Позиционная нотация

Метод представления или кодирования чисел

Словарь терминов, используемых в позиционных системах счисления

Позиционная система счисления , также известная как система счисления с разрядами , позиционная система счисления или просто разрядность , обычно обозначает расширение любой базы индо -арабской системы счисления (или десятичной системы ). В более общем смысле позиционная система счисления — это система счисления , в которой вклад цифры в значение числа равен значению цифры, умноженному на коэффициент, определяемый положением цифры. В ранних системах счисления , таких как римские цифры , цифра имела только одно значение: I означает один, X означает десять и C — сто (однако значения могут быть изменены при объединении). В современных позиционных системах, таких как десятичная система , положение цифры означает, что ее значение должно быть умножено на некоторое значение: в числе 555 три одинаковых символа представляют пять сотен, пять десятков и пять единиц соответственно из-за их разных положений в строке цифр.

Вавилонская система счисления , с основанием 60, была первой разработанной позиционной системой, и ее влияние присутствует сегодня в том, как время и углы подсчитываются в числах, связанных с 60, например, 60 минут в часе и 360 градусов в окружности. Сегодня индо-арабская система счисления ( с основанием десять ) является наиболее распространенной системой во всем мире. Однако двоичная система счисления (с основанием два) используется почти во всех компьютерах и электронных устройствах, поскольку ее проще эффективно реализовать в электронных схемах .

Описаны системы с отрицательным основанием, комплексным основанием или отрицательными цифрами. Большинство из них не требуют знака минус для обозначения отрицательных чисел.

Использование десятичной точки (десятичной точки в основании 10) распространяется на дроби и позволяет представлять любое действительное число с произвольной точностью. С позиционной нотацией арифметические вычисления намного проще, чем с любой старой системой счисления; это привело к быстрому распространению нотации, когда она была введена в Западной Европе.

История

Суанпан (число, представленное на рисунке, составляет 6 302 715 408)

Сегодня система счисления с основанием 10 ( десятеричная ), которая, предположительно, мотивирована счетом с помощью десяти пальцев , распространена повсеместно. В прошлом использовались и другие системы счисления, а некоторые продолжают использоваться и сегодня. Например, вавилонская система счисления , считающаяся первой позиционной системой счисления, была шестидесятеричной . Однако в ней отсутствовал настоящий ноль . Первоначально выведенный только из контекста, позже, примерно к 700 г. до н. э., ноль стал обозначаться «пробелом» или «знаком препинания» (например, двумя наклонными клиньями) между цифрами. ^[1] Это был заполнитель , а не настоящий ноль, потому что он не использовался отдельно или в конце числа. Такие числа, как 2 и 120 (2×60), выглядели одинаково, потому что у большего числа не было конечного заполнителя. Только контекст мог их отличить.

Эрудит Архимед (ок. 287–212 гг. до н. э.) изобрел десятичную позиционную систему счисления, основанную на 10 ⁸ , в своем «Песочном счетоводе» ; ^[2] немецкий математик XIX века Карл Гаусс сетовал на то, как могла бы продвинуться наука, если бы Архимед сделал скачок к чему-то похожему на современную десятичную систему. ^[3] Эллинистические и римские астрономы использовали систему с основанием 60, основанную на вавилонской модели (см. Греческие цифры § Ноль ).

До того, как позиционная система счисления стала стандартной, использовались простые аддитивные системы ( знаково-значная система счисления ), такие как римские цифры , а бухгалтеры в Древнем Риме и в Средние века использовали абак или каменные счетчики для выполнения арифметических действий. ^[4]

Китайские стержневые цифры ; Верхний ряд вертикальная форма,
Нижний ряд горизонтальная форма

Счетные стержни и большинство счетов использовались для представления чисел в позиционной системе счисления. При наличии счетных стержней или счетов для выполнения арифметических операций запись начальных, промежуточных и конечных значений вычисления можно было легко выполнить с помощью простой аддитивной системы в каждой позиции или столбце. Такой подход не требовал запоминания таблиц (как это делает позиционная нотация) и мог быстро давать практические результаты.

Самая старая из сохранившихся позиционных систем обозначений — это либо китайские стержневые цифры , использовавшиеся по крайней мере с начала VIII века, либо, возможно, кхмерские цифры , демонстрирующие возможное использование позиционных чисел в VII веке. Кхмерские цифры и другие индийские цифры происходят от цифр брахми примерно III века до н. э., символы которых в то время не использовались позиционно. Средневековые индийские цифры являются позиционными, как и производные арабские цифры , зафиксированные с X века.

После Французской революции (1789–1799) новое французское правительство способствовало расширению десятичной системы. ^[5] Некоторые из этих продесятеричных усилий — такие как десятичное время и десятичный календарь — оказались безуспешными. Другие французские продесятеричные усилия — децимализация валюты и метризация мер и весов — широко распространились за пределы Франции почти по всему миру.

История позиционных дробей

Дж. Леннарт Берггрен отмечает, что позиционные десятичные дроби были впервые использованы арабским математиком Абу-ль-Хасаном аль-Уклидиси еще в X веке. ^[6] Еврейский математик Иммануил Бонфис использовал десятичные дроби около 1350 года, но не разработал никаких обозначений для их представления. ^[7] Персидский математик Джамшид аль-Каши сделал такое же открытие десятичных дробей в XV веке. ^[6] Аль-Хорезми представил дроби исламским странам в начале IX века; его представление дробей было похоже на традиционные китайские математические дроби из Сунцзы Суаньцзина . ^[8] Эта форма дроби с числителем сверху и знаменателем снизу без горизонтальной черты также использовалась в работе Абуль-Хасана аль-Уклидиси X века и Джамшида аль-Каши XV века «Арифметический ключ». ^{[8] [9]}

Принятие десятичного представления чисел, меньших единицы, в виде дроби , часто приписывается Саймону Стевину через его учебник De Thiende ; ^[10] но и Стевин, и Э. Дж. Дейкстерхейс указывают, что Региомонтанус способствовал принятию в Европе общих десятичных дробей : ^[11]

Европейские математики, переняв у индусов через арабов идею позиционного значения целых чисел, пренебрегли распространением этой идеи на дроби. В течение нескольких столетий они ограничивались использованием обыкновенных и шестидесятеричных дробей... Эта половинчатость так и не была полностью преодолена, и шестидесятеричные дроби по-прежнему составляют основу нашей тригонометрии, астрономии и измерения времени. ¶ ... Математики стремились избегать дробей, принимая радиус R равным числу единиц длины вида 10 ⁿ , а затем предполагая для n настолько большое целое значение, что все встречающиеся величины можно было бы выразить с достаточной точностью целыми числами. ¶ Первым, кто применил этот метод, был немецкий астроном Региомонтан. В той степени, в которой он выразил гониометрические отрезки в единице R /10 ⁿ , Региомонтан может быть назван предтечей доктрины десятичных позиционных дробей. ^{[11] : 17, 18}

По оценке Дейкстерхёйса, «после публикации De Thiende требовалось лишь небольшое продвижение, чтобы установить полную систему десятичных позиционных дробей, и этот шаг был быстро сделан рядом авторов... после Стевина самой важной фигурой в этом развитии был Региомонтан». Дейкстерхёйс отметил, что [Стевин] «отдает полное право Региомонтану за его предшествующий вклад, говоря, что тригонометрические таблицы немецкого астронома фактически содержат всю теорию «чисел десятого прогресса»». ^{[11] : 19}

Математика

Основа системы счисления

В математических системах счисления основание r обычно представляет собой количество уникальных цифр , включая ноль, которые позиционная система счисления использует для представления чисел. В некоторых случаях, например, с отрицательным основанием , основание является абсолютным значением основания b . Например, для десятичной системы основание (и основание) равно десяти, потому что оно использует десять цифр от 0 до 9. Когда число «достигает» 9, следующим числом будет не другой другой символ, а «1», за которым следует «0». В двоичной системе основание равно двум, потому что после того, как оно достигает «1», вместо «2» или другого записанного символа оно переходит сразу к «10», за которым следуют «11» и «100». ${\displaystyle r=|b|}$

Самый высокий символ позиционной системы счисления обычно имеет значение на единицу меньшее, чем значение основания этой системы счисления. Стандартные позиционные системы счисления отличаются друг от друга только основанием, которое они используют.

Основание системы счисления — это целое число, большее 1, поскольку основание системы счисления, равное нулю, не будет иметь никаких цифр, а основание системы счисления, равное 1, будет иметь только нулевую цифру. Отрицательные основания используются редко. В системе с более чем уникальными цифрами числа могут иметь множество различных возможных представлений. ${\displaystyle |b|}$

Важно, чтобы основание было конечным, из чего следует, что число цифр довольно мало. В противном случае длина числа не обязательно была бы логарифмической по своему размеру.

(В некоторых нестандартных позиционных системах счисления , включая биективную нумерацию , определение основания или допустимых цифр отличается от приведенного выше.)

В стандартной десятичной системе счисления имеется десять десятичных цифр и число

${\displaystyle 5305_{\mathrm {dec} }=(5\times 10^{3})+(3\times 10^{2})+(0\times 10^{1})+(5\times 10^{0})}$.

В стандартной шестнадцатеричной системе счисления ( шестнадцатеричной системе ) имеется шестнадцать шестнадцатеричных цифр (0–9 и A–F) и число

${\displaystyle 14\mathrm {B} 9_{\mathrm {hex} }=(1\times 16^{3})+(4\times 16^{2})+(\mathrm {B} \times 16^{1})+(9\times 16^{0})\qquad (=5305_{\mathrm {dec} }),}$

где B представляет число одиннадцать как один символ.

В общем случае в системе счисления b имеется b цифр и число ${\displaystyle \{d_{1},d_{2},\dotsb ,d_{b}\}=:D}$

${\displaystyle (a_{3}a_{2}a_{1}a_{0})_{b}=(a_{3}\times b^{3})+(a_{2}\times b^{2})+(a_{1}\times b^{1})+(a_{0}\times b^{0})}$

имеет Примечание, представляющее собой последовательность цифр, а не умножение . ${\displaystyle \forall k\colon a_{k}\in D.}$ ${\displaystyle a_{3}a_{2}a_{1}a_{0}}$

Обозначение

При описании основания в математической нотации в качестве символа для этого понятия обычно используется буква b , так, для двоичной системы b равно 2. Другой распространенный способ выражения основания — запись его в виде десятичного нижнего индекса после представляемого числа (такое обозначение используется в этой статье). 1111011 ₂ подразумевает, что число 1111011 является числом с основанием 2, равным 123 ₁₀ ( представление в десятичной системе счисления ), 173 ₈ ( восьмеричная система счисления ) и 7B ₁₆ ( шестнадцатеричная система счисления ). В книгах и статьях при первоначальном использовании письменных сокращений оснований счисления основание впоследствии не печатается: предполагается, что двоичное 1111011 то же самое, что и 1111011 ₂ .

Основание b может также обозначаться фразой «base- b ». Так, двоичные числа обозначаются как «base-2»; восьмеричные числа обозначаются как «base-8»; десятичные числа обозначаются как «base-10» и т. д.

Для заданного основания b набор цифр {0, 1, ..., b −2, b −1} называется стандартным набором цифр. Таким образом, двоичные числа имеют цифры {0, 1}; десятичные числа имеют цифры {0, 1, 2, ..., 8, 9}; и так далее. Поэтому следующие ошибки записи: 52 ₂ , 2 ₂ , 1A ₉ . (Во всех случаях одна или несколько цифр не входят в набор разрешенных цифр для данного основания.)

Возведение в степень

Позиционные системы счисления работают с использованием возведения в степень основания. Значение цифры — это цифра, умноженная на значение ее разряда. Разрядные значения — это число основания, возведенное в n- ю степень, где n — это количество других цифр между данной цифрой и точкой основания . Если данная цифра находится слева от точки основания (т. е. ее значение является целым числом ), то n положительно или равно нулю; если цифра находится справа от точки основания (т. е. ее значение является дробным), то n отрицательно.

В качестве примера использования, число 465 в соответствующей ему системе счисления b (которая должна быть по крайней мере с основанием 7, поскольку самая высокая цифра в ней — 6) равно:

${\displaystyle 4\times b^{2}+6\times b^{1}+5\times b^{0}}$

Если бы число 465 было представлено в десятичной системе счисления, то оно было бы равно:

${\displaystyle 4\times 10^{2}+6\times 10^{1}+5\times 10^{0}=4\times 100+6\times 10+5\times 1=465}$

(465 ₁₀ = 465 ₁₀ )

Однако, если бы число было в системе счисления с основанием 7, то оно было бы равно:

${\displaystyle 4\times 7^{2}+6\times 7^{1}+5\times 7^{0}=4\times 49+6\times 7+5\times 1=243}$

(465 ₇ = 243 ₁₀ )

10 _b = b для любого основания b , так как 10 _b = 1× b ¹ + 0× b ⁰ . Например, 10 ₂ = 2; 10 ₃ = 3; 10 ₁₆ = 16 ₁₀ . Обратите внимание, что последнее «16» указано как имеющее основание 10. Основание не имеет значения для однозначных чисел.

Эту концепцию можно продемонстрировать с помощью диаграммы. Один объект представляет одну единицу. Когда количество объектов равно или больше основания b , то создается группа объектов с b объектами. Когда количество этих групп превышает b , то создается группа из этих групп объектов с b группами по b объектов; и так далее. Таким образом, одно и то же число в разных основаниях будет иметь разные значения:

241 в системе счисления с основанием 5: 2 группы по 5 2 (25) 4 группы по 5 1 группа из 1 оооо оооо оооо оооо оооо оооо оооо оооо + + о оооо оооо оооо оооо оооо оооо

241 в системе счисления с основанием 8: 2 группы по 8 человек 2 (64) 4 группы по 8 человек 1 группа из 1 человека ооооооо оооооо ооооооо оооооо оооооооооооооооооооооооо ооооооо ооооооо + + о ооооооо оооооо оооооооооооооооооооооооо ооооооо оооооо ооооооо оооооо

Нотация может быть дополнительно расширена путем разрешения ведущего знака минус. Это позволяет представлять отрицательные числа. Для заданного основания каждое представление соответствует ровно одному действительному числу , и каждое действительное число имеет по крайней мере одно представление. Представления рациональных чисел — это те представления, которые являются конечными, используют обозначение с чертой или заканчиваются бесконечно повторяющимся циклом цифр.

Цифры и числа

Цифра — это символ, который используется для позиционной записи, а цифра состоит из одной или нескольких цифр, используемых для представления числа с позиционной записью. Сегодня наиболее распространенными цифрами являются десятичные цифры «0», «1», «2», «3», «4», «5», «6», «7», «8» и «9». Различие между цифрой и цифрой наиболее выражено в контексте основания числа.

Ненулевое число с более чем одной позицией цифры будет означать другое число в другой системе счисления, но в целом цифры будут означать то же самое. ^[12] Например, число 23 ₈ в системе счисления с основанием 8 содержит две цифры, «2» и «3», а с основанием (нижним индексом) «8». При преобразовании в систему счисления с основанием 10 число 23 ₈ эквивалентно 19 ₁₀ , т. е. 23 ₈ = 19 ₁₀ . В наших обозначениях здесь нижний индекс « ₈ » числа 23 ₈ является частью числа, но это не всегда так.

Представьте себе, что число "23" имеет неоднозначное основание. Тогда "23", вероятно, может быть любым основанием, от основания 4 и выше. В системе счисления с основанием 4 "23" означает 11 ₁₀ , т. е. 23 ₄ = 11 ₁₀ . В системе счисления с основанием 60 "23" означает число 123 ₁₀ , т. е. 23 ₆₀ = 123 ₁₀ . Тогда число "23", в этом случае, соответствует набору чисел в системе счисления с основанием 10 {11, 13, 15, 17, 19, 21, 23 , ..., 121, 123}, в то время как его цифры "2" и "3" всегда сохраняют свое первоначальное значение: "2" означает "два из", а "3" означает "три из".

В некоторых приложениях, когда число с фиксированным числом позиций должно представлять большее число, можно использовать более высокую систему счисления с большим количеством цифр на позицию. Трехзначное десятичное число может представлять только до 999. Но если система счисления увеличивается до 11, скажем, путем добавления цифры «A», то те же три позиции, увеличенные до «AAA», могут представлять число до 1330. Мы могли бы снова увеличить систему счисления и присвоить «B» значение 11 и так далее (но также существует возможное шифрование между числом и цифрой в иерархии число-цифра-цифра). Трехзначное число «ZZZ» в базе 60 может означать215 999. Если мы используем всю коллекцию наших буквенно-цифровых символов , мы могли бы в конечном итоге использовать систему счисления с основанием 62 , но мы удалим две цифры, заглавную «I» и заглавную «O», чтобы уменьшить путаницу с цифрами «1» и «0». ^[13] У нас остается система счисления с основанием 60 или шестидесятеричная система счисления, использующая 60 из 62 стандартных буквенно-цифровых символов. (Но см. Шестидесятеричная система ниже.) В общем, количество возможных значений, которые могут быть представлены числомв основании,равно. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r^{d}}$

Распространенными системами счисления в информатике являются двоичная (основание 2), восьмеричная (основание 8) и шестнадцатеричная (основание 16). В двоичной системе счисления в числах присутствуют только цифры «0» и «1». В восьмеричной системе счисления — восемь цифр 0–7. Шестнадцатеричная система счисления — это 0–9 A–F, где десять цифр сохраняют свое обычное значение, а буквенные соответствуют значениям 10–15, всего шестнадцать цифр. Число «10» — это двоичная цифра «2», восьмеричная цифра «8» или шестнадцатеричная цифра «16».

Радикс точка

Обозначение может быть расширено до отрицательных показателей степени основания b . При этом так называемая точка основания, в основном ».«, используется как разделитель позиций с неотрицательным показателем от позиций с отрицательным показателем.

Числа, не являющиеся целыми, используют позиции после запятой . Для каждой позиции после этой точки (и, следовательно, после цифры единиц) показатель степени n степени b ⁿ уменьшается на 1, а степень стремится к 0. Например, число 2,35 равно:

${\displaystyle 2\times 10^{0}+3\times 10^{-1}+5\times 10^{-2}}$

Знак

Если основание и все цифры в наборе цифр неотрицательны, отрицательные числа не могут быть выражены. Чтобы преодолеть это, к системе счисления добавляется знак минус , здесь »−«. В обычной записи он добавляется к строке цифр, представляющих в противном случае неотрицательное число.

Базовая конверсия

Перевод в основание целого числа n, представленного в основании, может быть выполнен последовательностью евклидовых делений на самую правую цифру в основании, это остаток от деления n на вторую самую правую цифру, это остаток от деления частного на и т. д. Самая левая цифра - это последнее частное. В общем случае k- я цифра справа - это остаток от деления на ( k −1 ) -го частного. ${\displaystyle b_{2}}$ ${\displaystyle b_{1}}$ ${\displaystyle b_{2}:}$ ${\displaystyle b_{2}}$ ${\displaystyle b_{2};}$ ${\displaystyle b_{2},}$ ${\displaystyle b_{2}}$

Например: преобразование A10B _Hex в десятичное (41227):

0xA10B/10 = 0x101A R: 7 (разряд единиц)0x101A/10 = 0x19C R: 2 (разряд десятков) 0x19C/10 = 0x29 R: 2 (разряд сотен) 0x29/10 = 0x4 Р: 1 ... 4

При преобразовании в большую систему счисления (например, из двоичной в десятичную) остаток представляется в виде одной цифры, используя цифры из . Например: преобразование 0b11111001 (двоичной) в 249 (десятичной): ${\displaystyle b_{2}}$ ${\displaystyle b_{1}}$

0b11111001/10 = 0b11000 R: 0b1001 (0b1001 = "9" для разряда единиц) 0b11000/10 = 0b10 R: 0b100 (0b100 = "4" для десятков) 0b10/10 = 0b0 R: 0b10 (0b10 = "2" для сотен)

Для дробной части преобразование можно выполнить, взяв цифры после точки основания (числителя) и разделив их на подразумеваемый знаменатель в целевом основании. Аппроксимация может потребоваться из-за возможности неконечных цифр , если знаменатель сокращенной дроби имеет простой множитель, отличный от любого из простых множителей основания для преобразования. Например, 0,1 в десятичной системе (1/10) равно 0b1/0b1010 в двоичной системе, при делении этого числа в этом основании результат равен 0b0.0 0011 (потому что один из простых множителей 10 равен 5). Для более общих дробей и оснований см. алгоритм для положительных оснований .

В качестве альтернативы, метод Горнера может быть использован для преобразования оснований с использованием повторных умножений, с той же вычислительной сложностью, что и повторные деления. ^[14] Число в позиционной нотации можно рассматривать как многочлен, где каждая цифра является коэффициентом. Коэффициенты могут быть больше одной цифры, поэтому эффективным способом преобразования оснований является преобразование каждой цифры, а затем вычисление многочлена с помощью метода Горнера в целевом основании. Преобразование каждой цифры представляет собой простую таблицу поиска , устраняющую необходимость в дорогостоящих операциях деления или модуля; а умножение на x становится сдвигом вправо. Однако другие алгоритмы оценки многочленов также будут работать, например, повторное возведение в квадрат для отдельных или разреженных цифр. Пример:

Преобразовать 0xA10B в 41227 А10Б = (10*16^3) + (1*16^2) + (0*16^1) + (11*16^0) Таблица поиска: 0x0 = 0 0x1 = 1 ... 0x9 = 9 0xА = 10 0xB = 11 0xС = 12 0xD = 13 0xE = 14 0xF = 15 Следовательно, десятичные цифры 0xA10B — 10, 1, 0 и 11.  Расположите цифры следующим образом. Самая значимая цифра (10) «отбрасывается»: 10 1 0 11 <- Цифры 0xA10B --------------- 10 Затем умножаем нижнее число из исходного основания (16), произведение помещаем под следующую цифру исходного значения, а затем складываем: 10 1 0 11 160 --------------- 10 161 Повторяйте до тех пор, пока не будет выполнено последнее добавление: 10 1 0 11 160 2576 41216 --------------- 10 161 2576 41227  и это 41227 в десятичной системе.

Преобразовать 0b11111001 в 249 Таблица поиска: 0б0 = 0 0б1 = 1Результат: 1 1 1 1 1 0 0 1 <- Цифры 0b11111001 2 6 14 30 62 124 248 ------------------------- 1 3 7 15 31 62 124 249

Конечные дроби

Числа, имеющие конечное представление, образуют полукольцо

${\displaystyle {\frac {\mathbb {N} _{0}}{b^{\mathbb {N} _{0}}}}:=\left\{mb^{-\nu }\mid m\in \mathbb {N} _{0}\wedge \nu \in \mathbb {N} _{0}\right\}.}$

Более конкретно, если является разложением на простые числа с показателями , ^[15] то с непустым набором знаменателей мы имеем ${\displaystyle p_{1}^{\nu _{1}}\cdot \ldots \cdot p_{n}^{\nu _{n}}:=b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in \mathbb {P} }$ ${\displaystyle \nu _{1},\ldots ,\nu _{n}\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle S:=\{p_{1},\ldots ,p_{n}\}}$

${\displaystyle \mathbb {Z} _{S}:=\left\{x\in \mathbb {Q} \left|\,\exists \mu _{i}\in \mathbb {Z} :x\prod _{i=1}^{n}{p_{i}}^{\mu _{i}}\in \mathbb {Z} \right.\right\}=b^{\mathbb {Z} }\,\mathbb {Z} ={\langle S\rangle }^{-1}\mathbb {Z} }$

где — группа, порожденная , а — так называемая локализация относительно . ${\displaystyle \langle S\rangle }$ ${\displaystyle p\in S}$ ${\displaystyle {\langle S\rangle }^{-1}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S}$

Знаменатель элемента содержит , если приведен к наименьшим членам, только простые множители из . Это кольцо всех конечных дробей по основанию плотно в поле рациональных чисел . Его пополнение для обычной (архимедовой) метрики такое же, как и для , а именно действительных чисел . Так, если , то не следует путать с , дискретным кольцом нормирования для простого числа , которое равно с . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S=\{p\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{\{p\}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{T}}$ ${\displaystyle T=\mathbb {P} \setminus \{p\}}$

Если делится , то имеем ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle b^{\mathbb {Z} }\,\mathbb {Z} \subseteq c^{\mathbb {Z} }\,\mathbb {Z} .}$

Бесконечные представления

Рациональные числа

Представление нецелых чисел может быть расширено, чтобы разрешить бесконечную строку цифр за точкой. Например, 1.12112111211112 ... основание 3 представляет сумму бесконечного ряда :

${\displaystyle {\begin{array}{l}1\times 3^{0\,\,\,}+{}\\1\times 3^{-1\,\,}+2\times 3^{-2\,\,\,}+{}\\1\times 3^{-3\,\,}+1\times 3^{-4\,\,\,}+2\times 3^{-5\,\,\,}+{}\\1\times 3^{-6\,\,}+1\times 3^{-7\,\,\,}+1\times 3^{-8\,\,\,}+2\times 3^{-9\,\,\,}+{}\\1\times 3^{-10}+1\times 3^{-11}+1\times 3^{-12}+1\times 3^{-13}+2\times 3^{-14}+\cdots \end{array}}}$

Поскольку полная бесконечная строка цифр не может быть явно записана, завершающее многоточие (...) обозначает пропущенные цифры, которые могут следовать или не следовать некоторому шаблону. Один из распространенных шаблонов — когда конечная последовательность цифр повторяется бесконечно. Это обозначается рисованием винкулума через повторяющийся блок: ^[16]

${\displaystyle 2.42{\overline {314}}_{5}=2.42314314314314314\dots _{5}}$

Это повторяющаяся десятичная запись (для которой не существует единой общепринятой записи или фразы). Для основания 10 она называется повторяющейся десятичной дробью или возвратной десятичной дробью.

Иррациональное число имеет бесконечное неповторяющееся представление во всех целочисленных основаниях. Имеет ли рациональное число конечное представление или требует бесконечного повторяющегося представления, зависит от основания. Например, одну треть можно представить так:

${\displaystyle 0.1_{3}}$

${\displaystyle 0.{\overline {3}}_{10}=0.3333333\dots _{10}}$

или, с подразумеваемой основой:

${\displaystyle 0.{\overline {3}}=0.3333333\dots }$(см. также 0,999... )

${\displaystyle 0.{\overline {01}}_{2}=0.010101\dots _{2}}$

${\displaystyle 0.2_{6}}$

Для целых чисел p и q с НОД ( p , q ) = 1 дробь p / q имеет конечное представление в системе счисления с основанием b тогда и только тогда, когда каждый простой множитель числа q также является простым множителем числа b .

Для заданного основания любое число, которое может быть представлено конечным числом цифр (без использования черт), будет иметь несколько представлений, включая одно или два бесконечных представления:

1. Можно добавить конечное или бесконечное число нулей:

   ${\displaystyle 3.46_{7}=3.460_{7}=3.460000_{7}=3.46{\overline {0}}_{7}}$

2. Последнюю ненулевую цифру можно уменьшить на единицу, и тогда бесконечная строка цифр, каждая из которых соответствует единице меньше основания, добавляется (или заменяет любые последующие нулевые цифры):

   ${\displaystyle 3.46_{7}=3.45{\overline {6}}_{7}}$

   ${\displaystyle 1_{10}=0.{\overline {9}}_{10}\qquad }$(см. также 0,999... )

   ${\displaystyle 220_{5}=214.{\overline {4}}_{5}}$

Иррациональные числа

(Действительное) иррациональное число имеет бесконечное неповторяющееся представление во всех целочисленных основаниях. ^[17]

Примерами являются неразрешимые корни n -й степени

${\displaystyle y={\sqrt[{n}]{x}}}$

с и y ∉ Q , числа, которые называются алгебраическими , или числами типа ${\displaystyle y^{n}=x}$

${\displaystyle \pi ,e}$

которые являются трансцендентными . Число трансцендентных чисел неисчислимо , и единственный способ записать их конечным числом символов — это дать им символ или конечную последовательность символов.

Приложения

Десятичная система счисления

В десятичной (основание 10) индо-арабской системе счисления каждая позиция, начиная справа, представляет собой более высокую степень числа 10. Первая позиция представляет 10 0 (1), вторая позиция 10 1 (10), третья позиция 10 2 ( 10 × 10 или 100), четвертая позиция 10 3 ( 10 × 10 × 10 или 1000) и так далее.

Дробные значения обозначаются разделителем , который может различаться в разных местах. Обычно этот разделитель — точка или запятая . Цифры справа от него умножаются на 10, возведенное в отрицательную степень или показатель. Первая позиция справа от разделителя обозначает 10 ⁻¹ (0,1), вторая позиция 10 ⁻² (0,01) и так далее для каждой последующей позиции.

Например, число 2674 в десятичной системе счисления имеет вид:

(2 × 10 ³ ) + (6 × 10 ² ) + (7 × 10 ¹ ) + (4 × 10 ⁰ )

или

(2×1000) + (6×100) + (7×10) + (4×1).

Шестидесятеричная система

Шестидесятеричная или 60-ричная система использовалась для целых и дробных частей вавилонских чисел и других месопотамских систем, эллинистическими астрономами , которые использовали греческие цифры только для дробной части, и до сих пор используется для современного времени и углов, но только для минут и секунд. Однако не все эти применения были позиционными.

Современное время разделяет каждую позицию двоеточием или символом штриха . Например, время может быть 10:25:59 (10 часов 25 минут 59 секунд). Углы используют схожую нотацию. Например, угол может быть 10° ‍ 25 ′ ‍ 59 ″ (10 градусов 25 минут 59 секунд ). В обоих случаях только минуты и секунды используют шестидесятеричную нотацию — угловые градусы могут быть больше 59 (один оборот по окружности составляет 360°, два оборота составляют 720° и т. д.), и как время, так и углы используют десятичные доли секунды. ^{[ необходима цитата ]} Это контрастирует с числами, используемыми астрономами эллинизма и эпохи Возрождения , которые использовали терции , кварты и т. д. для более мелких приращений. Там, где мы могли бы написать 10° ‍ 25 ′ ‍ 59.392 ″ , они бы написали 10° ‍ 25 ′ ‍ 59 ′′ ‍ 23 ′′′ ‍ 31 ′′′′ ‍ 12 ′′′′ или 10° ‍ 25 ⁱ ‍ 59 ⁱⁱ ‍ 23 ⁱⁱⁱ ‍ 31 ^iv ‍ 12 ^v .

Использование набора цифр с заглавными и строчными буквами позволяет сократить запись шестидесятеричных чисел, например, 10:25:59 становится «ARz» (путем исключения I и O, но не i и o), что полезно для использования в URL-адресах и т. д., но не очень понятно для людей.

В 1930-х годах Отто Нойгебауэр ввел современную систему обозначений для вавилонских и эллинистических чисел, которая заменяет современную десятичную запись от 0 до 59 в каждой позиции, используя точку с запятой (;) для разделения целой и дробной частей числа и запятую (,) для разделения позиций внутри каждой части. ^[18] Например, средний синодический месяц, используемый как вавилонскими, так и эллинистическими астрономами и до сих пор используемый в еврейском календаре, составляет 29;31,50,8,20 дней, а угол, используемый в примере выше, будет записан как 10;25,59,23,31,12 градусов.

Вычисления

В вычислительной технике чаще всего используются двоичная (основание 2), восьмеричная (основание 8) и шестнадцатеричная (основание 16) системы счисления. Компьютеры на самом базовом уровне имеют дело только с последовательностями обычных нулей и единиц, поэтому в этом смысле проще иметь дело со степенями двойки. Шестнадцатеричная система используется как «стенография» для двоичной системы — каждые 4 двоичные цифры (бита) относятся к одной и только одной шестнадцатеричной цифре. В шестнадцатеричной системе шесть цифр после 9 обозначаются как A, B, C, D, E и F (а иногда как a, b, c, d, e и f).

Восьмеричная система счисления также используется как другой способ представления двоичных чисел. В этом случае основание равно 8, и поэтому используются только цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. При преобразовании из двоичной в восьмеричную каждые 3 бита относятся к одной и только одной восьмеричной цифре.

Шестнадцатеричные, десятичное, восьмеричное и множество других оснований использовались для кодирования двоичных чисел в текст , реализации арифметики произвольной точности и других приложений.

Список систем счисления и их применение см. в разделе Список систем счисления .

Другие основы человеческого языка

Системы с основанием 12 ( двенадцатеричные или дюжинные) были популярны, потому что умножение и деление в них проще, чем в десятичной системе, а сложение и вычитание выполняются так же легко. Двенадцать — полезное основание, потому что у него много множителей . Это наименьшее общее кратное одного, двух, трех, четырех и шести. В английском языке все еще есть специальное слово для «дюжины», и по аналогии со словом для 10 ² , сто , коммерция разработала слово для 12 ² , брутто . Стандартные 12-часовые часы и общее использование 12 в английских единицах подчеркивают полезность основания. Кроме того, до перехода на десятичную систему старая британская валюта фунт стерлингов (GBP) частично использовала основание 12; в шиллинге (s) было 12 пенсов (d), в фунте (£) — 20 шиллингов, и, следовательно, в фунте 240 пенсов. Отсюда и термин LSD или, точнее, £sd .

Цивилизация майя и другие цивилизации доколумбовой Мезоамерики использовали основание 20 ( двадцатеричное ), как и несколько североамериканских племен (два из которых находились в южной Калифорнии). Доказательства существования систем счисления с основанием 20 также обнаружены в языках центральной и западной Африки .

Остатки галльской системы счисления с основанием 20 также существуют во французском языке, как это видно сегодня в названиях чисел от 60 до 99. Например, шестьдесят пять — это soixante-cinq (дословно «шестьдесят [и] пять»), а семьдесят пять — это soixante-quinze (дословно «шестьдесят [и] пятнадцать»). Кроме того, для любого числа от 80 до 99 число «десятки» выражается как кратное двадцати. Например, восемьдесят два — это quatre-vingt-deux (дословно четыре двадцать [и] два), а девяносто два — это quatre-vingt-douze (дословно четыре двадцать [и] двенадцать). В старофранцузском языке сорок выражалось как две двадцатки, а шестьдесят — как три двадцатки, так что пятьдесят три выражалось как две двадцатки [и] тринадцать и так далее.

В английском языке та же двадцатеричная система счисления появляется в использовании « scores ». Хотя в основном это историческое значение, иногда оно используется и в разговорной речи. Стих 10 Псалма 90 в Библии короля Якова начинается так: «Дней наших лет шестьдесят лет и десять; и если по причине силы они восемьдесят лет, то сила их — труд и скорбь». Геттисбергская речь начинается так: «Четыре дюжины и семь лет назад».

В прошлом ирландский язык также использовал систему счисления с основанием 20: двадцать — это фичид , сорок дха фичид , шестьдесят три фичид и восемьдесят ceithre fhichid . Остаток этой системы можно увидеть в современном слове, обозначающем 40, daoichead .

Валлийский язык продолжает использовать систему счисления с основанием 20 , особенно для возраста людей, дат и в общих фразах. 15 также имеет значение, поскольку 16–19 означает «один на 15», «два на 15» и т. д. 18 обычно означает «две девятки». Обычно используется десятичная система.

В языках инуитов используется система счисления на основе 20. Студенты из Кактовика, Аляска, изобрели систему счисления на основе 20 в 1994 году ^[19]

Датские цифры имеют похожую структуру с основанием 20 .

В языке маори в Новой Зеландии также имеются свидетельства существования двадцатеричной системы счисления, о чем свидетельствуют термины Te Hokowhitu a Tu , обозначающие военный отряд (буквально «семь двадцаток Ту»), и Tama-hokotahi , обозначающие великого воина («один человек, равный двадцати»).

Двоичная система использовалась в Древнем египетском царстве, с 3000 г. до н. э. по 2050 г. до н. э. Она была курсивной, округляя рациональные числа, меньшие 1, до 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 , с отбрасыванием члена 1/64 (система называлась Глаз Гора ).

В ряде языков австралийских аборигенов используются двоичные или подобные им системы счета. Например, в Кала Лагау Я цифры от одного до шести — это урапон , укасар , укасар -урапон , укасар-укасар , укасар-укасар-урапон , укасар-укасар- укасар .

Коренные жители Северной и Центральной Америки использовали основание 4 ( четвертичную систему ) для представления четырех основных направлений. Жители Мезоамерики имели тенденцию добавлять вторую систему с основанием 5, чтобы создать модифицированную систему с основанием 20.

Система счисления с основанием 5 ( пятеричная ) использовалась во многих культурах для счета. Проще говоря, она основана на количестве пальцев на человеческой руке. Ее также можно рассматривать как подоснову других систем счисления, таких как десятичная, двадцатичная и шестидесятеричная.

Система счисления с основанием 8 ( восьмеричная ) была изобретена племенем юки из Северной Калифорнии, которое использовало для счета промежутки между пальцами, что соответствовало цифрам от одного до восьми. ^[20] Существуют также лингвистические свидетельства, которые предполагают, что протоиндоевропейцы бронзового века (от которых произошло большинство европейских и индийских языков) могли заменить систему с основанием 8 (или систему, которая могла считать только до 8) на систему с основанием 10. Доказательства заключаются в том, что слово для 9, newm , по мнению некоторых, происходит от слова для «нового», newo- , что предполагает, что число 9 было изобретено недавно и названо «новым числом». ^[21]

Многие древние системы счета используют пять в качестве первичной основы, почти наверняка происходящей от количества пальцев на руке человека. Часто эти системы дополняются вторичной основой, иногда десятью, иногда двадцатью. В некоторых африканских языках слово для пяти совпадает со словом «рука» или «кулак» ( язык дьола в Гвинее-Бисау , язык банда в Центральной Африке ). Счет продолжается путем добавления 1, 2, 3 или 4 к комбинациям из 5, пока не будет достигнута вторичная основа. В случае двадцати это слово часто означает «человек полный». Эта система называется квинквавигецимир . Она встречается во многих языках региона Судана .

Язык телефол , на котором говорят в Папуа-Новой Гвинее , примечателен тем, что в нем используется 27-ричная система счисления.

Нестандартные позиционные системы счисления

Интересные свойства существуют, когда основание не фиксировано или положительно, и когда наборы цифровых символов обозначают отрицательные значения. Существует еще много вариаций. Эти системы имеют практическую и теоретическую ценность для компьютерных ученых.

Сбалансированная троичная система ^[22] использует основание 3, но набор цифр — { 1 ,0,1} вместо {0,1,2}. « 1 » имеет эквивалентное значение −1. Отрицание числа легко образуется путем переключения   на 1. Эту систему можно использовать для решения задачи баланса, которая требует нахождения минимального набора известных противовесов для определения неизвестного веса. Гири массой 1, 3, 9, ..., 3 ⁿ известных единиц можно использовать для определения любого неизвестного веса до 1 + 3 + ... + 3 ⁿ единиц. Гирю можно использовать с любой стороны весов или не использовать вообще. Гири, используемые на чашке весов с неизвестным весом, обозначаются как 1 , с 1, если используются на пустой чашке, и с 0, если не используются. Если неизвестная гиря W уравновешена с 3 (3 ¹ ) на одной чаше и 1 и 27 (3 ⁰ и 3 ³ ) на другой, то ее вес в десятичной системе счисления равен 25 или 10 1 1 в сбалансированной системе счисления с основанием 3.

10 1 1 ₃ = 1 × 3 ³ + 0 × 3 ² − 1 × 3 ¹ + 1 × 3 ⁰ = 25.

Система факториальных чисел использует переменное основание, давая факториалы как разрядные значения; они связаны с китайской теоремой об остатках и перечислениями системы остаточных чисел . Эта система эффективно перечисляет перестановки. Производная от нее использует конфигурацию головоломки «Ханойские башни» в качестве системы подсчета. Конфигурация башен может быть поставлена ​​в соответствие 1 к 1 с десятичным счетом шага, на котором происходит конфигурация, и наоборот.

Непозиционные позиции

Каждая позиция не обязательно должна быть позиционной сама по себе. Вавилонские шестидесятеричные цифры были позиционными, но в каждой позиции были группы из двух видов клиньев, представляющих единицы и десятки (узкий вертикальный клин | для единицы и открытый указывающий влево клин ⟨ для десятки) — до 5+9=14 символов на позицию (т. е. 5 десятков ⟨⟨⟨⟨⟨ и 9 единиц ||||||||||, сгруппированных в один или два близких квадрата, содержащих до трех ярусов символов, или заполнитель (\\) при отсутствии позиции). ^[23] Эллинистические астрономы использовали одну или две алфавитные греческие цифры для каждой позиции (одну, выбранную из 5 букв, представляющих 10–50, и/или одну, выбранную из 9 букв, представляющих 1–9, или символ нуля ). ^[24]

Смотрите также

Примеры:

• Список систем счисления
• Категория: Позиционные системы счисления

Похожие темы:

• Алгоритмизм
• Индо-арабская система счисления
• Смешанная система счисления
• Нестандартные позиционные системы счисления
• Научная нотация

Другой:

• Значимые цифры

Примечания

1. Каплан, Роберт (2000). Ничто, что есть: естественная история нуля . Оксфорд: Oxford University Press. стр. 11–12 – через archive.org.
2. "Греческие цифры". Архивировано из оригинала 26 ноября 2016 года . Получено 31 мая 2016 года .
3. Меннингер, Карл : Залворт и Зиффер. Eine Kulturgeschichte der Zahl , Ванденхук и Рупрехт, 3-й. изд., 1979, ISBN 3-525-40725-4 , стр. 150–153. 
4. Ифра, стр. 187
5. LF Menabrea. Перевод Ады Августы, графини Лавлейс. «Набросок аналитической машины, изобретенной Чарльзом Бэббиджем». Архивировано 15 сентября 2008 г. в Wayback Machine . 1842.
6. Berggren, J. Lennart (2007). "Математика в средневековом исламе". Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: Справочник . Princeton University Press. стр. 518. ISBN 978-0-691-11485-9.
7. Гандз, С .: Изобретение десятичных дробей и применение показательного исчисления Иммануэлем Бонфисом из Тараскона (ок. 1350 г.), Изида 25 (1936), 16–45.
8. Lam Lay Yong , «Развитие индо-арабской и традиционной китайской арифметики», Chinese Science , 1996, стр. 38, нотация Курта Фогеля
9. Лэй Йонг, Лам . «Китайский генезис, переписывание истории нашей системы счисления». Архив истории точных наук . 38 : 101–108.
10. Б.Л. ван дер Варден (1985). История алгебры. От Хорезми до Эмми Нётер . Берлин: Springer-Verlag.
11. EJ Dijksterhuis (1970) Саймон Стевин: Наука в Нидерландах около 1600 года , Martinus Nijhoff Publishers , голландский оригинал, 1943 год.
12. Цифра сохранит свое значение в других системах счисления, в общем, потому что более высокая система счисления обычно будет расширением нотации более низкой системы счисления в любой систематической организации. В математических науках фактически существует только одна позиционная система счисления для каждой системы счисления ниже 10, и она расширяется с немногими, хотя и незначительными, вариациями в выборе буквенных цифр для этих систем счисления выше 10.
13. Обычно мы не удаляем строчные цифры «l» и строчную букву «o», поскольку в большинстве шрифтов они отличимы от цифр «1» и «0».
14. Коллинз, GE; Миньотт, М.; Винклер, Ф. (1983). «Арифметика в основных алгебраических областях» (PDF) . В Бухбергер, Бруно; Коллинз, Джордж Эдвин; Лоос, Рюдигер; Альбрехт, Рудольф (ред.). Компьютерная алгебра: символические и алгебраические вычисления . Computing Supplementa. Том 4. Вена: Springer. стр. 189–220. doi :10.1007/978-3-7091-7551-4_13. ISBN 3-211-81776-X. МР  0728973.
15. Точный размер не имеет значения. Они должны быть только ≥ 1. ${\displaystyle \nu _{1},\ldots ,\nu _{n}}$
16. Weisstein, Eric W. "Vinculum". mathworld.wolfram.com . Получено 22 августа 2024 г. .
17. "Иррациональные числа: определение, примеры и свойства". flamath.com . 10 апреля 2024 г. . Получено 22 августа 2024 г. .
18. Нойгебауэр, Отто ; Сакс, Авраам Джозеф ; Гётце, Альбрехт (1945), Математические клинописные тексты, Американская восточная серия, т. 29, Нью-Хейвен: Американское восточное общество и американские школы восточных исследований, стр. 2, ISBN 9780940490291, заархивировано из оригинала 1 октября 2016 г. , извлечено 18 сентября 2019 г.
19. Bartley, Wm. Clark (январь–февраль 1997 г.). «Making the Old Way Count» (PDF) . Sharing Our Pathways . 2 (1): 12–13. Архивировано (PDF) из оригинала 25 июня 2013 г. . Получено 27 февраля 2017 г. .
20. Барроу, Джон Д. (1992), Число Пи в небе: подсчет, мышление и бытие , Clarendon Press, стр. 38, ISBN 9780198539568.
21. (Мэллори и Адамс 1997) Энциклопедия индоевропейской культуры
22. Кнут, страницы 195–213.
23. Ифрах, страницы 326, 379
24. Ифрах, страницы 261–264.

Ссылки

• О'Коннор, Джон; Робертсон, Эдмунд (декабрь 2000 г.). «Вавилонские цифры». Архивировано из оригинала 11 сентября 2014 г. Получено 21 августа 2010 г.
• Кадвани, Джон (декабрь 2007 г.). «Позиционное значение и лингвистическая рекурсия». Журнал индийской философии . 35 (5–6): 487–520. doi :10.1007/s10781-007-9025-5. S2CID  52885600.
• Кнут, Дональд (1997). Искусство программирования . Том 2. Эддисон-Уэсли. С. 195–213. ISBN 0-201-89684-2.
• Ифра, Джордж (2000). Всеобщая история чисел: от доисторических времен до изобретения компьютера . Wiley. ISBN 0-471-37568-3.
• Крёбер, Альфред (1976) [1925]. Справочник индейцев Калифорнии. Courier Dover Publications. стр. 176. ISBN 9780486233680.

Внешние ссылки

• Точная базовая конверсия
• Развитие индо-арабской и традиционной китайской арифметики
• Реализация базовой конверсии в cut-the-knot
• Научитесь считать другие базы по пальцам.
• Онлайн-конвертер произвольной точности