гребень Дирака

Периодическое распределение («функция») «точечной массы» дельта-выборки Дирака

График функции гребёнки Дирака представляет собой бесконечный ряд дельта-функций Дирака, расположенных с интервалом T

В математике гребень Дирака (также известный как функция sha , импульсная последовательность или функция выборки ) — это периодическая функция с формулой для некоторого заданного периода . ^[1] Здесь t — действительная переменная, а сумма распространяется на все целые числа k. Дельта-функция Дирака и гребень Дирака — это темперированные распределения . ^{[2] [3]} График функции напоминает гребень (с s в качестве зубцов гребня ), отсюда ее название и использование похожей на гребень кириллической буквы sha (Ш) для обозначения функции. $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)\ :=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT)}$$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$

Символ , где период опущен, представляет собой гребень Дирака с единичным периодом. Это подразумевает ^[1] ${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} \,\,(t)}$ $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)\ ={\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} \ \!\!\!\left({\frac {t}{T}}\right).}$$

Поскольку функция гребня Дирака является периодической, ее можно представить в виде ряда Фурье, основанного на ядре Дирихле : ^[1] $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi n{\frac {t}{T}}}.}$$

Функция гребня Дирака позволяет представлять как непрерывные , так и дискретные явления, такие как выборка и наложение спектров , в единой структуре непрерывного анализа Фурье на умеренных распределениях, без какой-либо ссылки на ряды Фурье. Преобразование Фурье гребня Дирака является еще одним гребнем Дирака. Благодаря теореме о свертке на умеренных распределениях, которая оказывается формулой суммирования Пуассона , в обработке сигналов гребень Дирака позволяет моделировать выборку путем умножения с ней, но он также позволяет моделировать периодизацию путем свертки с ней. ^[4]

тождество Дирака-гребня

Гребень Дирака можно построить двумя способами: либо с помощью оператора гребенки (выполняя выборку ), примененного к функции, которая является постоянной , либо, в качестве альтернативы, с помощью оператора rep (выполняя периодизацию ), примененного к дельте Дирака . Формально это дает следующее: ^{[5] [6]} где и ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \delta }$ $${\displaystyle \operatorname {comb} _{T}\{1\}=\operatorname {\text{Ш}} _{T}=\operatorname {rep} _{T}\{\delta \},}$$ $${\displaystyle \operatorname {comb} _{T}\{f(t)\}\triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }\,f(kT)\,\delta (t-kT)}$$ $${\displaystyle \operatorname {rep} _{T}\{g(t)\}\triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }\,g(t-kT).}$$

При обработке сигналов это свойство, с одной стороны, позволяет производить выборку функции путем умножения на , а с другой стороны, оно также допускает периодизацию путем свертки с . ^[7] Тождество гребня Дирака является частным случаем теоремы о свертке для умеренных распределений. ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}}$

Масштабирование

Масштабное свойство гребня Дирака следует из свойств дельта-функции Дирака . Поскольку ^[8] для положительных действительных чисел следует, что: Обратите внимание, что требование положительных масштабных чисел вместо отрицательных не является ограничением, поскольку отрицательный знак только меняет порядок суммирования внутри , что не влияет на результат. ${\displaystyle \delta (t)={\frac {1}{a}}\ \delta \!\left({\frac {t}{a}}\right)}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}\left(t\right)={\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} \,\!\left({\frac {t}{T}}\right),}$$ $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ aT}\left(t\right)={\frac {1}{aT}}\operatorname {\text{Ш}} \,\!\left({\frac {t}{aT}}\right)={\frac {1}{a}}\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}\!\!\left({\frac {t}{a}}\right).}$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}}$

ряд Фурье

Ясно, что является периодической с периодом . То есть, для всех t . Комплексный ряд Фурье для такой периодической функции имеет вид где коэффициенты Фурье (символически) ${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t+T)=\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)}$$ $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{i2\pi n{\frac {t}{T}}},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}&={\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)e^{-i2\pi n{\frac {t}{T}}}\,dt\quad (-\infty <t_{0}<+\infty )\\&={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)e^{-i2\pi n{\frac {t}{T}}}\,dt\\&={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\delta (t)e^{-i2\pi n{\frac {t}{T}}}\,dt\\&={\frac {1}{T}}e^{-i2\pi n{\frac {0}{T}}}\\&={\frac {1}{T}}.\end{aligned}}}$$

Все коэффициенты Фурье равны 1/ T , что приводит к $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\!\!e^{i2\pi n{\frac {t}{T}}}.}$$

Когда период равен одной единице, это упрощается до Это расходящийся ряд , если понимать его как ряд обычных комплексных чисел, но он становится сходящимся в смысле распределений . $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} \ \!(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\!\!e^{i2\pi nx}.}$$

«Квадратный корень» гребня Дирака используется в некоторых приложениях к физике, в частности: ^[9] Однако это не распределение в обычном смысле. $${\displaystyle \delta _{N}^{(1/2)}(\xi )={\frac {1}{\sqrt {NT}}}\sum _{\nu =0}^{N-1}e^{-i{\frac {2\pi }{T}}\xi \nu },\quad \lim _{N\rightarrow \infty }\left|\delta _{N}^{(1/2)}(\xi )\right|^{2}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\xi -kT).}$$

преобразование Фурье

Преобразование Фурье гребня Дирака также является гребнем Дирака. Для преобразования Фурье, выраженного в частотной области (Гц), гребень Дирака периода преобразуется в перемасштабированный гребень Дирака периода, т.е. для ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 1/T,}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[f\right](\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }dtf(t)e^{-2\pi i\xi t},}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[\operatorname {\text{Ш}} _{T}\right](\xi )={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\xi -k{\frac {1}{T}})={\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\ {\frac {1}{T}}}(\xi )~}$

пропорционален другому гребню Дирака, но с периодом в частотной области (радиан/с). Гребень Дирака с единичным периодом является, таким образом, собственной функцией собственного значения ${\displaystyle 1/T}$ ${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} }$ ${\displaystyle T=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle 1.}$

Этот результат можно установить ^[7], рассматривая соответствующие преобразования Фурье семейства функций, определяемых формулой ${\displaystyle S_{\tau }(\xi )={\mathcal {F}}[s_{\tau }](\xi )}$ ${\displaystyle s_{\tau }(x)}$

${\displaystyle s_{\tau }(x)=\tau ^{-1}e^{-\pi \tau ^{2}x^{2}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-\pi \tau ^{-2}(x-n)^{2}}.}$

Так как представляет собой сходящийся ряд гауссовых функций , а гауссианы преобразуются в гауссианы , каждое из их соответствующих преобразований Фурье также приводит к ряду гауссианов, и явный расчет устанавливает, что ${\displaystyle s_{\tau }(x)}$ ${\displaystyle S_{\tau }(\xi )}$

${\displaystyle S_{\tau }(\xi )=\tau ^{-1}\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{-\pi \tau ^{2}m^{2}}e^{-\pi \tau ^{-2}(\xi -m)^{2}}.}$

Таким образом, каждая из функций и напоминает периодическую функцию, состоящую из серии равноотстоящих гауссовых пиков , и чьи соответствующие "высоты" (префакторы) определяются медленно убывающими гауссовыми огибающими функциями, которые падают до нуля на бесконечности. Обратите внимание, что в пределе каждый гауссовский пик становится бесконечно острым импульсом Дирака, центрированным соответственно в и для каждого соответствующего и , и, следовательно, также все префакторы в в конечном итоге становятся неотличимыми от . Поэтому функции и их соответствующие преобразования Фурье сходятся к одной и той же функции, и эта предельная функция представляет собой серию бесконечных равноотстоящих гауссовых пиков, причем каждый пик умножается на один и тот же префактор, равный единице, т. е. на гребень Дирака для единичного периода: ${\displaystyle s_{\tau }(x)}$ ${\displaystyle S_{\tau }(\xi )}$ ${\displaystyle \tau ^{-1}e^{-\pi \tau ^{-2}(x-n)^{2}}}$ ${\displaystyle \tau ^{-1}e^{-\pi \tau ^{-2}(\xi -m)^{2}}}$ ${\displaystyle \tau \rightarrow 0}$ ${\displaystyle x=n}$ ${\displaystyle \xi =m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle e^{-\pi \tau ^{2}m^{2}}}$ ${\displaystyle S_{\tau }(\xi )}$ ${\displaystyle e^{-\pi \tau ^{2}\xi ^{2}}}$ ${\displaystyle s_{\tau }(x)}$ ${\displaystyle S_{\tau }(\xi )}$

${\displaystyle \lim _{\tau \rightarrow 0}s_{\tau }(x)=\operatorname {\text{Ш}} ({x}),}$ и ${\displaystyle \lim _{\tau \rightarrow 0}S_{\tau }(\xi )=\operatorname {\text{Ш}} ({\xi }).}$

Так как , то в этом пределе получаем результат, который нужно продемонстрировать: ${\displaystyle S_{\tau }={\mathcal {F}}[s_{\tau }]}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}[\operatorname {\text{Ш}} ]=\operatorname {\text{Ш}} .}$

Соответствующий результат для периода можно найти, используя свойство масштабирования преобразования Фурье , ${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}[\operatorname {\text{Ш}} _{T}]={\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\frac {1}{T}}.}$

Другой способ установить, что гребень Дирака преобразуется в другой гребень Дирака, начинается с изучения непрерывных преобразований Фурье периодических функций в целом, а затем специализируется на случае гребня Дирака. Чтобы также показать, что конкретное правило зависит от соглашения для преобразования Фурье, это будет показано с использованием угловой частоты с для любой периодической функции ее преобразованием Фурье ${\displaystyle \omega =2\pi \xi :}$ ${\displaystyle f(t)=f(t+T)}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[f\right](\omega )=F(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }dtf(t)e^{-i\omega t}}$ подчиняется:

${\displaystyle F(\omega )(1-e^{i\omega T})=0}$

потому что преобразование Фурье и приводит к и Это уравнение подразумевает, что почти всюду с единственными возможными исключениями, лежащими в с и При оценке преобразования Фурье в соответствующем выражении ряда Фурье получается соответствующая дельта-функция. Для особого случая преобразования Фурье гребня Дирака интеграл ряда Фурье за ​​один период охватывает только функцию Дирака в начале координат и, таким образом, дает для каждого Это можно обобщить, интерпретируя гребень Дирака как предел ядра Дирихле таким образом, что в позициях все экспоненты в сумме указывают в одном направлении и складываются конструктивно. Другими словами, непрерывное преобразование Фурье периодических функций приводит к ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle f(t+T)}$ ${\displaystyle F(\omega )}$ ${\displaystyle F(\omega )e^{i\omega T}.}$ ${\displaystyle F(\omega )=0}$ ${\displaystyle \omega =k\omega _{0},}$ ${\displaystyle \omega _{0}=2\pi /T}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle F(k\omega _{0})}$ ${\displaystyle 1/T}$ ${\displaystyle k.}$ ${\displaystyle \omega =k\omega _{0},}$ ${\displaystyle \sum \nolimits _{m=-\infty }^{\infty }e^{\pm i\omega mT}}$

${\displaystyle F(\omega )=2\pi \sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}\delta (\omega -k\omega _{0})}$с ${\displaystyle \omega _{0}=2\pi /T,}$

и

${\displaystyle c_{k}={\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{+T/2}dtf(t)e^{-i2\pi kt/T}.}$

Коэффициенты ряда Фурье для всех , когда , т.е. ${\displaystyle c_{k}=1/T}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f\rightarrow \operatorname {\text{Ш}} _{T}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[\operatorname {\text{Ш}} _{T}\right](\omega )={\frac {2\pi }{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -k{\frac {2\pi }{T}})}$

еще один гребень Дирака, но с периодом в области угловых частот (радиан/с). ${\displaystyle 2\pi /T}$

Как уже упоминалось, конкретное правило зависит от соглашения об используемом преобразовании Фурье. Действительно, при использовании свойства масштабирования дельта-функции Дирака, вышесказанное может быть повторно выражено в обычной частотной области (Гц) и снова получается: $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t){\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}{\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\ {\frac {1}{T}}}(\xi )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\!\!e^{-i2\pi \xi nT},}$$

таким образом, что гребень Дирака с единичным периодом преобразуется в себя: $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} \ \!(t){\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\operatorname {\text{Ш}} \ \!(\xi ).}$$

Наконец, гребень Дирака также является собственной функцией унитарного непрерывного преобразования Фурье в пространстве угловых частот к собственному значению 1, когда, поскольку для унитарного преобразования Фурье ${\displaystyle T={\sqrt {2\pi }}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[f\right](\omega )=F(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }dtf(t)e^{-i\omega t},}$

вышесказанное можно перефразировать как $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t){\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}{\frac {\sqrt {2\pi }}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\ {\frac {2\pi }{T}}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\!\!e^{-i\omega nT}.}$$

Выборка и наложение псевдонимов

Умножение любой функции на гребенку Дирака преобразует ее в последовательность импульсов с интегралами, равными значению функции в узлах гребенки. Эта операция часто используется для представления выборки. $${\displaystyle (\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}x)(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\!\!x(t)\delta (t-kT)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\!\!x(kT)\delta (t-kT).}$$

Благодаря свойству самопреобразования гребня Дирака и теореме о свертке это соответствует свертке с гребнем Дирака в частотной области. $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}x\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ {\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\frac {1}{T}}*X}$$

Поскольку свертка с дельта-функцией эквивалентна сдвигу функции на , свертка с гребнем Дирака соответствует репликации или периодическому суммированию : ${\displaystyle \delta (t-kT)}$ ${\displaystyle kT}$

${\displaystyle (\operatorname {\text{Ш}} _{\ {\frac {1}{T}}}\!*X)(f)=\!\sum _{k=-\infty }^{\infty }\!\!X\!\left(f-{\frac {k}{T}}\right)}$

Это приводит к естественной формулировке теоремы выборки Найквиста–Шеннона . Если спектр функции не содержит частот выше B (т.е. ее спектр отличен от нуля только в интервале ), то выборок исходной функции в интервалах достаточно для восстановления исходного сигнала. Достаточно умножить спектр выборочной функции на подходящую прямоугольную функцию , что эквивалентно применению фильтра нижних частот типа «кирпичная стена» . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (-B,B)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2B}}}$

${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ \!{\frac {1}{2B}}}x\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ \ 2B\,\operatorname {\text{Ш}} _{\ 2B}*X}$

${\displaystyle {\frac {1}{2B}}\Pi \left({\frac {f}{2B}}\right)(2B\,\operatorname {\text{Ш}} _{\ 2B}*X)=X}$

Во временной области это «умножение с функцией rect» эквивалентно «свертке с функцией sinc». ^[10] Следовательно, оно восстанавливает исходную функцию из ее выборок. Это известно как интерполяционная формула Уиттекера–Шеннона .

Замечание : Строго говоря, умножение функции rect на обобщенную функцию, такую ​​как гребень Дирака, не удается. Это происходит из-за неопределенных результатов произведения умножения на границах интервала. В качестве обходного пути можно использовать унитарную функцию Лайтхилла вместо функции rect. Она гладкая на границах интервала, поэтому она дает определенные произведения умножения везде, см. подробности в Lighthill 1958, стр. 62, теорема 22.

Использование в направленной статистике

В направленной статистике гребень Дирака периода эквивалентен обернутой дельта-функции Дирака и является аналогом дельта-функции Дирака в линейной статистике. ${\displaystyle 2\pi }$

В линейной статистике случайная величина обычно распределена по действительной числовой прямой или некоторому ее подмножеству, а плотность вероятности — это функция, областью определения которой является множество действительных чисел, а интеграл от до которой равен единице. В направленной статистике случайная величина распределена по единичной окружности, а плотность вероятности — это функция, областью определения которой является некоторый интервал действительных чисел длины , а интеграл по этому интервалу равен единице. Так же как интеграл произведения дельта-функции Дирака с произвольной функцией по действительной числовой прямой дает значение этой функции в нуле, так и интеграл произведения гребня Дирака с периодом на произвольную функцию периода по единичной окружности дает значение этой функции в нуле. ${\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle (\theta )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$

Смотрите также

• Гребенчатый фильтр
• Частотная гребенка
• Формула суммирования Пуассона
• Тета-функция

Примечания

1. "The Dirac Comb and its Fourier Transform". dspillustrations.com . Получено 28 июня 2022 г. .
2. Шварц, Л. (1951). Теория распределений . Том. I–II. Париж: Германн.
3. Стрихартц, Р. (1994). Руководство по теории распределения и преобразованиям Фурье . CRC Press. ISBN 0-8493-8273-4.
4. Брейсвелл, Р. Н. (1986) [1-е изд. 1965, 2-е изд. 1978]. Преобразование Фурье и его приложения (пересмотренное издание). McGraw-Hill.
5. Вудворд 1953.
6. Брэндвуд 2003.
7. Брейсвелл 1986.
8. Рахман, М. (2011). Приложения преобразований Фурье к обобщенным функциям . Саутгемптон: WIT Press. ISBN 978-1-84564-564-9.
9. Шлейх, Вольфганг (2001). Квантовая оптика в фазовом пространстве (1-е изд.). Wiley-VCH. С. 683–684. ISBN 978-3-527-29435-0.
10. Вудворд 1953, стр. 33–34.

Ссылки

• Брэндвуд, Д. (2003). Преобразования Фурье в радиолокации и обработке сигналов . Бостон: Artech House. ISBN 1580531741. LCCN  2002044073.
• Лайтхилл, М. Дж. (1958). Введение в анализ Фурье и обобщенные функции . Кембридж: Cambridge University Press. doi : 10.1017/CBO9781139171427. ISBN 978-0-521-05556-7.
• Вудворд, П. М. (1953). Теория вероятностей и информации с приложениями к радарам . Pergamon Press. OCLC  6570386.

Дальнейшее чтение

• Córdoba, A (1989). «Dirac combs» (Расчески Дирака). Письма в математическую физику . 17 (3): 191–196. Bibcode : 1989LMaPh..17..191C. doi : 10.1007/BF00401584. S2CID  189883287.