В математике , в частности в геометрии инцидентности и особенно в проективной геометрии , полный четырехугольник — это система геометрических объектов, состоящая из любых четырех точек на плоскости , никакие три из которых не лежат на общей прямой , и из шести прямых, соединяющих шесть пар точек. Двойственно , полный четырехугольник — это система из четырех прямых, никакие три из которых не проходят через одну и ту же точку, и шести точек пересечения этих прямых. Полный четырехугольник был назван тетрастигмом Лакланом (1893), а полный четырехугольник был назван тетраграммой ; эти термины иногда используются до сих пор.
Шесть линий полного четырехугольника встречаются парами, образуя три дополнительные точки, называемые диагональными точками четырехугольника. Аналогично, среди шести точек полного четырехугольника есть три пары точек, которые еще не соединены линиями; отрезки прямых, соединяющие эти пары, называются диагоналями . Для точек и линий на евклидовой плоскости диагональные точки не могут лежать на одной прямой, а диагонали не могут иметь одну точку тройного пересечения. В связи с открытием плоскости Фано , конечной геометрии, в которой диагональные точки полного четырехугольника коллинеарны , некоторые авторы дополнили аксиомы проективной геометрии аксиомой Фано о том, что диагональные точки не коллинеарны, [1], в то время как другие были менее ограничительными.
Набор сокращенных выражений для частей полного четырехугольника был введен GB Halsted : Он называет вершины четырехугольника точками , а диагональные точки он называет кодотами . Линии проективного пространства называются прямыми , а в четырехугольнике они называются коннекторами . «Диагональные линии» Коксетера называются противоположными коннекторами Холстедом. Противоположные коннекторы пересекаются в кодоте. Конфигурация полного четырехугольника является тетрастимом . [ 2]
Как системы точек и прямых, в которых все точки принадлежат одному и тому же числу прямых, и все прямые содержат одинаковое число точек, полный четырехугольник и полный четырехугольник образуют проективные конфигурации ; в нотации проективных конфигураций полный четырехугольник записывается как (4 3 6 2 ), а полный четырехугольник записывается как (6 2 4 3 ), где числа в этой нотации относятся к количеству точек, прямых на точку, прямых и точек на прямую конфигурации. Проективно двойственный полный четырехугольник является полным четырехугольником, и наоборот. Для любых двух полных четырехугольников или любых двух полных четырехугольников существует единственное проективное преобразование, переводящее одну из двух конфигураций в другую. [3]
Карл фон Штаудт реформировал математические основы в 1847 году с полным четырехугольником, когда он заметил, что «гармоническое свойство» может быть основано на сопутствующих четырехугольнику условиях: когда каждая пара противоположных сторон четырехугольника пересекается на линии, то диагонали пересекают линию в проективных гармонически сопряженных позициях. Четыре точки на линии, вытекающие из сторон и диагоналей четырехугольника, называются гармоническим диапазоном . Благодаря перспективности и проективности гармоническое свойство является стабильным. Развитие современной геометрии и алгебры отмечает влияние фон Штаудта на Марио Пьери и Феликса Клейна .
На евклидовой плоскости четыре линии полного четырехугольника не должны включать в себя ни одной пары параллельных линий, так чтобы каждая пара линий имела точку пересечения.
Уэллс (1991) описывает несколько дополнительных свойств полных четырехугольников, которые включают метрические свойства евклидовой плоскости , а не являются чисто проективными. Средние точки диагоналей коллинеарны и (как доказал Исаак Ньютон ) также коллинеарны с центром коники , которая касается всех четырех прямых четырехугольника. Любые три из прямых четырехугольника образуют стороны треугольника; ортоцентры четырех треугольников, образованных таким образом, лежат на второй прямой, перпендикулярной прямой, проходящей через середины. Описанные окружности этих четырех треугольников пересекаются в точке. Кроме того, три окружности, имеющие диагонали в качестве диаметров, принадлежат общему пучку окружностей [4], ось которого является прямой, проходящей через ортоцентры.
Полярные окружности треугольников полного четырехугольника образуют коаксиальную систему. [5] : стр. 179