Полином Джонса

Mathematical invariant of a knot or link

В математической области теории узлов полином Джонса — это полином узла , открытый Воаном Джонсом в 1984 году. ^{[1] [2]} В частности, это инвариант ориентированного узла или звена , который присваивает каждому ориентированному узлу или звену Лорана полином по переменной с целыми коэффициентами. ^[3] ${\displaystyle t^{1/2}}$

Определение по скобке

Тип I ход Рейдемейстера

Предположим, у нас есть ориентированная связь , представленная в виде диаграммы узлов . Мы определим полином Джонса , используя скобочный полином Луи Кауфмана , который мы обозначаем . Здесь скобочный полином представляет собой полином Лорана от переменной с целыми коэффициентами. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V(L)}$ ${\displaystyle \langle ~\rangle }$ ${\displaystyle A}$

Сначала мы определяем вспомогательный многочлен (также известный как многочлен нормализованной скобки)

${\displaystyle X(L)=(-A^{3})^{-w(L)}\langle L\rangle ,}$

где обозначает корчание на данной диаграмме. Искривление диаграммы — это количество положительных пересечений ( на рисунке ниже) минус количество отрицательных пересечений ( ). Корчи не являются инвариантом узла. ${\displaystyle w(L)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{+}}$ ${\displaystyle L_{-}}$

${\displaystyle X(L)}$является инвариантом узла, так как он инвариантен относительно изменений диаграммы тремя движениями Райдемейстера . Инвариантность относительно ходов Райдемейстера II и III типов следует из инвариантности скобки относительно этих ходов. Известно, что скобочный полином изменяется при движении Райдемейстера I типа. Определение полинома, данное выше, предназначено для того, чтобы свести на нет это изменение, поскольку корчи изменяются соответствующим образом при движении типа I или под ним. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle -A^{\pm 3}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle -1}$

Теперь сделайте замену , чтобы получить полином Джонса . В результате получается полином Лорана с целыми коэффициентами в переменной . ${\displaystyle A=t^{-1/4}}$ ${\displaystyle X(L)}$ ${\displaystyle V(L)}$ ${\displaystyle t^{1/2}}$

Полином Джонса для клубков

Эта конструкция полинома Джонса для клубков является простым обобщением скобки Кауфмана зацепления. Конструкция была разработана Владимиром Тураевым и опубликована в 1990 году. ^[4]

Пусть – неотрицательное целое число и обозначает множество всех изотопических типов диаграмм клубка с концами, не имеющими точек пересечения и замкнутых компонент (сглаживаний). Конструкция Тураева использует предыдущую конструкцию для скобки Кауфмана и ставит в соответствие каждому -концевому ориентированному клубку элемент свободного -модуля , где - кольцо полиномов Лорана с целыми коэффициентами при переменной . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S_{k}}$ ${\displaystyle 2k}$ ${\displaystyle 2k}$ ${\displaystyle \mathrm {R} }$ ${\displaystyle \mathrm {R} [S_{k}]}$ ${\displaystyle \mathrm {R} }$ ${\displaystyle t^{1/2}}$

Определение посредством представления косы

Первоначальная формулировка Джонсом своего многочлена возникла в результате его изучения операторных алгебр. В подходе Джонса оно возникло в результате своего рода «следа» конкретного представления косы в алгебре, первоначально возникшего при изучении определенных моделей, например модели Поттса , в статистической механике .

Пусть дана ссылка L. Теорема Александера утверждает, что это замыкание следа косы, скажем, из n нитей. Теперь определим представление группы кос на n нитях B _n в алгебре Темперли–Либа с коэффициентами в и . Стандартный генератор кос отправляется в , где находятся стандартные генераторы алгебры Темперли–Либа. Легко проверить, что это определяет представление. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \operatorname {TL} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [A,A^{-1}]}$ ${\displaystyle \delta =-A^{2}-A^{-2}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle A\cdot e_{i}+A^{-1}\cdot 1}$ ${\displaystyle 1,e_{1},\dots ,e_{n-1}}$

Возьмите полученное ранее слово косы и вычислите, где находится марковский след. Это дает , где – скобочный полином. В этом можно убедиться, рассматривая, как это сделал Луи Кауфман , алгебру Темперли – Либа как особую диаграммную алгебру. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \delta ^{n-1}\operatorname {tr} \rho (\sigma )}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} }$ ${\displaystyle \langle L\rangle }$ ${\displaystyle \langle }$ ${\displaystyle \rangle }$

Преимущество этого подхода состоит в том, что можно выбрать подобные представления в других алгебрах, таких как представления R -матрицы, что приводит к «обобщенным инвариантам Джонса».

Характеристики

Полином Джонса характеризуется тем, что принимает значение 1 на любой диаграмме узла и удовлетворяет следующему соотношению мотка :

${\displaystyle (t^{1/2}-t^{-1/2})V(L_{0})=t^{-1}V(L_{+})-tV(L_{-})\,}$

где , и — три диаграммы ориентированных связей, которые идентичны, за исключением одной небольшой области, где они отличаются изменениями пересечения или сглаживанием, как показано на рисунке ниже: ${\displaystyle L_{+}}$ ${\displaystyle L_{-}}$ ${\displaystyle L_{0}}$

Определение полинома Джонса скобкой позволяет легко показать, что для узла полином Джонса его зеркального отображения дается заменой на в . Таким образом, амфихейральный узел , узел, эквивалентный своему зеркальному изображению, имеет палиндромные элементы в своем полиноме Джонса. См. статью о соотношении мотков , где приведен пример вычислений с использованием этих отношений. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle t^{-1}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle V(K)}$

Другое замечательное свойство этого инварианта гласит, что полином Джонса переменного звена является переменным полиномом . Это свойство было доказано Морвеном Тистлтуэйтом ^[5] в 1987 году. Другое доказательство этого последнего свойства принадлежит Эрнандо Бургос-Сото , который также расширил это свойство на клубки ^{[6] .}

Полином Джонса не является полным инвариантом. Существует бесконечное количество неэквивалентных узлов, имеющих один и тот же полином Джонса. Пример двух разных узлов, имеющих одинаковый полином Джонса, можно найти в книге Мурасуги. ^[7]

Цветной полином Джонса

Для положительного целого числа полином Джонса -цветного цвета является обобщением полинома Джонса. Это инвариант Решетихина–Тураева , связанный с -неприводимым представлением квантовой группы . В этой схеме полином Джонса представляет собой одноцветный полином Джонса, инвариант Решетихина-Тураева, связанный со стандартным представлением (неприводимым и двумерным) . Считается, что нити ссылки «окрашены» представлением, отсюда и название. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V_{N}(L,t)}$ ${\displaystyle (N+1)}$ ${\displaystyle U_{q}({\mathfrak {sl}}_{2})}$ ${\displaystyle U_{q}({\mathfrak {sl}}_{2})}$

В более общем смысле, учитывая связь компонентов и представлений , полином Джонса -цветного цвета является инвариантом Решетихина – Тураева, связанным с (здесь мы предполагаем, что компоненты упорядочены). Учитывая два представления и , цветные полиномы Джонса удовлетворяют следующим двум свойствам: ^[8] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{k}}$ ${\displaystyle U_{q}({\mathfrak {sl}}_{2})}$ ${\displaystyle (V_{1},\ldots ,V_{k})}$ ${\displaystyle V_{V_{1},\ldots ,V_{k}}(L,t)}$ ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{k}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

• ${\displaystyle V_{V\oplus W}(L,t)=V_{V}(L,t)+V_{W}(L,t)}$,
• ${\displaystyle V_{V\otimes W}(L,t)=V_{V,W}(L^{2},t)}$, где обозначает 2- кабельность . ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L}$

Эти свойства вытекают из того, что цветные полиномы Джонса являются инвариантами Решетихина-Тураева.

Пусть будет узел. Напомним, что, рассматривая диаграмму как элемент алгебры Темперли-Либа благодаря скобке Кауфмана, можно восстановить полином Джонса от . Аналогичным образом, -цветному многочлену Джонса можно дать комбинаторное описание с использованием идемпотентов Джонса-Венцля следующим образом: ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K}$

• рассмотрите возможность подключения ; ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K^{N}}$ ${\displaystyle K}$
• рассматривать его как элемент алгебры Темперли-Либа;
• вставьте идемпотенты Джонса-Венцля в несколько параллельных цепей. ${\displaystyle N}$

Результирующим элементом является полином Джонса -цветного цвета. Дополнительную информацию см. в приложении H к ^{[9] .} ${\displaystyle \mathbb {Q} (t)}$ ${\displaystyle N}$

Связь с другими теориями

Связь с теорией Черна – Саймонса

Как впервые показал Эдвард Виттен , ^[10] полином Джонса данного узла может быть получен путем рассмотрения теории Черна-Саймонса на трехмерной сфере с калибровочной группой и вычисления вакуумного среднего значения петли Вильсона , связанной с , и фундаментальное представление . _ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$ ${\displaystyle W_{F}(\gamma )}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$

Связь с инвариантами квантового узла

Подставив переменную в полином Джонса и разложив ее в ряд по h, каждый из коэффициентов превратится в инвариант Васильева узла . Чтобы унифицировать инварианты Васильева (или инварианты конечного типа), Максим Концевич построил интеграл Концевича . Значение интеграла Концевича, который представляет собой бесконечную сумму 1,3-значных хордовых диаграмм , названных хордовыми диаграммами Якоби, воспроизводит полином Джонса вместе с системой весов, изученной Дрором Бар-Натаном . ${\displaystyle e^{h}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$

Связь с гипотезой объема

Путем численного исследования некоторых гиперболических узлов Ринат Кашаев обнаружил, что, подставив корень n -й степени из единицы в параметр цветного полинома Джонса, соответствующий n -мерному представлению, и ограничив его при возрастании n до бесконечности, предельное значение даст гиперболический объем узла дополнения . (См. Гипотезу об объеме .)

Связь с гомологиями Хованова

В 2000 году Михаил Хованов построил некий цепной комплекс узлов и звеньев и показал, что индуцированные из него гомологии являются инвариантом узла (см. Гомологии Хованова ). Полином Джонса описывается как эйлерова характеристика этой гомологии.

Обнаружение узла

Вопрос о том, существует ли нетривиальный узел с полиномом Джонса, равным полиному Джонса, остается открытым . Известно, что существуют нетривиальные связи с полиномом Джонса, равные соответствующим развязкам по работе Морвена Тистлтуэйта . ^[11] Кронхаймер и Мровка показали, что не существует нетривиального узла с гомологией Хованова, равной гомологии неузла. ^[12]

Смотрите также

• Полином ХОМФЛИ
• полином Александера
• Гипотеза об объеме
• Теория Черна – Саймонса
• Квантовая группа

Примечания

1. Джонс, Воган, Франция (1985). «Полиномиальный инвариант узлов с помощью алгебры фон Неймана». Бюллетень Американского математического общества . (НС). 12 : 103–111. дои : 10.1090/s0273-0979-1985-15304-2 . МР  0766964.
2. Джонс, Воан FR (1987). «Представления в алгебре Гекке групп кос и полиномов зацепления». Анналы математики . (2). 126 (2): 335–388. дои : 10.2307/1971403. JSTOR  1971403. MR  0908150.
3. «Полиномы Джонса, объем и существенные поверхности узлов: обзор» (PDF) .
4. Тураев, Владимир Г. (1990). «Инварианты клубков типа Джонса». Журнал математических наук . 52 : 2806–2807. дои : 10.1007/bf01099242 . S2CID  121865582.
5. Тистлтуэйт, Морвен Б. (1987). «Разложение связующего дерева полинома Джонса». Топология . 26 (3): 297–309. дои : 10.1016/0040-9383(87)90003-6 .
6. Бургос-Сото, Эрнандо (2010). «Полином Джонса и плоская алгебра чередующихся звеньев». Журнал теории узлов и ее разветвлений . 19 (11): 1487–1505. arXiv : 0807.2600 . дои : 10.1142/s0218216510008510. S2CID  13993750.
7. Мурасуги, Кунио (1996). Теория узлов и ее приложения . Биркхойзер Бостон, Массачусетс. п. 227. ИСБН 978-0-8176-4718-6.
8. Гуков, Сергей; Сабери, Ингмар (2014). «Лекции по гомологии узлов и квантовым кривым». Топология и теории поля . Современная математика. Том. 613. стр. 41–78. arXiv : 1211.6075 . дои : 10.1090/conm/613/12235. ISBN 9781470410155. S2CID  27676682.
9. Оцуки, Квантовые инварианты: исследование узлов, 3-многообразий и их множеств
10. Виттен, Эдвард (1989). «Квантовая теория поля и полином Джонса» (PDF) . Связь в математической физике . 121 (3): 351–399. Бибкод : 1989CMaPh.121..351W. дои : 10.1007/BF01217730. S2CID  14951363.
11. Тистлтуэйт, Морвен (1 июня 2001 г.). «Связи с тривиальным полиномом Джонса». Журнал теории узлов и ее разветвлений . 10 (4): 641–643. дои : 10.1142/S0218216501001050. ISSN  0218-2165.
12. Кронхаймер, ПБ; Мровка, ТС (11 февраля 2011 г.). «Гомологии Хованова – узел-детектор». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 113 (1): 97–208. arXiv : 1005.4346 . дои : 10.1007/s10240-010-0030-y. ISSN  0073-8301. S2CID  119586228.

Рекомендации

• Адамс, Колин (6 декабря 2000 г.). Книга Узелка . Американское математическое общество . ISBN 0-8050-7380-9.
• Джонс, Вон . «Полином Джонса» (PDF) .
• Джонс, Воган (1987). «Представления в алгебре Гекке групп кос и полиномов зацепления». Анналы математики . 126 (2): 335–388. дои : 10.2307/1971403. JSTOR  1971403.
• Кауфман, Луи Х. (1987). «Модели состояний и полином Джонса». Топология . 26 (3): 395–407. дои : 10.1016/0040-9383(87)90009-7 .(объясняет определение с помощью полинома в скобках и его связь с формулировкой Джонса с помощью представления косы)
• Ликориш, В.Б. Рэймонд (1997). Введение в теорию узлов. Нью-Йорк; Берлин; Гейдельберг; Барселона; Будапешт; Гонконг; Лондон; Милан; Париж; Санта-Клара; Сингапур; Токио: Спрингер. п. 175. ИСБН 978-0-387-98254-0.
• Тистлтуэйт, Морвен (2001). «Связи с тривиальным полиномом Джонса». Журнал теории узлов и ее разветвлений . 10 (4): 641–643. дои : 10.1142/S0218216501001050.
• Элиаху, Шалом; Кауфман, Луи Х .; Тистлтуэйт, Морвен Б. (2003). «Бесконечные семейства зацеплений с тривиальным полиномом Джонса». Топология . 42 (1): 155–169. дои : 10.1016/S0040-9383(02)00012-5 .
• Пшитицкий, Юзеф Х. (1991). «Модули мотков трехмерных многообразий». Вестник Польской академии наук . 39 (1–2): 91–100. arXiv : math/0611797 .

Внешние ссылки

• «Полином Джонса-Конвея», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Ссылки на тривиальный полином Джонса Морвен Тистлтуэйт
• «Полином Джонса», Атлас узлов .