Подгруппа

В теории групп , разделе математики , подмножество группы G является подгруппой G, если члены этого подмножества образуют группу относительно групповой операции в G.

Формально, если задана группа $G$ с бинарной операцией ∗, подмножество $H$ группы $G$ называется подгруппой G $,$ если $H$ также образует группу с операцией ∗. Точнее, $H$ является подгруппой $G$ , если ограничение ∗ до $H \times H$ является групповой операцией на $H.$ Это часто обозначается как $H \leq G$ , что читается как « $H$ является подгруппой $G$ ».

Тривиальной подгруппой любой группы является подгруппа { e }, состоящая только из единичного элемента. ^[1]

Собственная подгруппа группы $G$ — это подгруппа $H$ , которая является собственным подмножеством G (то есть $H$ $\neq$ $G$ $)$ . Это часто обозначается как $H$ $<$ $G$ , что читается как « $H$ — собственная подгруппа $G$ ». Некоторые авторы также исключают тривиальную группу из числа собственных (то есть $H$ $\neq {$ $e$ $}$ ). ^[2]^[3]

Если $H$ $является$ подгруппой $G$ , то $G$ иногда называют надгруппой H.

Те же определения применяются в более общем случае, когда $G$ — произвольная полугруппа , но в этой статье будут рассматриваться только подгруппы групп.

Тесты подгрупп

Предположим, что $G$ — группа, а $H$ — подмножество $G.$ На данный момент предположим, что групповая операция $G$ записана мультипликативно и обозначается сопоставлением.

Тогда $H$ является подгруппой $G$ тогда и только тогда, когда $H$ непусто и замкнуто относительно произведений и обратных элементов. Замкнутость относительно произведений означает, что для любых $a$ и $b$ в $H$ произведение $ab$ содержится в $H.$ Замкнутость относительно обратных элементов означает, что для любого $a$ в $H$ обратный элемент $a -1$ содержится в $H.$ Эти два условия можно объединить в одно, что для любых $a$ и $b$ в $H$ элемент $ab -1$ содержится в $H$ , но более естественно и обычно так же легко проверить два условия замкнутости по отдельности. ^[4]
Когда $H$ конечен , тест можно упростить: $H$ является подгруппой тогда и только тогда, когда она непуста и замкнута относительно произведений. Эти условия сами по себе подразумевают, что каждый элемент a $из$ H $порождает$ конечную циклическую подгруппу $H$ , скажем, порядка $n$ , и тогда обратный элемент $a$ есть $a$ $n$ $-1$ . ^[4]

Если вместо этого групповая операция обозначается сложением, то замкнутые относительно произведений следует заменить на замкнутые относительно сложения , что является условием того, что для любых $a$ и $b$ в $H$ сумма $a + b$ содержится в $H$ , а замкнутые относительно обратных следует отредактировать так, чтобы сказать, что для любого a $в$ H $обратная$ − $a содержится$ в $H.$

Основные свойства подгрупп

Тождество подгруппы является тождеством группы: если $G$ — группа с тождеством e $G$ $,$ а $H$ — подгруппа $G$ с тождеством $e$ $H$ , то $e$ $H$ $=$ $e$ $G$ .
Обратный элемент подгруппы — это обратный элемент группы: если $H$ — подгруппа группы $G$ , а $a$ и $b$ — элементы $H,$ такие что ab $=$ $ba$ $=$ $e$ $H$ $,$ то $ab$ $=$ $ba$ $=$ $e$ $G.$
Если $H$ является подгруппой $G$ , то отображение включения $H \to G,$ отображающее каждый элемент $a$ из $H$ в себя, является гомоморфизмом .
Пересечение подгрупп $A$ и $B$ группы $G$ снова является подгруппой группы $G$ . ^[5] Например, пересечение оси $x$ и оси $y$ в ⁠ ⁠ при сложении является тривиальной подгруппой. В более общем смысле, пересечение произвольного набора подгрупп группы $G$ является подгруппой группы $G$ . $\mathbb {R} ^{2}$
Объединение подгрупп $A$ и $B$ является подгруппой тогда и только тогда, когда $A$ $\subseteq$ $B$ или $B$ $\subseteq$ $A$ . Непример: ⁠ ⁠ не является подгруппой ⁠ ⁠, поскольку 2 и 3 являются элементами этого подмножества, сумма которых, 5, не содержится в подмножестве. Аналогично, объединение оси $x$ и оси $y$ в ⁠ ⁠ не является подгруппой ⁠ ⁠ $2\mathbb {Z} \cup 3\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} ,$ $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{2}.$
Если $S$ является подмножеством $G$ , то существует наименьшая подгруппа, содержащая $S$ , а именно пересечение всех подгрупп, содержащих $S$ ; она обозначается $⟨ S ⟩$ и называется подгруппой, порожденной $S$ . Элемент $G$ находится в $⟨ S ⟩$ тогда и только тогда, когда он является конечным произведением элементов $S$ и их обратных, возможно, повторяющихся. ^[6]
Каждый элемент $a$ группы $G$ порождает циклическую подгруппу $⟨ a ⟩$ . Если $⟨ a ⟩$ изоморфно ⁠ ⁠ ( целым числам mod n ) для некоторого положительного целого числа $n$ , то $n$ является наименьшим положительным целым числом, для которого a n $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ $=$ $e$ $,$ $и$ n $называется$ порядком a . Если $⟨$ $a$ $⟩$ изоморфно ⁠ ⁠ , то говорят, что $a имеет$ бесконечный $порядок$ . $\mathbb {Z} ,$
Подгруппы любой заданной группы образуют полную решетку относительно включения, называемую решеткой подгрупп . (В то время как инфимум здесь является обычным теоретико-множественным пересечением, супремум множества подгрупп является подгруппой, порожденной теоретико-множественным объединением подгрупп, а не самим теоретико-множественным объединением.) Если $e$ является единицей $G$ , то тривиальная группа ${e}$ является минимальной подгруппой $G$ , в то время как максимальной подгруппой является сама группа $G.$

Смежные классы и теорема Лагранжа

Для подгруппы $H$ и некоторого $a$ из $G$ мы определяем левый смежный класс $aH = {ah : h в H}.$ Поскольку $a$ обратимо, отображение $φ : H \to aH,$ заданное формулой $φ(h) = ah$ , является биекцией . Более того, каждый элемент $G$ содержится ровно в одном левом смежном классе $H$ ; левые смежные классы являются классами эквивалентности, соответствующими отношению эквивалентности $a 1 ~ a 2$ тогда и только тогда, когда ⁠ ⁠ $a_{1}^{-1}a_{2}$ принадлежит $H$ . Число левых смежных классов $H$ называется индексом H в $G$ $и$ обозначается как $[$ $G$ $:$ $H$ $]$ .

Теорема Лагранжа утверждает , что для конечной группы $G$ и подгруппы $H$

[G:H]={|G| \over |H|}

где $| G |$ и $| H |$ обозначают порядки G и $H$ соответственно. В частности , порядок каждой подгруппы $G$ (и порядок каждого элемента $G$ ) должен быть делителем | $G$ $|$ $.$ ^[7] $[$ ^8]

Правые смежные классы определяются аналогично: $Ha = {ha : h in H}.$ Они также являются классами эквивалентности для подходящего отношения эквивалентности, и их число равно $[G : H]$ .

Если $aH = Ha$ для каждого $a$ в $G$ , то $H$ называется нормальной подгруппой . Каждая подгруппа индекса 2 является нормальной: левые смежные классы, а также правые смежные классы являются просто подгруппой и ее дополнением. В более общем случае, если $p$ является наименьшим простым числом, делящим порядок конечной группы $G$ , то любая подгруппа индекса $p$ (если таковая существует) является нормальной.

Пример: Подгруппы Z8

Пусть $G$ — циклическая группа $Z 8 ,$ элементами которой являются

G=\left\{0,4,2,6,1,5,3,7\right\}

и чья групповая операция — сложение по модулю 8. Его таблица Кэли —

Эта группа имеет две нетривиальные подгруппы: $■ J = {0, 4}$ и $■ H = {0, 4, 2, 6}$ , где $J$ также является подгруппой $H$ . Таблица Кэли для $H$ является верхним левым квадрантом таблицы Кэли для $G$ ; Таблица Кэли для $J$ является верхним левым квадрантом таблицы Кэли для $H$ . Группа $G$ является циклической , и ее подгруппы также являются циклическими. В общем случае подгруппы циклических групп также являются циклическими. ^[9]

Пример: Подгруппы S4

$S 4$ — симметричная группа , элементы которой соответствуют перестановкам 4 элементов.
Ниже приведены все ее подгруппы, упорядоченные по мощности.
Каждая группа (кроме групп с мощностью 1 и 2) представлена своей таблицей Кэли .

24 элемента

Как и каждая группа, $S 4$ является подгруппой самой себя.

12 элементов

Знакопеременная группа содержит только четные перестановки .
Это одна из двух нетривиальных собственных нормальных подгрупп S $4$ . (Другая — ее подгруппа Клейна. $)$

8 элементов

6 элементов

4 элемента

3 элемента

2 элемента

Каждая перестановка $p$ порядка 2 порождает подгруппу ${1, p$ }. Это перестановки, которые имеют только 2-циклы:

Имеется 6 транспозиций с одним 2-циклом. (зеленый фон)
И 3 перестановки с двумя 2-циклами. (белый фон, жирные цифры)

1 элемент

Тривиальная подгруппа — это единственная подгруппа порядка 1.

Другие примеры

Чётные целые числа образуют подгруппу ⁠ ⁠ $2\mathbb {Z}$ кольца целых чисел ⁠ ⁠ сумма $\mathbb {Z} :$ двух чётных целых чисел чётна, а отрицательное число чётного целого числа также чётно.
Идеал в кольце $R$ является подгруппой аддитивной группы кольца $R.$
Линейное подпространство векторного пространства является подгруппой аддитивной группы векторов.
В абелевой группе элементы конечного порядка образуют подгруппу, называемую подгруппой кручения .

Смотрите также

Примечания

^ Галлиан 2013, стр. 61.
^ Хангерфорд 1974, стр. 32.
^ Артин 2011, стр. 43.
^ ab Kurzweil & Stellmacher 1998, стр. 4.
^ Якобсон 2009, стр. 41.
^ Эш 2002.
^ Смотрите дидактическое доказательство в этом видео.
^ Даммит и Фут 2004, стр. 90.
^ Галлиан 2013, стр. 81.

Ссылки

Якобсон, Натан (2009), Основы алгебры , т. 1 (2-е изд.), Довер, ISBN 978-0-486-47189-1.
Хангерфорд, Томас (1974), Алгебра (1-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 9780387905181.
Артин, Майкл (2011), Алгебра (2-е изд.), Prentice Hall, ISBN 9780132413770.
Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Wiley. ISBN 9780471452348. OCLC 248917264.
Галлиан, Джозеф А. (2013). Современная абстрактная алгебра (8-е изд.). Бостон, Массачусетс: Brooks/Cole Cengage Learning. ISBN 978-1-133-59970-8. OCLC 807255720.
Курцвейл, Ганс; Штелмахер, Бернд (1998). Теория конечных групп. Шпрингер-Лербух. дои : 10.1007/978-3-642-58816-7.
Эш, Роберт Б. (2002). Абстрактная алгебра: базовый курс аспирантуры. Кафедра математики Иллинойсского университета.