Интервал (математика)

Сложение x + a на числовой прямой. Все числа больше x и меньше x + a попадают в этот открытый интервал.

В математике действительный интервал — это множество всех действительных чисел, лежащих между двумя фиксированными конечными точками без «пробелов». Каждая конечная точка — это либо действительное число, либо положительная или отрицательная бесконечность , что указывает на то, что интервал продолжается без ограничений . Действительный интервал не может содержать ни одну из конечных точек, любую из конечных точек или обе конечные точки, за исключением любой конечной точки, которая бесконечна.

Например, множество действительных чисел, состоящее из $0$ , $1$ и всех чисел между ними, представляет собой интервал, обозначаемый $[0, 1]$ и называемый единичным интервалом ; множество всех положительных действительных чисел представляет собой интервал, обозначаемый $(0, \infty)$ ; множество всех действительных чисел представляет собой интервал, обозначаемый $(-\infty, \infty)$ ; и любое отдельное действительное число $a$ представляет собой интервал, обозначаемый $[a, a]$ .

Интервалы повсеместно встречаются в математическом анализе . Например, они неявно встречаются в эпсилон-дельта определении непрерывности ; теорема о промежуточном значении утверждает, что изображение интервала непрерывной функцией является интервалом; интегралы действительных функций определяются по интервалу и т. д.

Интервальная арифметика заключается в вычислениях с интервалами вместо действительных чисел для обеспечения гарантированной замкнутости результата числового вычисления, даже при наличии неопределенностей входных данных и ошибок округления .

Интервалы также определяются на произвольном полностью упорядоченном множестве, таком как целые числа или рациональные числа . Обозначение целочисленных интервалов рассматривается в специальном разделе ниже.

Определения и терминология

Интервал — это подмножество действительных чисел , содержащее все действительные числа, лежащие между любыми двумя числами подмножества.

Конечные точки интервала — это его супремум и инфимум , если они существуют как действительные числа. ^[1] Если инфимум не существует, часто говорят, что соответствующая конечная точка — Аналогично, если супремум не существует, говорят, что соответствующая конечная точка — $-\infty .$ $+\infty .$

Интервалы полностью определяются их конечными точками и тем, принадлежит ли каждая конечная точка интервалу. Это следствие свойства наименьшей верхней границы действительных чисел. Эта характеристика используется для указания интервалов с помощьюинтервальная нотация , которая описана ниже.

АнОткрытый интервал не включает в себя конечную точку и указывается в скобках.^[2]Например,это интервал всех действительных чисел больше $0$ и меньше $1.$ (Этот интервал также может быть обозначен как $]0, 1[$ , см. ниже). Открытый интервал $(0, +\infty)$ состоит из действительных чисел больше $0$ , т. е. положительных действительных чисел. Таким образом, открытые интервалы являются одной из форм $(0,1)=\{x\mid 0<x<1\}$

{\begin{aligned}(a,b)&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\},\\(-\infty ,b)&=\{x\in \mathbb {R} \mid x<b\},\\(a,+\infty )&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\},\\(-\infty ,+\infty )&=\mathbb {R} ,\end{aligned}}

где и — действительные числа, такие что Когда в первом случае результирующий интервал — это пустое множество , которое является вырожденным интервалом (см. ниже). Открытые интервалы — это те интервалы, которые являются открытыми множествами для обычной топологии на действительных числах. $a$ $b$ $a\leq b.$ $a=b$ $(a,a)=\varnothing ,$

АЗамкнутый интервал — это интервал, включающий все свои конечные точки, который обозначается квадратными скобками.^[2]Например, $[0, 1]$ означает больше или равно $0$ и меньше или равно $1.$ Замкнутые интервалы имеют одну из следующих форм, в которой $a$ и $b$ — действительные числа, такие что $a\leq b\colon$

[a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}

Закрытые интервалы — это те интервалы, которые являются замкнутыми множествами для обычной топологии на действительных числах. Пустое множество и — это единственные интервалы, которые являются как открытыми, так и замкнутыми. $\mathbb {R}$

АПолуоткрытый интервал имеет две конечные точки и включает только одну из них. Он называетсялево-открытымилиправо-открытымв зависимости от того, находится ли исключенная конечная точка слева или справа. Эти интервалы обозначаются путем смешивания обозначений для открытых и закрытых интервалов.^[3]Например, $(0, 1]$ означает больше $0$ и меньше или равно $1$ , тогда как $[0, 1)$ означает больше или равно $0$ и меньше $1.$ Полуоткрытые интервалы имеют вид

{\begin{aligned}\left(a,b\right]&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\leq b\},\\\left[a,b\right)&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x<b\},\\\left[a,+\infty \right)&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\},\\\left(-\infty ,b\right]&=\{x\in \mathbb {R} \mid x\leq b\}.\end{aligned}}

Каждый замкнутый интервал является замкнутым множеством действительной прямой , но интервал, который является замкнутым множеством, не обязательно является замкнутым интервалом. Например, интервалы и также являются замкнутыми множествами действительной прямой. Интервалы и не являются ни открытым множеством, ни замкнутым множеством. Если допустить, что конечная точка на замкнутой стороне будет бесконечностью (например, $(0,+\infty]$ , результат не будет интервалом, поскольку он даже не является подмножеством действительных чисел. Вместо этого результат можно рассматривать как интервал на расширенной действительной прямой , что встречается , например, в теории меры . $(-\infty ,b]$ $[a,+\infty )$ $(a,b]$ $[a,b)$

Подводя итог, можно сказать, что множество действительных чисел является интервалом тогда и только тогда, когда оно является открытым интервалом, закрытым интервалом или полуоткрытым интервалом. ^[4]^[5]

Авырожденный интервал — это любойнабор, состоящий из одного действительного числа(т. е. интервал вида $[a, a]$ ).^[6]Некоторые авторы включают пустое множество в это определение. Действительный интервал, который не является ни пустым, ни вырожденным, называетсясобственными имеет бесконечно много элементов.

Интервал называется ограниченным слева или ограниченным справа , если существует некоторое действительное число, которое соответственно меньше или больше всех его элементов. Интервал называется ограниченным , если он ограничен как слева, так и справа; и неограниченным в противном случае. Интервалы, ограниченные только с одного конца, называются полуограниченными . Пустое множество ограничено, а множество всех действительных чисел является единственным интервалом, который неограничен с обоих концов. Ограниченные интервалы также обычно называют конечными интервалами .

Ограниченные интервалы являются ограниченными множествами в том смысле, что их диаметр (равный абсолютной разности между конечными точками) конечен. Диаметр может называться длиной , шириной , мерой , диапазоном или размером интервала. Размер неограниченных интервалов обычно определяется как $+\infty$ , а размер пустого интервала может быть определен как $0$ (или оставлен неопределенным).

Центр ( средняя точка ) ограниченного интервала с концами $a$ и $b$ равен $($ $a$ $+$ $b$ $)/2$ , а его радиус равен половине длины $|$ $a$ $-$ $b$ $|/2$ . Эти понятия не определены для пустых или неограниченных интервалов.

Интервал называется открытым слева, если и только если он не содержит минимума (элемента, который меньше всех других элементов); открытым справа, если он не содержит максимума ; и открытым , если он не содержит ни того, ни другого. Интервал $[0, 1) = {x | 0 \leq x < 1}$ , например, является закрытым слева и открытым справа. Пустое множество и множество всех действительных чисел являются как открытыми, так и закрытыми интервалами, в то время как множество неотрицательных действительных чисел является закрытым интервалом, который является открытым справа, но не открытым слева. Открытые интервалы являются открытыми множествами действительной прямой в ее стандартной топологии и образуют базу открытых множеств.

Интервал называется замкнутым слева, если он имеет минимальный элемент или не ограничен слева, замкнутым справа, если он имеет максимальный элемент или не ограничен справа; он просто замкнут, если он одновременно замкнут слева и замкнут справа. Таким образом, замкнутые интервалы совпадают с замкнутыми множествами в этой топологии.

Внутренняя часть интервала $I$ — это наибольший открытый интервал, содержащийся в $I$ ; это также множество точек в $I$ , которые не являются конечными точками $I.$ Замыкание $I$ — это наименьший закрытый интервал, содержащий $I$ ; которое также является множеством $I,$ дополненным его конечными конечными точками .

Для любого множества $X$ действительных чисел интервальная оболочка или диапазон интервала X $является$ уникальным интервалом, который содержит $X$ и не содержит в себе никаких других интервалов, которые также содержат $X.$

Интервал $I$ является подынтервалом интервала $J$ $,$ если $I$ является подмножеством J. Интервал $I$ является собственным подынтервалом $J$ $,$ если $I$ является собственным подмножеством J.

Однако существует противоречивая терминология для терминов сегмент и интервал , которые использовались в литературе двумя по сути противоположными способами, что приводит к двусмысленности при использовании этих терминов. Энциклопедия математики ^[7] определяет интервал (без квалификатора) как исключающий обе конечные точки (т. е. открытый интервал), а сегмент как включающий обе конечные точки (т. е. закрытый интервал), в то время как Принципы математического анализа Рудина ^[8] называют множества вида [ a , b ] интервалами , а множества вида ( a , b ) сегментами повсюду. Эти термины, как правило, появляются в старых работах; современные тексты все больше отдают предпочтение термину интервал (квалифицируемому как открытый , закрытый или полуоткрытый ), независимо от того, включены ли конечные точки.

Обозначения интервалов

Интервал чисел между $a$ и $b$ , включая $a$ и $b$ , часто обозначается $[a, b]$ . Два числа называются конечными точками интервала. В странах, где числа записываются с десятичной запятой , в качестве разделителя может использоваться точка с запятой, чтобы избежать двусмысленности .

Включение или исключение конечных точек

Чтобы указать, что одна из конечных точек должна быть исключена из набора, соответствующую квадратную скобку можно заменить круглой скобкой или перевернуть. Обе нотации описаны в Международном стандарте ISO 31-11 . Таким образом, в нотации конструктора набора ,

{\begin{aligned}(a,b)={\mathopen {]}}a,b{\mathclose {[}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\},\\[5mu][a,b)={\mathopen {[}}a,b{\mathclose {[}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x<b\},\\[5mu](a,b]={\mathopen {]}}a,b{\mathclose {]}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\leq b\},\\[5mu][a,b]={\mathopen {[}}a,b{\mathclose {]}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}.\end{aligned}}

Каждый интервал $(a, a)$ , $[a, a)$ и $(a, a]$ представляет собой пустое множество , тогда как $[a, a]$ обозначает одноэлементное множество ${a}$ . Когда $a > b$ , все четыре обозначения обычно используются для представления пустого множества.

Оба обозначения могут пересекаться с другими применениями скобок и квадратных скобок в математике. Например, обозначение $(a, b)$ часто используется для обозначения упорядоченной пары в теории множеств, координат точки или вектора в аналитической геометрии и линейной алгебре или (иногда) комплексного числа в алгебре . Вот почему Бурбаки ввел обозначение $]$ $a$ $,$ $b$ $[$ для обозначения открытого интервала. ^[9] Обозначение $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ также иногда используется для упорядоченных пар, особенно в информатике .

Некоторые авторы, такие как Ив Тийе, используют $] a, b [$ для обозначения дополнения интервала $(a, b)$ ; а именно, множества всех действительных чисел, которые либо меньше или равны $a$ , либо больше или равны $b$ .

Бесконечные конечные точки

В некоторых контекстах интервал может быть определен как подмножество расширенных действительных чисел , множество всех действительных чисел, дополненное с помощью $-\infty$ и $+\infty$ .

В этой интерпретации обозначения $[-\infty, b]$ , $(-\infty, b]$ , $[a, +\infty]$ и $[a, +\infty)$ являются осмысленными и различимыми. В частности, $(-\infty, +\infty)$ обозначает множество всех обычных действительных чисел, тогда как $[-\infty, +\infty]$ обозначает расширенные действительные числа.

Даже в контексте обычных вещественных чисел можно использовать бесконечную конечную точку, чтобы указать, что в этом направлении нет границ. Например, $(0, +\infty)$ — это множество положительных вещественных чисел , также записываемое как Контекст влияет на некоторые из приведенных выше определений и терминологии. Например, интервал $(-\infty, +\infty)$ = замкнут в области обычных вещественных чисел, но не в области расширенных вещественных чисел. $\mathbb {R} _{+}.$ $\mathbb {R}$

Целочисленные интервалы

Когда $a$ и $b$ являются целыми числами , нотация ⟦ a, b ⟧ или $[a .. b]$ или ${a .. b}$ или просто $a .. b$ иногда используется для указания интервала всех целых чисел между $a$ и $b$ включительно. Нотация $[a .. b]$ используется в некоторых языках программирования ; в Pascal , например, она используется для формального определения типа поддиапазона, чаще всего используемого для указания нижней и верхней границ допустимых индексов массива .

Другой способ интерпретации целочисленных интервалов — это как множеств, определяемых перечислением , с использованием многоточия .

Целочисленный интервал, имеющий конечную нижнюю или верхнюю конечную точку, всегда включает эту конечную точку. Поэтому исключение конечных точек можно явно обозначить, написав $a .. b - 1$ , $a + 1 .. b$ , или $a + 1 .. b - 1$ . Альтернативные скобочные обозначения, такие как $[a .. b)$ или $[a .. b [ ,$ редко используются для целочисленных интервалов. ^{[ необходима цитата ]}

Характеристики

Интервалы — это в точности связные подмножества Из этого следует, что образ интервала любой непрерывной функцией от до также является интервалом. Это одна из формулировок теоремы о промежуточном значении . $\mathbb {R} .$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

Интервалы также являются выпуклыми подмножествами . Интервальное окружение подмножества также является выпуклой оболочкой $\mathbb {R} .$ $X\subseteq \mathbb {R}$ $X.$

Замыкание интервала является объединением интервала и множества его конечных концов, и, следовательно, также является интервалом. (Последнее также следует из того факта, что замыкание каждого связного подмножества топологического пространства является связным подмножеством.) Другими словами, мы имеем ^[10]

\operatorname {cl} (a,b)=\operatorname {cl} (a,b]=\operatorname {cl} [a,b)=\operatorname {cl} [a,b]=[a,b],

\operatorname {cl} (a,+\infty )=\operatorname {cl} [a,+\infty )=[a,+\infty ),

\operatorname {cl} (-\infty ,a)=\operatorname {cl} (-\infty ,a]=(-\infty ,a],

\operatorname {cl} (-\infty ,+\infty )=(-\infty ,\infty ).

Пересечение любого набора интервалов всегда является интервалом. Объединение двух интервалов является интервалом тогда и только тогда, когда они имеют непустое пересечение или открытая конечная точка одного интервала является закрытой конечной точкой другого, например $(a,b)\cup [b,c]=(a,c].$

Если рассматривать как метрическое пространство , то его открытые шары — это открытые ограниченные интервалы $($ $c$ $+$ $r$ $,$ $c$ $-$ $r$ $)$ , а его закрытые шары — это замкнутые ограниченные интервалы $[$ $c$ $+$ $r$ $,$ $c$ $-$ $r$ $]$ . В частности, метрическая и порядковая топологии в вещественной прямой совпадают, что является стандартной топологией вещественной прямой. $\mathbb {R}$

Любой элемент $x$ интервала $I$ определяет разбиение $I$ на три непересекающихся интервала $I$ ₁ , $I$ ₂ , $I$ ₃ : соответственно, элементы $I ,$ которые меньше $x$ , синглтон и элементы, которые больше $x$ . Части $I$ ₁ и $I$ ₃ обе непусты (и имеют непустые внутренности), если и только если $x$ находится внутри $I$ . Это интервальная версия принципа трихотомии . $[x,x]=\{x\},$

Диадические интервалы

Двоичный интервал — это ограниченный действительный интервал, конечные точки которого и где и являются целыми числами. В зависимости от контекста любая из конечных точек может быть включена или не включена в интервал. ${\tfrac {j}{2^{n}}}$ ${\tfrac {j+1}{2^{n}}},$ $j$ $n$

Двоичные интервалы обладают следующими свойствами:

Длина двоичного интервала всегда равна целой степени двойки.
Каждый диадический интервал содержится ровно в одном диадическом интервале вдвое большей длины.
Каждый диадический интервал охватывается двумя диадическими интервалами половинной длины.
Если два открытых диадических интервала перекрываются, то один из них является подмножеством другого.

Следовательно, диадические интервалы имеют структуру, отражающую структуру бесконечного двоичного дерева .

Двоичные интервалы имеют отношение к нескольким областям численного анализа, включая адаптивное уточнение сетки , многосеточные методы и вейвлет-анализ . Другим способом представления такой структуры является p-адический анализ (для $p = 2$ ). ^[11]

Обобщения

Шарики

Открытый конечный интервал — это одномерный открытый шар с центром в точке и радиусом Закрытый конечный интервал — это соответствующий замкнутый шар, а две конечные точки интервала образуют 0-мерную сферу . Обобщённый на -мерное евклидово пространство , шар — это множество точек, расстояние от центра которых меньше радиуса. В 2-мерном случае шар называется диском . $(a,b)$ ${\tfrac {1}{2}}(a+b)$ ${\tfrac {1}{2}}(b-a).$ $[a,b]$ $\{a,b\}$ $n$

Если полупространство рассматривать как своего рода вырожденный шар (без четко определенного центра или радиуса), то полупространство можно рассматривать как аналог полуограниченного интервала, граничная плоскость которого представляет собой (вырожденную) сферу, соответствующую конечной конечной точке.

Многомерные интервалы

Конечный интервал — это (внутренняя часть) одномерного гиперпрямоугольника . Обобщенный на вещественное координатное пространство выровненный по осям гиперпрямоугольник (или ящик) — это декартово произведение конечных интервалов. Для этого есть прямоугольник ; для этого есть прямоугольный кубоид (также называемый « ящиком »). $\mathbb {R} ^{n},$ $n$ $n=2$ $n=3$

Допуская сочетание открытых, закрытых и бесконечных конечных точек, декартово произведение любых интервалов иногда называют -мерным интервалом . ^[^{необходима цитата}^] $n$ $I=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}$ $n$

Грань такого интервала является результатом замены любого невырожденного фактора интервала вырожденным интервалом, состоящим из конечной конечной точки Грани включают себя и все грани его граней. Углы являются гранями, которые состоят из одной точки ^[^{требуется ссылка}^] $I$ $I_{k}$ $I_{k}.$ $I$ $I$ $I$ $\mathbb {R} ^{n}.$

Выпуклые многогранники

Любой конечный интервал может быть построен как пересечение полуограниченных интервалов (при этом пустое пересечение подразумевает всю вещественную прямую), а пересечение любого числа полуограниченных интервалов является (возможно, пустым) интервалом. Обобщенное на -мерное аффинное пространство , пересечение полупространств (произвольной ориентации) является (внутренностью) выпуклого многогранника или в 2-мерном случае выпуклого многоугольника . $n$

Домены

Открытый интервал — это связное открытое множество действительных чисел. Обобщенное на топологические пространства в целом, непустое связное открытое множество называется доменом .

Сложные интервалы

Интервалы комплексных чисел можно определить как области комплексной плоскости , как прямоугольные , так и круговые . ^[12]

Интервалы в частично упорядоченных множествах и предупорядоченных множествах

Определения

Понятие интервалов может быть определено в произвольных частично упорядоченных множествах или, более общо, в произвольных предупорядоченных множествах . Для предупорядоченного множества и двух элементов аналогично определяются интервалы ^[13]^{: 11, Определение 11} $(X,\lesssim )$ $a,b\in X,$

(a,b)=\{x\in X\mid a<x<b\},

[a,b]=\{x\in X\mid a\lesssim x\lesssim b\},

(a,b]=\{x\in X\mid a<x\lesssim b\},

[a,b)=\{x\in X\mid a\lesssim x<b\},

(a,\infty )=\{x\in X\mid a<x\},

[a,\infty )=\{x\in X\mid a\lesssim x\},

(-\infty ,b)=\{x\in X\mid x<b\},

(-\infty ,b]=\{x\in X\mid x\lesssim b\},

(-\infty ,\infty )=X,

где означает На самом деле интервалы с одной или без конечных точек такие же, как интервалы с двумя конечными точками в большем предварительно упорядоченном наборе $x<y$ $x\lesssim y\not \lesssim x.$

{\bar {X}}=X\sqcup \{-\infty ,\infty \}

-\infty <x<\infty \qquad (\forall x\in X)

определяется путем добавления новых наименьших и наибольших элементов (даже если таковые имеются), которые являются подмножествами В случае можно взять расширенную действительную прямую . $X.$ $X=\mathbb {R}$ ${\bar {\mathbb {R} }}$

Выпуклые множества и выпуклые компоненты в теории порядка

Подмножество предупорядоченного множества является (порядково)выпуклым , если для каждого и каждого мы имеем В отличие от случая действительной линии, выпуклое множество предупорядоченного множества не обязательно должно быть интервалом. Например, в полностью упорядоченном множестве рациональных чисел множество $A\subseteq X$ $(X,\lesssim )$ $x,y\in A$ $x\lesssim z\lesssim y$ $z\in A.$ $(\mathbb {Q} ,\leq )$

\mathbb {Q} =\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}<2\}

является выпуклым, но не интервалом, поскольку в нем нет квадратного корня из двух $\mathbb {Q} ,$ $\mathbb {Q} .$

Пусть будет предупорядоченным множеством и пусть Выпуклые множества из , содержащиеся в , образуют частично упорядоченное множество при включении. Максимальный элемент этого частично упорядоченного множества называется выпуклым компонентом [ ^14]^{: Определение 5.1}^[15]^{: 727} По лемме Цорна любое выпуклое множество из , содержащееся в , содержится в некотором выпуклом компоненте , но такие компоненты не обязательно должны быть уникальными. В полностью упорядоченном множестве такой компонент всегда уникален. То есть выпуклые компоненты подмножества полностью упорядоченного множества образуют разбиение . $(X,\lesssim )$ $Y\subseteq X.$ $X$ $Y$ $Y.$ $X$ $Y$ $Y,$

Характеристики

Обобщение характеристик действительных интервалов следует. Для непустого подмножества линейного континуума следующие условия эквивалентны. ^[16]^{: 153, Теорема 24.1} $I$ $(L,\leq ),$

Множество представляет собой интервал. $I$
Множество является порядково-выпуклым. $I$
Множество является связным подмножеством, если наделено топологией порядка . $I$ $L$

Для подмножества решетки следующие условия эквивалентны . $S$ $L,$

Множество является подрешеткой и (порядково)выпуклым множеством. $S$
Существует идеал и фильтр, такие что $I\subseteq L$ $F\subseteq L$ $S=I\cap F.$

Приложения

В общей топологии

Каждое тихоновское пространство вложимо в произведение замкнутых единичных интервалов. На самом деле, каждое тихоновское пространство, имеющее базу мощности , вложимо в произведение копий интервалов. ^[17]^{: стр. 83, теорема 2.3.23} $[0,1].$ $\kappa$ $[0,1]^{\kappa }$ $\kappa$

Понятия выпуклых множеств и выпуклых компонентов используются в доказательстве того, что каждое полностью упорядоченное множество, наделенное топологией порядка, является совершенно нормальным ^[15] или, более того, монотонно нормальным ^[14] .

Топологическая алгебра

Интервалы могут быть связаны с точками плоскости, и, следовательно, области интервалов могут быть связаны с областями плоскости. Как правило, интервал в математике соответствует упорядоченной паре $(x, y),$ взятой из прямого произведения действительных чисел с самим собой, где часто предполагается, что $y$ $>$ $x$ . В целях математической структуры это ограничение отбрасывается ^[18] и допускаются «обратные интервалы», где $y$ $-$ $x$ $< 0.$ Тогда совокупность всех интервалов $[$ $x$ $,$ $y$ $]$ можно отождествить с топологическим кольцом, образованным прямой суммой с самим собой, где сложение и умножение определяются покомпонентно. $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

Алгебра прямой суммы имеет два идеала , { [ x , 0] : x ∈ R } и { [0, y ] : y ∈ R }. Единичным элементом этой алгебры является сжатый интервал $[1, 1]$ . Если интервал $[$ $x$ $,$ $y$ $]$ не содержится ни в одном из идеалов, то он имеет мультипликативный обратный $[1/$ $x$ $, 1/$ $y$ $]$ . Наделенная обычной топологией , алгебра интервалов образует топологическое кольцо . Группа единиц этого кольца состоит из четырех квадрантов, определяемых осями, или идеалами в данном случае. Единичным компонентом этой группы является квадрант I. $(\mathbb {R} \oplus \mathbb {R} ,+,\times )$

Каждый интервал можно считать симметричным интервалом вокруг его середины . В реконфигурации, опубликованной в 1956 году М. Вармусом, ось «сбалансированных интервалов» $[x, - x]$ используется вместе с осью интервалов $[x, x]$ , которые сводятся к точке. Вместо прямой суммы кольцо интервалов было идентифицировано ^[19] с гиперболическими числами М. Вармусом и Д. Х. Лемером посредством идентификации $R\oplus R,$

z={\tfrac {1}{2}}(x+y)+{\tfrac {1}{2}}(x-y)j,

где $j^{2}=1.$

Это линейное отображение плоскости, представляющее собой кольцевой изоморфизм , наделяет плоскость мультипликативной структурой, имеющей некоторые аналогии с обычной комплексной арифметикой, например, полярное разложение .

Смотрите также

Ссылки

^ Берцекас, Димитрий П. (1998). Оптимизация сети: непрерывные и дискретные методы. Athena Scientific. стр. 409. ISBN 1-886529-02-7.
^ ab Strichartz, Robert S. (2000). Путь анализа. Jones & Bartlett Publishers. стр. 86. ISBN 0-7637-1497-6.
^ Weisstein, Eric W. "Interval". mathworld.wolfram.com . Получено 2020-08-23 .
^ "Интервал и отрезок", Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
^ Тао, Теренс (2016). Анализ I. Тексты и чтения по математике. Т. 37 (3-е изд.). Сингапур: Springer. стр. 212. doi :10.1007/978-981-10-1789-6. ISBN 978-981-10-1789-6. ISSN 2366-8725. LCCN 2016940817.См. Определение 9.1.1.
^ Крамер, Харальд (1999). Математические методы статистики. Princeton University Press. стр. 11. ISBN 0691005478.
^ "Интервал и отрезок - Энциклопедия математики". encyclopediaofmath.org . Архивировано из оригинала 2014-12-26 . Получено 2016-11-12 .
^ Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа . Нью-Йорк: McGraw-Hill. С. 31. ISBN 0-07-054235-X.
^ «Почему американская и французская нотация различаются для открытых интервалов (x, y) и ]x, y[?». hsm.stackexchange.com . Получено 28 апреля 2018 г. .
^ Тао (2016), стр. 214, см. Лемму 9.1.12.
^ Козырев, Сергей (2002). «Теория вейвлетов как p-адический спектральный анализ». Известия РАН. Сер. Матем. 66 (2): 149–158. arXiv : math-ph/0012019 . Bibcode :2002IzMat..66..367K. doi :10.1070/IM2002v066n02ABEH000381. S2CID 16796699 . Получено 05.04.2012 .
^ Комплексная интервальная арифметика и ее приложения, Миодраг Петкович, Лиляна Петкович, Wiley-VCH, 1998, ISBN 978-3-527-40134-5
^ Винд, Карл (2003). Независимость, аддитивность, неопределенность . Исследования по экономической теории. Т. 14. Берлин: Springer. doi :10.1007/978-3-540-24757-9. ISBN 978-3-540-41683-8. Збл 1080.91001.
^ ab Heath, RW; Lutzer, David J.; Zenor, PL (1973). «Монотонно нормальные пространства». Transactions of the American Mathematical Society . 178 : 481–493. doi : 10.2307/1996713 . ISSN 0002-9947. JSTOR 1996713. MR 0372826. Zbl 0269.54009.
^ ab Steen, Lynn A. (1970). «Прямое доказательство того, что линейно упорядоченное пространство наследственно коллекционно нормально». Труды Американского математического общества . 24 (4): 727–728. doi : 10.2307/2037311 . ISSN 0002-9939. JSTOR 2037311. MR 0257985. Zbl 0189.53103.
^ Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001.
^ Engelking, Ryszard (1989). Общая топология . Sigma Series in Pure Mathematics. Том 6 (исправленное и дополненное издание). Берлин: Heldermann Verlag. ISBN 3-88538-006-4. MR 1039321. Zbl 0684.54001.
^ Kaj Madsen (1979) Обзор книги «Интервальный анализ в расширенном интервальном пространстве» Эдгара Каучера ^{[ постоянная мертвая ссылка ]} из Mathematical Reviews
^ DH Lehmer (1956) Обзор "Исчисления приближений" ^{[ постоянная мертвая ссылка ]} из Mathematical Reviews

Библиография

T. Sunaga, «Теория интервальной алгебры и ее применение в численном анализе» Архивировано 09.03.2012 в Wayback Machine , в: Исследовательская ассоциация прикладной геометрии (RAAG) Мемуары, Ggujutsu Bunken Fukuy-kai. Токио, Япония, 1958, т. 2, стр. 29–46 (547–564); перепечатано в Japan Journal on Industrial and Applied Mathematics, 2009, т. 26, № 2–3, стр. 126–143.

Внешние ссылки

Статья Брайана Хейса «Осмысленный интервал» в журнале American Scientist содержит введение.
Сайт интервальных вычислений Архивировано 2006-03-02 на Wayback Machine
Исследовательские центры интервальных вычислений Архивировано 2007-02-03 на Wayback Machine
Интервальная нотация Джорджа Бека, проект Wolfram Demonstrations .
Вайсштейн, Эрик В. «Интервал». MathWorld .