В элементарной геометрии многогранник — это геометрический объект с плоскими сторонами ( гранями ). Многогранники — это обобщение трехмерных многогранников на любое число измерений. Многогранники могут существовать в любом общем числе измерений n как n -мерный многогранник или n-мерный многогранник . Например, двумерный многоугольник — это 2-мерный многогранник, а трехмерный многогранник — это 3-мерный многогранник. В этом контексте «плоские стороны» означают, что стороны ( k + 1) -мерного многогранника состоят из k- мерных многогранников, которые могут иметь ( k – 1) -мерных многогранников.
Некоторые теории еще больше обобщают эту идею, включая такие объекты, как неограниченные апейротопы и замощения , разложения или мозаики искривленных многообразий, включая сферические многогранники , и теоретико-множественные абстрактные многогранники .
Многогранники более чем трех измерений были впервые обнаружены Людвигом Шлефли до 1853 года, который назвал такую фигуру полисхемой . [1] Немецкий термин « политоп» был придуман математиком Рейнхольдом Хоппе , а английским математикам его ввела как политоп Алисия Буль Стотт .
В настоящее время термин «политоп» является широким термином, который охватывает широкий класс объектов, и в математической литературе появляются различные определения. Многие из этих определений не эквивалентны друг другу, в результате чего различные перекрывающиеся наборы объектов называются политопами . Они представляют собой различные подходы к обобщению выпуклых политопов для включения других объектов со схожими свойствами.
Первоначальный подход, широко используемый Людвигом Шлефли , Торольдом Госсетом и другими, начинается с расширения по аналогии на четыре или более измерений идеи многоугольника и многогранника соответственно в двух и трех измерениях. [2]
Попытки обобщить эйлерову характеристику многогранников на многогранники более высокой размерности привели к развитию топологии и трактовке разложения или CW-комплекса как аналога многогранника. [3] В этом подходе многогранник можно рассматривать как тесселяцию или разложение некоторого заданного многообразия . Пример этого подхода определяет многогранник как набор точек, допускающий симплициальное разложение . В этом определении многогранник является объединением конечного числа симплексов с дополнительным свойством, что для любых двух симплексов, имеющих непустое пересечение, их пересечение является вершиной, ребром или гранью более высокой размерности этих двух. [4] Однако это определение не допускает звездчатые многогранники с внутренними структурами и поэтому ограничено определенными областями математики.
Открытие звездчатых многогранников и других необычных конструкций привело к идее многогранника как ограничивающей поверхности, игнорирующей его внутреннюю часть. [5] В этом свете выпуклые многогранники в p -пространстве эквивалентны мозаикам ( p −1)-сферы , в то время как другие могут быть мозаиками других эллиптических , плоских или тороидальных ( p −1)-поверхностей – см. эллиптическая мозаика и тороидальный многогранник . Многогранник понимается как поверхность, грани которой являются многоугольниками , 4-многогранник – как гиперповерхность, грани ( ячейки ) которой являются многогранниками, и так далее.
Идея построения более высокого многогранника из многогранников более низкой размерности также иногда расширяется вниз по размерности, при этом ( ребро ) рассматривается как 1-многогранник, ограниченный парой точек, а точка или вершина — как 0-многогранник. Такой подход используется, например, в теории абстрактных многогранников .
В некоторых областях математики термины «политоп» и «многогранник» используются в разных смыслах: многогранник — это общий объект в любом измерении (называемый в этой статье многогранником ), а многогранник означает ограниченный многогранник. [6] Эта терминология обычно ограничивается многогранниками и многогранниками, которые являются выпуклыми . Согласно этой терминологии, выпуклый многогранник является пересечением конечного числа полупространств и определяется его сторонами, в то время как выпуклый многогранник является выпуклой оболочкой конечного числа точек и определяется его вершинами.
Многогранники с меньшим числом измерений имеют стандартные названия:
Многогранник состоит из элементов различной размерности, таких как вершины, ребра, грани, ячейки и т. д. Терминология для них не полностью согласована у разных авторов. Например, некоторые авторы используют face для обозначения ( n − 1)-мерного элемента, в то время как другие используют face для обозначения именно 2-грани. Авторы могут использовать j -face или j -facet для обозначения элемента с j размерами. Некоторые используют edge для обозначения хребта, в то время как HSM Coxeter использует cell для обозначения ( n − 1)-мерного элемента. [8] [ необходима цитата ]
Термины, принятые в настоящей статье, приведены в таблице ниже:
n -мерный многогранник ограничен рядом ( n − 1)-мерных граней . Эти грани сами по себе являются многогранниками, чьи грани являются ( n − 2)-мерными хребтами исходного многогранника. Каждый гребень возникает как пересечение двух граней (но пересечение двух граней не обязательно должно быть хребтом). Гребни снова являются многогранниками, чьи грани порождают ( n − 3)-мерные границы исходного многогранника и так далее. Эти ограничивающие подполитопы могут называться гранями или, в частности, j -мерными гранями или j -гранями. 0-мерная грань называется вершиной и состоит из одной точки. 1-мерная грань называется ребром и состоит из отрезка линии. 2-мерная грань состоит из многоугольника , а 3-мерная грань, иногда называемая ячейкой , состоит из многогранника .
Многогранник может быть выпуклым . Выпуклые многогранники являются простейшим видом многогранников и образуют основу для нескольких различных обобщений концепции многогранников. Выпуклый многогранник иногда определяется как пересечение множества полупространств . Это определение позволяет многограннику не быть ни ограниченным, ни конечным. Многогранники определяются таким образом, например, в линейном программировании . Многогранник ограничен , если существует шар конечного радиуса, который его содержит. Многогранник называется острым, если он содержит хотя бы одну вершину. Каждый ограниченный непустой многогранник является острым. Примером не остроконечного многогранника является множество . Многогранник конечен, если он определен в терминах конечного числа объектов, например, как пересечение конечного числа полуплоскостей. Он является целочисленным многогранником , если все его вершины имеют целочисленные координаты.
Определенный класс выпуклых многогранников является рефлексивными многогранниками. Целочисленный -многогранник рефлексивен, если для некоторой целочисленной матрицы , , где обозначает вектор из всех единиц, и неравенство является покомпонентным. Из этого определения следует, что рефлексивен тогда и только тогда, когда для всех . Другими словами, -дилат отличается , в терминах целых точек решетки, от -дилата только на количество точек решетки, полученных на границе. Эквивалентно, рефлексивен тогда и только тогда, когда его двойственный многогранник является целочисленным многогранником. [9]
Правильные многогранники имеют наивысшую степень симметрии среди всех многогранников. Группа симметрии правильного многогранника действует транзитивно на его флагах ; следовательно, двойственный многогранник правильного многогранника также является правильным.
Существует три основных класса правильных многогранников, которые встречаются в любом числе измерений:
Измерения два, три и четыре включают правильные фигуры, которые имеют пятикратную симметрию, и некоторые из которых являются невыпуклыми звездами, и в двух измерениях существует бесконечно много правильных многоугольников n -кратной симметрии, как выпуклых , так и (для n ≥ 5) звездных. Но в более высоких измерениях нет других правильных многогранников. [2]
В трехмерном пространстве выпуклые Платоновы тела включают в себя пятикратно симметричный додекаэдр и икосаэдр , а также четыре звездчатых многогранника Кеплера-Пуансо с пятикратной симметрией, в результате чего общее число правильных многогранников составляет девять.
В четырех измерениях правильные 4-многогранники включают одно дополнительное выпуклое тело с четырехкратной симметрией и два с пятикратной симметрией. Существует десять звездных 4-многогранников Шлефли-Гесса , все с пятикратной симметрией, что дает всего шестнадцать правильных 4-многогранников.
Невыпуклый многогранник может быть самопересекающимся; этот класс многогранников включает звездчатые многогранники . Некоторые правильные многогранники являются звездами. [2]
Поскольку (заполненный) выпуклый многогранник P в размерностях стягиваем в точку, эйлерова характеристика его границы ∂P задается знакопеременной суммой:
Это обобщает формулу Эйлера для многогранников . [10]
Теорема Грама –Эйлера аналогичным образом обобщает знакопеременную сумму внутренних углов для выпуклых многогранников на многогранники более высокой размерности: [10]
Не все многообразия конечны. Когда многогранник понимается как мозаика или разложение многообразия, эта идея может быть распространена на бесконечные многообразия. Плоские мозаики , заполняющие пространство ( соты ) и гиперболические мозаики являются в этом смысле многогранниками и иногда называются апейротопами , поскольку имеют бесконечно много ячеек.
Среди них есть правильные формы, в том числе правильные косые многогранники и бесконечный ряд мозаик, представленных правильным апейрогоном , квадратной мозаикой, кубическими сотами и т. д.
Теория абстрактных многогранников пытается отделить многогранники от содержащего их пространства, рассматривая их чисто комбинаторные свойства. Это позволяет расширить определение термина, включив в него объекты, для которых сложно определить интуитивное базовое пространство, например, 11-ячеечное .
Абстрактный многогранник — это частично упорядоченный набор элементов или членов, который подчиняется определенным правилам. Это чисто алгебраическая структура, и теория была разработана для того, чтобы избежать некоторых проблем, которые затрудняют согласование различных геометрических классов в рамках последовательной математической структуры. Говорят, что геометрический многогранник является реализацией в некотором реальном пространстве связанного абстрактного многогранника. [11]
Аналогичные многогранникам структуры существуют в комплексных гильбертовых пространствах , где n действительных измерений сопровождаются n мнимыми . Правильные комплексные многогранники правильнее рассматривать как конфигурации . [12]
Каждый n -многогранник имеет двойственную структуру, полученную путем замены его вершин на грани, ребер на ребра и т. д., в общем случае путем замены его ( j − 1)-мерных элементов на ( n − j )-мерные элементы (для j = 1 до n − 1), при этом сохраняется связность или инцидентность между элементами.
Для абстрактного многогранника это просто меняет порядок набора на противоположный. Этот переворот виден в символах Шлефли для правильных многогранников, где символ для двойственного многогранника — это просто обратный исходному. Например, {4, 3, 3} двойственен {3, 3, 4}.
В случае геометрического многогранника необходимо некоторое геометрическое правило для дуализации, см., например, правила, описанные для двойственных многогранников . В зависимости от обстоятельств, двойственная фигура может быть или не быть другим геометрическим многогранником. [13]
Если двойственный политоп перевернуть, то исходный политоп восстанавливается. Таким образом, политопы существуют в двойственных парах.
Если многогранник имеет одинаковое количество вершин и граней, ребер и хребтов и т. д., а также одинаковые связности, то двойственная фигура будет подобна исходной, а многогранник является самодвойственным.
Некоторые распространённые самодвойственные многогранники включают в себя:
Многоугольники и многогранники известны с древних времен.
Ранний намек на более высокие измерения появился в 1827 году, когда Август Фердинанд Мёбиус обнаружил, что два зеркальных тела могут быть наложены друг на друга путем вращения одного из них через четвертое математическое измерение. К 1850-м годам несколько других математиков, таких как Артур Кейли и Герман Грассман, также рассматривали более высокие измерения.
Людвиг Шлефли был первым, кто рассмотрел аналоги многоугольников и многогранников в этих высших пространствах. Он описал шесть выпуклых правильных 4-многогранников в 1852 году, но его работа была опубликована только в 1901 году, через шесть лет после его смерти. К 1854 году Habilitationsschrift Бернхарда Римана прочно установил геометрию высших измерений, и, таким образом, концепция n -мерных многогранников стала приемлемой. Многогранники Шлефли были переоткрыты много раз в последующие десятилетия, даже при его жизни.
В 1882 году Рейнхольд Хоппе , писавший на немецком языке, придумал слово polytop для обозначения этой более общей концепции многоугольников и многогранников. Со временем Алисия Буль Стотт , дочь логика Джорджа Буля , ввела англицизированный polytope в английский язык. [2] : vi
В 1895 году Торольд Госсет не только заново открыл правильные многогранники Шлефли, но и исследовал идеи полуправильных многогранников и заполняющих пространство мозаик в высших измерениях. Многогранники также начали изучать в неевклидовых пространствах, таких как гиперболическое пространство.
Важным событием стала книга Г. С. М. Коксетера «Регулярные многогранники» , опубликованная в 1948 году. В ней он обобщил проделанную на тот момент работу и добавил собственные новые открытия.
Тем временем французский математик Анри Пуанкаре разработал топологическую идею многогранника как кусочного разложения (например, CW-комплекса ) многообразия . Бранко Грюнбаум опубликовал свою влиятельную работу о выпуклых многогранниках в 1967 году.
В 1952 году Джеффри Колин Шепард обобщил эту идею как комплексные многогранники в комплексном пространстве, где каждое действительное измерение имеет мнимое, связанное с ним. Коксетер развил теорию дальше.
Концептуальные вопросы, поднятые сложными многогранниками, невыпуклостью, двойственностью и другими явлениями, привели Грюнбаума и других к более общему изучению абстрактных комбинаторных свойств, связывающих вершины, ребра, грани и т. д. Связанной идеей была идея комплексов инцидентности, которые изучали инцидентность или связь различных элементов друг с другом. Эти разработки в конечном итоге привели к теории абстрактных многогранников как частично упорядоченных множеств, или посетов, таких элементов. Питер МакМаллен и Эгон Шульте опубликовали свою книгу «Абстрактные регулярные многогранники» в 2002 году.
Перечисление однородных многогранников , выпуклых и невыпуклых, в четырех или более измерениях остается нерешенной проблемой. Выпуклые однородные 4-многогранники были полностью перечислены Джоном Конвеем и Майклом Гаем с помощью компьютера в 1965 году; [14] [15] в более высоких измерениях эта проблема все еще была открыта по состоянию на 1997 год. [16] Полное перечисление невыпуклых однородных многогранников неизвестно в измерениях четыре и выше по состоянию на 2008 год. [17]
В наше время многогранники и связанные с ними концепции нашли множество важных применений в таких разнообразных областях, как компьютерная графика , оптимизация , поисковые системы , космология , квантовая механика и многих других областях. В 2013 году был обнаружен амплитуэдр как упрощающая конструкция в некоторых расчетах теоретической физики.
В области оптимизации линейное программирование изучает максимумы и минимумы линейных функций; эти максимумы и минимумы возникают на границе n -мерного многогранника. В линейном программировании многогранники возникают при использовании обобщенных барицентрических координат и слабых переменных .
В теории твисторов , разделе теоретической физики , многогранник, называемый амплитуэдром , используется для вычисления амплитуд рассеяния субатомных частиц при их столкновении. Конструкция является чисто теоретической и не имеет известного физического проявления, но, как говорят, значительно упрощает некоторые вычисления. [18]
