Неравенство (математика)

Математическое отношение, выраженное с помощью < или ≤

Допустимые области линейного программирования определяются набором неравенств.

В математике неравенство — это отношение, которое устанавливает неравное сравнение между двумя числами или другими математическими выражениями. ^[1] Чаще всего оно используется для сравнения двух чисел на числовой прямой по их размеру. Основные типы неравенства — меньше (<) и больше (>).

Обозначение

Для представления различных видов неравенств используются несколько различных обозначений:

• Обозначение a < b означает, что a меньше b .
• Обозначение a > b означает, что a больше b .

В любом случае a не равно b . Эти отношения известны как строгие неравенства , ^[1] означающие, что a строго меньше или строго больше b . Равенство исключается.

В отличие от строгих неравенств, существуют два типа отношений неравенства, которые не являются строгими:

• Обозначение a ≤ b или a ⩽ b или a ≦ b означает, что a меньше или равно b (или, что эквивалентно, не больше b или не больше b ).
• Обозначение a ≥ b или a ⩾ b или a ≧ b означает, что a больше или равно b (или, что эквивалентно, по крайней мере b или не меньше b ).

В XVII и XVIII веках для обозначения неравенств использовались личные записи или машинописные знаки. ^[2] Например, в 1670 году Джон Уоллис использовал одну горизонтальную черту над < и >, а не под ними. Позже, в 1734 году, ≦ и ≧, известные как «меньше (больше) над равным» или «меньше (больше) или равно с двумя горизонтальными чертами», впервые появились в работе Пьера Бугера . ^[3] После этого математики упростили символ Бугера до «меньше (больше) или равно с одной горизонтальной чертой» (≤) или «меньше (больше) или наклонное равно» (⩽).

Отношение не больше чем может быть также представлено символом "больше чем", разделенным косой чертой, "не". То же самое верно для не меньше чем , ${\displaystyle a\ngtr b,}$ ${\displaystyle a\nless b.}$

Обозначение a ≠ b означает, что a не равно b ; это неравенство иногда считается формой строгого неравенства. ^[4] Оно не говорит, что одно больше другого; оно даже не требует, чтобы a и b были членами упорядоченного множества .

В технических науках менее формальное использование обозначения заключается в том, чтобы указать, что одна величина «намного больше» другой, ^[5] обычно на несколько порядков .

• Запись a ≪ b означает, что a намного меньше b . ^[6]
• Запись a ≫ b означает, что a намного больше b . ^[7]

Это означает, что меньшим значением можно пренебречь, и это не окажет существенного влияния на точность приближения ( например, в случае ультрарелятивистского предела в физике).

Во всех вышеперечисленных случаях любые два символа, зеркально отражающие друг друга, являются симметричными; a < b и b > a эквивалентны и т. д.

Свойства на числовой прямой

Неравенства подчиняются следующим свойствам . Все эти свойства также сохраняются, если все нестрогие неравенства (≤ и ≥) заменить соответствующими им строгими неравенствами (< и >) и — в случае применения функции — монотонные функции ограничиваются строго монотонными функциями .

Конверс

Отношения ≤ и ≥ являются обратными друг другу , что означает, что для любых действительных чисел a и b :

a ≤ b и b ≥ a эквивалентны.

Транзитивность

Транзитивное свойство неравенства гласит, что для любых действительных чисел a , b , c : ^[8]

Если a ≤ b и b ≤ c , то a ≤ c .

Если хотя бы одна из посылок является строгим неравенством, то заключение является строгим неравенством:

Если a ≤ b и b < c , то a < c .

Если a < b и b ≤ c , то a < c .

Сложение и вычитание

Если x < y , то x + a < y + a .

Общую константу c можно прибавлять или вычитать из обеих сторон неравенства. ^[4] Итак, для любых действительных чисел a , b , c :

Если a ≤ b , то a + c ≤ b + c и a − c ≤ b − c .

Другими словами, отношение неравенства сохраняется при сложении (или вычитании), а действительные числа представляют собой упорядоченную группу при сложении.

Умножение и деление

Если x < y и a > 0, то ax < ay .

Если x < y и a < 0, то ax > ay .

Свойства, связанные с умножением и делением, гласят, что для любых действительных чисел a , b и ненулевого c :

Если a ≤ b и c > 0, то ac ≤ bc и a / c ≤ b / c .

Если a ≤ b и c < 0, то ac ≥ bc и a / c ≥ b / c .

Другими словами, отношение неравенства сохраняется при умножении и делении с положительной константой, но меняется на противоположное, когда участвует отрицательная константа. В более общем смысле это применимо к упорядоченному полю . Для получения дополнительной информации см. § Упорядоченные поля .

Аддитивная обратная

Свойство аддитивной инверсии гласит, что для любых действительных чисел a и b :

Если а ≤ b , то − а ≥ − b .

Мультипликативная обратная

Если оба числа положительны, то отношение неравенства между обратными числами противоположно отношению между исходными числами. Более конкретно, для любых ненулевых действительных чисел a и b , которые оба положительны (или оба отрицательны ):

Если а ≤ b , то ⁠1/а⁠ ≥ ⁠1/б⁠ .

Все случаи для знаков a и b можно также записать в виде цепочки обозначений следующим образом:

Если 0 < a ≤ b , то ⁠1/а⁠ ≥ ⁠1/б⁠ > 0.

Если а ≤ b < 0, то 0 > ⁠1/а⁠ ≥ ⁠1/б⁠ .

Если а < 0 < b , то ⁠1/а⁠ < 0 < ⁠1/б⁠ .

Применение функции к обеим сторонам

График y = ln x

Любая монотонно возрастающая функция , по ее определению ^[9], может быть применена к обеим сторонам неравенства без нарушения соотношения неравенства (при условии, что оба выражения находятся в области определения этой функции). Однако применение монотонно убывающей функции к обеим сторонам неравенства означает, что соотношение неравенства будет изменено на противоположное. Правила для аддитивной обратной функции и мультипликативной обратной функции для положительных чисел являются примерами применения монотонно убывающей функции.

Если неравенство строгое ( a < b , a > b ) и функция строго монотонна, то неравенство остается строгим. Если только одно из этих условий строгое, то полученное неравенство нестрогое. Фактически, правила для аддитивных и мультипликативных обратных являются примерами применения строго монотонно убывающей функции.

Вот несколько примеров этого правила:

• Возводим обе части неравенства в степень n > 0 (эквивалент, − n < 0), когда a и b — положительные действительные числа:
  0 ≤ а ≤ б ⇔ 0 ≤ а ^н ≤ б ^н .
  0 ≤ а ≤ б ⇔ а ^{− n} ≥ б ^{− n} ≥ 0.
• Берем натуральный логарифм от обеих частей неравенства, когда a и b — положительные действительные числа:
  0 < а ≤ б ⇔ ln( а ) ≤ ln( б ).
  0 < а < б ⇔ ln( а ) < ln( б ).
  (это верно, поскольку натуральный логарифм — строго возрастающая функция.)

Формальные определения и обобщения

(Нестрогий) частичный порядок — это бинарное отношение ≤ над множеством P , которое является рефлексивным , антисимметричным и транзитивным . ^[10] То есть для всех a , b и c в P оно должно удовлетворять трем следующим условиям:

• а ≤ а ( рефлексивность )
• если a ≤ b и b ≤ a , то a = b ( антисимметрия )
• если a ≤ b и b ≤ c , то a ≤ c ( транзитивность )

Множество с частичным порядком называется частично упорядоченным множеством . ^[11] Это самые основные аксиомы, которым должен удовлетворять каждый вид порядка.

Строгий частичный порядок — это отношение <, которое удовлетворяет:

• а <⃥͏ а ( нерефлексивность )
• если a < b , то b <⃥͏ a ( асимметрия )
• если a < b и b < c , то a < c ( транзитивность )

Некоторые типы частичных порядков определяются путем добавления дополнительных аксиом, таких как:

• Общий порядок : для любых a и b в P , a ≤ b или b ≤ a .
• Плотный порядок : для всех a и b из P, для которых a < b , существует c из P, такой что a < c < b .
• Свойство наименьшей верхней границы : каждое непустое подмножество P с верхней границей имеет наименьшую верхнюю границу (супремум) в P.

Упорядоченные поля

Если ( F , +, ×) — поле и ≤ — полный порядок на F , то ( F , +, ×, ≤) называется упорядоченным полем тогда и только тогда, когда:

• a ≤ b подразумевает a + c ≤ b + c ;
• 0 ≤ a и 0 ≤ b влечет 0 ≤ a × b .

Оба ⁠ ⁠ ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,+,\times ,\leq )}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\times ,\leq )}$ являются упорядоченными полями , но ≤ не может быть определено для того, чтобы сделать ⁠ ⁠ ${\displaystyle (\mathbb {C} ,+,\times ,\leq )}$ упорядоченным полем , ^[12], поскольку −1 является квадратом i и, следовательно, будет положительным.

Помимо того, что R является упорядоченным полем, он также обладает свойством наименьшей верхней границы . Фактически, R можно определить как единственное упорядоченное поле с таким качеством. ^[13]

Связанная нотация

Обозначение a < b < c означает " a < b и b < c ", из чего, по свойству транзитивности выше, также следует, что a < c . По приведенным выше законам можно прибавлять или вычитать одно и то же число ко всем трем членам или умножать или делить все три члена на одно и то же ненулевое число и менять местами все неравенства, если это число отрицательное. Следовательно, например, a < b + e < c эквивалентно a − e < b < c − e .

Это обозначение можно обобщить на любое количество членов: например, a ₁ ≤ a ₂ ≤ ... ≤ a _n означает, что a _i ≤ a _{i +1} для i = 1, 2, ..., n − 1. По транзитивности это условие эквивалентно a _i ≤ a _j для любого 1 ≤ i ≤ j ≤ n .

При решении неравенств с использованием цепной записи возможно, а иногда и необходимо, оценивать члены независимо. Например, чтобы решить неравенство 4 x < 2 x + 1 ≤ 3 x + 2, невозможно изолировать x в какой-либо одной части неравенства с помощью сложения или вычитания. Вместо этого неравенства должны решаться независимо, что дает x < ⁠1/2⁠ и x ≥ −1 соответственно, которые можно объединить в окончательное решение −1 ≤ x < ⁠1/2⁠ .

Иногда цепочечная нотация используется с неравенствами в разных направлениях, и в этом случае значением является логическое соединение неравенств между соседними терминами. Например, определяющее условие зигзагообразного частично упорядоченного множества записывается как a ₁ < a ₂ > a ₃ < a ₄ > a ₅ < a ₆ > ... . Смешанная цепочечная нотация чаще используется с совместимыми отношениями, такими как <, =, ≤. Например, a < b = c ≤ d означает, что a < b , b = c , и c ≤ d . Эта нотация существует в нескольких языках программирования , таких как Python . Напротив, в языках программирования, которые обеспечивают упорядочение по типу результатов сравнения, таких как C , даже однородные цепочки могут иметь совершенно другое значение. ^[14]

Резкие неравенства

Неравенство называется точным, если его нельзя ослабить и при этом оно все еще будет действительным в общем случае. Формально универсально квантифицированное неравенство φ называется точным, если для каждого действительного универсально квантифицированного неравенства ψ , если ψ ⇒ φ выполняется, то ψ ⇔ φ также выполняется. Например, неравенство ∀ a ∈ R . a ² ≥ 0 является точным, тогда как неравенство ∀ a ∈ R . a ² ≥ −1 не является точным. ^{[ необходима цитата ]}

Неравенство между средними значениями

Существует много неравенств между средними. Например, для любых положительных чисел a ₁ , a ₂ , ..., a _n имеем

${\displaystyle H\leq G\leq A\leq Q,}$

где они представляют собой следующие средства последовательности:

• Гармоническое среднее  : ${\displaystyle H={\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{a_{n}}}}}}$
• Среднее геометрическое  : ${\displaystyle G={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{n}}}}$
• Среднее арифметическое  : ${\displaystyle A={\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}}$
• Среднее квадратичное  : ${\displaystyle Q={\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}{n}}}}$

Неравенство Коши–Шварца

Неравенство Коши–Шварца утверждает, что для всех векторов u и v пространства скалярного произведения верно , что где — скалярное произведение . Примерами скалярных произведений являются вещественное и комплексное скалярное произведение ; В евклидовом пространстве R ⁿ со стандартным скалярным произведением неравенство Коши–Шварца имеет вид $${\displaystyle |\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \cdot \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ,}$$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ $${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}\right).}$$

Неравенство власти

Степенное неравенство — это неравенство, содержащее члены вида a ^b , где a и b — действительные положительные числа или выражения с переменными. Они часто встречаются в упражнениях математических олимпиад .

Примеры:

• Для любого действительного x , $${\displaystyle e^{x}\geq 1+x.}$$
• Если x > 0 и p > 0, то в пределе p → 0 верхняя и нижняя границы сходятся к ln( x ). $${\displaystyle {\frac {x^{p}-1}{p}}\geq \ln(x)\geq {\frac {1-{\frac {1}{x^{p}}}}{p}}.}$$
• Если х > 0, то $${\displaystyle x^{x}\geq \left({\frac {1}{e}}\right)^{\frac {1}{e}}.}$$
• Если х > 0, то $${\displaystyle x^{x^{x}}\geq x.}$$
• Если x , y , z > 0, то $${\displaystyle \left(x+y\right)^{z}+\left(x+z\right)^{y}+\left(y+z\right)^{x}>2.}$$
• Для любых действительных различных чисел a и b , $${\displaystyle {\frac {e^{b}-e^{a}}{b-a}}>e^{(a+b)/2}.}$$
• Если x , y > 0 и 0 < p < 1, то $${\displaystyle x^{p}+y^{p}>\left(x+y\right)^{p}.}$$
• Если x , y , z > 0, то $${\displaystyle x^{x}y^{y}z^{z}\geq \left(xyz\right)^{(x+y+z)/3}.}$$
• Если а , b > 0, то ^[15] $${\displaystyle a^{a}+b^{b}\geq a^{b}+b^{a}.}$$
• Если а , b > 0, то ^[16] $${\displaystyle a^{ea}+b^{eb}\geq a^{eb}+b^{ea}.}$$
• Если а , b , c > 0, то $${\displaystyle a^{2a}+b^{2b}+c^{2c}\geq a^{2b}+b^{2c}+c^{2a}.}$$
• Если а , b > 0, то $${\displaystyle a^{b}+b^{a}>1.}$$

Известные неравенства

Математики часто используют неравенства для ограничения величин, для которых точные формулы не могут быть легко вычислены. Некоторые неравенства используются так часто, что у них есть названия:

• Неравенство Азумы
• Неравенство Бернулли
• Неравенство Белла
• Неравенство Буля
• Неравенство Коши–Шварца
• Неравенство Чебышева
• Неравенство Чернова
• Неравенство Крамера–Рао
• Неравенство Хеффдинга
• Неравенство Гельдера
• Неравенство среднего арифметического и среднего геометрического
• Неравенство Йенсена
• Неравенство Колмогорова
• Неравенство Маркова
• неравенство Минковского
• Неравенство Несбитта
• Неравенство Педоу
• Неравенство Пуанкаре
• Неравенство Самуэльсона
• неравенство Соболева
• Неравенство треугольника

Комплексные числа и неравенства

Множество комплексных чисел с его операциями сложения и умножения является полем , но невозможно определить какое-либо отношение ≤ так, чтобы оно стало упорядоченным полем . Чтобы сделать упорядоченное поле , оно должно удовлетворять следующим двум свойствам: ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (\mathbb {C} ,+,\times ,\leq )}$ ${\displaystyle (\mathbb {C} ,+,\times ,\leq )}$

• если а ≤ b , то а + с ≤ b + с ;
• если 0 ≤ a и 0 ≤ b , то 0 ≤ ab .

Поскольку ≤ — это полный порядок , для любого числа a либо 0 ≤ a , либо a ≤ 0 (в этом случае первое свойство выше подразумевает, что 0 ≤ − a ). В любом случае 0 ≤ a ² ; это означает, что i ² > 0 и 1 ² > 0 ; поэтому −1 > 0 и 1 > 0 , что означает (−1 + 1) > 0; противоречие.

Однако операция ≤ может быть определена так, чтобы удовлетворять только первому свойству (а именно, «если a ≤ b , то a + c ≤ b + c »). Иногда используется определение лексикографического порядка :

• а ≤ б , если
  • Re( а ) < Re( б ) , или
  • Re( a ) = Re( b ) и Im( a ) ≤ Im( b )

Легко доказать, что для этого определения a ≤ b влечет a + c ≤ b + c .

Системы неравенств

Системы линейных неравенств можно упростить с помощью метода Фурье–Моцкина . ^[17]

Цилиндрическое алгебраическое разложение — это алгоритм, позволяющий проверить, имеет ли система полиномиальных уравнений и неравенств решения, и, если решения существуют, описать их. Сложность этого алгоритма дважды экспоненциальна по числу переменных. Это активная область исследований для разработки алгоритмов, которые более эффективны в конкретных случаях.

Смотрите также

• Бинарное отношение
• Скобка (математика) , для использования одинаковых знаков ‹ и › в качестве скобок
• Включение (теория множеств)
• Неравенство
• Интервал (математика)
• Список неравенств
• Список неравенств треугольника
• Частично упорядоченный набор
• Реляционные операторы , используемые в языках программирования для обозначения неравенства.

Ссылки

1. "Определение неравенства (Иллюстрированный математический словарь)". www.mathsisfun.com . Получено 03.12.2019 .
2. Хальмаги, Елена; Лильедаль, Питер. «Неравенства в истории математики: от особенностей к жесткой дисциплине». Труды ежегодного заседания канадской исследовательской группы по математическому образованию 2012 года .
3. «Самые ранние применения символов отношения». MacTutor . Университет Сент-Эндрюс, Шотландия.
4. "Неравенство". www.learnalberta.ca . Получено 2019-12-03 .
5. Полянин, А.Д.; Манжиров, А.В. (2006). Справочник по математике для инженеров и ученых. CRC Press. С. 29. ISBN 978-1-4200-1051-0. Получено 19.11.2021 .
6. Weisstein, Eric W. "Much Less". mathworld.wolfram.com . Получено 2019-12-03 .
7. Weisstein, Eric W. "Much Greater". mathworld.wolfram.com . Получено 2019-12-03 .
8. Drachman, Bryon C.; Cloud, Michael J. (2006). Неравенства: с приложениями к инженерии. Springer Science & Business Media. стр. 2–3. ISBN 0-3872-2626-5.
9. "ProvingInequalities". www.cs.yale.edu . Получено 2019-12-03 .
10. Simovici, Dan A. & Djeraba, Chabane (2008). "Частично упорядоченные множества". Математические инструменты для интеллектуального анализа данных: теория множеств, частичные порядки, комбинаторика . Springer. ISBN 9781848002012.
11. Weisstein, Eric W. "Частично упорядоченное множество". mathworld.wolfram.com . Получено 2019-12-03 .
12. Фельдман, Джоэл (2014). "Поля" (PDF) . math.ubc.ca . Архивировано (PDF) из оригинала 2022-10-09 . Получено 2019-12-03 .
13. Стюарт, Ян (2007). Почему красота — это истина: история симметрии. Hachette UK. стр. 106. ISBN 978-0-4650-0875-9.
14. Брайан В. Керниган и Деннис М. Ритчи (апрель 1988 г.). Язык программирования C. Серия Prentice Hall Software (2-е изд.). Энглвуд Клиффс/Нью-Джерси: Prentice Hall. ISBN 0131103628.Здесь: Раздел A.7.9 Операторы отношения , стр. 167: Цитата: «a<b<c анализируется как (a<b)<c»
15. Лауб, М.; Илани, Ишай (1990). "E3116". The American Mathematical Monthly . 97 (1): 65–67. doi :10.2307/2324012. JSTOR  2324012.
16. Manyama, S. (2010). "Решение одной гипотезы о неравенствах со степенно-экспоненциальными функциями" (PDF) . Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications . 7 (2): 1. Архивировано (PDF) из оригинала 2022-10-09.
17. Гертнер, Бернд; Матушек, Иржи (2006). Понимание и использование линейного программирования . Берлин: Шпрингер. ISBN 3-540-30697-8.

Источники

• Харди, Г., Литтлвуд Дж. Э., Полиа, Г. (1999). Неравенства . Кембриджская математическая библиотека, Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-05206-8.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Бекенбах, Э. Ф., Беллман, Р. (1975). Введение в неравенства . Random House Inc. ISBN 0-394-01559-2.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Drachman, Byron C., Cloud, Michael J. (1998). Неравенства: с приложениями к инженерии . Springer-Verlag. ISBN 0-387-98404-6.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Гриншпан, AZ (2005), «Общие неравенства, следствия и приложения», Успехи в прикладной математике , 34 (1): 71–100, doi :10.1016/j.aam.2004.05.001
• Мюррей С. Кламкин. "'Quickie' inequalityities" (PDF) . Math Strategies . Архивировано (PDF) из оригинала 2022-10-09.
• Артур Лоуотер (1982). «Введение в неравенства». Электронная книга в формате PDF.
• Гарольд Шапиро (2005). «Решение математических задач». Семинар по старой проблеме . Kungliga Tekniska högskolan.
• "3rd USAMO". Архивировано из оригинала 2008-02-03.
• Pachpatte, BG (2005). Математические неравенства . Математическая библиотека Северной Голландии. Т. 67 (первое издание). Амстердам, Нидерланды: Elsevier . ISBN 0-444-51795-2. ISSN  0924-6509. МР  2147066. Збл  1091.26008.
• Эрготт, Маттиас (2005). Многокритериальная оптимизация . Springer-Berlin. ISBN 3-540-21398-8.
• Стил, Дж. Майкл (2004). Мастер-класс Коши-Шварца: Введение в искусство математических неравенств. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54677-5.

Внешние ссылки

• «Неравенство», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• График неравенств Эда Пегга-младшего.
• Запись AoPS Wiki о неравенствах