В геометрии термин полуправильный многогранник (или полуправильный многогранник ) используется по-разному разными авторами.
В своем первоначальном определении это многогранник с правильными многоугольными гранями и группой симметрии , которая транзитивна на его вершинах ; сегодня его чаще называют однородным многогранником (это следует из определения более общего полуправильного многогранника, данного Торольдом Госсетом в 1900 году ). [1] [2] К этим многогранникам относятся:
Эти полуправильные тела могут быть полностью определены конфигурацией вершин : перечислением граней по числу сторон в порядке их расположения вокруг вершины. Например: 3.5.3.5 представляет собой икосододекаэдр , в котором чередуются два треугольника и два пятиугольника вокруг каждой вершины. Напротив: 3.3.3.5 является пятиугольной антипризмой . Эти многогранники иногда описываются как вершинно-транзитивные .
После Госсета другие авторы использовали термин полурегулярный по-разному в отношении многогранников более высокой размерности. EL Elte [3] дал определение, которое Кокстер нашел слишком искусственным. Сам Кокстер назвал фигуры Госсета однородными , с только довольно ограниченным подмножеством, классифицированным как полурегулярные. [4]
Другие же пошли по противоположному пути, классифицируя больше многогранников как полуправильные. К ним относятся:
Еще одним источником путаницы является способ определения архимедовых тел, который также приводит к различным интерпретациям.
Определение полуправильного, данное Госсетом, включает фигуры с более высокой симметрией: правильные и квазиправильные многогранники. Некоторые более поздние авторы предпочитают говорить, что они не являются полуправильными, потому что они более правильны, чем это, — тогда говорят, что однородные многогранники включают правильные, квазиправильные и полуправильные. Эта система наименований работает хорошо и примиряет многие (но далеко не все) путаницы.
На практике даже самые выдающиеся авторитеты могут запутаться, определяя заданный набор многогранников как полуправильный и/или архимедов, а затем предполагая (или даже утверждая) другой набор в последующих обсуждениях. Предположение, что заявленное определение применимо только к выпуклым многогранникам, вероятно, является наиболее распространенной ошибкой. Коксетер, Кромвель [5] и Канди и Роллетт [6] все виновны в таких оплошностях.
Иоганн Кеплер ввел категорию полуправильных в своей книге Harmonices Mundi (1619), включающую 13 архимедовых тел , два бесконечных семейства ( призмы и антипризмы на правильных основаниях) и два рёберно-транзитивных каталонских тела , ромбический додекаэдр и ромбический триаконтаэдр . Он также рассматривал ромб как полуправильный многоугольник (будучи равносторонним и с двумя чередующимися углами), а также звёздчатые многоугольники , теперь называемые изотоксальными фигурами , которые он использовал в плоских мозаиках . Тригональный трапецоэдр , топологический куб с конгруэнтными ромбическими гранями, также подпадал бы под определение полуправильных, хотя Кеплер не упоминал его конкретно.
Во многих работах полуправильный многогранник используется как синоним архимедова тела . [7] Например, Cundy & Rollett (1961).
Мы можем различать фациально-регулярные и вершинно-транзитивные фигуры, основанные на Госсете, а также их вертикально-регулярные (или верси-регулярные) и фациально-транзитивные двойственные фигуры.
Коксетер и др. (1954) используют термин полуправильные многогранники для классификации однородных многогранников с символом Витхоффа в форме pq | r , определение, охватывающее только шесть архимедовых тел, а также правильные призмы (но не правильные антипризмы) и многочисленные невыпуклые тела. Позднее Коксетер (1973) процитировал определение Госсета без комментариев, таким образом приняв его косвенно.
Эрик Вайсштейн , Роберт Уильямс и другие используют этот термин для обозначения выпуклых однородных многогранников , за исключением пяти правильных многогранников , включая архимедовы тела, однородные призмы и однородные антипризмы (перекрывающиеся с кубом как призмой и правильным октаэдром как антипризмой). [8] [9]
Питер Кромвель (1997) пишет в сноске к странице 149, что «в современной терминологии «полуправильные многогранники» относятся к архимедовым и каталонским (дуальным архимедовым) телам». На странице 80 он описывает тринадцать архимедовых тел как полуправильные, а на страницах 367 и далее он обсуждает каталонцы и их связь с «полуправильными» архимедовыми телами. Подразумевается, что это трактует каталонцы как неполуправильные, тем самым фактически противореча (или, по крайней мере, запутывая) определение, которое он дал в предыдущей сноске. Он игнорирует невыпуклые многогранники.