Последовательно компактное пространство

Топологическое пространство, где каждая последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность

В математике топологическое пространство X называется секвенциально компактным , если каждая последовательность точек в X имеет сходящуюся подпоследовательность , сходящуюся к точке в . ${\displaystyle X}$

Каждое метрическое пространство является естественным топологическим пространством, и для метрических пространств понятия компактности и секвенциальной компактности эквивалентны (если предположить счетный выбор ). Однако существуют секвенциально компактные топологические пространства, которые не являются компактными, и компактные топологические пространства, которые не являются секвенциально компактными.

Примеры и свойства

Пространство всех действительных чисел со стандартной топологией не является последовательно компактным; последовательность, заданная для всех натуральных чисел, является последовательностью, не имеющей сходящейся подпоследовательности. ${\displaystyle (s_{n})}$ ${\displaystyle s_{n}=n}$ ${\displaystyle n}$

Если пространство является метрическим , то оно последовательно компактно тогда и только тогда, когда оно компактно . ^[1] Первый несчетный ординал с топологией порядка является примером последовательно компактного топологического пространства, которое не является компактным. Произведение копий замкнутого единичного интервала является примером компактного пространства, которое не является последовательно компактным. ^[2] ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}}$

Связанные понятия

Топологическое пространство называется компактным по предельной точке , если каждое бесконечное подмножество имеет предельную точку в , и счетно компактным, если каждое счетное открытое покрытие имеет конечное подпокрытие. В метрическом пространстве понятия последовательной компактности, компактности по предельной точке, счетной компактности и компактности эквивалентны (если принять аксиому выбора ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

В последовательном (хаусдорфовом) пространстве последовательная компактность эквивалентна счетной компактности. ^[3]

Существует также понятие одноточечной последовательной компактификации — идея состоит в том, что все несходящиеся последовательности должны сходиться к дополнительной точке. ^[4]

Смотрите также

• Теорема Больцано–Вейерштрасса  – Ограниченная последовательность в конечномерном евклидовом пространстве имеет сходящуюся подпоследовательность
• Пространство Фреше–Урысона  – Свойство топологического пространства
• Карты покрытия последовательностей
• Последовательное пространство  – Топологическое пространство, характеризующееся последовательностями.

Примечания

1. Уиллард, 17G, стр. 125.
2. Стен и Зеебах, Пример 105 , стр. 125—126.
3. Энгелькинг, Общая топология, Теорема 3.10.31
   KP Hart, Jun-iti Nagata, JE Vaughan (редакторы), Энциклопедия общей топологии, Глава d3 (автор P. Simon)
4. Браун, Рональд, «Последовательно правильные отображения и последовательная компактификация», J. London Math Soc. (2) 7 (1973) 515-522.

Ссылки

• Манкрес, Джеймс (1999). Топология (2-е изд.). Prentice Hall . ISBN 0-13-181629-2.
• Стин, Линн А. и Сибах, Дж. Артур-младший ; Контрпримеры в топологии , Холт, Райнхарт и Уинстон (1970). ISBN 0-03-079485-4 . 
• Уиллард, Стивен (2004). Общая топология . Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.