Подвижность электронов

Величина в физике твердого тела

В физике твердого тела подвижность электронов характеризует, насколько быстро электрон может перемещаться через металл или полупроводник , когда его толкает или тянет электрическое поле . Аналогичная величина существует для дырок , называемая подвижностью дырок . Термин подвижность носителей в общем случае относится как к подвижности электронов, так и к подвижности дырок.

Подвижность электронов и дырок является частным случаем электрической подвижности заряженных частиц в жидкости под действием приложенного электрического поля.

Когда электрическое поле E приложено к куску материала, электроны реагируют, двигаясь со средней скоростью, называемой скоростью дрейфа , . Тогда подвижность электронов μ определяется как ${\displaystyle v_{d}}$ $${\displaystyle v_{d}=\mu E.}$$

Подвижность электронов почти всегда указывается в единицах см 2 /( В ⋅ с ). Это отличается от единицы подвижности СИ , м 2 /( В ⋅ с ). Они связаны соотношением 1 м ² /(В⋅с) = 10 ⁴ см ² /(В⋅с).

Проводимость пропорциональна произведению подвижности и концентрации носителей. Например, одна и та же проводимость может исходить от небольшого числа электронов с высокой подвижностью для каждого или большого числа электронов с малой подвижностью для каждого. Для полупроводников поведение транзисторов и других устройств может сильно различаться в зависимости от того, много ли электронов с низкой подвижностью или мало электронов с высокой подвижностью. Поэтому подвижность является очень важным параметром для полупроводниковых материалов. Почти всегда более высокая подвижность приводит к лучшей производительности устройства при прочих равных условиях.

Подвижность полупроводника зависит от концентрации примесей (включая концентрацию доноров и акцепторов), концентрации дефектов, температуры, а также концентрации электронов и дырок. Она также зависит от электрического поля, особенно в сильных полях, когда происходит насыщение скорости . Ее можно определить с помощью эффекта Холла или вывести из поведения транзистора.

Введение

Скорость дрейфа в электрическом поле

Без какого-либо приложенного электрического поля в твердом теле электроны и дырки движутся хаотично . Поэтому в среднем не будет общего движения носителей заряда в каком-либо определенном направлении с течением времени.

Однако при приложении электрического поля каждый электрон или дырка ускоряются электрическим полем. Если бы электрон находился в вакууме, он бы ускорялся до постоянно увеличивающейся скорости (так называемый баллистический транспорт ). Однако в твердом теле электрон многократно рассеивается на дефектах кристалла , фононах , примесях и т. д., так что он теряет часть энергии и меняет направление. Конечным результатом является то, что электрон движется с конечной средней скоростью, называемой скоростью дрейфа . Это чистое движение электрона обычно намного медленнее, чем обычно происходящее случайное движение.

Два носителя заряда, электроны и дырки, обычно имеют разные скорости дрейфа в одном и том же электрическом поле.

Квазибаллистический транспорт возможен в твердых телах, если электроны ускоряются на очень малом расстоянии (таком же малом, как длина свободного пробега ) или в течение очень короткого времени (такого же короткого, как длина свободного пробега ). В этих случаях скорость дрейфа и подвижность не имеют значения.

Определение и единицы измерения

Подвижность электронов определяется уравнением: где: $${\displaystyle v_{d}=\mu _{e}E.}$$

• E — величина электрического поля, приложенного к материалу,
• v _d — величина скорости дрейфа электронов (другими словами, скорость дрейфа электронов ), вызванная электрическим полем, и
• μ _e — подвижность электронов.

Подвижность дырок определяется аналогичным уравнением: Подвижность электронов и дырок по определению положительна. $${\displaystyle v_{d}=\mu _{h}E.}$$

Обычно скорость дрейфа электронов в материале прямо пропорциональна электрическому полю, что означает, что подвижность электронов является константой (независимой от электрического поля). Когда это не так (например, в очень больших электрических полях), подвижность зависит от электрического поля.

Единица скорости в системе СИ — м/с , а единица электрического поля в системе СИ — В / м . Поэтому единица подвижности в системе СИ — (м/с)/(В/м) = м 2 /( В ⋅ с ). Однако подвижность гораздо чаще выражается в см ² /(В⋅с) = 10−4 ^м 2 ^/ (В⋅с).

Подвижность обычно является сильной функцией примесей материала и температуры и определяется эмпирически. Значения подвижности обычно представлены в виде таблицы или графика. Подвижность также различна для электронов и дырок в данном материале.

Вывод

Начиная со второго закона Ньютона : где: $${\displaystyle a=F/m_{e}^{*}}$$

• а — ускорение между столкновениями.
• F — электрическая сила, создаваемая электрическим полем, а
• ${\displaystyle m_{e}^{*}}$— эффективная масса электрона.

Поскольку сила, действующая на электрон, равна − eE : $${\displaystyle a=-{\frac {eE}{m_{e}^{*}}}}$$

Это ускорение электрона между столкновениями. Скорость дрейфа, следовательно, равна: где - среднее свободное время $${\displaystyle v_{d}=a\tau _{c}=-{\frac {e\tau _{c}}{m_{e}^{*}}}E,}$$ ${\displaystyle \tau _{c}}$

Поскольку нас интересует только то, как скорость дрейфа изменяется с электрическим полем, мы объединяем свободные члены вместе, чтобы получить то, что $${\displaystyle v_{d}=-\mu _{e}E,}$$ ${\displaystyle \mu _{e}={\frac {e\tau _{c}}{m_{e}^{*}}}}$

Аналогично, для дырок имеем где Обратите внимание, что и подвижность электронов, и подвижность дырок положительны. Знак минус добавляется к скорости дрейфа электронов, чтобы учесть отрицательный заряд. $${\displaystyle v_{d}=\mu _{h}E,}$$ ${\displaystyle \mu _{h}={\frac {e\tau _{c}}{m_{h}^{*}}}}$

Отношение к плотности тока

Плотность дрейфового тока, возникающая из электрического поля, может быть рассчитана из скорости дрейфа. Рассмотрим образец с площадью поперечного сечения A, длиной l и концентрацией электронов n. Ток, переносимый каждым электроном, должен быть , так что общая плотность тока, обусловленная электронами, определяется по формуле: Использование выражения для дает Аналогичный набор уравнений применим к дыркам (отметим, что заряд дырки положителен). Поэтому плотность тока, обусловленная дырками, определяется по формуле, где p — концентрация дырок и подвижность дырок. ${\displaystyle -ev_{d}}$ $${\displaystyle J_{e}={\frac {I_{n}}{A}}=-env_{d}}$$ ${\displaystyle v_{d}}$ $${\displaystyle J_{e}=en\mu _{e}E}$$ $${\displaystyle J_{h}=ep\mu _{h}E}$$ ${\displaystyle \mu _{h}}$

Полная плотность тока представляет собой сумму электронной и дырочной составляющих: $${\displaystyle J=J_{e}+J_{h}=(en\mu _{e}+ep\mu _{h})E}$$

Отношение к проводимости

Ранее мы вывели соотношение между подвижностью электронов и плотностью тока Теперь закон Ома можно записать в виде , где определяется как проводимость. Поэтому мы можем записать: которое можно разложить на множители $${\displaystyle J=J_{e}+J_{h}=(en\mu _{e}+ep\mu _{h})E}$$ $${\displaystyle J=\sigma E}$$ ${\displaystyle \sigma }$ $${\displaystyle \sigma =en\mu _{e}+ep\mu _{h}}$$ $${\displaystyle \sigma =e(n\mu _{e}+p\mu _{h})}$$

Связь с диффузией электронов

В области, где n и p изменяются с расстоянием, диффузионный ток накладывается на ток, обусловленный проводимостью. Этот диффузионный ток регулируется законом Фика : где: $${\displaystyle F=-D_{\text{e}}\nabla n}$$

• F — поток.
• D _e — коэффициент диффузии или диффузионная способность
• ${\displaystyle \nabla n}$это градиент концентрации электронов

Коэффициент диффузии для носителя заряда связан с его подвижностью соотношением Эйнштейна . Для классической системы (например, газа Больцмана) это выглядит так: где: $${\displaystyle D_{\text{e}}={\frac {\mu _{\text{e}}k_{\mathrm {B} }T}{e}}}$$

• k _B — постоянная Больцмана
• T — абсолютная температура
• e — электрический заряд электрона

Для металла, описываемого ферми-газом (ферми-жидкостью), следует использовать квантовую версию соотношения Эйнштейна. Обычно температура намного меньше энергии Ферми, в этом случае следует использовать следующую формулу: где: $${\displaystyle D_{\text{e}}={\frac {\mu _{\text{e}}E_{F}}{e}}}$$

• E _F — энергия Ферми

Примеры

Типичная подвижность электронов при комнатной температуре (300 К) в таких металлах, как золото , медь и серебро, составляет 30–50 см ² /(В⋅с). Подвижность носителей заряда в полупроводниках зависит от легирования. В кремнии (Si) подвижность электронов составляет порядка 1000, в германии — около 4000, а в арсениде галлия — до 10 000 см ² /(В⋅с). Подвижность дырок обычно ниже и составляет от около 100 см ² /(В⋅с) в арсениде галлия до 450 в кремнии и 2000 в германии. ^[1]

Очень высокая подвижность была обнаружена в нескольких сверхчистых низкоразмерных системах, таких как двумерные электронные газы ( 2DEG ) (35 000 000 см ² /(В⋅с) при низкой температуре), ^[2] углеродные нанотрубки (100 000 см ² /(В⋅с) при комнатной температуре) ^[3] и отдельно стоящий графен (200 000 см ² /(В⋅с) при низкой температуре). ^[4] Органические полупроводники ( полимеры , олигомеры ), разработанные к настоящему времени, имеют подвижность носителей ниже 50 см ² /(В⋅с) и, как правило, ниже 1, при этом хорошо работающие материалы измеряются ниже 10. ^[5]

Зависимость электрического поля и насыщение скорости

При слабых полях скорость дрейфа v _d пропорциональна электрическому полю E , поэтому подвижность μ постоянна. Это значение μ называется подвижностью в слабом поле .

Однако по мере увеличения электрического поля скорость носителей увеличивается сублинейно и асимптотически в направлении максимально возможного значения, называемого скоростью насыщения v _sat . Например, значение v _sat составляет порядка 1×10 ⁷ см/с как для электронов, так и для дырок в Si. Оно составляет порядка 6×10 ⁶ см/с для Ge. Эта скорость является характеристикой материала и сильно зависит от уровней легирования или примесей и температуры. Это одно из ключевых свойств материала и полупроводникового прибора, которые определяют предельную скорость отклика и частоту такого прибора, как транзистор.

Это явление насыщения скорости является результатом процесса, называемого рассеянием оптических фононов . В сильных полях носители достаточно ускоряются, чтобы набрать достаточную кинетическую энергию между столкновениями для испускания оптического фонона, и они делают это очень быстро, прежде чем снова ускоряться. Скорость, которую достигает электрон перед испусканием фонона, равна: где ω _{фонон(опт.)} — угловая частота оптического фонона, а m* — эффективная масса носителя в направлении электрического поля. Значение E _{фонон (опт.)} составляет 0,063 эВ для Si и 0,034 эВ для GaAs и Ge. Скорость насыщения составляет всего половину v _{испускания} , поскольку электрон начинает с нулевой скорости и ускоряется до v _{испускания} в каждом цикле. ^[13] (Это несколько упрощенное описание. ^[13] ) $${\displaystyle {\frac {m^{*}v_{\text{emit}}^{2}}{2}}\approx \hbar \omega _{\text{phonon (opt.)}}}$$

Насыщение скорости — не единственное возможное поведение сильного поля. Другим является эффект Ганна , когда достаточно сильное электрическое поле может вызвать междолинный перенос электронов, что снижает скорость дрейфа. Это необычно; увеличение электрического поля почти всегда увеличивает скорость дрейфа или же оставляет ее неизменной. Результатом является отрицательное дифференциальное сопротивление .

В режиме насыщения скорости (или других эффектов высокого поля) подвижность является сильной функцией электрического поля. Это означает, что подвижность является несколько менее полезной концепцией по сравнению с простым обсуждением скорости дрейфа напрямую.

Связь между рассеянием и подвижностью

Напомним, что по определению подвижность зависит от скорости дрейфа. Основным фактором, определяющим скорость дрейфа (помимо эффективной массы ), является время рассеяния , т. е. как долго носитель баллистически ускоряется электрическим полем, пока он не рассеется (столкнется) с чем-то, что изменит его направление и/или энергию. Наиболее важными источниками рассеяния в типичных полупроводниковых материалах, обсуждаемыми ниже, являются ионизированное примесное рассеяние и акустическое фононное рассеяние (также называемое решеточным рассеянием). В некоторых случаях могут быть важны другие источники рассеяния, такие как нейтральное примесное рассеяние, оптическое фононное рассеяние, поверхностное рассеяние и дефектное рассеяние. ^[14]

Упругое рассеяние означает, что энергия (почти) сохраняется во время события рассеяния. Некоторые процессы упругого рассеяния - это рассеяние от акустических фононов, рассеяние на примесях, пьезоэлектрическое рассеяние и т. д. При рассеянии акустических фононов электроны рассеиваются из состояния k в k' , испуская или поглощая фонон с волновым вектором q . Это явление обычно моделируется, предполагая, что колебания решетки вызывают небольшие сдвиги в энергетических зонах. Дополнительный потенциал, вызывающий процесс рассеяния, генерируется отклонениями зон из-за этих небольших переходов из замороженных положений решетки. ^[15]

Рассеяние ионизированных примесей

Полупроводники легированы донорами и/или акцепторами, которые обычно ионизированы и, таким образом, заряжены. Кулоновские силы отклонят электрон или дырку, приближающиеся к ионизированной примеси. Это известно как рассеяние ионизированной примеси . Величина отклонения зависит от скорости носителя и его близости к иону. Чем сильнее легирован материал, тем выше вероятность того, что носитель столкнется с ионом за заданное время, и тем меньше среднее свободное время между столкновениями, и тем меньше подвижность. При определении силы этих взаимодействий из-за дальнодействующей природы кулоновского потенциала другие примеси и свободные носители приводят к значительному уменьшению диапазона взаимодействия с носителями по сравнению с голым кулоновским взаимодействием.

Если эти рассеиватели находятся вблизи интерфейса, сложность проблемы возрастает из-за наличия дефектов и беспорядков кристалла. Центры захвата заряда, рассеивающие свободные носители, образуются во многих случаях из-за дефектов, связанных с оборванными связями. Рассеивание происходит потому, что после захвата заряда дефект становится заряженным и, следовательно, начинает взаимодействовать со свободными носителями. Если рассеянные носители находятся в инверсионном слое на интерфейсе, уменьшенная размерность носителей делает случай отличным от случая рассеяния объемных примесей, поскольку носители движутся только в двух измерениях. Шероховатость интерфейса также вызывает короткодействующее рассеяние, ограничивающее подвижность квазидвумерных электронов на интерфейсе. ^[15]

Рассеяние на решетке (фононное)

При любой температуре выше абсолютного нуля колеблющиеся атомы создают в кристалле волны давления (акустические), которые называются фононами . Как и электроны, фононы можно считать частицами. Фонон может взаимодействовать (сталкиваться) с электроном (или дыркой) и рассеивать его. При более высокой температуре появляется больше фононов, и, таким образом, увеличивается рассеяние электронов, что имеет тенденцию уменьшать подвижность.

Пьезоэлектрическое рассеяние

Пьезоэлектрический эффект может возникнуть только в полупроводниковых соединениях из-за их полярной природы. Он мал в большинстве полупроводников, но может привести к локальным электрическим полям, которые вызывают рассеяние носителей, отклоняя их; этот эффект важен в основном при низких температурах, когда другие механизмы рассеяния слабы. Эти электрические поля возникают из-за искажения базовой элементарной ячейки, когда деформация применяется в определенных направлениях в решетке. ^[15]

Рассеивание шероховатости поверхности

Рассеивание шероховатости поверхности, вызванное беспорядком на границе раздела, является рассеянием на коротких расстояниях, ограничивающим подвижность квазидвумерных электронов на границе раздела. С помощью высокоразрешающих просвечивающих электронных микрофотографий было установлено, что граница раздела не является резкой на атомном уровне, но фактическое положение плоскости интерфейса изменяется на один или два атомных слоя вдоль поверхности. Эти изменения случайны и вызывают колебания энергетических уровней на границе раздела, что затем вызывает рассеяние. ^[15]

Рассеивание сплава

В составных (сплавных) полупроводниках, которыми являются многие термоэлектрические материалы, рассеяние, вызванное возмущением кристаллического потенциала из-за случайного расположения замещающих видов атомов в соответствующей подрешетке, известно как сплавное рассеяние. Это может произойти только в тройных или более сложных сплавах, поскольку их кристаллическая структура формируется путем случайной замены некоторых атомов в одной из подрешеток (подрешетке) кристаллической структуры. Как правило, это явление довольно слабое, но в определенных материалах или обстоятельствах оно может стать доминирующим эффектом, ограничивающим проводимость. В объемных материалах интерфейсное рассеяние обычно игнорируется. ^{[15] [16] [17] [18] [19]}

Неупругое рассеяние

Во время процессов неупругого рассеяния происходит значительный обмен энергией. Как и в случае упругого рассеяния фононов, в неупругом случае потенциал возникает из-за деформаций энергетических зон, вызванных атомными колебаниями. Оптические фононы, вызывающие неупругое рассеяние, обычно имеют энергию в диапазоне 30-50 мэВ, для сравнения, энергии акустических фононов обычно меньше 1 мэВ, но некоторые могут иметь энергию порядка 10 мэВ. Во время процесса рассеяния происходит значительное изменение энергии носителей. Оптические или высокоэнергетические акустические фононы также могут вызывать междолинное или межзонное рассеяние, что означает, что рассеяние не ограничивается одной долиной. ^[15]

Рассеяние электронов

В силу принципа исключения Паули электроны можно считать невзаимодействующими, если их плотность не превышает значения 10 ¹⁶ ~ 10 ¹⁷ см ⁻³ или значения электрического поля 10 ³ В/см. Однако значительно выше этих пределов начинает доминировать электрон-электронное рассеяние. Дальнодействие и нелинейность кулоновского потенциала, управляющего взаимодействиями между электронами, затрудняют рассмотрение этих взаимодействий. ^{[15] [16] [17]}

Связь между подвижностью и временем рассеяния

Простая модель дает приблизительное соотношение между временем рассеяния (среднее время между событиями рассеяния) и подвижностью. Предполагается, что после каждого события рассеяния движение носителя становится случайным, поэтому его средняя скорость равна нулю. После этого он равномерно ускоряется в электрическом поле, пока снова не рассеется. Результирующая средняя подвижность дрейфа равна: ^[20] где q — элементарный заряд , m * — эффективная масса носителя , а τ — среднее время рассеяния. $${\displaystyle \mu ={\frac {q}{m^{*}}}{\overline {\tau }}}$$

Если эффективная масса анизотропна (зависит от направления), то m * — эффективная масса в направлении электрического поля.

Правило Маттиссена

Обычно присутствует более одного источника рассеяния, например, как примеси, так и фононы решетки. Обычно очень хорошим приближением является объединение их влияний с использованием "правила Маттиссена" (разработанного на основе работы Августа Маттиссена в 1864 году):

$${\displaystyle {\frac {1}{\mu }}={\frac {1}{\mu _{\rm {impurities}}}}+{\frac {1}{\mu _{\rm {lattice}}}}.}$$где μ — фактическая подвижность, — подвижность, которую имел бы материал, если бы имело рассеяние на примесях, но не было бы других источников рассеяния, и — подвижность, которую имел бы материал, если бы имело рассеяние на фононах решетки, но не было бы других источников рассеяния. Для других источников рассеяния могут быть добавлены другие термины, например, правило Маттиссена также можно сформулировать в терминах времени рассеяния: где τ — истинное среднее время рассеяния, а τ _{примеси} — время рассеяния, если бы имело рассеяние на примесях, но не было бы других источников рассеяния, и т. д. ${\displaystyle \mu _{\rm {impurities}}}$ ${\displaystyle \mu _{\rm {lattice}}}$ $${\displaystyle {\frac {1}{\mu }}={\frac {1}{\mu _{\rm {impurities}}}}+{\frac {1}{\mu _{\rm {lattice}}}}+{\frac {1}{\mu _{\rm {defects}}}}+\cdots .}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}={\frac {1}{\tau _{\rm {impurities}}}}+{\frac {1}{\tau _{\rm {lattice}}}}+{\frac {1}{\tau _{\rm {defects}}}}+\cdots .}$$

Правило Маттиссена является приближением и не является универсально действительным. Это правило недействительно, если факторы, влияющие на подвижность, зависят друг от друга, поскольку отдельные вероятности рассеяния не могут быть суммированы, если они не являются независимыми друг от друга. ^[19] Среднее время свободного пролета носителя и, следовательно, время релаксации обратно пропорционально вероятности рассеяния. ^{[15] [16] [18]} Например, рассеяние на решетке изменяет среднюю скорость электронов (в направлении электрического поля), что, в свою очередь, изменяет тенденцию рассеиваться на примесях. Существуют более сложные формулы, которые пытаются учесть эти эффекты. ^[21]

Температурная зависимость подвижности

С ростом температуры концентрация фононов увеличивается и вызывает повышенное рассеяние. Таким образом, рассеяние на решетке снижает подвижность носителей заряда все больше и больше при более высокой температуре. Теоретические расчеты показывают, что подвижность в неполярных полупроводниках, таких как кремний и германий, определяется взаимодействием акустических фононов . Ожидается, что результирующая подвижность будет пропорциональна T  ^−3/2 , в то время как подвижность, обусловленная только оптическим рассеянием фононов, будет пропорциональна T  ^−1/2 . Экспериментальные значения температурной зависимости подвижности в Si, Ge и GaAs приведены в таблице. ^[22]

Так как , где - сечение рассеяния электронов и дырок на рассеивающем центре, а - тепловое среднее (статистика Больцмана) по всем скоростям электронов или дырок в нижней зоне проводимости или верхней валентной зоне, можно определить температурную зависимость подвижности. Здесь используется следующее определение сечения рассеяния: число частиц, рассеянных в телесный угол dΩ за единицу времени, деленное на число частиц на площадь за время (интенсивность падающего света), которое следует из классической механики. Так как статистика Больцмана справедлива для полупроводников . ${\textstyle {\frac {1}{\tau }}\propto \left\langle v\right\rangle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \left\langle v\right\rangle }$ ${\displaystyle \left\langle v\right\rangle \sim {\sqrt {T}}}$

Для рассеяния на акустических фононах, при температурах значительно выше температуры Дебая, расчетное сечение Σ _ph определяется из квадрата средней амплитуды колебаний фонона, которая пропорциональна T . Рассеяние на заряженных дефектах (ионизированных донорах или акцепторах) приводит к сечению . Эта формула является сечением рассеяния для «резерфордовского рассеяния», когда точечный заряд (носитель) движется мимо другого точечного заряда (дефекта), испытывающего кулоновское взаимодействие. ${\displaystyle {\Sigma }_{\text{def}}\propto {\left\langle v\right\rangle }^{-4}}$

Температурные зависимости этих двух механизмов рассеяния в полупроводниках можно определить, объединив формулы для τ, Σ и , чтобы получить для рассеяния на акустических фононах и на заряженных дефектах . ^{[16] [18]} ${\displaystyle \left\langle v\right\rangle }$ ${\displaystyle {\mu }_{ph}\sim T^{-3/2}}$ ${\displaystyle {\mu }_{\text{def}}\sim T^{3/2}}$

Однако эффект рассеяния ионизированных примесей уменьшается с ростом температуры, поскольку увеличиваются средние тепловые скорости носителей. ^[14] Таким образом, носители проводят меньше времени вблизи ионизированной примеси по мере их прохождения, и эффект рассеяния ионов, таким образом, уменьшается.

Эти два эффекта действуют одновременно на носители через правило Маттиссена. При более низких температурах доминирует рассеяние ионизированных примесей, в то время как при более высоких температурах доминирует рассеяние фононов, а фактическая подвижность достигает максимума при промежуточной температуре.

Неупорядоченные полупроводники

Плотность состояний твердого тела, обладающего краем подвижности, . ${\displaystyle E_{C}}$

В то время как в кристаллических материалах электроны могут быть описаны волновыми функциями, распространенными на все твердое тело, ^[23] это не относится к системам с заметным структурным беспорядком, таким как поликристаллические или аморфные полупроводники. Андерсон предположил, что за пределами критического значения структурного беспорядка ^[24] электронные состояния будут локализованы . Локализованные состояния описываются как ограниченные конечной областью реального пространства, нормируемые и не способствующие переносу. Расширенные состояния распространяются по всему объему материала, не нормируются и способствуют переносу. В отличие от кристаллических полупроводников, подвижность обычно увеличивается с температурой в неупорядоченных полупроводниках.

Многократный отлов и выпуск

Позже Мотт ^[25] разработал концепцию порога подвижности. Это энергия , выше которой электроны переходят из локализованных в делокализованные состояния. В этом описании, называемом множественным захватом и освобождением , электроны способны перемещаться только в расширенных состояниях и постоянно захватываются и снова освобождаются из локализованных состояний с более низкой энергией. Поскольку вероятность освобождения электрона из ловушки зависит от его тепловой энергии, подвижность в такой системе можно описать соотношением Аррениуса : ${\displaystyle E_{C}}$

Диаграмма энергетических зон, иллюстрирующая перенос электронов при многократном захвате и освобождении.

$${\displaystyle \mu =\mu _{0}\exp \left(-{\frac {E_{\text{A}}}{k_{\text{B}}T}}\right)}$$

где — префактор подвижности, — энергия активации, — постоянная Больцмана, — температура. Энергия активации обычно оценивается путем измерения подвижности как функции температуры. Энергия Урбаха может использоваться в качестве прокси для энергии активации в некоторых системах. ^[26] ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle E_{\text{A}}}$ ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ ${\displaystyle T}$

Переменный диапазон прыжков

При низкой температуре или в системе с большой степенью структурного беспорядка (например, полностью аморфные системы) электроны не могут получить доступ к делокализованным состояниям. В такой системе электроны могут перемещаться только путем туннелирования из одного места в другое в процессе, называемом прыжком с переменной длиной . В оригинальной теории прыжка с переменной длиной, разработанной Моттом и Дэвисом ^[27], вероятность прыжка электрона из одного места в другое зависит от их разделения в пространстве и их разделения по энергии . ${\displaystyle P_{ij}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle r_{ij}}$ ${\displaystyle \Delta E_{ij}}$

$${\displaystyle P_{ij}=P_{0}\exp \left(-2\alpha r_{ij}-{\frac {\Delta E_{ij}}{k_{B}T}}\right)}$$

Здесь есть префактор, связанный с частотой фонона в материале, ^[28] и есть параметр перекрытия волновой функции. Подвижность в системе, управляемой прыжками с переменной длиной, можно показать ^[27], что она равна: ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle \mu =\mu _{0}\exp \left(-\left[{\frac {T_{0}}{T}}\right]^{-1/(d+1)}\right)}$$

где — префактор подвижности, — параметр (с размерностью температуры), который количественно определяет ширину локализованных состояний, а — размерность системы. ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle d}$

Измерение подвижности полупроводников

Мобильность зала

Установка для измерения эффекта Холла для отверстий

Установка для измерения эффекта Холла для электронов

Подвижность носителей заряда чаще всего измеряется с помощью эффекта Холла . Результат измерения называется «подвижностью Холла» (что означает «подвижность, выведенная из измерения эффекта Холла»).

Рассмотрим образец полупроводника с прямоугольным поперечным сечением, как показано на рисунках, ток течет в направлении x , а магнитное поле приложено в направлении z . Результирующая сила Лоренца будет ускорять электроны ( материалы n -типа) или дырки ( материалы p -типа) в направлении (− y ) в соответствии с правилом правой руки и устанавливать электрическое поле ξ _y . В результате на образце возникает напряжение, которое можно измерить с помощью высокоомного вольтметра. Это напряжение, V _H , называется напряжением Холла . V _H отрицательно для материала n -типа и положительно для материала p -типа.

Математически сила Лоренца, действующая на заряд q, определяется выражением

Для электронов: $${\displaystyle \mathbf {F} _{Hn}=-q(\mathbf {v} _{n}\times \mathbf {B} _{z})}$$

Для отверстий: $${\displaystyle \mathbf {F} _{Hp}=+q(\mathbf {v} _{p}\times \mathbf {B} _{z})}$$

В устойчивом состоянии эта сила уравновешивается силой, создаваемой напряжением Холла, так что нет результирующей силы, действующей на носители в направлении y . Для электронов,

$${\displaystyle \mathbf {F} _{y}=(-q)\xi _{y}+(-q)[\mathbf {v} _{n}\times \mathbf {B} _{z}]=0}$$

$${\displaystyle \Rightarrow -q\xi _{y}+qv_{x}B_{z}=0}$$

$${\displaystyle \xi _{y}=v_{x}B_{z}}$$

Для электронов поле направлено в направлении −y , а для дырок — в направлении + y .

Электронный ток I определяется как . Подставим v _x в выражение для ξ _y , ${\displaystyle I=-qnv_{x}tW}$

$${\displaystyle \xi _{y}=-{\frac {IB}{nqtW}}=+{\frac {R_{Hn}IB}{tW}}}$$

где R _Hn — коэффициент Холла для электрона, определяемый как $${\displaystyle R_{Hn}=-{\frac {1}{nq}}}$$

С ${\displaystyle \xi _{y}={\frac {V_{H}}{W}}}$ $${\displaystyle R_{Hn}=-{\frac {1}{nq}}={\frac {V_{Hn}t}{IB}}}$$

Аналогично для отверстий $${\displaystyle R_{Hp}={\frac {1}{pq}}={\frac {V_{Hp}t}{IB}}}$$

Из коэффициента Холла можно получить подвижность носителей следующим образом: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{n}&=\left(-nq\right)\mu _{n}\left(-{\frac {1}{nq}}\right)\\&=-\sigma _{n}R_{Hn}\\&=-{\frac {\sigma _{n}V_{Hn}t}{IB}}\end{aligned}}}$$

Сходным образом, $${\displaystyle \mu _{p}={\frac {\sigma _{p}V_{Hp}t}{IB}}}$$

Здесь значения V _Hp (напряжение Холла), t (толщина образца), I (ток) и B (магнитное поле) могут быть измерены непосредственно, а проводимости σ _n или σ _p либо известны, либо могут быть получены путем измерения удельного сопротивления.

Подвижность полевого эффекта

Подвижность также может быть измерена с помощью полевого транзистора (FET). Результат измерения называется «полевой подвижностью» (что означает «подвижность, выведенная из измерения полевого эффекта»).

Измерение может осуществляться двумя способами: с помощью измерений в режиме насыщения или измерений в линейной области. ^[29] (См. MOSFET для описания различных режимов или областей работы.)

Использование режима насыщения

В этой методике ^[29] для каждого фиксированного напряжения затвора V _GS напряжение сток-исток V _DS увеличивается до тех пор, пока ток I _D не насыщается. Затем квадратный корень этого насыщенного тока строится в зависимости от напряжения затвора, и измеряется наклон m _sat . Затем подвижность равна: где L и W — длина и ширина канала, а C _i — емкость изолятора затвора на единицу площади. Это уравнение происходит из приближенного уравнения для МОП-транзистора в режиме насыщения: где V _th — пороговое напряжение. Это приближение, помимо прочего, игнорирует эффект Эрли (модуляцию длины канала). На практике эта методика может недооценивать истинную подвижность. ^[30] $${\displaystyle \mu =m_{\text{sat}}^{2}{\frac {2L}{W}}{\frac {1}{C_{i}}}}$$ $${\displaystyle I_{D}={\frac {\mu C_{i}}{2}}{\frac {W}{L}}(V_{GS}-V_{th})^{2}.}$$

Использование линейной области

В этой технике ^[29] транзистор работает в линейной области (или «омическом режиме»), где V _DS мало и имеет наклон m _lin . Тогда подвижность равна: Это уравнение происходит от приближенного уравнения для МОП-транзистора в линейной области: На практике эта техника может переоценивать истинную подвижность, поскольку если V _DS недостаточно мало, а V _G недостаточно велико, МОП-транзистор может не оставаться в линейной области. ^[30] ${\displaystyle I_{D}\propto V_{GS}}$ $${\displaystyle \mu =m_{\text{lin}}{\frac {L}{W}}{\frac {1}{V_{DS}}}{\frac {1}{C_{i}}}.}$$ $${\displaystyle I_{D}=\mu C_{i}{\frac {W}{L}}\left((V_{GS}-V_{th})V_{DS}-{\frac {V_{DS}^{2}}{2}}\right)}$$

Оптическая мобильность

Подвижность электронов может быть определена с помощью измерений бесконтактной лазерной фоторефлективной техники. Серия измерений фоторефлективности выполняется по мере того, как образец проходит через фокус. Длина диффузии электронов и время рекомбинации определяются путем регрессионного подбора данных. Затем для расчета подвижности используется соотношение Эйнштейна. ^{[31] [32]}

Терагерцовая мобильность

Подвижность электронов можно рассчитать с помощью измерения терагерцового зонда с временным разрешением . ^{[33] [34]} Фемтосекундные лазерные импульсы возбуждают полупроводник, а полученная фотопроводимость измеряется с помощью терагерцового зонда, который обнаруживает изменения в терагерцовом электрическом поле. ^[35]

Микроволновая проводимость с временным разрешением (TRMC)

Прокси для подвижности носителей заряда можно оценить с помощью разрешенной по времени микроволновой проводимости (TRMC). ^[36] Импульсный оптический лазер используется для создания электронов и дырок в полупроводнике, которые затем обнаруживаются как увеличение фотопроводимости. Зная поглощательную способность образца, размеры и плотность потока падающего лазера, можно оценить параметр, где — выход генерации носителей (между 0 и 1), — подвижность электронов, — подвижность дырок. имеет те же размеры, что и подвижность, но тип носителей (электрон или дырка) скрыт. ${\displaystyle \phi \Sigma \mu =\phi (\mu _{e}+\mu _{h})}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mu _{e}}$ ${\displaystyle \mu _{h}}$ ${\displaystyle \phi \Sigma \mu }$

Зависимость концентрации легирования в сильнолегированном кремнии

Носителями заряда в полупроводниках являются электроны и дырки. Их число контролируется концентрацией примесных элементов, т.е. концентрацией легирования. Таким образом, концентрация легирования оказывает большое влияние на подвижность носителей.

Хотя существует значительный разброс экспериментальных данных , для некомпенсированного материала (без контрлегирования) для сильно легированных подложек (т.е. и выше), подвижность в кремнии часто характеризуется эмпирическим соотношением : ^[37] где N - концентрация легирования (либо N _{D ,} либо N _A ), а N _ref и α - подгоночные параметры. При комнатной температуре приведенное выше уравнение становится: ${\displaystyle 10^{18}\mathrm {cm} ^{-3}}$ $${\displaystyle \mu =\mu _{o}+{\frac {\mu _{1}}{1+\left({\frac {N}{N_{\text{ref}}}}\right)^{\alpha }}}}$$

Большинство операторов: ^[38] $${\displaystyle \mu _{n}(N_{D})=65+{\frac {1265}{1+\left({\frac {N_{D}}{8.5\times 10^{16}}}\right)^{0.72}}}}$$ $${\displaystyle \mu _{p}(N_{A})=48+{\frac {447}{1+\left({\frac {N_{A}}{6.3\times 10^{16}}}\right)^{0.76}}}}$$

Незначительные носители: ^[39] $${\displaystyle \mu _{n}(N_{A})=232+{\frac {1180}{1+\left({\frac {N_{A}}{8\times 10^{16}}}\right)^{0.9}}}}$$ $${\displaystyle \mu _{p}(N_{D})=130+{\frac {370}{1+\left({\frac {N_{D}}{8\times 10^{17}}}\right)^{1.25}}}}$$

Эти уравнения применимы только к кремнию и только в условиях слабого поля.

Смотрите также

• Скорость электричества

Ссылки

1. "Архив NSM - Физические свойства полупроводников". www.matprop.ru . Получено 2020-07-25 .
2. Umansky, V.; Heiblum, M.; Levinson, Y.; Smet, J.; Nübler, J.; Dolev, M. (2009). "MBE growth of ultra-low disorder 2DEG with mobility above 35×106 cm2 V−1 s−1". Journal of Crystal Growth . 311 (7): 1658–1661. Bibcode :2009JCrGr.311.1658U. doi :10.1016/j.jcrysgro.2008.09.151.
3. Дюркоп, Т.; Гетти, С.А.; Кобас, Энрике; Фюрер, М.С. (2004). «Необычайная мобильность полупроводниковых углеродных нанотрубок». Nano Letters . 4 (1): 35. Bibcode : 2004NanoL...4...35D. doi : 10.1021/nl034841q. S2CID  45010238.
4. Болотин, К; Сайкс, К; Цзян, З; Клима, М; Фуденберг, Г; Хон, Дж; Ким, П; Стормер, Х (2008). «Сверхвысокая подвижность электронов в суспендированном графене». Solid State Communications . 146 (9): 351–355. arXiv : 0802.2389 . Bibcode :2008SSCom.146..351B. doi :10.1016/j.ssc.2008.02.024. S2CID  118392999.
5. Навроцкий, Роберт (2016). «300-нм незаметная, сверхгибкая и биосовместимая электронная кожа с тактильными датчиками и органическими транзисторами». Advanced Electronic Materials . 2 (4): 1500452. doi :10.1002/aelm.201500452. S2CID  138355533.
6. Chung, YJ, Wang, C., Singh, SK, Gupta, A., Baldwin, KW, West, KW, Shayegan, M., Pfeiffer, LN, Winkler, R. (14 марта 2022 г.). "Двумерные системы отверстий GaAs рекордного качества". Physical Review Materials . 6 (3): 034005. arXiv : 2203.10713 . Bibcode : 2022PhRvM...6c4005C. doi : 10.1103/PhysRevMaterials.6.034005. ISSN  2475-9953.
7. Дюркоп, Т.; Гетти, С.А.; Кобас, Энрике; Фюрер, М.С. (2004). «Необычайная мобильность в полупроводниковых углеродных нанотрубках». Nano Letters . 4 (1): 35–39. Bibcode : 2004NanoL...4...35D. doi : 10.1021/nl034841q. S2CID  45010238.
8. Snow, ES; Campbell, PM; Ancona, MG; Novak, JP (2005). "High-mobility carbon-nanotube thin-film transistors on a polymeric sublate". Applied Physics Letters . 86 (3): 033105. Bibcode : 2005ApPhL..86c3105S. doi : 10.1063/1.1854721. ISSN  0003-6951. Архивировано из оригинала 24 сентября 2017 г.
9. Шин, Чону; Гамаге, Гитал Амила; Дин, Живэй; Чен, Кэ; Тиан, Фэй; Цянь, Синь; Чжоу, Цзявэй; Ли, Хвиджонг; Чжоу, Цзяньши; Ши, Ли; Нгуен, Тхань; Хан, Фей; Ли, Минда; Бройдо, Дэвид; Шмидт, Аарон; Рен, Чжифэн; Чен, Банда (2022). «Высокая амбиполярная подвижность в кубическом арсениде бора». Наука . 377 (6604): 437–440. Бибкод : 2022Sci...377..437S. doi : 10.1126/science.abn4290. PMID  35862526. S2CID  250952849.
10. Хе, Тао; Столте, Маттиас; Вюртнер, Франк (2013-12-23). ​​"Air-Stable n-Channel Organic Single Crystal Field-Effect Transistors Based on Microribbons of Core-Chlorinated Naphthalene Diimide". Advanced Materials . 25 (48): 6951–6955. Bibcode :2013AdM....25.6951H. doi : 10.1002/adma.201303392 . PMID  24105872.
11. Юань, Юнбо (2014). «Сверхвысокомобильные прозрачные органические тонкопленочные транзисторы, выращенные методом нецентрального спин-коатинг». Nature Communications . 5 : 3005. Bibcode : 2014NatCo...5.3005Y. doi : 10.1038/ncomms4005 . PMID  24398476.
12. Хереманс, Пол (2015). «Механические и электронные свойства тонкопленочных транзисторов на пластике и их интеграция в гибкие электронные приложения». Advanced Materials . 28 (22): 4266–4282. doi :10.1002/adma.201504360. PMID  26707947. S2CID  25457390.
13. Владимир Васильевич Митин; Вячеслав Александрович Кочелап; Майкл А. Строчио (1999). Квантовые гетероструктуры: микроэлектроника и оптоэлектроника. Cambridge University Press. С. 307–9. ISBN 978-0-521-63635-3. Получено 2 марта 2011 г.
14. Singh (2008). Электронные приборы и интегральные схемы. PHI Learning Pvt. Ltd. стр. 77–. ISBN 978-81-203-3192-1. Получено 1 марта 2011 г.
15. Ферри, Дэвид К. Полупроводниковый транспорт. Лондон: Taylor & Francis, 2000. ISBN 0-7484-0865-7 (ч. кн.), ISBN 0-7484-0866-5 (п. кн.)  
16. Ибах, Харальд.; Лют, Ганс. Физика твердого тела: введение в принципы материаловедения / Харальд Ибах, Ганс Лют. Нью-Йорк: Springer, 2009. -(Расширенные тексты по физике) ISBN 978-3-540-93803-3 
17. Bulusu, A. (2008). «Обзор моделей электронного транспорта для термоэлектрических материалов». Сверхрешетки и микроструктуры . 44 (1): 1–36. Bibcode :2008SuMi...44....1B. doi :10.1016/j.spmi.2008.02.008..
18. Bhattacharya, Pallab. Полупроводниковые оптоэлектронные приборы / Pallab Bhattacharya. Upper Saddle River (NJ): Prentice-Hall, 1997. ISBN 0-13-495656-7 (nid.) 
19. Y. Takeda и TP Pearsall, «Несостоятельность правила Маттейссена при расчете подвижности носителей заряда и эффектов рассеивания сплава в Ga0.47In0.53As», Electronics Lett. 17, 573-574 (1981).
20. Питер Ю. Ю; Мануэль Кардона (30 мая 2010 г.). Основы полупроводников: физика и свойства материалов. Springer. стр. 205–. ISBN 978-3-642-00709-5. Получено 1 марта 2011 г.
21. Антонио Луке; Стивен Хегедус (9 июня 2003 г.). Справочник по фотоэлектрической науке и технике. John Wiley and Sons. стр. 79, ур. 3.58. ISBN 978-0-471-49196-5. Получено 2 марта 2011 г.веб-ссылка (только по подписке)
22. Глава 2: Основы полупроводников Архивировано 21.01.2009 на Wayback Machine . Онлайн-учебник Б. Ван Зегброка]
23. Хук, Дж. Р.; Холл, Х. Э. (1991-09-05). Физика твердого тела. Wiley. ISBN 978-0-471-92804-1.
24. Андерсон, П. У. (1958-03-01). «Отсутствие диффузии в некоторых случайных решетках». Physical Review . 109 (5): 1492–1505. Bibcode : 1958PhRv..109.1492A. doi : 10.1103/PhysRev.109.1492.
25. Мотт, Н. Ф. (1967-01-01). «Электроны в неупорядоченных структурах». Успехи физики . 16 (61): 49–144. Bibcode : 1967AdPhy..16...49M. doi : 10.1080/00018736700101265. ISSN  0001-8732.
26. Brotherton, SD (2013). Введение в тонкопленочные транзисторы: физика и технология TFT. Springer International Publishing. стр. 143. ISBN 978-3-319-00001-5.
27. Электронные процессы в некристаллических материалах. Oxford Classic Texts in the Physical Sciences. Оксфорд, Нью-Йорк: Oxford University Press. 2012-03-24. ISBN 978-0-19-964533-6.
28. Эмин, Дэвид (1974-02-11). "Скорость прыжка с участием фононов в некристаллических твердых телах". Physical Review Letters . 32 (6): 303–307. Bibcode : 1974PhRvL..32..303E. doi : 10.1103/PhysRevLett.32.303.
29. Constance Rost-Bietsch (август 2005). Амбиполярные и светоизлучающие органические полевые транзисторы. Cuvillier Verlag. стр. 17–. ISBN 978-3-86537-535-3. Получено 1 марта 2011 г.. Эта ссылка ошибочно не учитывает фактор 1/V _DS в уравнении (2.11). Правильную версию этого уравнения можно найти, например, в Stassen, AF; De Boer, RWI; Iosad, NN; Morpurgo, AF (2004). "Влияние диэлектрика затвора на подвижность рубреновых монокристаллических полевых транзисторов". Applied Physics Letters . 85 (17): 3899–3901. arXiv : cond-mat/0407293 . Bibcode :2004ApPhL..85.3899S. doi :10.1063/1.1812368. S2CID  119532427.
30. Constance Rost-Bietsch (август 2005 г.). Амбиполярные и светоизлучающие органические полевые транзисторы. Cuvillier Verlag. стр. 19–. ISBN 978-3-86537-535-3. Получено 20 апреля 2011 г.«Извлечение полевой подвижности непосредственно из линейной области выходной характеристики может дать большие значения для полевой подвижности, чем фактические, поскольку ток стока линеен только для очень малых VDS и больших VG. Напротив, извлечение полевой подвижности из насыщенной области может дать довольно консервативные значения для полевой подвижности, поскольку зависимость тока стока от напряжения затвора становится субквадратичной как для больших VG, так и для малых VDS».
31. W. Chism, «Точное оптическое измерение подвижности носителей заряда с использованием Z-сканирующего лазерного фотоотражения», arXiv:1711.01138 [physics:ins-det], октябрь 2017 г.
32. W. Chism, «Z-сканирующее лазерное фотоотражение как инструмент для характеристики свойств электронного транспорта», arXiv:1808.01897 [cond-mat:mes-hall], август 2018 г.
33. Ульбрихт, Рональд; Хендри, Юэн; Шан, Цзе; Хайнц, Тони Ф.; Бонн, Миша (2011). «Динамика носителей заряда в полупроводниках, изученная с помощью терагерцовой спектроскопии с временным разрешением» (PDF) . Reviews of Modern Physics . 83 (2): 543–586. Bibcode :2011RvMP...83..543U. doi :10.1103/RevModPhys.83.543. hdl : 10871/15671 . ISSN  0034-6861.
34. Ллойд-Хьюз, Джеймс; Чон, Тэ-Ин (2012). «Обзор терагерцовой проводимости объемных и наноматериалов». Журнал инфракрасных, миллиметровых и терагерцовых волн . 33 (9): 871–925. Bibcode : 2012JIMTW..33..871L. doi : 10.1007/s10762-012-9905-y. ISSN  1866-6892. S2CID  13849900.
35. Эверс, Виль Х.; Шинс, Джулеон М.; Аэртс, Мишель; Кулкарни, Адитья; Капио, Пьер; Берта, Максим; Грандидье, Бруно; Делерю, Кристоф; ван дер Зант, Херре С.Дж.; ван Овербек, Карло; Питерс, Джоп Л.; Ванмакельберг, Дэниел; Зиббелес, Лоуренс Д.А. (2015). «Высокая подвижность заряда в двумерных перколяционных сетях квантовых точек PbSe, соединенных атомными связями». Природные коммуникации . 6 : 8195. Бибкод : 2015NatCo...6.8195E. doi : 10.1038/ncomms9195. ISSN  2041-1723. ПМЦ 4598357 . ПМИД  26400049. 
36. Savenije, Tom J.; Ferguson, Andrew J.; Kopidakis, Nikos; Rumbles, Garry (2013-11-21). «Выявление динамики носителей заряда в смесях полимер:фуллерен с использованием фотоиндуцированной времяразрешенной микроволновой проводимости». Журнал физической химии C. 117 ( 46): 24085–24103. doi :10.1021/jp406706u. ISSN  1932-7447.
37. Б. Л. Андерсон и Р. Л. Андерсон, «Основы полупроводниковых приборов», McGraw Hill, 2005 г.
38. Коги, Д.М.; Томас, Р.Э. (1967). «Подвижность носителей заряда в кремнии, эмпирически связанная с легированием и полем». Труды IEEE . 55 (12): 2192–2193. doi :10.1109/PROC.1967.6123.
39. Del Alamo, J (1985). «Измерение и моделирование транспорта неосновных носителей заряда в сильно легированном кремнии». Solid-State Electronics . 28 (1): 47–54. Bibcode : 1985SSEle..28...47D. doi : 10.1016/0038-1101(85)90209-6.

Внешние ссылки

• полупроводниковый глоссарий запись для подвижности электронов Архивировано 2009-01-04 в Wayback Machine
• Калькулятор удельного сопротивления и подвижности от BYU Cleanroom
• Онлайн-лекция – Мобильность с атомистической точки зрения