Теорема о свертке

Теорема в математике

В математике теорема о свертке утверждает, что при подходящих условиях преобразование Фурье свертки двух функций (или сигналов ) является произведением их преобразований Фурье. В более общем смысле свертка в одной области (например, временной области ) равна поточечному умножению в другой области (например, частотной области ). Другие версии теоремы о свертке применимы к различным преобразованиям, связанным с Фурье .

Функции непрерывной переменной

Рассмотрим две функции и с преобразованиями Фурье и : ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle v(x)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{u\}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }u(x)e^{-i2\pi fx}\,dx,\quad f\in \mathbb {R} \\V(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{v\}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }v(x)e^{-i2\pi fx}\,dx,\quad f\in \mathbb {R} \end{aligned}}}$

где обозначает оператор преобразования Фурье . Преобразование может быть нормализовано другими способами, в этом случае постоянные масштабные коэффициенты (обычно или ) появятся в теореме о свертке ниже. Свертка и определяется как: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle r(x)=\{u*v\}(x)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }u(\tau )v(x-\tau )\,d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }u(x-\tau )v(\tau )\,d\tau .}$

В этом контексте звездочка обозначает свертку, а не стандартное умножение. Иногда вместо этого используется символ тензорного произведения . ${\displaystyle \otimes }$

Теорема о свертке гласит : ^{[1] [2] : ур.8}

Применение обратного преобразования Фурье дает следствие : ^{[2] : ур.7, 10} ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1},}$

Теорема о свертке

Теорема также обычно применима к многомерным функциям.

Эта теорема справедлива также для преобразования Лапласа , двустороннего преобразования Лапласа и, при соответствующей модификации, для преобразования Меллина и преобразования Хартли (см. теорему об обращении Меллина ). Она может быть распространена на преобразование Фурье абстрактного гармонического анализа, определенного над локально компактными абелевыми группами .

Периодическая свертка (коэффициенты ряда Фурье)

Рассмотрим -периодические функции   и   которые можно выразить в виде периодических сумм : ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle u_{_{P}}}$ ${\displaystyle v_{_{P}},}$

${\displaystyle u_{_{P}}(x)\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }u(x-mP)}$   и   ${\displaystyle v_{_{P}}(x)\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }v(x-mP).}$

На практике ненулевая часть компонентов и часто ограничена длительностью, но ничто в теореме этого не требует. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle P,}$

Коэффициенты ряда Фурье :

${\displaystyle {\begin{aligned}U[k]&\triangleq {\mathcal {F}}\{u_{_{P}}\}[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}u_{_{P}}(x)e^{-i2\pi kx/P}\,dx,\quad k\in \mathbb {Z} ;\quad \quad \scriptstyle {\text{integration over any interval of length }}P\\V[k]&\triangleq {\mathcal {F}}\{v_{_{P}}\}[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}v_{_{P}}(x)e^{-i2\pi kx/P}\,dx,\quad k\in \mathbb {Z} \end{aligned}}}$

где обозначает интеграл ряда Фурье . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

• Произведение: также является -периодическим, а его коэффициенты ряда Фурье задаются дискретной сверткой последовательностей и : ${\displaystyle u_{_{P}}(x)\cdot v_{_{P}}(x)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{u_{_{P}}\cdot v_{_{P}}\}[k]=\{U*V\}[k].}$

• Свертка:

${\displaystyle {\begin{aligned}\{u_{_{P}}*v\}(x)\ &\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }u_{_{P}}(x-\tau )\cdot v(\tau )\ d\tau \\&\equiv \int _{P}u_{_{P}}(x-\tau )\cdot v_{_{P}}(\tau )\ d\tau ;\quad \quad \scriptstyle {\text{integration over any interval of length }}P\end{aligned}}}$

также является -периодическим и называется периодической сверткой . ${\displaystyle P}$

Соответствующая теорема о свертке имеет вид :

Функции дискретной переменной (последовательности)

По аналогии с уравнением 1, существует аналогичная теорема для последовательностей, таких как выборки двух непрерывных функций, где теперь обозначает оператор дискретного преобразования Фурье (DTFT). Рассмотрим две последовательности и с преобразованиями и : ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle u[n]}$ ${\displaystyle v[n]}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{u\}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }u[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\;,\quad f\in \mathbb {R} ,\\V(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{v\}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }v[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\;,\quad f\in \mathbb {R} .\end{aligned}}}$

Дискретная свертка § и определяется как : ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle r[n]\triangleq (u*v)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }u[m]\cdot v[n-m]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }u[n-m]\cdot v[m].}$

Теорема о свертке для дискретных последовательностей : ^{[3] [4] : стр.60 (2.169)}

Периодическая свертка

${\displaystyle U(f)}$и, как определено выше, являются периодическими с периодом 1. Рассмотрим -периодические последовательности и : ${\displaystyle V(f),}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle u_{_{N}}}$ ${\displaystyle v_{_{N}}}$

${\displaystyle u_{_{N}}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }u[n-mN]}$   и   ${\displaystyle v_{_{N}}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }v[n-mN],\quad n\in \mathbb {Z} .}$

Эти функции возникают в результате выборки и с интервалами и выполнения обратного дискретного преобразования Фурье (ДПФ) над выборками (см. § Выборка ДПФ ). Дискретная свертка : ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 1/N}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \{u_{_{N}}*v\}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }u_{_{N}}[m]\cdot v[n-m]\equiv \sum _{m=0}^{N-1}u_{_{N}}[m]\cdot v_{_{N}}[n-m]}$

также является -периодическим и называется периодической сверткой . Переопределяя оператор как -длину ДПФ, соответствующая теорема выглядит так: ^{[5] [4] : стр. 548} ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle N}$

И поэтому :

При правильных условиях эта последовательность длины может содержать сегмент свертки без искажений . Но когда ненулевая часть последовательности или равна или длиннее , некоторое искажение неизбежно. Так обстоит дело, когда последовательность получается путем прямой выборки DTFT бесконечно длинного импульсного отклика дискретного преобразования Гильберта . ^[A] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle u*v}$ ${\displaystyle u(n)}$ ${\displaystyle v(n)}$ ${\displaystyle N,}$ ${\displaystyle V(k/N)}$

Для последовательностей и , ненулевая длительность которых меньше или равна , окончательное упрощение имеет вид: ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle N,}$

Круговая свертка

Эта форма часто используется для эффективной реализации числовой свертки с помощью компьютера . (см . § Алгоритмы быстрой свертки и § Пример )

В качестве частичной обратной функции было показано ^[6], что любое линейное преобразование, которое превращает свертку в произведение, является ДПФ (с точностью до перестановки коэффициентов).

Теорема о свертке для обратного преобразования Фурье

Существует также теорема о свертке для обратного преобразования Фурье:

Здесь « » представляет собой произведение Адамара , а « » представляет собой свертку между двумя матрицами. ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle *}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathcal {F}}\{u*v\}={\mathcal {F}}\{u\}\cdot {\mathcal {F}}\{v\}\\&{\mathcal {F}}\{u\cdot v\}={\mathcal {F}}\{u\}*{\mathcal {F}}\{v\}\end{aligned}}}$

так что

${\displaystyle {\begin{aligned}&u*v={\mathcal {F}}^{-1}\left\{{\mathcal {F}}\{u\}\cdot {\mathcal {F}}\{v\}\right\}\\&u\cdot v={\mathcal {F}}^{-1}\left\{{\mathcal {F}}\{u\}*{\mathcal {F}}\{v\}\right\}\end{aligned}}}$

Теорема о свертке для умеренных распределений

Теорема о свертке распространяется на умеренные распределения . Здесь — произвольное умеренное распределение: ${\displaystyle v}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathcal {F}}\{u*v\}={\mathcal {F}}\{u\}\cdot {\mathcal {F}}\{v\}\\&{\mathcal {F}}\{\alpha \cdot v\}={\mathcal {F}}\{\alpha \}*{\mathcal {F}}\{v\}.\end{aligned}}}$

Но должна быть "быстро убывающей" по направлению к и для того, чтобы гарантировать существование как свертки, так и продукта умножения. Эквивалентно, если - гладкая "медленно растущая" обычная функция, она гарантирует существование как умножения, так и продукта свертки. ^{[7] [8] [9]} ${\displaystyle u=F\{\alpha \}}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle \alpha =F^{-1}\{u\}}$

В частности, каждое компактно поддерживаемое темперированное распределение, такое как дельта Дирака , является «быстро убывающим». Эквивалентно, функции с ограниченной полосой пропускания , такие как функция, которая постоянно, являются гладкими «медленно растущими» обычными функциями. Если, например, — гребень Дирака, оба уравнения дают формулу суммирования Пуассона , а если, кроме того, — дельта Дирака, то — постоянно единица, и эти уравнения дают тождество гребня Дирака . ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle v\equiv \operatorname {\text{Ш}} }$ ${\displaystyle u\equiv \delta }$ ${\displaystyle \alpha \equiv 1}$

Смотрите также

• Функция, производящая момент случайной величины

Примечания

1. Примером является функция MATLAB , hilbert(u,N) .

Ссылки

1. МакГиллем, Клэр Д.; Купер, Джордж Р. (1984). Непрерывный и дискретный сигнальный и системный анализ (2-е изд.). Холт, Райнхарт и Уинстон. стр. 118 (3–102). ISBN 0-03-061703-0.
2. Weisstein, Eric W. "Convolution Theorem". Из MathWorld--A Wolfram Web Resource . Получено 8 февраля 2021 г.
3. Прокис, Джон Г.; Манолакис, Димитрий Г. (1996), Цифровая обработка сигналов: принципы, алгоритмы и приложения (3-е изд.), Нью-Джерси: Prentice-Hall International, стр. 297, Bibcode : 1996dspp.book.....P, ISBN 9780133942897, sAcfAQAAIAAJ
4. Oppenheim, Alan V. ; Schafer, Ronald W. ; Buck, John R. (1999). Дискретная обработка сигналов (2-е изд.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 0-13-754920-2.
5. Рабинер, Лоуренс Р .; Голд, Бернард (1975). Теория и применение цифровой обработки сигналов . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc. стр. 59 (2.163). ISBN 978-0139141010.
6. Амиот, Эммануэль (2016). Музыка через пространство Фурье. Вычислительная музыкальная наука. Цюрих: Springer. стр. 8. doi : 10.1007/978-3-319-45581-5. ISBN 978-3-319-45581-5. S2CID  6224021.
7. Хорват, Джон (1966). Топологические векторные пространства и распределения . Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley Publishing Company.
8. Баррос-Нето, Хосе (1973). Введение в теорию распределений . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Деккер.
9. Петерсен, Бент Э. (1983). Введение в преобразование Фурье и псевдодифференциальные операторы . Бостон, Массачусетс: Pitman Publishing.

Дальнейшее чтение

• Кацнельсон, Ицхак (1976), Введение в гармонический анализ , Довер, ISBN 0-486-63331-4
• Ли, Бин; Бабу, Г. Джогеш (2019), «Теорема о свертке и асимптотическая эффективность», Выпускной курс по статистическому выводу , Нью-Йорк: Springer, стр. 295–327, ISBN 978-1-4939-9759-6
• Crutchfield, Steve (9 октября 2010 г.), «Радость свертки», Университет Джонса Хопкинса , получено 19 ноября 2010 г.

Дополнительные ресурсы

Для наглядного представления использования теоремы о свертке в обработке сигналов см.:

• Моделирование с использованием Java в Университете Джонса Хопкинса : http://www.jhu.edu/signals/convolve/index.html