RLC-цепь

RLC -цепь — это электрическая цепь , состоящая из резистора (R), катушки индуктивности (L) и конденсатора (C), соединенных последовательно или параллельно. Название цепи происходит от букв, которые используются для обозначения составляющих ее компонентов, причем последовательность компонентов может отличаться от RLC.

Схема образует гармонический осциллятор для тока и резонирует подобно LC-цепи . Введение резистора увеличивает затухание этих колебаний, что также известно как затухание . Резистор также снижает пиковую резонансную частоту. Некоторое сопротивление неизбежно, даже если резистор специально не включен в качестве компонента.

RLC-цепи имеют множество применений в качестве схем генераторов . Радиоприемники и телевизоры используют их для настройки , чтобы выбрать узкий диапазон частот из окружающих радиоволн. В этой роли цепь часто называют настроенной цепью. RLC-цепь может использоваться как полосовой фильтр , полосовой заграждающий фильтр , фильтр нижних частот или фильтр верхних частот . Например, приложение настройки является примером полосовой фильтрации. RLC-фильтр описывается как цепь второго порядка , что означает, что любое напряжение или ток в цепи можно описать дифференциальным уравнением второго порядка в анализе цепи.

Три элемента схемы, R, L и C, могут быть объединены в ряд различных топологий . Все три элемента последовательно или все три элемента параллельно являются наиболее простыми по концепции и наиболее простыми для анализа. Однако существуют и другие схемы, некоторые из которых имеют практическое значение в реальных схемах. Одной из часто встречающихся проблем является необходимость учитывать сопротивление индуктора. Индукторы обычно изготавливаются из катушек провода, сопротивление которых обычно нежелательно, но часто оказывает существенное влияние на схему.

Основные понятия

Резонанс

Важным свойством этой схемы является ее способность резонировать на определенной частоте, резонансной частоте , $f 0$ . Частоты измеряются в единицах герц . В этой статье угловая частота , $ω 0$ , используется, потому что она более удобна с математической точки зрения. Она измеряется в радианах в секунду. Они связаны друг с другом простой пропорцией,

\omega _{0}=2\pi f_{0}\,.

Резонанс возникает, потому что энергия для этой ситуации хранится двумя разными способами: в электрическом поле, когда конденсатор заряжается, и в магнитном поле, когда ток течет через индуктор. Энергия может передаваться от одного к другому внутри цепи, и это может быть колебательным. Механическая аналогия — это груз, подвешенный на пружине, который будет колебаться вверх и вниз при отпускании. Это не мимолетная метафора; груз на пружине описывается точно таким же дифференциальным уравнением второго порядка, как и цепь RLC, и для всех свойств одной системы будет найдено аналогичное свойство другой. Механическое свойство, отвечающее резистору в цепи, — это трение в системе пружина–груз. Трение медленно остановит любые колебания, если нет внешней силы, вызывающей их. Аналогично, сопротивление в цепи RLC будет «гасить» колебания, уменьшая их со временем, если в цепи нет источника переменного тока.

Резонансная частота определяется как частота, на которой импеданс цепи минимален. Эквивалентно, ее можно определить как частоту, на которой импеданс является чисто действительным (то есть чисто резистивным). Это происходит потому, что импедансы катушки индуктивности и конденсатора в резонансе равны, но имеют противоположные знаки и компенсируют друг друга. Цепи, в которых L и C соединены параллельно, а не последовательно, на самом деле имеют максимальный импеданс, а не минимальный. По этой причине их часто называют антирезонаторами ; однако по-прежнему принято называть частоту, на которой это происходит, резонансной частотой.

Собственная частота

Резонансная частота определяется в терминах импеданса, представленного источнику возбуждения. Схема все еще может продолжать колебаться (в течение некоторого времени) после того, как источник возбуждения был удален или он подвергся скачку напряжения (включая скачок до нуля). Это похоже на то, как камертон будет продолжать звенеть после того, как по нему ударили, и эффект часто называют звоном. Этот эффект является пиковой собственной резонансной частотой схемы и в целом не совсем совпадает с частотой резонанса возбуждения, хотя эти две частоты обычно будут довольно близки друг к другу. Разные авторы используют различные термины для различения этих двух частот, но неквалифицированная резонансная частота обычно означает частоту резонанса возбуждения. Частота возбуждения может быть названа незатухающей резонансной частотой или незатухающей собственной частотой, а пиковая частота может быть названа затухающей резонансной частотой или затухающей собственной частотой. Причина этой терминологии заключается в том, что частота резонанса возбуждения в последовательном или параллельном резонансном контуре имеет значение. ^[1]

\omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {L\,C~}}}\,~.

Это в точности то же самое, что и резонансная частота LC-цепи без потерь, то есть, без резистора. Резонансная частота для управляемой RLC-цепи такая же, как у цепи, в которой нет затухания, следовательно, незатухающая резонансная частота. Амплитуда пика резонансной частоты, с другой стороны, зависит от значения резистора и описывается как затухающая резонансная частота. Сильно затухающая цепь вообще не будет резонировать, если она не затухает. Цепь со значением резистора, которое заставляет ее находиться на грани звона, называется критически затухающей . Любая сторона критического затухания описывается как недостаточно затухающая (звон происходит) и чрезмерно затухающая (звон подавляется).

Схемы с топологиями, более сложными, чем простые последовательные или параллельные (некоторые примеры описаны далее в статье), имеют частоту резонанса, отклоняющуюся от , и для них незатухающая резонансная частота, затухающая резонансная частота и частота резонанса, приводимая в действие, могут быть разными. $\ \omega _{0}=1/{\sqrt {L\,C~}}\$

Демпфирование

Затухание вызвано сопротивлением в цепи. Оно определяет, будет ли цепь резонировать естественным образом (то есть без источника возбуждения). Цепи, которые будут резонировать таким образом, описываются как недозатухающие, а те, которые не будут, — как перезатухающие. Затухание затухания (символ $α$ ) измеряется в неперах в секунду. Однако безразмерный коэффициент затухания (символ $ζ$ , дзета) часто является более полезной мерой, которая связана с $α$ соотношением

\ \zeta = {\frac {\alpha }{\ \omega _{0}\ }}\ .

Особый случай $ζ = 1$ называется критическим затуханием и представляет собой случай контура, который находится как раз на границе колебаний. Это минимальное затухание, которое может быть применено, не вызывая колебаний.

Пропускная способность

Эффект резонанса может быть использован для фильтрации, быстрое изменение импеданса вблизи резонанса может быть использовано для пропускания или блокировки сигналов, близких к резонансной частоте. Можно построить как полосовые, так и режекторные фильтры, и некоторые схемы фильтров показаны далее в статье. Ключевым параметром в проектировании фильтра является полоса пропускания . Полоса пропускания измеряется между частотами среза , чаще всего определяемыми как частоты, на которых мощность, прошедшая через цепь, падает до половины значения, прошедшего при резонансе. Существует две из этих частот половинной мощности, одна выше, а другая ниже резонансной частоты

\Delta \omega =\omega _{2}-\omega _{1}\,,

где $Δ ω$ — ширина полосы пропускания, $ω 1$ — нижняя частота половинной мощности, а $ω 2$ — верхняя частота половинной мощности. Ширина полосы пропускания связана с затуханием

\Дельта \омега =2\альфа \,,

где единицы измерения — радианы в секунду и неперы в секунду соответственно. ^{[ необходима цитата ]} Другие единицы измерения могут потребовать коэффициент преобразования. Более общей мерой ширины полосы пропускания является дробная ширина полосы пропускания, которая выражает ширину полосы пропускания как долю резонансной частоты и определяется как

B_{\mathrm {f} }={\frac {\Delta \omega }{\omega _{0}}}\,.

Дробная полоса пропускания также часто указывается в процентах. Затухание цепей фильтров регулируется для получения требуемой полосы пропускания. Узкополосный фильтр, такой как режекторный фильтр , требует низкого затухания. Широкополосный фильтр требует высокого затухания.

Вфактор

Фактор $добротности$ — это широко распространенная мера, используемая для характеристики резонаторов. Он определяется как пиковая энергия, запасенная в контуре, деленная на среднюю энергию, рассеиваемую в нем на радиан при резонансе. Таким образом, контуры с низкой $добротностью$ затухают и несут потери, а контуры с высокой $добротностью$ недостаточно затухают и склонны к амплитудным экстремальным значениям, если они работают на резонансной частоте. ^[a] $Q$ связана с полосой пропускания; контуры с низкой $добротностью$ являются широкополосными, а контуры с высокой $добротностью$ — узкополосными. Фактически, $Q$ является обратной величиной дробной полосы пропускания

Q={\frac {1}{\,B_{\mathrm {f} }\,}}={\frac {\omega _{\text{o}}}{\,\operatorname {\Delta } \omega \,}}\;.

^[2]

$Фактор добротности$ прямо пропорционален селективности , поскольку фактор $добротности$ обратно пропорционален ширине полосы пропускания.

Для последовательного резонансного контура (как показано ниже) коэффициент $добротности$ можно рассчитать следующим образом: ^[2]

Q={\frac {X}{\,R\;}}={\frac {1}{\,\omega _{\text{o}}R\,C\,}}={\frac {\,\omega _{\text{o}}L\,}{R}}={\frac {1}{\,R\;}}{\sqrt {{\frac {L}{\,C\,}}\,}}={\frac {\,Z_{\text{o}}\,}{R\;}}\;,

^[2]

где - реактивное сопротивление или при резонансе , и $\,X\,$ $\,L\,$ $\,C\,$ $\,Z_{\text{o}}\equiv {\sqrt {{\frac {L}{\,C\,}}\,}}\;.$

Масштабированные параметры

Параметры $ζ$ , $Bf$ и $Q$ масштабируются до $ω0 . Это означает, что схемы, имеющие схожие параметры, обладают схожими характеристиками независимо от того$ $,$ работают ли они в одной и той же полосе частот.

Далее в статье дается подробный анализ последовательной цепи RLC. Другие конфигурации не описаны столь подробно, но приводятся основные отличия от последовательного случая. Общая форма дифференциальных уравнений, приведенная в разделе последовательной цепи, применима ко всем цепям второго порядка и может использоваться для описания напряжения или тока в любом элементе каждой цепи.

Последовательная цепь

В этой схеме все три компонента соединены последовательно с источником напряжения . Управляющее дифференциальное уравнение можно найти, подставив в закон напряжения Кирхгофа (KVL) определяющее уравнение для каждого из трех элементов. Из KVL,

V_{\mathrm {R} }+V_{\mathrm {L} }+V_{\mathrm {C} }=V(t)\,,

где $V R$ , $V L$ и $V C$ — напряжения на $R$ , $L$ и $C$ соответственно, а $V (t)$ — изменяющееся во времени напряжение от источника.

Подставляя и в уравнение выше, получаем: $V_{R}=R\ I(t)\,,$ $\,V_{\mathrm {L} }=L{\frac {\mathrm {d} I(t)}{\mathrm {d} t}}\,$ $\,V_{\mathrm {C} }=V(0)+{\frac {1}{\,C\,}}\int _{0}^{t}I(\tau )\,\mathrm {d} \tau \,$

RI(t)+L{\frac {\,\mathrm {d} I(t)\,}{\mathrm {d} t}}+V(0)+{\frac {1}{\,C\,}}\int _{0}^{t}I(\tau )\,\mathrm {d} \tau =V(t)\;.

В случае, когда источником является неизменное напряжение, взятие производной по времени и деление на $L$ приводит к следующему дифференциальному уравнению второго порядка:

{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}I(t)+{\frac {R}{\,L\,}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}I(t)+{\frac {1}{\,L\,C\,}}I(t)=0\;.

Это можно с пользой выразить в более общеприменимой форме:

{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}I(t)+2\alpha {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}I(t)+\omega _{0}^{2}I(t)=0\;.

$α$ и $ω 0$ оба измеряются в единицах угловой частоты . $α$ называется частотой непера или затуханием и является мерой того, насколько быстро затухнет переходная реакция цепи после того, как стимул будет удален. Непер присутствует в названии, потому что единицы также можно считать неперами в секунду, непер является логарифмической единицей затухания. $ω 0$ — угловая резонансная частота. ^[3]

Для случая последовательной цепи RLC эти два параметра определяются следующим образом: ^[4]

{\begin{aligned}\alpha &={\frac {R}{\,2L\,}}\\\omega _{0}&={\frac {1}{\,{\sqrt {L\,C\,}}\,}}\;.\end{aligned}}

Полезным параметром является коэффициент затухания , $ζ$ , который определяется как отношение этих двух; хотя иногда $ζ$ не используется, а вместо этого коэффициентом затухания называют $α$ ; следовательно, требуется тщательное указание использования этого термина. ^[5]

\zeta \equiv {\frac {\alpha }{\,\omega _{0}\,}}\;.

В случае последовательной цепи RLC коэффициент затухания определяется выражением

\zeta ={\frac {\,R\,}{2}}{\sqrt {{\frac {C}{\,L\,}}\,}}={\frac {1}{\ 2Q\ }}~.

Значение коэффициента затухания определяет тип переходного процесса, который будет демонстрировать схема. ^[6]

Переходный ответ

Дифференциальное уравнение имеет характеристическое уравнение , ^[7]

s^{2}+2\alpha s+\omega _{0}^{2}=0\,.

Корни уравнения в $s$ -области равны ^[7]

{\begin{aligned}s_{1}&=-\alpha +{\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}\,}}=-\omega _{0}\left(\zeta -{\sqrt {\zeta ^{2}-1\,}}\right)={\frac {-\omega _{0}}{\ \zeta +{\sqrt {\zeta ^{2}-1\ }}\ }}\ ,\\s_{2}&=-\alpha -{\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}\,}}=-\omega _{0}\left(\zeta +{\sqrt {\zeta ^{2}-1\,}}\right)\;.\end{aligned}}

Общее решение дифференциального уравнения представляет собой экспоненту либо в корне, либо в линейной суперпозиции обоих корней,

I(t)=A_{1}e^{s_{1}t}+A_{2}e^{s_{2}t}\;.

Коэффициенты $A 1$ и $A 2$ определяются граничными условиями конкретной анализируемой задачи. То есть они задаются значениями токов и напряжений в цепи в начале переходного процесса и предполагаемым значением, к которому они придут через бесконечное время. ^[8] Дифференциальное уравнение для цепи решается тремя различными способами в зависимости от значения $ζ$ . Это передемпфирование ( $ζ > 1$ ), недодемпфирование ( $ζ < 1$ ) и критическое демпфирование ( $ζ = 1$ ).

Сверхдемпфированный отклик

Сверхзатухающий отклик ( $ζ > 1$ ) равен ^[9]

I(t)=A_{1}e^{-\omega _{0}\left(\zeta +{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\right)t}+A_{2}e^{-\omega _{0}\left(\zeta -{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\right)t}\;.

Сверхзатухающий отклик представляет собой затухание переходного тока без колебаний. ^[10]

Недостаточно затухающий отклик

Недозатухающий отклик ( $ζ < 1$ ) равен ^[11]

I(t)=B_{1}e^{-\alpha t}\cos(\omega _{\mathrm {d} }t)+B_{2}e^{-\alpha t}\sin(\omega _{\mathrm {d} }t)\,.

Применяя стандартные тригонометрические тождества, две тригонометрические функции можно выразить как одну синусоиду со сдвигом фаз, ^[12]

I(t)=B_{3}e^{-\alpha t}\sin(\omega _{\mathrm {d} }t+\varphi )\;.

Недодемпфированный отклик представляет собой затухающее колебание на частоте $ω d$ . Колебание затухает со скоростью, определяемой затуханием $α$ . Экспонента в $α$ описывает огибающую колебания. $B 1$ и $B 2$ (или $B 3$ и фазовый сдвиг $φ$ во второй форме) являются произвольными константами, определяемыми граничными условиями. Частота $ω d$ определяется как ^[11]

\omega _{\mathrm {d} }={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\alpha ^{2}}}=\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}\,}}\;.

Это называется затухающей резонансной частотой или затухающей собственной частотой. Это частота, на которой цепь будет естественно колебаться, если не будет возбуждаться внешним источником. Резонансная частота, $ω 0$ , которая является частотой, на которой цепь будет резонировать, когда возбуждается внешним колебанием, может часто называться незатухающей резонансной частотой, чтобы различать ее. ^[13]

Критически затухающий ответ

Критически затухающий отклик ( $ζ = 1$ ) равен ^[14]

I(t)=D_{1}te^{-\alpha t}+D_{2}e^{-\alpha t}\;.

Критически затухающий отклик представляет собой отклик схемы, который затухает в максимально возможное время без перехода в колебание. Это соображение важно в системах управления, где требуется достичь желаемого состояния как можно быстрее без перерегулирования. $D 1$ и $D 2$ — произвольные константы, определяемые граничными условиями. ^[15]

Домен Лапласа

Ряд RLC можно проанализировать как для переходного, так и для установившегося поведения переменного тока с использованием преобразования Лапласа . ^[16] Если источник напряжения выше создает форму волны с преобразованным Лапласом $V (s)$ (где $s$ — комплексная частота $s = σ + jω$ ), KVL можно применить в области Лапласа:

V(s)=I(s)\left(R+L\,s+{\frac {1}{\,C\,s\,}}\right)\,,

где $I (s)$ — ток, преобразованный Лапласом через все компоненты. Решение для $I (s)$ :

I(s)={\frac {1}{\,R+L\,s+{\frac {1}{\,C\,s\,}}\,}}V(s)\;.

И переставляя, мы имеем

I(s)={\frac {s}{\,L\ \left(s^{2}+{\frac {R}{\,L\,}}s+{\frac {1}{\,L\,C\,}}\right)\,}}V(s)\;.

допуск Лапласа

Решаем для пропускания Лапласа $Y (s)$ :

Y(s)={\frac {I(s)}{\,V(s)\,}}={\frac {s}{\,L\ \left(s^{2}+{\frac {R}{\,L\,}}s+{\frac {1}{\,L\,C\,}}\right)\,}}\,.

Упрощая с использованием параметров $α$ и $ω 0$ , определенных в предыдущем разделе, имеем

Y(s)={\frac {I(s)}{\,V(s)\,}}={\frac {s}{\,L\ \left(s^{2}+2\alpha s+\omega _{0}^{2}\right)\,}}\;.

Полюса и нули

Нули Y $($ $s$ $)$ — это те значения $s$ , при которых $Y$ $($ $s$ $) =$ $0$ :

s=0\quad {\mbox{and}}\quad |s|\rightarrow \infty \;.

Полюса Y $($ $s$ $)$ — это те значения $s$ , где $Y$ $($ $s$ $) \to$ $\infty$ . По квадратичной формуле находим

s=-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}\,}}\;.

Полюса $Y (s)$ идентичны корням $s 1$ и $s 2$ характеристического полинома дифференциального уравнения в разделе выше.

Общее решение

Для произвольного $V (t)$ решение, полученное путем обратного преобразования $I (s),$ имеет вид:

В случае недостаточного затухания $ω 0 > α$ :
$I(t)={\frac {1}{\,L\,}}\ \int _{0}^{t}V(t-\tau )e^{-\alpha \tau }\left[\cos(\omega _{\mathrm {d} }\tau )-{\frac {\alpha }{\ \omega _{\mathrm {d} }\ }}\sin(\omega _{\mathrm {d} }\tau )\right]\,d\tau \,,$
В случае критического затухания $ω 0 = α$ :
$\ I(t)={\frac {1}{\ L\ }}\ \int _{0}^{t}V(t-\tau )e^{-\alpha \tau }\ \left[\ 1-\alpha \tau \ \right]\ \mathrm {d} \tau \ ,$
В случае сверхдемпфирования $ω 0 < α$ :
$\ I(t)={\frac {1}{\ L\ }}\ \int _{0}^{t}V(t-\tau )e^{-\alpha \tau }\left[\cosh(\omega _{\mathrm {r} }\tau )-{\frac {\alpha }{\ \omega _{\mathrm {r} }\ }}\sinh(\omega _{\mathrm {r} }\tau )\right]\,d\tau \ ,$

где $ω r = \sqrt α 2 - ω 02$ , а $cosh$ и $sinh$ — обычные гиперболические функции .

Синусоидальное устойчивое состояние

Синусоидальное устойчивое состояние представляется, если $s = jω$ , где $j$ — мнимая единица . Принимая величину приведенного выше уравнения с этой заменой:

{\big |}Y(j\omega ){\big |}={\frac {1}{{\sqrt {R^{2}+\left(\omega L-{\frac {1}{\,\omega C\,}}\right)^{2}}}\,}}\;.

а ток как функцию $ω$ можно найти из

{\big |}I(j\omega ){\big |}={\big |}Y(j\omega ){\big |}\cdot {\bigl |}V(j\omega ){\bigr |}\;.

Существует пиковое значение $| I (jω) |$ . Значение $ω$ на этом пике в данном конкретном случае равно незатухающей собственной резонансной частоте. ^[17] Это означает, что максимальное напряжение на резисторе и, следовательно, максимальное рассеивание тепла происходит на собственной частоте.

\omega _{0}={\frac {1}{\,{\sqrt {L\ C\ }}\,}}\;.

Из частотной характеристики тока можно также определить частотную характеристику напряжений на различных элементах цепи (см. рисунок). Более того, максимальное напряжение на конденсаторе достигается на частоте

\omega _{C}={\frac {\ {\sqrt {{\tfrac {L}{\ C\ }}-{\tfrac {1}{2}}R^{2}}}\ }{L}}\;,

тогда как максимальное напряжение на индукторе возникает при

\omega _{L}={\frac {1}{\ C{\sqrt {{\tfrac {L}{\ C\ }}-{\tfrac {1}{2}}R^{2}\ }}\ }}\;.

В нем говорится: . $\omega _{C}<\omega _{0}<\omega _{L}$

Параллельная цепь

Свойства параллельной цепи RLC можно получить из соотношения двойственности электрических цепей и с учетом того, что параллельная цепь RLC является двойным сопротивлением последовательной цепи RLC. Учитывая это, становится ясно, что дифференциальные уравнения, описывающие эту цепь, идентичны общему виду уравнений, описывающих последовательную цепь RLC.

Для параллельной цепи затухание $α$ определяется по формуле ^[18]

\alpha ={\frac {1}{\,2\,R\,C\,}}

и коэффициент затухания, следовательно,

\zeta ={\frac {1}{\,2\,R\,}}{\sqrt {{\frac {L}{C}}~}}\,~.

Аналогично, другие масштабированные параметры, дробная полоса пропускания и $Q$ также являются обратными друг другу. Это означает, что широкополосная, низко $-Q$ схема в одной топологии станет узкополосной, высоко $-Q$ схемой в другой топологии, если она построена из компонентов с идентичными значениями. Дробная полоса пропускания и $Q$ параллельной схемы определяются как

{\begin{aligned}B_{\mathrm {f} }&={\frac {1}{\,R\,}}{\sqrt {{\frac {L}{C}}~}}\\Q&=R{\sqrt {{\frac {C}{L}}~}}\,~.\end{aligned}}

Обратите внимание, что приведенные здесь формулы являются обратными формулам для последовательной цепи, приведенным выше.

Частотная область

Комплексная проводимость этой цепи определяется путем сложения проводимостей компонентов:

{\begin{aligned}{\frac {1}{\,Z\,}}&={\frac {1}{\,Z_{L}\,}}+{\frac {1}{\,Z_{C}\,}}+{\frac {1}{\,Z_{R}\,}}\\&={\frac {1}{\,j\,\omega \,L\,}}+j\,\omega \,C+{\frac {1}{\,R\,}}\,.\end{aligned}}

Изменение последовательного соединения на параллельное приводит к тому, что в цепи при резонансе возникает пик импеданса, а не минимум, поэтому цепь является антирезонатором.

График напротив показывает, что существует минимум в частотной характеристике тока на резонансной частоте , когда цепь возбуждается постоянным напряжением. С другой стороны, если цепь возбуждается постоянным током, то будет максимум в напряжении, которое будет следовать той же кривой, что и ток в последовательной цепи. $~\omega _{0}=1/{\sqrt {\,L\,C~}}~$

Другие конфигурации

Последовательный резистор с индуктором в параллельной LC-цепи, как показано на рисунке 4, является топологией, которая часто встречается там, где необходимо учитывать сопротивление обмотки катушки и ее собственную емкость. Параллельные LC-цепи часто используются для полосовой фильтрации , и $Q$ в значительной степени определяется этим сопротивлением. Резонансная частота этой цепи равна ^[19]

\ \omega _{0}={\sqrt {{\frac {1}{\ LC\ }}-\left({\frac {R}{\ L\ }}\right)^{2}~}}\ .

Это резонансная частота цепи, определяемая как частота, на которой проводимость имеет нулевую мнимую часть. Частота, которая появляется в обобщенной форме характеристического уравнения (которое для этой цепи то же самое, что и ранее)

\ s^{2}+2\alpha s+{\omega '_{0}}^{2}=0\

не та же самая частота. В этом случае это естественная, незатухающая резонансная частота: ^[20]

\ \omega '_{0}\equiv {\frac {1}{\ {\sqrt {LC~}}\ }}\ .

Частота $ω max$ , при которой величина импеданса максимальна, определяется по формуле ^[21]

\ \omega _{\mathrm {max} }=\omega '_{0}\ {\sqrt {-{\frac {1}{\ Q_{L}^{2}\ ~}}+{\sqrt {1+{\frac {2}{\ Q_{L}^{2}\ }}~}}~}}\ ,

где $Q L ≡ .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ω′ 0 L/Р⁠$ — добротность катушки. Это можно хорошо аппроксимировать^[21]

\ \omega _{\mathrm {max} }\approx \omega '_{0}\ {\sqrt {1-{\frac {1}{\ 2Q_{L}^{4}\ }}~}}\ .

Кроме того, точная максимальная величина импеданса определяется по формуле ^[21]

\ |Z|_{\mathrm {max} }={\frac {RQ_{L}^{2}}{\ {\sqrt {2Q_{L}{\sqrt {Q_{L}^{2}+2\ }}-\left(2Q_{L}^{2}+1\right)~}}\ }}={\frac {RQ_{L}}{\ {\sqrt {2{\sqrt {1+2/Q_{L}^{2}\ }}-\left(2+1/Q_{L}^{2}\right)~}}\ }}\ .

Для значений это можно хорошо аппроксимировать ^[21] $\ Q_{L}\gg 1\ ,$

\ |Z|_{\mathrm {max} }\approx RQ_{L}^{2}\ .

В том же духе, резистор параллельно конденсатору в последовательной LC-цепи может быть использован для представления конденсатора с диэлектриком с потерями. Эта конфигурация показана на рисунке 5. Резонансная частота (частота, на которой импеданс имеет нулевую мнимую часть) в этом случае определяется как ^[22]

\ \omega _{0}={\sqrt {{\frac {1}{\ LC\ }}-{\frac {1}{\ (RC)^{2}\ }}\ }}\ ,

в то время как частота $ω m,$ при которой величина импеданса минимальна, определяется выражением

\ \omega _{\mathrm {m} }=\omega '_{0}\ {\sqrt {-{\frac {1}{\ Q_{C}^{2}\ }}+{\sqrt {1+{\frac {2}{\ Q_{C}^{2}\ }}\ }}\ }}\ ,

где $Q C = ω' 0 RC$ .

История

Первое доказательство того, что конденсатор может производить электрические колебания, было обнаружено в 1826 году французским ученым Феликсом Савари . ^[23]^[24] Он обнаружил, что когда лейденская банка разряжалась через провод, намотанный вокруг железной иглы, иногда игла оставалась намагниченной в одном направлении, а иногда в противоположном. Он правильно сделал вывод, что это было вызвано затухающим колебательным разрядным током в проводе, который менял намагниченность иглы туда и обратно, пока она не становилась слишком малой, чтобы оказывать эффект, оставляя иглу намагниченной в случайном направлении.

Американский физик Джозеф Генри повторил эксперимент Савари в 1842 году и пришел к такому же выводу, по-видимому, независимо. ^[25]^[26] Британский ученый Уильям Томсон (лорд Кельвин) в 1853 году математически показал, что разряд лейденской банки через индуктивность должен быть колебательным, и вывел его резонансную частоту. ^[23]^[25]^[26]

Британский радиоисследователь Оливер Лодж , разряжая большую батарею лейденских банок через длинный провод, создал настроенный контур с резонансной частотой в звуковом диапазоне, который производил музыкальный тон от искры при разряде. ^[25] В 1857 году немецкий физик Беренд Вильгельм Феддерсен сфотографировал искру, произведенную резонансным контуром лейденской банки во вращающемся зеркале, предоставив визуальное доказательство колебаний. ^[23]^[25]^[26] В 1868 году шотландский физик Джеймс Клерк Максвелл рассчитал эффект приложения переменного тока к контуру с индуктивностью и емкостью, показав, что отклик максимален на резонансной частоте. ^[23]

Первый пример кривой электрического резонанса был опубликован в 1887 году немецким физиком Генрихом Герцем в его пионерской статье об открытии радиоволн, показывающей длину искры, которую можно получить с помощью его детекторов с LC-резонатором с искровым зазором, как функцию частоты. ^[23]

Одной из первых демонстраций резонанса между настроенными контурами был эксперимент Лоджа с «синтоническими банками» около 1889 года ^[23]^[25] Он поместил два резонансных контура рядом друг с другом, каждый из которых состоял из лейденской банки, соединенной с регулируемой одновитковой катушкой с искровым зазором. Когда высокое напряжение от индукционной катушки было подано на один настроенный контур, создавая искры и, таким образом, осциллирующие токи, искры возбуждались в другом настроенном контуре только тогда, когда индукторы были настроены на резонанс. Лодж и некоторые английские ученые предпочитали термин « синтония » для этого эффекта, но термин « резонанс » в конечном итоге прижился. ^[23]

Первое практическое применение RLC-цепей было в 1890-х годах в радиопередатчиках с искровым зазором , чтобы позволить приемнику настраиваться на передатчик. Первый патент на радиосистему, которая позволяла настраиваться, был подан Лоджем в 1897 году, хотя первые практические системы были изобретены в 1900 году англо-итальянским пионером радио Гульельмо Маркони . ^[23]

Приложения

Переменные настроенные контуры

Очень часто эти схемы используются в схемах настройки аналоговых радиоприемников. Регулируемая настройка обычно достигается с помощью переменного конденсатора с параллельными пластинами, который позволяет изменять значение $C и настраиваться на станции на разных частотах. Для$ каскада ПЧ в радиоприемнике, где настройка предварительно установлена на заводе, более обычным решением является регулируемый сердечник в индукторе для регулировки $L.$ В этой конструкции сердечник (изготовленный из материала с высокой проницаемостью , который имеет эффект увеличения индуктивности) имеет резьбу, так что его можно ввинчивать глубже или вывинчивать дальше из обмотки индуктора по мере необходимости.

Фильтры

В фильтрующем приложении резистор становится нагрузкой, на которую работает фильтр. Значение коэффициента затухания выбирается на основе желаемой полосы пропускания фильтра. Для более широкой полосы пропускания требуется большее значение коэффициента затухания (и наоборот). Три компонента дают разработчику три степени свободы. Два из них требуются для установки полосы пропускания и резонансной частоты. У разработчика по-прежнему остается один, который можно использовать для масштабирования $R$ , $L$ и $C$ до удобных практических значений. В качестве альтернативы $R$ может быть предопределен внешней схемой, которая будет использовать последнюю степень свободы.

Фильтр нижних частот

В качестве фильтра нижних частот можно использовать схему RLC. Конфигурация схемы показана на рисунке 6. Частота среза, то есть частота точки 3 дБ, определяется как

\omega _{\mathrm {c} }={\frac {1}{\sqrt {LC}}}\,.

Это также полоса пропускания фильтра. Коэффициент затухания определяется как ^[27]

\zeta ={\frac {1}{2R_{L}}}{\sqrt {\frac {L}{C}}}\,.

Фильтр верхних частот

Фильтр верхних частот показан на рисунке 7. Частота среза такая же, как у фильтра нижних частот:

\omega _{\mathrm {c} }={\frac {1}{\sqrt {LC}}}\,.

Фильтр имеет полосу заграждения такой ширины. ^[28]

Полосовой фильтр

Полосовой фильтр может быть сформирован с помощью RLC-цепи, либо путем размещения последовательной LC-цепи последовательно с нагрузочным резистором, либо путем размещения параллельной LC-цепи параллельно с нагрузочным резистором. Эти схемы показаны на рисунках 8 и 9 соответственно. Центральная частота определяется как

\omega _{\mathrm {c} }={\frac {1}{\sqrt {LC}}}\,,

а полоса пропускания для последовательной цепи равна ^[29]

\Delta \omega ={\frac {R_{L}}{L}}\,.

Шунтовая версия схемы предназначена для работы от источника с высоким импедансом, то есть источника постоянного тока. При таких условиях полоса пропускания составляет ^[29]

\Delta \omega ={\frac {1}{CR_{L}}}\,.

Полосовой режекторный фильтр

На рисунке 10 показан режекторный фильтр, образованный последовательной LC-цепью, шунтирующей нагрузку. На рисунке 11 показан режекторный фильтр, образованный параллельной LC-цепью, последовательной с нагрузкой. В первом случае требуется источник с высоким импедансом, чтобы ток отводился в резонатор, когда он становится низкоимпедансным при резонансе. Во втором случае требуется источник с низким импедансом, чтобы напряжение падало на антирезонаторе, когда он становится высокоимпедансным при резонансе. ^[30]

Осцилляторы

Для приложений в цепях генераторов обычно желательно сделать затухание (или, что эквивалентно, коэффициент затухания) как можно меньше. На практике эта цель требует сделать сопротивление цепи $R$ настолько малым, насколько это физически возможно для последовательной цепи, или, в качестве альтернативы, увеличить $R$ до максимально возможного для параллельной цепи. В любом случае цепь RLC становится хорошим приближением к идеальной цепи LC . Однако для цепей с очень низким затуханием (высокая $добротность$ ) такие проблемы, как диэлектрические потери катушек и конденсаторов, могут стать важными.

В колебательном контуре

\alpha \ll \omega _{0}\,,

или эквивалентно

\zeta \ll 1\,.

Как результат,

\omega _{\mathrm {d} }\approx \omega _{0}\,.

Умножитель напряжения

В последовательной RLC-цепи при резонансе ток ограничен только сопротивлением цепи.

I={\frac {V}{R}}\,.

Если $R$ мало, например, состоит только из сопротивления обмотки индуктора, то этот ток будет большим. Он будет падать напряжение на индукторе

V_{L}={\frac {V}{R}}\omega _{0}L\,.

Равное по величине напряжение будет также наблюдаться на конденсаторе, но в противофазе с индуктивностью. Если $R$ можно сделать достаточно малым, эти напряжения могут быть в несколько раз больше входного напряжения. Отношение напряжений, по сути, является добротностью $схемы$ ,

{\frac {V_{L}}{V}}=Q\,.

Похожий эффект наблюдается с токами в параллельной цепи. Несмотря на то, что цепь кажется высокоимпедансной по отношению к внешнему источнику, во внутреннем контуре параллельной индуктивности и конденсатора циркулирует большой ток.

Цепь импульсного разряда

Сверхдемпфированная последовательная цепь RLC может использоваться как цепь импульсного разряда. Часто бывает полезно знать значения компонентов, которые могут быть использованы для создания формы волны. Это описывается формой

I(t)=I_{0}\left(\,e^{-\alpha \,t}-e^{-\beta \,t}\right)\,.

Такая схема может состоять из конденсатора для хранения энергии, нагрузки в виде сопротивления, некоторой индуктивности цепи и переключателя – все последовательно. Начальные условия таковы, что конденсатор находится под напряжением $V 0$ , и в катушке индуктивности нет тока. Если индуктивность $L$ известна, то остальные параметры определяются следующим образом – емкостью:

C={\frac {1}{~L\,\alpha \,\beta \,~}}\,,

сопротивление (суммарное цепи и нагрузки):

R=L\,(\,\alpha +\beta \,)\,,

Начальное напряжение на клеммах конденсатора:

V_{0}=-I_{0}L\,\alpha \,\beta \,\left({\frac {1}{\beta }}-{\frac {1}{\alpha }}\right)\,.

Перестановка для случая, когда $R$ известна – емкость:

C={\frac {~\alpha +\beta ~}{R\,\alpha \,\beta }}\,,

индуктивность (суммарная цепи и нагрузки):

L={\frac {R}{\,\alpha +\beta ~}}\,,

Начальное напряжение на клеммах конденсатора:

V_{0}={\frac {\,-I_{0}R\,\alpha \,\beta ~}{\alpha +\beta }}\left({\frac {1}{\beta }}-{\frac {1}{\alpha }}\right)\,.

Смотрите также

Сноски

^ Реакция RLC на возбуждающее напряжение происходит на частоте колебаний без потерь, даже если может присутствовать сопротивление потерь $R.$ Возбужденный резонанс не происходит на частоте затухающих свободных колебаний, с более сложной формулой (см. ниже), которая дает уменьшенное значение из-за затухания ( $R$ ), которое применяется только к свободным колебаниям (без возбуждающего сигнала). $\ {\frac {1}{\ 2\pi {\sqrt {LC\ }}\ }}\ ,$

Ссылки

↑ Кайзер, стр. 7.71–7.72.
^ abc Лонг, Стив (2004-04-15) [2002-01-17]. Родвелл, Марк (ред.). "Резонансные контуры – резонаторы и Q" (PDF) . ECE145B / ECE 218B. ece.ucsb.edu (конспекты курса). Электротехника и вычислительная техника. Санта-Барбара, Калифорния: Калифорнийский университет в Санта-Барбаре . Получено 21 октября 2016 г.
↑ Нильссон и Ридель, стр. 308.
↑ Агарвал и Лэнг, стр. 641.
↑ Агарвал и Лэнг, стр. 646.
↑ Ирвин, стр. 217–220.
^ ab Агарвал и Лэнг, стр. 656.
^ Нильссон и Ридель, стр. 287–288.
↑ Ирвин, стр. 532.
↑ Агарвал и Лэнг, стр. 648.
^ ab Нильссон и Ридель, стр. 295.
↑ Хумар, стр. 223–224.
↑ Агарвал и Лэнг, стр. 692.
↑ Нильссон и Ридель, стр. 303.
↑ Ирвин, стр. 220.
^ Этот раздел основан на примере 4.2.13 из Debnath, Lokenath; Bhatta, Dambaru (2007). Integral Transforms and Their Applications (2nd ed.). Chapman & Hall/CRC. pp. 198–202. ISBN 978-1-58488-575-7.(Некоторые обозначения были изменены для соответствия остальной части статьи.)
↑ Кумар и Кумар, Электрические цепи и сети , стр. 464.
↑ Нильссон и Ридель, стр. 286.
↑ Кайзер, стр. 5.26–5.27.
↑ Агарвал и Лэнг, стр. 805.
^ abcd Картрайт, К. В.; Джозеф, Э.; Каминский, Э. Дж. (2010). «Нахождение точной максимальной резонансной частоты импеданса практического параллельного резонансного контура без исчисления» (PDF) . The Technology Interface International Journal . 11 (1): 26–34.
↑ Кайзер, стр. 5.25–5.26.
^ abcdefgh Бланчард, Джулиан (октябрь 1941 г.). «История электрического резонанса». Bell System Technical Journal . 20 (4). США: AT&T: 415. doi :10.1002/j.1538-7305.1941.tb03608.x. S2CID 51669988. Получено 25.02.2013 .
^ Савари, Феликс (1827). «Воспоминания о чувстве». Annales de Chimie et de Physique . 34 . Париж: Массон: 5–37.
^ abcde Кимбалл, Артур Лаланн (1917). Учебник физики для колледжей (2-е изд.). Нью-Йорк: Henry Hold. С. 516–517.
^ abc Huurdeman, Anton A. (2003). Всемирная история телекоммуникаций. США: Wiley-IEEE. С. 199–200. ISBN 0-471-20505-2.
↑ Кайзер, стр. 7.14–7.16.
↑ Кайзер, стр. 7.21.
^ ab Kaiser, стр. 7.21–7.27.
↑ Кайзер, стр. 7.30–7.34.

Библиография

Агарвал, Анант; Ланг, Джеффри Х. (2005). Основы аналоговых и цифровых электронных схем . Морган Кауфманн. ISBN 1-55860-735-8.
Хумар, Дж. Л. (2002). Динамика структур . Тейлор и Фрэнсис. ISBN 90-5809-245-3.
Ирвин, Дж. Дэвид (2006). Базовый инженерный анализ цепей . Wiley. ISBN 7-302-13021-3.
Кайзер, Кеннет Л. (2004). Справочник по электромагнитной совместимости . CRC Press. ISBN 0-8493-2087-9.
Нильссон, Джеймс Уильям; Ридель, Сьюзен А. (2008). Электрические цепи . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-198925-2.