\Theta (\varepsilon _{x}-\|{\vec {x}}(i)-{\vec {x}}(j)\|)\cdot \Theta (\varepsilon _{y}-\|{\vec {y}}(i)-{\vec {y}}(j)\|),\quad {\vec {x}}(i)\in \mathbb {R} ^{m},\quad {\vec {y}}(i)\in \mathbb {R} ^{n},\quad i,j=1,\dots ,N_{x,y}.}$

В отличие от перекрестных рекуррентных диаграмм, совместные рекуррентные диаграммы сравнивают одновременное возникновение рекуррентных диаграмм в двух (или более) системах. Более того, размерность рассматриваемых фазовых пространств может быть разной, но число рассматриваемых состояний должно быть одинаковым для всех подсистем. Совместные рекуррентные диаграммы могут использоваться для обнаружения фазовой синхронизации .

Пример

График повторяемости индекса Южного колебания .

Смотрите также

• График Пуанкаре
• Энтропия плотности периода повторения — информационно-теоретический метод обобщения свойств повторения как детерминированных, так и стохастических динамических систем.
• Анализ количественной рекуррентности — эвристический подход к количественной оценке графиков рекуррентности.
• Матрица самоподобия
• Точечный график (биоинформатика)

Ссылки

1. JP Eckmann, SO Kamphorst, D. Ruelle (1987). "Recurrence Plots of Dynamical Systems". Europhysics Letters . 5 (9): 973–977. Bibcode : 1987EL......4..973E. doi : 10.1209/0295-5075/4/9/004. S2CID  250847435.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
2. N. Marwan; KH Kraemer (2023). «Тенденции в рекуррентном анализе динамических систем». European Physical Journal ST . 232 : 5–27. Bibcode : 2023EPJST.232....5M. doi : 10.1140/epjs/s11734-022-00739-8 . S2CID  255630484.
3. N. Marwan; MC Romano; M. Thiel; J. Kurths (2007). «Диаграммы повторяемости для анализа сложных систем». Physics Reports . 438 (5–6): 237. Bibcode : 2007PhR...438..237M. doi : 10.1016/j.physrep.2006.11.001.
4. JP Zbilut; CL Webber (1992). «Вложения и задержки, полученные из квантификации рекуррентных диаграмм». Physics Letters A. 171 ( 3–4): 199–203. Bibcode :1992PhLA..171..199Z. doi :10.1016/0375-9601(92)90426-M. S2CID  122890777.
5. CL Webber; JP Zbilut (1994). «Динамическая оценка физиологических систем и состояний с использованием стратегий рекуррентных диаграмм». Журнал прикладной физиологии . 76 (2): 965–973. doi :10.1152/jappl.1994.76.2.965. S2CID  23854540.
6. N. Marwan (2008). «Исторический обзор диаграмм повторения». European Physical Journal ST . 164 (1): 3–12. arXiv : 1709.09971 . Bibcode : 2008EPJST.164....3M. doi : 10.1140/epjst/e2008-00829-1. S2CID  119494395.
7. N. Marwan; J. Kurths (2002). «Нелинейный анализ двумерных данных с графиками перекрестной рекуррентности». Physics Letters A. 302 ( 5–6): 299–307. arXiv : physics/0201061 . Bibcode : 2002PhLA..302..299M. doi : 10.1016/S0375-9601(02)01170-2. S2CID  8020903.
8. N. Marwan; J. Kurths (2005). «Структуры линий в рекуррентных диаграммах». Physics Letters A. 336 ( 4–5): 349–357. arXiv : nlin/0410002 . Bibcode : 2005PhLA..336..349M. doi : 10.1016/j.physleta.2004.12.056. S2CID  931165.
9. MC Romano; M. Thiel; J. Kurths; W. von Bloh (2004). «Многомерные рекуррентные диаграммы». Physics Letters A. 330 ( 3–4): 214–223. Bibcode : 2004PhLA..330..214R. doi : 10.1016/j.physleta.2004.07.066. S2CID  5746162.

Внешние ссылки

• График повторяемости