Обобщенная тригонометрия

Study of triangles in other spaces than the Euclidean plane

Обычная тригонометрия изучает треугольники на евклидовой плоскости ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ . Существует ряд способов определения обычных евклидовых геометрических тригонометрических функций на действительных числах , например, определения прямоугольного треугольника , определения единичной окружности , определения серий ^{[ сломанный якорь ]} , определения через дифференциальные уравнения ^{[ сломанный якорь ]} и определения с использованием функциональных уравнений . Обобщения тригонометрических функций часто разрабатываются, начиная с одного из вышеперечисленных методов и адаптируя его к ситуации, отличной от действительных чисел евклидовой геометрии. Как правило, тригонометрия может быть изучением троек точек в любом виде геометрии или пространства . Треугольник — это многоугольник с наименьшим числом вершин, поэтому одним из направлений обобщения является изучение более многомерных аналогов углов и многоугольников: телесных углов и многогранников, таких как тетраэдры и n -симплексы .

Тригонометрия

• В сферической тригонометрии изучаются треугольники на поверхности сферы . Тождества сферического треугольника записываются через обычные тригонометрические функции, но отличаются от тождеств плоского треугольника .
• Гиперболическая тригонометрия:
  1. Изучение гиперболических треугольников в гиперболической геометрии с гиперболическими функциями .
  2. Гиперболические функции в евклидовой геометрии: единичная окружность параметризуется как (cos  t , sin  t ), тогда как равносторонняя гипербола параметризуется как (cosh  t , sinh  t ).
  3. Гиротригонометрия : форма тригонометрии, используемая в подходе к гиперболической геометрии с использованием гировекторного пространства , с приложениями к специальной теории относительности и квантовым вычислениям .
• Тригонометрия для геометрии такси ^[1]
• Тригонометрия пространства-времени ^[2]
• Нечеткая качественная тригонометрия ^[3]
• Операторная тригонометрия ^[4]
• Решеточная тригонометрия ^[5]
• Тригонометрия на симметричных пространствах ^{[6] [7] [8]}

Более высокие измерения

• Ортосхемы Шлефли — правильные симплексы (прямоугольные треугольники, обобщенные до n измерений) — изучались Шоутом , который назвал обобщенную тригонометрию n евклидовых измерений полигонометрией .
  • Теоремы Пифагора для n -симплексов с «ортогональным углом»
• Тригонометрия тетраэдра ^[9]
  • Теорема Де Гуа – теорема Пифагора для тетраэдра с углом куба
  • Закон синусов для тетраэдров
• Полярный синус

Тригонометрические функции

• Тригонометрические функции могут быть определены для дробных дифференциальных уравнений . ^[10]

• В исчислении шкалы времени дифференциальные уравнения и разностные уравнения объединяются в динамические уравнения на временных шкалах, которые также включают q-разностные уравнения . Тригонометрические функции могут быть определены на произвольной временной шкале (подмножество действительных чисел).
• Определения рядов ^{[ сломанный якорь ]} sin и cos определяют эти функции в любой алгебре , где ряды сходятся , например, комплексные числа ^{[ сломанный якорь ]} , p -адические числа , матрицы и различные банаховы алгебры .

Другой

• Полярные/тригонометрические формы гиперкомплексных чисел ^{[11] [12]}
• Полигонометрия – тригонометрические тождества для нескольких различных углов ^[13]
• Эллиптические функции лемнискаты , синлем и кослем

Смотрите также

• Теорема Пифагора в неевклидовой геометрии

Ссылки

1. Томпсон, К.; Дрей, Т. (2000), «Углы такси и тригонометрия» (PDF) , Pi Mu Epsilon Journal , 11 (2): 87–96, arXiv : 1101.2917 , Bibcode : 2011arXiv1101.2917T
2. Herranz, Francisco J.; Ortega, Ramón; Santander, Mariano (2000), «Тригонометрия пространства-времени: новый самодуальный подход к тригонометрии, (не)зависимой от кривизны/сигнатуры», Journal of Physics A , 33 (24): 4525–4551, arXiv : math-ph/9910041 , Bibcode : 2000JPhA...33.4525H, doi : 10.1088/0305-4470/33/24/309, MR  1768742, S2CID  15313035
3. Лю, Хунхай; Когхилл, Джордж М. (2005), «Нечеткая качественная тригонометрия», Международная конференция IEEE по системам, человеку и кибернетике 2005 г. (PDF) , т. 2, стр. 1291–1296, архивировано из оригинала (PDF) 25 июля 2011 г.
4. Густавсон, К.Э. (1999), «Вычислительная тригонометрия и связанные с ней вклады русских Канторовича, Крейна, Капорина», Вычислительные технологии , 4 (3): 73–83
5. Карпенков, Олег (2008), «Элементарные понятия решеточной тригонометрии», Mathematica Scandinavica , 102 (2): 161–205, arXiv : math/0604129 , doi :10.7146/math.scand.a-15058, MR  2437186, S2CID  49911437
6. Аслаксен, Хельмер; Хюн, Сюэ-Линг (1997), «Законы тригонометрии в симметричных пространствах», Geometry from the Pacific Rim (Сингапур, 1994) , Берлин: de Gruyter, стр. 23–36, CiteSeerX 10.1.1.160.1580 , MR  1468236 
7. Лойзингер, Энрико (1992), «О тригонометрии симметричных пространств», Commentarii Mathematici Helvetici , 67 (2): 252–286, doi : 10.1007/BF02566499, MR  1161284, S2CID  123684622
8. Масала, Г. (1999), «Правильные треугольники и изоклинические треугольники в многообразиях Грассмана G ₂ ( RN ) », Rendiconti del Seminario Matematico Università e Politecnico di Torino ^, 57 ( 2): 91–104, MR  1974445
9. Ричардсон, Г. (1902-03-01). «Тригонометрия тетраэдра». The Mathematical Gazette . 2 (32): 149–158. doi :10.2307/3603090. JSTOR  3603090. S2CID  125115660.
10. Уэст, Брюс Дж.; Болонья, Мауро; Григолини, Паоло (2003), Физика фрактальных операторов , Институт нелинейной науки, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 101, doi :10.1007/978-0-387-21746-8, ISBN 0-387-95554-2, г-н  1988873
11. Харкин, Энтони А.; Харкин, Джозеф Б. (2004), «Геометрия обобщенных комплексных чисел», Mathematics Magazine , 77 (2): 118–129, doi :10.1080/0025570X.2004.11953236, JSTOR  3219099, MR  1573734, S2CID  7837108
12. Ямалеев, Роберт М. (2005), «Комплексные алгебры на основе полиномов n-го порядка и обобщения тригонометрии, модели осциллятора и динамики Гамильтона» (PDF) , Advances in Applied Clifford Algebras , 15 (1): 123–150, doi :10.1007/s00006-005-0007-y, MR  2236628, S2CID  121144869, архивировано из оригинала (PDF) 2011-07-22
13. Антиппа, Адель Ф. (2003), «Комбинаторная структура тригонометрии» (PDF) , Международный журнал математики и математических наук , 2003 (8): 475–500, doi : 10.1155/S0161171203106230 , MR  1967890