Соленоидальное векторное поле

Векторное поле с нулевой дивергенцией

Пример соленоидального векторного поля: ${\displaystyle \mathbf {v} (x,y)=(y,-x)}$

В векторном исчислении соленоидальное векторное поле (также известное как несжимаемое векторное поле , векторное поле без дивергенций или поперечное векторное поле ) представляет собой векторное поле v с нулевой дивергенцией во всех точках поля:

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0.}$$

^{[примечание 1]}

Характеристики

Теорема о дивергенции дает эквивалентное интегральное определение соленоидального поля; а именно, что для любой замкнутой поверхности чистый общий поток через поверхность должен быть равен нулю:

${\displaystyle \;\;\mathbf {v} \cdot \,d\mathbf {S} =0,}$

где – внешняя нормаль к каждому элементу поверхности. ${\displaystyle d\mathbf {S} }$

Фундаментальная теорема векторного исчисления гласит, что любое векторное поле можно выразить как сумму безвихревого и соленоидального полей. Условие нулевой дивергенции выполняется всякий раз, когда векторное поле v имеет только компонент векторного потенциала , поскольку определение векторного потенциала A выглядит следующим образом:

$${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {A} }$$

тождеству

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0.}$$

vA(vразложение Гельмгольца ${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {A} .}$

Этимология

Соленоид имеет свое происхождение от греческого слова, обозначающего соленоид , которое означает σωληνοειδές (sōlēnoeidēs), что означает трубообразный, от σωλην (sōlēn) или труба.

Примеры

• Магнитное поле B (см. закон Гаусса для магнетизма )
• Поле скоростей потока несжимаемой жидкости
• Поле завихренности _
• Электрическое поле E в нейтральных областях ( ); ${\displaystyle \rho _{e}=0}$
• Плотность тока J при неизменной плотности заряда . ${\textstyle {\frac {\partial \rho _{e}}{\partial t}}=0}$
• Магнитный векторный потенциал A в кулоновской калибровке

Смотрите также

• Продольные и поперечные векторные поля
• Функция потока
• Консервативное векторное поле

Примечания

1. Это утверждение не означает, что силовые линии соленоидального поля должны быть замкнуты, а также то, что они не могут начинаться или заканчиваться. Подробное обсуждение этой темы см. в J. Slepian: «Силовые линии в электрических и магнитных полях», American Journal of Physics, vol. 19, стр. 87-90, 1951, и Л. Зилберти: «Заблуждение о замкнутых линиях магнитного потока», IEEE Magnetics Letters, vol. 8, ст. 1306005, 2017.

Рекомендации

• Арис, Резерфорд (1989), Векторы, тензоры и основные уравнения механики жидкости, Дувр, ISBN 0-486-66110-5