Слоение

В математике — тип отношения эквивалентности на n-мерном многообразии.

Двумерное сечение расслоения Риба

3-мерная модель фолиации Риба

В математике ( дифференциальной геометрии ) слоение — это отношение эквивалентности на n -многообразии , причем классы эквивалентности являются связанными, инъективно погруженными подмногообразиями , все одной и той же размерности p , смоделированными на основе разложения действительного координатного пространства R ⁿ на смежные классы x + R ^p стандартно вложенного подпространства R ^p . Классы эквивалентности называются листьями слоения. ^[1] Если требуется, чтобы многообразие и/или подмногообразия имели кусочно-линейную , дифференцируемую (класса C ^r ) или аналитическую структуру, то определяются кусочно-линейные, дифференцируемые или аналитические слоения соответственно. В наиболее важном случае дифференцируемого слоения класса C ^r обычно подразумевается, что r ≥ 1 (в противном случае C ⁰ является топологическим слоением). ^[2] Число p (размерность листов) называется размерностью слоения, а q = n − p называется его коразмерностью .

В некоторых работах по общей теории относительности , написанных физиками-математиками, термин фолиация (или срез ) используется для описания ситуации, когда соответствующее многообразие Лоренца ( пространство-время размерности ( p +1) ) было разложено на гиперповерхности размерности p , заданные как множества уровня действительной гладкой функции ( скалярного поля ), градиент которой везде не равен нулю; эта гладкая функция, кроме того, обычно предполагается функцией времени, что означает, что ее градиент везде подобен времени , так что ее множества уровня являются все пространственноподобными гиперповерхностями. В знак уважения к стандартной математической терминологии эти гиперповерхности часто называют листьями (или иногда срезами ) фолиации. ^[3] Обратите внимание, что хотя эта ситуация действительно представляет собой фолиацию коразмерности 1 в стандартном математическом смысле, примеры этого типа на самом деле глобально тривиальны; в то время как листья (математического) слоения коразмерности 1 всегда локально являются множествами уровня функции, они, как правило, не могут быть выражены таким образом глобально, ^{[4] [5],} поскольку лист может проходить через локально-тривиализующую карту бесконечно много раз, и голономия вокруг листа может также препятствовать существованию глобально согласованных определяющих функций для листьев. Например, в то время как 3-сфера имеет известное слоение коразмерности 1, открытое Рибом, слоение коразмерности 1 замкнутого многообразия не может быть задано множествами уровня гладкой функции, поскольку гладкая функция на замкнутом многообразии обязательно имеет критические точки в своих максимумах и минимумах.

Листовые карты и атласы

Чтобы дать более точное определение слоения, необходимо определить некоторые вспомогательные элементы.

Трехмерная расслоенная карта с n = 3 и q = 1. Пластины двумерны, а трансверсали одномерны.

Прямоугольная окрестность в R ⁿ — это открытое подмножество вида B = J ₁ × ⋅⋅⋅ × J _n , где J _i — ( возможно , неограниченный) относительно открытый интервал в i -й координатной оси. Если J ₁ имеет вид ( a ,0], то говорят, что B имеет границу ^[6]

${\displaystyle \partial B=\left\{\left(0,x^{2},\ldots ,x^{n}\right)\in B\right\}.}$

^В следующем определении рассматриваются координатные карты, имеющие значения в ^{Rp × Rq} , допускающие возможность существования многообразий с граничными и ( выпуклыми ) углами.

Слоистая карта на n -многообразии M коразмерности q — это пара ( U , φ ), где U ⊆ M открыто и является диффеоморфизмом , являясь прямоугольной окрестностью в R ^q и прямоугольной окрестностью в R ^p . Множество P _y = φ ⁻¹ ( B _τ × { y }), где , называется пластиной этой слоистой карты. Для каждого x ∈ B _τ множество S _x = φ ⁻¹ ({ x } × ) называется трансверсалью слоистой карты. Множество ∂ τ _U = φ −1 ⁽ B τ _× ( ∂ )) называется касательной границей U , а = φ ⁻¹ (( ∂B _τ ) × ) называется трансверсальной границей U . ^[7] ${\displaystyle \varphi :U\to B_{\tau }\times B_{\pitchfork }}$ ${\displaystyle B_{\pitchfork }}$ ${\displaystyle B_{\tau }}$ ${\displaystyle y\in B_{\pitchfork }}$ ${\displaystyle B_{\pitchfork }}$ ${\displaystyle B_{\pitchfork }}$ ${\displaystyle \partial _{\pitchfork }U}$ ${\displaystyle B_{\pitchfork }}$

Слоистая карта является базовой моделью для всех слоений, пластины являются листьями. Обозначение B _τ читается как « B -тангенциальное» и как « B -трансверсальное». Существуют также различные возможности. Если оба и B _τ имеют пустую границу, слоистая карта моделирует слоения коразмерности q n -многообразий без границы. Если одна, но не обе из этих прямоугольных окрестностей имеют границу, слоистая карта моделирует различные возможности для слоений n -многообразий с границей и без углов. В частности, если ∂ ≠ ∅ = ∂B _τ , то ∂U = ∂ _τ U является объединением пластин, а слоение пластинами касается границы. Если ∂B _τ ≠ ∅ = ∂ , то ∂U = является объединением трансверсалей, а слоение трансверсально к границе. Наконец, если ∂ ≠ ∅ ≠ ∂B _τ , то это модель слоеного многообразия с углом, отделяющим касательную границу от трансверсальной границы. ^[7] ${\displaystyle B_{\pitchfork }}$ ${\displaystyle B_{\pitchfork }}$ ${\displaystyle B_{\pitchfork }}$ ${\displaystyle B_{\pitchfork }}$ ${\displaystyle \partial _{\pitchfork }U}$ ${\displaystyle B_{\pitchfork }}$

( a ) Слоение, касательное к границе ∂ ≠ ∅ = ∂B _τ ; ( b ) Слоение, трансверзальное к границе ∂B _τ ≠ ∅ = ∂ ; ( c ) Слоение с углом, отделяющим касательную границу от трансверзальной границы ∂ ≠ ∅ ≠ ∂B _τ . ${\displaystyle B_{\pitchfork }}$ ${\displaystyle B_{\pitchfork }}$ ${\displaystyle B_{\pitchfork }}$

Слоистый атлас коразмерности q и класса C ^r (0 ≤ r ≤ ∞) на n -многообразии M представляет собой C ^r -атлас слоеных карт коразмерности q , которые когерентно слоены в том смысле, что всякий раз, когда P и Q являются пластинами в различных картах , то P ∩ Q открыто как в P , так и в Q . ^[8] ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })\mid \alpha \in A\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$

Полезный способ переформулировать понятие когерентно расслоенных карт — записать для w ∈ U _α ∩ U _β ^[9]

${\displaystyle \varphi _{\alpha }(w)=\left(x_{\alpha }(w),y_{\alpha }(w)\right)\in B_{\tau }^{\alpha }\times B_{\pitchfork }^{\alpha },}$

${\displaystyle \varphi _{\beta }(w)=\left(x_{\beta }(w),y_{\beta }(w)\right)\in B_{\tau }^{\beta }\times B_{\pitchfork }^{\beta }.}$

Обозначение ( U _α , φ _α ) часто пишется ( U _α , x _α , y _α ), с ^[9]

${\displaystyle x_{\alpha }=\left(x_{\alpha }^{1},\dots ,x_{\alpha }^{p}\right),}$

${\displaystyle y_{\alpha }=\left(y_{\alpha }^{1},\dots ,y_{\alpha }^{q}\right).}$

На φ _β ( U _α ∩ U _β ) формулу координат можно изменить следующим образом ^[9]

${\displaystyle g_{\alpha \beta }\left(x_{\beta },y_{\beta }\right)=\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}\left(x_{\beta },y_{\beta }\right)=\left(x_{\alpha }\left(x_{\beta },y_{\beta }\right),y_{\alpha }\left(x_{\beta },y_{\beta }\right)\right).}$

Бляшки U _α встречаются каждая с двумя бляшками U _β .

Условие, что ( U _α , x _α , y _α ) и ( U _β , x _β , y _β ) должны быть когерентно расслоенными, означает, что если P ⊂ U _α является пластиной, то связные компоненты P ∩ U _β лежат в (возможно, различных) пластинах U _β . Эквивалентно, поскольку пластины U _α и U _β являются уровнями поперечных координат y _α и y _β , соответственно, каждая точка z ∈ U _α ∩ U _β имеет окрестность, в которой формула

${\displaystyle y_{\alpha }=y_{\alpha }(x_{\beta },y_{\beta })=y_{\alpha }(y_{\beta })}$

не зависит от x _β . ^[9]

Основное применение листовых атласов — связывание их перекрывающихся пластин для формирования листьев листочков. Для этих и других целей общее определение листового атласа выше немного неуклюже. Одна из проблем заключается в том, что пластинка ( U _α , φ _α ) может встречаться с несколькими пластинками ( U _β , φ _β ). Может даже случиться, что пластинка одной карты встречается с бесконечным количеством пластинок другой карты. Однако общность не теряется, если предположить, что ситуация гораздо более регулярна, как показано ниже.

Два расслоенных атласа и на M той же коразмерности и класса гладкости C ^r являются когерентными , если есть расслоенный C ^r -атлас. Связность расслоенных атласов является отношением эквивалентности. ^[9] ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle \left({\mathcal {U}}\thickapprox {\mathcal {V}}\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}\cup {\mathcal {V}}}$

Образцы карт в обычном атласе с листами.

Плаке и трансверсали, определенные выше на открытых множествах, также открыты. Но можно говорить и о замкнутых плаке и трансверсалях. А именно, если ( U , φ ) и ( W , ψ ) — расслоенные карты, такие, что ( замыкание U ) является подмножеством W и φ = ψ | U , то, если можно видеть, что , записанное , диффеоморфно переносится на ${\displaystyle {\overline {U}}}$ ${\displaystyle \varphi (U)=B_{\tau }\times B_{\pitchfork },}$ ${\displaystyle \psi |{\overline {U}}}$ ${\displaystyle {\overline {\varphi }}}$ ${\displaystyle {\overline {U}}}$ ${\displaystyle {\overline {B}}_{\tau }\times {\overline {B}}_{\pitchfork }.}$

Листовой атлас называется правильным , если

1. для каждого α ∈ A является компактным подмножеством слоеной карты ( W _α , ψ _α ) и φ _α = ψ _α | У _α ; ${\displaystyle {\overline {U}}_{\alpha }}$
2. покрытие { U _α | α ∈ A } локально конечно ;
3. если ( U _α , φ _α ) и ( U _β , φ _β ) являются элементами атласа с листочками, то внутренняя часть каждой замкнутой пластины P ⊂ пересекает не более одной пластины в ^[11] ${\displaystyle {\overline {U}}_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\overline {U}}_{\beta }.}$

По свойству (1) координаты x _α и y _α продолжаются до координат и на и можно записать Свойство (3) эквивалентно требованию, чтобы, если U _α ∩ U _β ≠ ∅, изменения поперечной координаты не зависели от То есть ${\displaystyle {\overline {x}}_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\overline {y}}_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\overline {U}}_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\overline {\varphi }}_{\alpha }=\left({\overline {x}}_{\alpha },{\overline {y}}_{\alpha }\right).}$ ${\displaystyle {\overline {y}}_{\alpha }={\overline {y}}_{\alpha }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right)}$ ${\displaystyle {\overline {x}}_{\beta }.}$

${\displaystyle {\overline {g}}_{\alpha \beta }={\overline {\varphi }}_{\alpha }\circ {\overline {\varphi }}_{\beta }^{-1}:{\overline {\varphi }}_{\beta }\left({\overline {U}}_{\alpha }\cap {\overline {U}}_{\beta }\right)\rightarrow {\overline {\varphi }}_{\alpha }\left({\overline {U}}_{\alpha }\cap {\overline {U}}_{\beta }\right)}$

имеет формулу ^[11]

${\displaystyle {\overline {g}}_{\alpha \beta }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right)=\left({\overline {x}}_{\alpha }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right),{\overline {y}}_{\alpha }\left({\overline {y}}_{\beta }\right)\right).}$

Аналогичные утверждения справедливы и для открытых карт (без надписей). Поперечную координатную карту y _α можно рассматривать как погружение

${\displaystyle y_{\alpha }:U_{\alpha }\rightarrow \mathbb {R} ^{q}}$

и формулы y _α = y _α ( y _β ) можно рассматривать как диффеоморфизмы

${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }:y_{\beta }\left(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\right)\rightarrow y_{\alpha }\left(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\right).}$

Они удовлетворяют условиям коцикла . То есть, на y _δ ( U _α ∩ U _β ∩ U _δ ),

${\displaystyle \gamma _{\alpha \delta }=\gamma _{\alpha \beta }\circ \gamma _{\beta \delta }}$

и, в частности, ^[12]

${\displaystyle \gamma _{\alpha \alpha }\equiv y_{\alpha }\left(U_{\alpha }\right),}$

${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }=\gamma _{\beta \alpha }^{-1}.}$

Используя приведенные выше определения связности и регулярности, можно доказать, что каждый атлас с листовым рисунком имеет связную детализацию , которая является регулярной. ^[13]

Определения фолиации

Существует несколько альтернативных определений фолиации в зависимости от способа, которым достигается фолиация. Наиболее распространенный способ достижения фолиации — это разложение , достигающее следующего

Разложение по координатной функции x  : U → R ⁿ .

Определение. P -мерное, класса C ^r слоение n -мерного многообразия M есть разложение M в объединение непересекающихся связных подмногообразий { L _α } _{α∈ A} , называемых слоями слоения, со следующим свойством: каждая точка в M имеет окрестность U и систему локальных, класса C ^r координат x =( x ¹ , ⋅⋅⋅, x ⁿ ) : U → R ⁿ таких, что для каждого слоя L _α компоненты U ∩ L _α описываются уравнениями x ^{p +1} =constant, ⋅⋅⋅, x ⁿ =constant. Слоение обозначается как ={ L _α } _{α∈ A} . ^[5] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Понятие листьев позволяет интуитивно представить себе слоение. Для немного более геометрического определения p -мерное слоение n -многообразия M можно рассматривать просто как набор { M _a } попарно непересекающихся, связных, погруженных p -мерных подмногообразий (листьев слоения) M , таких , что для каждой точки x в M существует карта с U , гомеоморфная R ^{n ,} содержащая x , такая, что каждый лист, M _a , пересекает U либо в пустом множестве, либо в счетном наборе подпространств, образы которых под in являются p -мерными аффинными подпространствами , первые n − p координаты которых постоянны. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle (U,\varphi )}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (M_{a}\cap U)}$

Локально каждое расслоение представляет собой погружение, допускающее следующее:

Определение. Пусть M и Q — многообразия размерности n и q ≤ n соответственно, и пусть f  : M → Q — погружение, то есть предположим, что ранг функционального дифференциала ( якобиан ) равен q . Из теоремы о неявной функции следует , что ƒ индуцирует слоение коразмерности q на M , где слои определяются как компоненты f ⁻¹ ( x ) для x ∈ Q . ^[5]

Это определение описывает размерность - p слоения n -мерного многообразия M , которое покрыто картами U _i вместе с картами ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \varphi _{i}:U_{i}\to \mathbb {R} ^{n}}$

таким образом, что для перекрывающихся пар U _i , U _j функции перехода φ _ij  : R ⁿ → R ⁿ определяются как

${\displaystyle \varphi _{ij}=\varphi _{j}\varphi _{i}^{-1}}$

принять форму

${\displaystyle \varphi _{ij}(x,y)=(\varphi _{ij}^{1}(x),\varphi _{ij}^{2}(x,y))}$

где x обозначает первые q = n − p координаты, а y обозначает последние p координат. То есть,

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{ij}^{1}:{}&\mathbb {R} ^{q}\to \mathbb {R} ^{q}\\\varphi _{ij}^{2}:{}&\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}\end{aligned}}}$

Разделение функций перехода φ _ij на и как часть погружения полностью аналогично разделению на и как часть определения регулярного фолиированного атласа. Это делает возможным другое определение фолиаций в терминах регулярных фолиированных атласов. Для этого сначала нужно доказать, что каждый регулярный фолиированный атлас коразмерности q связан с единственным фолиированием коразмерности q . ^[13] ${\displaystyle \varphi _{ij}^{1}(x)}$ ${\displaystyle \varphi _{ij}^{2}(x,y)}$ ${\displaystyle {\overline {g}}_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle {\overline {y}}_{\alpha }\left({\overline {y}}_{\beta }\right)}$ ${\displaystyle {\overline {x}}_{\alpha }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Как показано в доказательстве, листы слоения являются классами эквивалентности цепей пластин длины ≤ p , которые также являются топологически погруженными хаусдорфовыми p -мерными подмногообразиями . Далее показано, что отношение эквивалентности пластин на листе выражается в эквивалентности когерентных атласов с слоением относительно их ассоциации со слоением. Более конкретно, если и являются атласами с слоением на M и если связано со слоением, то и являются когерентными тогда и только тогда, когда также связано с . ^[10] ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Теперь очевидно, что соответствие между слоениями на M и их связанными слоеными атласами индуцирует взаимно-однозначное соответствие между множеством слоений на M и множеством классов когерентности слоеных атласов или, другими словами, слоение коразмерности q и класс C ^r на M является классом когерентности слоеных атласов коразмерности q и классом C ^r на M. ^[14] По лемме Цорна очевидно, что каждый класс когерентности слоеных атласов содержит единственный максимальный слоеный атлас. Таким образом, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Определение. Слоение коразмерности q и класса C ^r на M — это максимальный расслоенный C ^r -атлас коразмерности q на M. ^[14]

На практике для представления фолиации обычно используется сравнительно небольшой атлас с листами. Обычно также требуется, чтобы этот атлас был регулярным.

В карте U _i полосы x = const совпадают с полосами на других картах U _j . Эти подмногообразия собираются вместе от карты к карте, образуя максимальные связные инъективно погруженные подмногообразия, называемые листьями слоения.

Если сжать карту U _{i ,} то ее можно записать как U _ix × U _iy , где U _ix ⊂ R ^{n − p} , U _iy ⊂ R ^p , U _iy гомеоморфно пластинам, а точки U _ix параметризуют пластины в U _i . Если выбрать y ₀ в U _iy , то U _ix × { y ₀ } является подмногообразием U _i , которое пересекает каждую пластину ровно один раз. Это называется локальным трансверсальным сечением слоения. Обратите внимание, что из-за монодромии глобальные трансверсальные сечения слоения могут не существовать.

Случай r = 0 является довольно специальным. Те слоения C ⁰ , которые возникают на практике, обычно являются «гладколистными». Точнее, они принадлежат классу C ^{r ,0} , в следующем смысле.

Определение. Слоение принадлежит классу C ^r,k , r > k ≥ 0, если соответствующий класс согласованности атласов слоистых множеств содержит регулярный атлас слоистых множеств { U _α , x _α , y _α } _{α∈ A} такой, что формула замены координат ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle g_{\alpha \beta }(x_{\beta },y_{\beta })=(x_{\alpha }(x_{\beta },y_{\beta }),y_{\alpha }(y_{\beta })).}$

имеет класс C ^k , но x _α имеет класс C ^r в координатах x _β и его смешанные x _β парциальные функции порядков ≤  r имеют класс C ^k в координатах ( x _β , y _β ). ^[14]

Вышеприведенное определение предлагает более общую концепцию расслоенного пространства или абстрактной слоистости . Можно ослабить условие, что трансверсали должны быть открытыми, относительно компактными подмножествами R ^q , что позволяет трансверсальным координатам y _α принимать свои значения в некотором более общем топологическом пространстве Z . Плиты по-прежнему являются открытыми, относительно компактными подмножествами R ^p , формула изменения трансверсальных координат y _α ( y _β ) непрерывна и x _α ( x _β , y _β ) имеет класс C ^r в координатах x _β , а его смешанные парциалы x _β порядков ≤  r непрерывны в координатах ( x _β , y _β ). Обычно требуется, чтобы M и Z были локально компактными, счетными во второй степени и метризуемыми. Это может показаться довольно диким обобщением, но есть контексты, в которых это полезно. ^[15]

Холономия

Пусть ( M , ) будет расслоенным многообразием. Если L является листом, а s является путем в L , нас интересует поведение расслоения в окрестности s в M . Интуитивно, обитатель листа идет по пути s , следя за всеми близлежащими листьями. По мере того, как они (далее обозначаются как s ( t )) продвигаются, некоторые из этих листьев могут «отслаиваться», выходя из зоны видимости, другие могут внезапно войти в зону видимости и приближаться к L асимптотически, другие могут следовать за ними более или менее параллельно или обвиваться вокруг L сбоку и т. д . Если s является петлей, то s ( t ) многократно возвращается в ту же точку s ( t ₀ ), когда t стремится к бесконечности, и каждый раз все больше и больше листьев могут появляться в поле зрения или исчезать из него и т. д . Такое поведение, если его соответствующим образом формализовать, называется голономией расслоения. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Голономия реализуется на расслоенных многообразиях различными конкретными способами: полная группа голономии расслоенных расслоений, псевдогруппа голономии общих расслоенных многообразий, зародышевый группоид голономии общих расслоенных многообразий, зародышевая группа голономии листа и инфинитезимальная группа голономии листа.

Слоистые пучки

Самый простой для понимания случай голономии — полная голономия расслоенного расслоения. Это обобщение понятия отображения Пуанкаре .

Сечение N и отображение первого возврата f, где M = S ¹ × D ² и N = D ² .

Термин «отображение первого возврата (рекуррентности)» происходит из теории динамических систем. Пусть Φ _t будет несингулярным потоком C ^r ( r  ≥ 1) на компактном n -многообразии M . В приложениях можно представить, что M является циклотроном или некоторой замкнутой петлей с потоком жидкости. Если M имеет границу, поток предполагается касательным к границе. Поток порождает одномерное слоение . Если запомнить положительное направление потока, но в противном случае забыть параметризацию (форму траектории, скорость и т. д .), то лежащее в основе слоение называется ориентированным. Предположим, что поток допускает глобальное поперечное сечение N . То есть N является компактным, правильно вложенным подмногообразием C ^r M размерности n  – 1, слоение трансверсально N , и каждая линия потока пересекает N . Поскольку размерности N и листов являются дополнительными, условие трансверсальности заключается в том, что ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle T_{y}(M)=T_{y}({\mathcal {F}})\oplus T_{y}(N){\text{ for each }}y\in N.}$

Пусть y ∈ N и рассмотрим ω - предельное множество ω( y ) всех точек накопления в M всех последовательностей , где t _k стремится к бесконечности. Можно показать, что ω(y) компактно, непусто и является объединением линий потока. Если существует значение t * ∈ R такое, что Φ _{t *} ( z ) ∈ N и отсюда следует, что ${\displaystyle \left\{\Phi _{t_{k}}(y)\right\}_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle z=\lim _{k\rightarrow \infty }\Phi _{t_{k}}\in \omega (y),}$

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\Phi _{t_{k}+t^{\ast }}(y)=\Phi _{t^{\ast }}(z)\in N.}$

Так как N компактно и трансверсально N , то множество { t > 0 | Φ _t ( y ) ∈ N} представляет собой монотонно возрастающую последовательность , которая расходится к бесконечности. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \{\tau _{k}(y)\}_{k=1}^{\infty }}$

При изменении y ∈ N пусть τ ( y ) = τ ₁ ( y ), определяя таким образом положительную функцию τ ∈ C ^r ( N ​​) (время первого возврата) такую, что для произвольного y ∈ N , Φ _t ( y ) ∉ N , 0 < t < τ ( y ) и Φ _{τ ( y )} ( y ) ∈ N .

Определим f  : N → N по формуле f ( y ) = Φ _{τ ( y )} ( y ). Это отображение C ^r . Если поток обращен, точно такая же конструкция дает обратное f ⁻¹ ; поэтому f ∈ Diff ^r ( N ​​). Этот диффеоморфизм является отображением первого возврата, а τ называется временем первого возврата . Хотя время первого возврата зависит от параметризации потока, должно быть очевидно, что f зависит только от ориентированного слоения . Можно перепараметризовать поток Φ _t , сохранив его несингулярным, класса C ^r , и не меняя его направление на противоположное, так что  τ  ≡ 1. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Предположение о наличии поперечного сечения N для потока является весьма ограничительным, подразумевая, что M является полным пространством расслоения над S ¹ . Действительно, на R × N определим ~ _f как отношение эквивалентности, порожденное

${\displaystyle (t,y)\sim _{f}(t-1,f(y)).}$

Эквивалентно, это эквивалентность орбит для действия аддитивной группы Z на R × N, определяемая формулой

${\displaystyle k\cdot (t,y)=(t-k,f^{k}(y)),}$

для каждого k ∈ Z и для каждого ( t , y ) ∈ R × N. Цилиндр отображения f определяется как многообразие C ^r

${\displaystyle M_{f}=(\mathbb {R} \times N)/{\sim _{f}}.}$

По определению отображения первого возврата f и предположению, что время первого возврата равно τ ≡ 1, немедленно следует, что отображение

${\displaystyle \Phi :\mathbb {R} \times N\rightarrow M.}$

определяемый потоком, индуцирует канонический C ^r диффеоморфизм

${\displaystyle \varphi :M_{f}\rightarrow M.}$

Если мы сделаем отождествление M _f = M , то проекция R × N на R индуцирует отображение C ^r

${\displaystyle \pi :M\rightarrow \mathbb {R} /\mathbb {Z} =S^{1}}$

что превращает M в полное пространство расслоения над окружностью. Это просто проекция S ¹ × D ² на S ¹ . Слоение трансверсально слоям этого расслоения, а проекция расслоения  π , ограниченная каждым слоем L , является накрывающим отображением π  : L → S ¹ . Это называется расслоенным расслоением . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Возьмем в качестве базовой точки x ₀ ∈ S ¹ класс эквивалентности 0 + Z ; так что π ⁻¹ ( x ₀ ) является исходным сечением N . Для каждой петли s на S ¹ , основанной на x ₀ , гомотопический класс [ s ] ∈ π ₁ ( S ¹ , x ₀ ) однозначно характеризуется deg s ∈ Z . Петля s поднимается до пути в каждой линии потока, и должно быть ясно, что подъем s _y , который начинается в y ∈ N , заканчивается в f ^k ( y ) ∈ N , где k = deg s . Диффеоморфизм f ^k ∈ Diff ^r ( N ​​) также обозначается h _s и называется полной голономией петли s . Поскольку это зависит только от [ s ], это определение гомоморфизма

${\displaystyle h:\pi _{1}(S^{1},x_{0})\rightarrow \operatorname {Diff} ^{\,r}(N),}$

называемый полным гомоморфизмом голономии для расслоенного расслоения.

Используя расслоения более прямым образом, пусть ( M , ) будет расслоенным n -многообразием коразмерности q . Пусть π  : M → B будет расслоением с q -мерным слоем F и связным базовым пространством B . Предположим, что все эти структуры имеют класс C ^r , 0 ≤ r ≤ ∞, с условием, что если r = 0, B поддерживает структуру C ¹ . Поскольку каждый максимальный атлас C ^{1 на} B содержит податлас C ^∞ , общность не теряется при предположении, что B настолько гладко, насколько это требуется. Наконец, для каждого x ∈ B предположим, что существует связная открытая окрестность U ⊆ B точки x и локальная тривиализация ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\pi ^{-1}(U)&{\xrightarrow {\varphi }}&U\times {F}\\\scriptstyle {\pi }{\Bigg \downarrow }&{\qquad }&{\Bigg \downarrow }{\scriptstyle {p}}\\U&{\xrightarrow {\text{id}}}&U\end{matrix}}}$

где φ — диффеоморфизм C ^r (гомеоморфизм, если r = 0), который переводит в произведение слоение { U × { y }} _{y  ∈  F} . Здесь — слоение со слоями — связными компонентами L ∩ π ⁻¹ ( U ), где L пробегает слои . Это общее определение термина «расслоенное расслоение» ( M , ,π) класса C ^r . ${\textstyle {\mathcal {F}}\mid \pi ^{-1}(U)}$ ${\textstyle {\mathcal {F}}\mid \pi ^{-1}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}}$трансверсально слоям π (говорят, что трансверсально расслоению) и что ограничение π на каждый лист L является накрывающим отображением π : L → B . В частности, каждое волокно F _x = π ⁻¹ ( x ) пересекает каждый лист . Волокно является сечением в полной аналогии с понятием сечения потока. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Слоение, являющееся трансверсальным к волокнам, само по себе не гарантирует, что слои покрывают пространства B. Простая версия проблемы — это слоение R ² , трансверсальное к расслоению ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \pi :\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ,}$

${\displaystyle \pi (x,y)=x,}$

но с бесконечным количеством листьев, отсутствующих на оси y . На соответствующем рисунке подразумевается, что «стрелочные» листья и все, что над ними, являются асимптотическими к оси x = 0. Такое слоение называют неполным относительно расслоения, имея в виду, что некоторые из листьев «уходят в бесконечность», когда параметр x ∈ B приближается к некоторому x ₀ ∈ B . Точнее, может быть лист L и непрерывный путь s  : [0, a ) → L такой, что lim _{t → a −} π( s ( t )) = x ₀ ∈ B , но lim _{t → a −} s ( t ) не существует в топологии многообразия L . Это аналогично случаю неполных потоков, где некоторые линии потока «уходят в бесконечность» за конечное время. Хотя такой лист L может в другом месте встречаться с π ⁻¹ ( x ₀ ), он не может равномерно покрывать окрестность x ₀ , следовательно, не может быть покрывающим пространством B относительно π . Однако, когда F компактен, верно, что трансверсальность к расслоению гарантирует полноту, следовательно, это расслоенное расслоение. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\textstyle (M,{\mathcal {F}},\pi )}$

Существует атлас = { U _α , x _α } _α∈A на B , состоящий из открытых, связанных координатных карт вместе с тривиализациями φ _α  : π ⁻¹ ( U _α ) → U _α × F , которые переносят |π ⁻¹ ( U _α ) в слоение произведения. Положим W _α = π ⁻¹ ( U _α ) и запишем φ _α = ( x _α , y _α ) , где (злоупотребляя обозначениями) x _α представляет x _α ∘ π , а y _α  : π ⁻¹ ( U _α ) → F — погружение, полученное путем композиции φ _α с канонической проекцией U _α × F → F . ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Атлас = { W _α , x _α , y _α } _{α ∈ A} играет роль, аналогичную роли атласа с листовым слоем. Плиты W _α являются множествами уровня y _α , и это семейство пластин идентично F по y _α . Поскольку предполагается, что B поддерживает структуру C ^∞ , согласно теореме Уайтхеда можно зафиксировать риманову метрику на B и выбрать атлас так, чтобы он был геодезически выпуклым. Таким образом, U _α ∩ U _β всегда связно. Если это пересечение непусто, каждая пластина W _α пересекает ровно одну пластину W _β . Затем определим коцикл голономии , установив ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle \gamma =\left\{\gamma _{\alpha \beta }\right\}_{\alpha ,\beta \in A}}$

${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }=y_{\alpha }\circ y_{\beta }^{-1}:F\rightarrow F.}$

Примеры

Плоское пространство

Рассмотрим n -мерное пространство, расслоенное как произведение подпространств, состоящих из точек, чьи первые n − p координаты постоянны. Это можно покрыть одной диаграммой. По сути, утверждение состоит в том, что R ⁿ = R ^{n − p} × R ^p , где листья или пластины R ^p нумеруются как R ^{n − p} . Аналогия видна непосредственно в трех измерениях, если взять n = 3 и p = 2 : 2-мерные листья книги нумеруются (1-мерным) номером страницы.

Связки

Довольно тривиальным примером слоений являются произведения M = B × F , расслоенные слоями F _b = { b } × F , b ∈ B . (Другое слоение M задается как B _f = B × {  f  } ,   f   ∈ F .)

Более общим классом являются плоские G -расслоения с G = Homeo( F ) для многообразия F. При заданном представлении ρ  : π ₁ ( B ) → Homeo( F ) плоское Homeo( F ) -расслоение с монодромией ρ задается как , где π ₁ ( B ) действует на универсальном накрытии преобразованиями палубы и на F посредством представления ρ . ${\displaystyle M=\left({\widetilde {B}}\times F\right)/\pi _{1}B}$ ${\displaystyle {\widetilde {B}}}$

Плоские расслоения вписываются в рамки расслоений . Отображение π  : M → B между многообразиями является расслоением, если существует многообразие F такое, что каждое b ∈ B имеет открытую окрестность U такую, что существует гомеоморфизм с , с проекцией p ₁  : U × F → U на первый множитель. Расслоение дает слоение на волокна . Его пространство слоев L гомеоморфно B , в частности, L является хаусдорфовым многообразием. ${\displaystyle \varphi :\pi ^{-1}(U)\to U\times F}$ ${\displaystyle \pi =p_{1}\varphi }$ ${\displaystyle F_{b}:=\pi ^{-1}(\{b\}),b\in B}$

Покрытия

Если M → N — накрывающее отображение между многообразиями, а F — слоение на N , то оно возвращается к слоению на M. В более общем случае, если отображение представляет собой просто разветвленное покрытие , где ветвь ветвления трансверсальна слоению, то слоение можно вернуть.

Погружения

Если M ⁿ → N ^q , ( q ≤ n ) — погружение многообразий, то из теоремы об обратной функции следует , что связные компоненты слоев погружения определяют слоение коразмерности q многообразия M . Примером такого типа являются расслоения волокон .

Пример погружения, которое не является пучком волокон, приводится ниже.

${\displaystyle {\begin{cases}f:[-1,1]\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} \\f(x,y)=(x^{2}-1)e^{y}\end{cases}}}$

Это погружение дает слоение [−1, 1] × R , которое инвариантно относительно Z -действий, заданных как

${\displaystyle z(x,y)=(x,y+n),\quad {\text{or}}\quad z(x,y)=\left((-1)^{n}x,y\right)}$

для ( x , y ) ∈ [−1, 1] × R и n ∈ Z . Индуцированные слоения Z \ ([−1, 1] × R ) называются двумерным слоением Риба (кольца) соответственно двумерным неориентируемым слоением Риба (ленты Мёбиуса). Их листовые пространства не являются хаусдорфовыми.

Слоения Риба

Определить погружение

${\displaystyle {\begin{cases}f:D^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} \\f(r,\theta ,t):=(r^{2}-1)e^{t}\end{cases}}}$

где ( r , θ ) ∈ [0, 1] × S ^{n −1} — цилиндрические координаты на n -мерном диске D ⁿ . Это погружение дает слоение D ⁿ × R , которое инвариантно относительно Z -действий, заданных как

${\displaystyle z(x,y)=(x,y+z)}$

для ( x , y ) ∈ D ⁿ × R , z ∈ Z . Индуцированное слоение Z \ ( D ⁿ × R ) называется n -мерным слоением Риба . Его листовое пространство не является хаусдорфовым.

Для n = 2 это дает слоение полнотора, которое может быть использовано для определения слоения Риба 3-сферы путем склеивания двух полноторий вдоль их границы. Слоения нечетномерных сфер S ^{2 n +1} также явно известны. ^[16]

Группы Ли

Если G — группа Ли , а H — подгруппа Ли , то G расслаивается на смежные классы H. Когда H замкнуто в G , факторпространство G / H является гладким ( хаусдорфовым ) многообразием, превращающим G в расслоение со слоем H и базой G / H . Это расслоение на самом деле является главным со структурной группой H.

Действия группы лжи

Пусть G — группа Ли , действующая гладко на многообразии M. Если действие является локально свободным действием или свободным действием , то орбиты G определяют слоение M.

Линейные и кронекеровские слоения

Если — невырожденное ( т.е. нигде не равное нулю) векторное поле, то локальный поток, определяемый фрагментами, вместе определяет слоение размерности 1. Действительно, для произвольной точки x ∈ M тот факт, что является невырожденным, позволяет найти координатную окрестность ( U , x ¹ ,..., x ⁿ ) вокруг x такую, что ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$

${\displaystyle -\varepsilon <x^{i}<\varepsilon ,\quad 1\leq i\leq n,}$

и

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{1}}}={\tilde {X}}\mid U.}$

Геометрически линии потока — это просто уровни ${\displaystyle {\tilde {X}}\mid U}$

${\displaystyle x^{i}=c^{i},\quad 2\leq i\leq n,}$

где все Поскольку по соглашению многообразия являются вторично счетными, листовые аномалии, такие как «длинная линия», исключаются вторичной счетностью самого M. Трудность можно обойти, потребовав, чтобы было полным полем ( например , чтобы M было компактным), следовательно, чтобы каждый лист был линией потока. ${\displaystyle |c^{i}|<\varepsilon .}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$

Линейное слоение на R ² переходит в слоение на T ² . а) наклон рационален (линейное слоение); б) наклон иррационален (слоение Кронекера). ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {F}}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Иррациональное вращение на 2-торе.

Важный класс одномерных слоений на торе T ² выводится из проецирования постоянных векторных полей на T ² . Постоянное векторное поле

${\displaystyle {\tilde {X}}\equiv {\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}}$

на R ² инвариантно относительно всех переносов в R ² , следовательно, переходит в хорошо определенное векторное поле X при проекции на тор T ² = R ² / Z ² . Предполагается, что a ≠ 0. Слоение на R ^{2 ,} полученное с помощью , имеет как оставляет параллельные прямые линии наклона θ = b / a . Это слоение также инвариантно относительно переносов и переходит в слоение на T ^{2 ,} полученное с помощью X . ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {F}}}}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Каждый лист имеет форму ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {F}}}}$

${\displaystyle {\tilde {L}}=\{(x_{0}+ta,y_{0}+tb)\}_{t\in \mathbb {R} }.}$

Если наклон рационален, то все листы являются замкнутыми кривыми, гомеоморфными окружности . В этом случае можно взять a , b ∈ Z. Для фиксированного t ∈ R точки, соответствующие значениям t ∈ t ₀ + Z, все проецируются в одну и ту же точку T ² ; поэтому соответствующий лист L из является вложенной окружностью в T ² . Поскольку L произвольно, является слоением T ² на окружности. Довольно легко следует, что это слоение на самом деле является расслоением π : T ² → S ¹ . Это известно как линейное слоение . ${\displaystyle {\tilde {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Когда наклон θ = b / a иррационален , листы некомпактны, гомеоморфны некомпактифицированной действительной прямой и плотны в торе (ср. Иррациональное вращение ). Траектория каждой точки ( x ₀ , y ₀ ) никогда не возвращается в ту же точку, но порождает «всюду плотную» обмотку вокруг тора, т.е. приближается сколь угодно близко к любой заданной точке. Таким образом, замыкание траектории — это весь двумерный тор. Этот случай называется слоением Кронекера в честь Леопольда Кронекера и его

Теорема плотности Кронекера . Если действительное число θ отлично от каждого рационального кратного π, то множество { e ^inθ | n ∈ Z } плотно в единичной окружности.

Аналогичное построение с использованием слоения R ⁿ параллельными прямыми дает одномерное слоение n -тора R ⁿ / Z ^{n ,} связанное с линейным потоком на торе .

Подвесные слои

Плоский пучок имеет не только свое расслоение волокнами, но и поперечное волокнам расслоение, листья которого

${\displaystyle L_{f}:=\left\{p\left({\tilde {b}},f\right):{\tilde {b}}\in {\widetilde {B}}\right\},\quad {\mbox{ for }}f\in F,}$

где — каноническая проекция. Это расслоение называется надстройкой представления ρ  : π ₁ ( B ) → Homeo( F ) . ${\displaystyle p:{\widetilde {B}}\times F\to M}$

В частности, если B = S ¹ и является гомеоморфизмом F , то надстроечное слоение определяется как надстроечное слоение представления ρ  : Z → Homeo( F ), заданного формулой ρ ( z ) = Φ ^z . Его пространство листов равно L = /~ , где x ~ y всякий раз, когда y = Φ ⁿ ( x ) для некоторого n ∈ Z . ${\displaystyle \varphi :F\to F}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Простейшим примером слоения с помощью подвески является многообразие X размерности q . Пусть f  : X → X — биекция. Определяется подвеска M = S ¹ × _f X как фактор [0,1] × X по отношению эквивалентности (1, x ) ~ (0, f ( x )).

М = S1 × _fX = [0,1 ] × ^X

Тогда автоматически M несет два слоения: _2, состоящее из множеств вида F _{2, t} = {( t , x ) _~  : x ∈ X } и _1, состоящее из множеств вида F _{2, x 0} = {( t , x ) : t ∈ [0,1] , x ∈ O _{x 0} }, где орбита O _{x 0} определяется как ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

О _{х 0} = {..., f ⁻² ( х ₀ ), f ⁻¹ ( х ₀ ), х ₀ , f ( х ₀ ), f ² ( х ₀ ), ...},

где показатель степени относится к числу раз, когда функция f составлена ​​сама с собой. Обратите внимание, что O _{x 0} = O _{f ( x 0 )} = O _{f ⁻² ( x 0 )} и т. д., поэтому то же самое верно для F _{1, x 0} . Понимание слоения ₁ эквивалентно пониманию динамики отображения f . Если многообразие X уже слоено, можно использовать конструкцию для увеличения коразмерности слоения, пока f отображает листья в листья. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Слоения Кронекера 2-тора являются надстройками над вращениями R _α  : S ¹ → S ¹ на угол α ∈ [0, 2 π ).

Подвешивание тора с двумя отверстиями после разрезания и повторной склейки. а) Тор с двумя отверстиями с разрезаемыми секциями; б) геометрическая фигура после разрезания с четырьмя гранями.

Более конкретно, если Σ = Σ ₂ — это тор с двумя отверстиями, где C ¹ ,C ² ∈ Σ, то две вложенные окружности будут произведением слоения 3-многообразия M = Σ × S ¹ со слоями Σ × { y }, y ∈ S ¹ . Заметим, что N _i = C _i × S ¹ — это вложенный тор, трансверсальный N _i , i = 1,2. Пусть Diff ₊ ( S ¹ ) обозначает группу сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов S ¹ и выберем f ₁ , f ₂ ∈ Diff ₊ ( S ¹ ). Разрежем M вдоль N ₁ и N ₂ , позволив и обозначить полученные копии N _i , i = 1,2. В этой точке имеем многообразие M' = Σ' × S ₁ с четырьмя граничными компонентами. Слоение перешло в слоение, трансверсальное границе ∂ M' , каждый слой которого имеет вид Σ' × { y }, y ∈ S ¹ . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle N_{i}^{+}}$ ${\displaystyle N_{i}^{-}}$ ${\displaystyle \left\{N_{i}^{\pm }\right\}_{i=1,2}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F^{\prime }}}}$

Этот лист пересекает ∂ M' по четырем окружностям. Если z ∈ C _i , соответствующие точки в обозначаются z ^± и «переклеиваются» с помощью отождествления ${\displaystyle C_{i}^{\pm }\times \{y\}\subset N_{i}^{\pm }.}$ ${\displaystyle C_{i}^{\pm }}$ ${\displaystyle N_{i}^{-}}$ ${\displaystyle N_{i}^{+}}$

${\displaystyle (z^{-},y)\equiv (z^{+},f_{i}(y)),\quad i=1,2.}$

Поскольку f ₁ и f ₂ являются сохраняющими ориентацию диффеоморфизмами S ¹ , они изотопны тождеству, а многообразие, полученное этой операцией пересклеивания, гомеоморфно M . Однако листы восстанавливаются, образуя новое слоение ( f ₁ , f ₂ ) M . Если лист L из ( f ₁ , f ₂ ) содержит часть Σ' × { y ₀ }, то ${\displaystyle {\mathcal {F^{\prime }}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle L=\bigcup _{g\in G}\Sigma ^{\prime }\times \{g(y_{0})\},}$

где G ⊂ Diff ₊ ( S ¹ ) — подгруппа, порожденная { f ₁ , f ₂ }. Эти копии Σ' прикреплены друг к другу с помощью отождествлений

( z ⁻ , g ( y ₀ )) ≡ ( z ⁺ , f ₁ ( g ( y ₀ ))) для каждого z ∈ C ₁ ,

( z ⁻ , g ( y ₀ )) ≡ ( z ⁺ , f ₂ ( g ( y ₀ ))) для каждого z ∈ C ₂ ,

где g пробегает G . Лист полностью определяется G -орбитой y ₀ ∈ S ¹ и может быть простым или чрезвычайно сложным. Например, лист будет компактным точно, если соответствующая G -орбита конечна. В качестве крайнего примера, если G тривиален ( f ₁ = f ₂ = id _{S ¹} ), то ( f ₁ , f ₂ ) = . Если орбита плотна в S ¹ , соответствующий лист плотен в M . В качестве примера, если f ₁ и f ₂ являются вращениями через рационально независимые кратные 2π, каждый лист будет плотным. В других примерах некоторый лист L имеет замыкание , которое соответствует каждому фактору { w } × S ¹ в канторовом множестве . Аналогичные построения можно сделать на Σ × I , где I - компактный невырожденный интервал. Здесь берутся f ₁ , f ₂ ∈ Diff ₊ ( I ) и, поскольку ∂ I фиксируется поточечно всеми сохраняющими ориентацию диффеоморфизмами, получается слоение, имеющее два компонента ∂ M в качестве листов. Когда в этом случае формируется M' , получается слоеное многообразие с углами. В любом случае эта конструкция называется подвеской пары диффеоморфизмов и является плодотворным источником интересных примеров слоений коразмерности один. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\bar {L}}}$

Слоения и интегрируемость

При условии, что все гладко , существует тесная связь с векторными полями : если задано векторное поле X на M , которое никогда не равно нулю, его интегральные кривые дадут одномерное слоение (т.е. слоение коразмерности n − 1 ).

Это наблюдение обобщается до теоремы Фробениуса , утверждающей, что необходимые и достаточные условия для того, чтобы распределение (т. е. n − p- мерное подрасслоение касательного расслоения многообразия) касалось листов слоения, состоят в том, что множество векторных полей, касательных к распределению, замкнуто относительно скобки Ли . Можно также сформулировать это по-другому, как вопрос редукции структурной группы касательного расслоения из GL( n ) в приводимую подгруппу.

Условия в теореме Фробениуса появляются как условия интегрируемости ; и утверждение состоит в том, что если они выполнены, редукция может иметь место, поскольку существуют локальные функции перехода с требуемой блочной структурой. Например, в случае коразмерности 1 мы можем определить касательное расслоение слоения как ker( α ) для некоторого (неканонического) α ∈ Ω ¹ (т.е. ненулевого ковекторного поля). Данное α интегрируемо тогда и только тогда, когда α ∧ dα = 0 всюду.

Существует глобальная теория расслоения, поскольку существуют топологические ограничения. Например, в случае поверхности , всюду ненулевое векторное поле может существовать на ориентируемой компактной поверхности только для тора . Это следствие теоремы Пуанкаре–Хопфа об индексе , которая показывает, что эйлерова характеристика должна быть равна 0. Существует много глубоких связей с контактной топологией , которая является «противоположной» концепцией, требующей, чтобы условие интегрируемости никогда не выполнялось.

Существование слоений

Хефлигер (1970) дал необходимое и достаточное условие для того, чтобы распределение на связном некомпактном многообразии было гомотопно интегрируемому распределению. Терстон (1974, 1976) показал, что любое компактное многообразие с распределением имеет слоение той же размерности.

Смотрите также

• G-структура  – ​​структурная группа подрасслоения на касательном рамочном расслоенииPages displaying short descriptions of redirect targets
• Структура Хефлигера  – обобщение слоения, замкнутого относительно взятия обратных протяжек.
• Ламинирование  – Разделенное топологическое пространство
• Слоение Риба  — частное слоение 3-сферы, введенное французским математиком Жоржем Рибом Pages displaying wikidata descriptions as a fallback.
• Натянутая слоистость

Примечания

1. Кэндел и Конлон 2000, стр. 5
2. Аносов 2001
3. Гургулон 2012, стр. 56
4. Риб, Г. (1959), «Замечания о структурах фейлетеев» (PDF) , Bull. Соц. Математика. Франция , 87 : 445–450, doi : 10.24033/bsmf.1539 , Zbl  0122.41603
5. Лоусон 1974
6. Кэндел и Конлон 2000, стр. 19
7. Candel & Conlon 2000, стр. 20
8. Кэндел и Конлон 2000, стр. 23
9. Candel & Conlon 2000, стр. 25
10. Candel & Conlon 2000, стр. 26
11. Candel & Conlon 2000, стр. 27
12. Кэндел и Конлон 2000, стр. 28
13. Кэндел и Конлон 2000, стр. 29
14. Candel & Conlon 2000, стр. 31
15. Кэндел и Конлон 2000, стр. 32
16. Дёрфи, AH (1972), «Слоения нечетномерных сфер», Annals of Mathematics , вторая серия, 96 (2): 407–411, doi :10.2307/1970795, JSTOR  1970795

Ссылки

• Аносов, Д.В. (2001) [1994], «Расслоение», Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• Кандел, Альберто; Конлон, Лоуренс (2000), Слоения I , Аспирантура по математике, т. 23, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 0-8218-0809-5
• Кандел, Альберто; Конлон, Лоуренс (2003), Foliations II , Graduate Studies in Mathematics, т. 60, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 0-8218-0809-5
• Гургулон, Эрик (2012), 3+1 формализм в общей теории относительности, Lecture Notes in Physics, т. 846, Гейдельберг, Нью-Йорк, Дордрехт, Лондон: Springer , doi : 10.1007/978-3-642-24525-1, ISBN 978-3-642-24524-4
• Хефлигер, Андре (1970), «Feuilletages sur les variétés ouvertes», Топология , 9 (2): 183–194, doi : 10.1016/0040-9383(70)90040-6, ISSN  0040-9383, MR  0263104
• Лоусон, Х. Блейн (1974), «Слоения», Бюллетень Американского математического общества , 80 (3): 369–418, doi : 10.1090/S0002-9904-1974-13432-4 , ISSN  0002-9904, MR  0343289
• Мурдейк, Ике ; Мрчун, Дж. (2003), Введение в слоения и группоиды Ли , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 91, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-83197-0, MR  2012261
• Риб, Жорж (1952), Sur sometes proprietés topologiques des variétés feuilletées , Actualités Sci. Индиана, нет. 1183, Hermann & Cie., Париж, MR  0055692
• Терстон, Уильям (1974), «Теория слоений коразмерности больше единицы», Commentarii Mathematici Helvetici , 49 : 214–231, doi : 10.1007/BF02566730, ISSN  0010-2571, MR  0370619, S2CID  120603728
• Терстон, Уильям П. (1976), «Существование слоений коразмерности один», Annals of Mathematics , вторая серия, 104 (2): 249–268, doi :10.2307/1971047, ISSN  0003-486X, JSTOR  1971047, MR  0425985

Внешние ссылки

• Слоения в Атласе многообразий