В математике термин «максимальная подгруппа» используется для обозначения немного разных вещей в разных областях алгебры .
В теории групп максимальная подгруппа H группы G является собственной подгруппой , такой что ни одна собственная подгруппа K не содержит H строго. Другими словами, H — максимальный элемент частично упорядоченного множества подгрупп группы G , не равных G . Максимальные подгруппы представляют интерес из-за их прямой связи с примитивными перестановочными представлениями группы G. Они также хорошо изучены для целей теории конечных групп : см., например, подгруппу Фраттини , пересечение максимальных подгрупп.
В теории полугрупп максимальная подгруппа полугруппы S — это подгруппа (то есть подполугруппа, образующая группу при операции полугруппы) группы S , которая не содержится должным образом в другой подгруппе группы S. Обратите внимание, что здесь нет требования, чтобы максимальная подгруппа была собственной, поэтому, если S на самом деле является группой, то ее единственной максимальной подгруппой (как полугруппой) является сама S. Рассмотрение подгрупп и, в частности, максимальных подгрупп полугрупп часто позволяет применить теоретико-групповые методы в теории полугрупп. [ нужна цитата ] Существует взаимно однозначное соответствие между идемпотентными элементами полугруппы и максимальными подгруппами полугруппы: каждый идемпотентный элемент является единичным элементом уникальной максимальной подгруппы.
Любая собственная подгруппа конечной группы содержится в некоторой максимальной подгруппе, поскольку собственные подгруппы при включении образуют конечное частично упорядоченное множество . Однако существуют бесконечные абелевы группы , не содержащие максимальных подгрупп, например группа Прюфера .
Аналогично, нормальная подгруппа N группы G называется максимальной нормальной подгруппой (или максимальной собственной нормальной подгруппой) группы G , если N < G и не существует нормальной подгруппы K группы G такой, что N < K < G . У нас есть следующая теорема:
Эти диаграммы Хассе показывают решетки подгрупп симметрической группы S 4 , группы диэдра D 4 и C 2 3 , третьей прямой степени циклической группы C 2 .
Максимальные подгруппы связаны с самой группой (поверх диаграммы Хассе) ребром диаграммы Хассе.