В абстрактной алгебре порождающее множество группы — это подмножество группового множества, такое, что каждый элемент группы может быть выражен как комбинация (с использованием групповой операции) конечного числа элементов подмножества и их обратных .
Другими словами, если — подмножество группы , то , подгруппа, порожденная , — это наименьшая подгруппа из , содержащая каждый элемент из , которая равна пересечению по всем подгруппам, содержащим элементы из ; эквивалентно, — это подгруппа всех элементов из , которая может быть выражена как конечное произведение элементов из и их обратных элементов. (Обратите внимание, что обратные элементы нужны только в том случае, если группа бесконечна; в конечной группе обратный элемент элемента может быть выражен как степень этого элемента.)
Если , то мы говорим, что порождает , а элементы в называются генераторами или генераторами групп . Если — пустое множество, то — тривиальная группа , поскольку мы считаем пустое произведение тождественным.
Когда в есть только один элемент , обычно записывается как . В этом случае — циклическая подгруппа степеней , циклическая группа , и мы говорим, что эта группа порождается . Эквивалентно утверждению, что элемент порождает группу, утверждение, что равно всей группе . Для конечных групп это также эквивалентно утверждению, что имеет порядок .
Группе может потребоваться бесконечное число генераторов. Например, аддитивная группа рациональных чисел не является конечно-генерируемой. Она генерируется обратными числами всех целых чисел, но любое конечное число этих генераторов может быть удалено из генераторного набора, не переставая при этом быть генераторным набором. В таком случае все элементы в генераторном наборе тем не менее являются «негенерирующими элементами», как и фактически все элементы всей группы − см. подгруппу Фраттини ниже.
Если — топологическая группа , то подмножество называется множеством топологических образующих, если плотно в , т.е. замыкание — вся группа .
Если конечно, то группа называется конечно порожденной . Строение конечно порожденных абелевых групп в частности легко описывается. Многие теоремы, верные для конечно порожденных групп, неверны для групп в целом. Доказано, что если конечная группа порождена подмножеством , то каждый элемент группы может быть выражен как слово из алфавита длины, меньшей или равной порядку группы.
Каждая конечная группа конечно порождена, так как . Целые числа при сложении являются примером бесконечной группы, которая конечно порождена как 1, так и −1, но группа рациональных чисел при сложении не может быть конечно порождена. Никакая несчетная группа не может быть конечно порождена. Например, группа действительных чисел при сложении, .
Различные подмножества одной и той же группы могут быть порождающими подмножествами. Например, если и являются целыми числами с gcd ( p , q ) = 1 , то также порождает группу целых чисел при сложении по тождеству Безу .
Хотя верно, что каждый фактор конечно порожденной группы конечно порожден (образы генераторов в факторе дают конечное порождающее множество), подгруппа конечно порожденной группы не обязательно должна быть конечно порожденной. Например, пусть будет свободной группой от двух генераторов и (которая, очевидно, конечно порождена, так как ), и пусть будет подмножеством, состоящим из всех элементов вида для некоторого натурального числа . изоморфна свободной группе от счетного бесконечного числа генераторов и, таким образом, не может быть конечно порождена. Однако каждая подгруппа конечно порожденной абелевой группы сама по себе конечно порождена. На самом деле можно сказать больше: класс всех конечно порожденных групп замкнут относительно расширений . Чтобы увидеть это, возьмем порождающее множество для (конечно порожденной) нормальной подгруппы и фактора. Тогда генераторы для нормальной подгруппы вместе с прообразами генераторов для фактора порождают группу.
Наиболее общей группой, порождённой множеством, является группа, свободно порождённая множеством . Каждая группа, порождённая множеством , изоморфна фактору этой группы , что используется в выражении представления группы .
Интересная сопутствующая тема — негенераторы . Элемент группы является негенератором, если каждое множество, содержащее , которое генерирует , все еще генерирует при удалении из . В целых числах со сложением единственный негенератор — это 0. Множество всех негенераторов образует подгруппу , подгруппу Фраттини .
Если — полугруппа или моноид , то по-прежнему можно использовать понятие порождающего множества . — порождающее множество полугруппы/моноида , если — наименьшая полугруппа/моноид, содержащий .
Определения порождающего множества группы с использованием конечных сумм, данные выше, должны быть немного изменены, когда речь идет о полугруппах или моноидах. Действительно, это определение больше не должно использовать понятие обратной операции. Множество называется порождающим множеством полугруппы , если каждый элемент из является конечной суммой элементов из . Аналогично, множество называется порождающим множеством моноида , если каждый ненулевой элемент из является конечной суммой элементов из .
Например, {1} является моноидным генератором множества натуральных чисел . Множество {1} также является полугрупповым генератором положительных натуральных чисел . Однако целое число 0 не может быть выражено как (непустая) сумма единиц, поэтому {1} не является полугрупповым генератором натуральных чисел.
Аналогично, хотя {1} является групповым генератором множества целых чисел , {1} не является моноидным генератором множества целых чисел. Действительно, целое число −1 не может быть выражено как конечная сумма единиц.
