Дельта-функция Дирака

Generalized function whose value is zero everywhere except at zero

Схематическое изображение дельта-функции Дирака линией, увенчанной стрелкой. Высота стрелки обычно предназначена для указания значения любой мультипликативной константы, которая даст площадь под функцией. Другое соглашение заключается в том, чтобы записывать площадь рядом с наконечником стрелки.

Дельта Дирака как предел (в смысле распределений ) последовательности нормальных распределений с нулевым центром ${\displaystyle a\to 0}$ ${\displaystyle \delta _{a}(x)={\frac {1}{\left|a\right|{\sqrt {\pi }}}}e^{-(x/a)^{2}}}$

В математическом анализе дельта -функция Дирака (или δ- распределение ), также известная как единичный импульс , ^[1] является обобщенной функцией действительных чисел , значение которой равно нулю всюду, кроме нуля, и интеграл которой по всей действительной оси равен единице. ^{[2] [3] [4]} Поскольку функции, обладающей таким свойством, не существует, строгое моделирование дельта-«функции» предполагает использование пределов или, как это принято в математике, теории меры и теории распределений .

Дельта-функция была введена физиком Полем Дираком и с тех пор регулярно применяется в физике и инженерии для моделирования точечных масс и мгновенных импульсов. Она называется дельта-функцией, потому что является непрерывным аналогом дельта- функции Кронекера , которая обычно определяется в дискретной области и принимает значения 0 и 1. Математическая строгость дельта-функции оспаривалась до тех пор, пока Лоран Шварц не разработал теорию распределений, где она определяется как линейная форма, действующая на функции.

Мотивация и обзор

График дельты Дирака обычно рассматривается как следующий за всей осью x и положительной осью y . ^{[5] : 174} Дельта Дирака используется для моделирования функции высокого узкого спайка ( импульса ) и других подобных абстракций, таких как точечный заряд , точечная масса или электронная точка. Например, чтобы рассчитать динамику ударяемого бильярдного шара, можно аппроксимировать силу удара дельтой Дирака. При этом не только упрощаются уравнения, но и появляется возможность рассчитать движение шара , рассматривая только полный импульс столкновения, без подробной модели всей передачи упругой энергии на субатомных уровнях (например).

Для определенности предположим, что бильярдный шар находится в состоянии покоя. В момент времени его ударяет другой шар, сообщая ему импульс P , с единицами измерения кг⋅м⋅с ⁻¹ . Обмен импульсом на самом деле не мгновенный, поскольку осуществляется упругими процессами на молекулярном и субатомном уровне, но для практических целей удобно считать, что передача энергии фактически мгновенная. Таким образом, сила равна P δ ( t ) ; единицами измерения δ ( t ) являются с ⁻¹ . ${\displaystyle t=0}$

Чтобы смоделировать эту ситуацию более строго, предположим, что сила вместо этого равномерно распределена в течение небольшого интервала времени . То есть, ${\displaystyle \Delta t=[0,T]}$

$${\displaystyle F_{\Delta t}(t)={\begin{cases}P/\Delta t&0<t\leq T,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

Тогда импульс в любой момент времени t находится путем интегрирования:

$${\displaystyle p(t)=\int _{0}^{t}F_{\Delta t}(\tau )\,d\tau ={\begin{cases}P&t\geq T\\P\,t/\Delta t&0\leq t\leq T\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$

Теперь модельная ситуация мгновенной передачи импульса требует принятия предела при Δt → 0 , что дает результат везде , кроме 0 :

$${\displaystyle p(t)={\begin{cases}P&t>0\\0&t<0.\end{cases}}}$$

Здесь функции рассматриваются как полезные приближения к идее мгновенной передачи импульса. ${\displaystyle F_{\Delta t}}$

Функция дельта позволяет нам построить идеализированный предел этих приближений. К сожалению, фактический предел функций (в смысле поточечной сходимости ) равен нулю везде, кроме одной точки, где он бесконечен. Чтобы правильно понять дельта Дирака, мы должны вместо этого настаивать на том, что свойство ${\textstyle \lim _{\Delta t\to 0^{+}}F_{\Delta t}}$

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }F_{\Delta t}(t)\,dt=P,}$$

которое справедливо для всех , должно продолжать справедливо и в пределе. Таким образом, в уравнении подразумевается , что предел всегда берется вне интеграла . ${\displaystyle \Delta t>0}$ ${\textstyle F(t)=P\,\delta (t)=\lim _{\Delta t\to 0}F_{\Delta t}(t)}$

В прикладной математике, как мы это сделали здесь, дельта-функция часто рассматривается как своего рода предел ( слабый предел ) последовательности функций , каждый член которой имеет высокий пик в начале координат: например, последовательность гауссовых распределений с центром в начале координат и дисперсией, стремящейся к нулю.

Дельта Дирака не является истинной функцией, по крайней мере, не является обычной функцией с областью определения и диапазоном в действительных числах . Например, объекты f ( x ) = δ ( x ) и g ( x ) = 0 равны всюду, за исключением x = 0, но имеют различные интегралы. Согласно теории интегрирования Лебега , если f и g являются функциями такими, что f = g почти всюду , то f интегрируема тогда и только тогда, когда g интегрируема, а интегралы f и g идентичны. Строгий подход к рассмотрению дельта-функции Дирака как самостоятельного математического объекта требует теории меры или теории распределений .

История

Жозеф Фурье представил то, что сейчас называется интегральной теоремой Фурье, в своем трактате «Аналитическая теория тепла» в следующей форме: ^[6]

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\ \ d\alpha \,f(\alpha )\ \int _{-\infty }^{\infty }dp\ \cos(px-p\alpha )\ ,}$$

что равносильно введению δ -функции в виде: ^[7]

$${\displaystyle \delta (x-\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }dp\ \cos(px-p\alpha )\ .}$$

Позднее Огюстен Коши выразил теорему с помощью экспонент: ^{[8] [9]}

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\ e^{ipx}\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ip\alpha }f(\alpha )\,d\alpha \right)\,dp.}$$

Коши указал, что в некоторых обстоятельствах порядок интегрирования имеет значение в этом результате (в отличие от теоремы Фубини ). ^{[10] [11]}

Как подтверждается теорией распределений , уравнение Коши можно переформулировать так, чтобы оно напоминало исходную формулировку Фурье, и представить δ -функцию как

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ip\alpha }f(\alpha )\,d\alpha \right)\,dp\\[4pt]&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}e^{-ip\alpha }\,dp\right)f(\alpha )\,d\alpha =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-\alpha )f(\alpha )\,d\alpha ,\end{aligned}}}$$

где δ -функция выражается как

$${\displaystyle \delta (x-\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ip(x-\alpha )}\,dp\ .}$$

Строгая интерпретация экспоненциальной формы и различные ограничения на функцию f, необходимые для ее применения, продолжались в течение нескольких столетий. Проблемы с классической интерпретацией объясняются следующим образом: ^[12]

Самым большим недостатком классического преобразования Фурье является довольно узкий класс функций (оригиналов), для которых его можно эффективно вычислить. А именно, необходимо, чтобы эти функции достаточно быстро уменьшались до нуля (в окрестности бесконечности), чтобы обеспечить существование интеграла Фурье. Например, преобразование Фурье таких простых функций, как полиномы, не существует в классическом смысле. Распространение классического преобразования Фурье на распределения значительно расширило класс функций, которые можно было преобразовать, и это устранило многие препятствия.

Дальнейшие разработки включали обобщение интеграла Фурье, «начавшееся с новаторской L ² -теории Планшереля (1910 г.), продолжившееся работами Винера и Бохнера (около 1930 г.) и завершившееся объединением в теорию распределений Л. Шварца (1945 г.)...» ^[13] и приведшее к формальной разработке дельта-функции Дирака.

Бесконечно малая формула для бесконечно высокой единичной импульсной дельта-функции (бесконечно малая версия распределения Коши ) явно появляется в тексте 1827 года Огюстена-Луи Коши . ^[14] Симеон Дени Пуассон рассматривал этот вопрос в связи с изучением распространения волн, как и Густав Кирхгоф несколько позже. Кирхгоф и Герман фон Гельмгольц также ввели единичный импульс как предел гауссианов , что также соответствовало понятию лорда Кельвина о точечном источнике тепла. В конце 19-го века Оливер Хевисайд использовал формальные ряды Фурье для манипулирования единичным импульсом. ^[15] Дельта-функция Дирака как таковая была введена Полем Дираком в его статье 1927 года «Физическая интерпретация квантовой динамики» ^[16] и использовалась в его учебнике «Принципы квантовой механики» . ^[3] Он назвал ее «дельта-функцией», поскольку использовал ее как непрерывный аналог дискретной дельты Кронекера .

Определения

Дельта-функцию Дирака можно условно рассматривать как функцию на действительной прямой, которая равна нулю всюду, кроме начала координат, где она бесконечна. ${\displaystyle \delta (x)}$

$${\displaystyle \delta (x)\simeq {\begin{cases}+\infty ,&x=0\\0,&x\neq 0\end{cases}}}$$

и который также ограничен, чтобы удовлетворять тождеству ^[17]

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,dx=1.}$$

Это всего лишь эвристическая характеристика. Дельта Дирака не является функцией в традиционном смысле, поскольку ни одна расширенная функция со значением действительного числа , определенная на действительных числах, не обладает этими свойствами. ^[18]

В качестве меры

Один из способов строго описать понятие дельта-функции Дирака — это определить меру , называемую мерой Дирака , которая принимает подмножество A действительной прямой R в качестве аргумента и возвращает δ ( A ) = 1, если 0 ∈ A , и δ ( A ) = 0 в противном случае. ^[19] Если дельта-функция концептуализирована как моделирование идеализированной точечной массы в точке 0, то δ ( A ) представляет массу, содержащуюся во множестве A . Затем можно определить интеграл по δ как интеграл функции по этому распределению масс. Формально интеграл Лебега обеспечивает необходимый аналитический прием. Интеграл Лебега относительно меры δ удовлетворяет

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (dx)=f(0)}$$

для всех непрерывных функций с компактным носителем f . Мера δ не является абсолютно непрерывной относительно меры Лебега — на самом деле, это сингулярная мера . Следовательно, дельта-мера не имеет производной Радона–Никодима (относительно меры Лебега) — нет истинной функции, для которой свойство

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (x)\,dx=f(0)}$$

^[20] В результате последняя запись является удобным злоупотреблением обозначениями , а не стандартным ( Римановым или Лебеговым ) интегралом.

Как вероятностная мера на R , дельта-мера характеризуется своей кумулятивной функцией распределения , которая является функцией единичного шага . ^[21]

$${\displaystyle H(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\geq 0\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$$

Это означает, что H ( x ) является интегралом кумулятивной индикаторной функции 1 _{(−∞, x ]} относительно меры δ ; а именно,

$${\displaystyle H(x)=\int _{\mathbf {R} }\mathbf {1} _{(-\infty ,x]}(t)\,\delta (dt)=\delta \!\left((-\infty ,x]\right),}$$

последний является мерой этого интервала. Таким образом, в частности, интегрирование дельта-функции против непрерывной функции может быть правильно понято как интеграл Римана–Стилтьеса : ^[22]

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (dx)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dH(x).}$$

Все высшие моменты δ равны нулю. В частности, характеристическая функция и функция , производящая моменты, обе равны единице.

Как распределение

В теории распределений обобщенная функция рассматривается не как функция сама по себе, а только через то, как она влияет на другие функции, когда «интегрируется» по ним. ^[23] В соответствии с этой философией, чтобы правильно определить дельта-функцию, достаточно сказать, чему равен «интеграл» дельта-функции по достаточно «хорошей» тестовой функции φ . Тестовые функции также известны как функции выпуклости . Если дельта-функция уже понимается как мера, то интеграл Лебега тестовой функции по этой мере дает необходимый интеграл.

Типичное пространство тестовых функций состоит из всех гладких функций на R с компактным носителем , которые имеют столько производных, сколько требуется. Как распределение, дельта Дирака является линейным функционалом на пространстве тестовых функций и определяется как ^[24]

для каждой тестовой функции φ .

Для того, чтобы δ было распределением, оно должно быть непрерывным в подходящей топологии на пространстве тестовых функций. В общем случае, для того, чтобы линейный функционал S на пространстве тестовых функций определял распределение, необходимо и достаточно, чтобы для каждого положительного целого числа N существовало целое число M _N и константа C _N такие, что для каждой тестовой функции φ выполняется неравенство ^[25]

$${\displaystyle \left|S[\varphi ]\right|\leq C_{N}\sum _{k=0}^{M_{N}}\sup _{x\in [-N,N]}\left|\varphi ^{(k)}(x)\right|}$$

где sup представляет супремум . С распределением δ такое неравенство (с C _N = 1) имеет место при M _N = 0 для всех N. Таким образом , δ является распределением нулевого порядка. Более того, это распределение с компактным носителем ( носителем является {0} ).

Распределение дельта также может быть определено несколькими эквивалентными способами. Например, это производная распределения ступенчатой ​​функции Хевисайда . Это означает, что для каждой тестовой функции φ имеем

$${\displaystyle \delta [\varphi ]=-\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)\,H(x)\,dx.}$$

Интуитивно понятно, что если бы интегрирование по частям было разрешено, то последний интеграл должен был бы упроститься до

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,H'(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,\delta (x)\,dx,}$$

и действительно, для интеграла Стилтьеса допускается форма интегрирования по частям, и в этом случае мы имеем

$${\displaystyle -\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)\,H(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,dH(x).}$$

В контексте теории меры мера Дирака порождает распределение путем интегрирования. Наоборот, уравнение ( 1 ) определяет интеграл Даниэля на пространстве всех непрерывных функций с компактным носителем φ , который по теореме Рисса о представлении может быть представлен как интеграл Лебега от φ относительно некоторой меры Радона .

Обычно, когда термин дельта-функция Дирака используется, он имеет в виду распределения, а не меры, мера Дирака является одним из нескольких терминов для соответствующего понятия в теории меры. Некоторые источники могут также использовать термин дельта-распределение Дирака .

Обобщения

Дельта-функция может быть определена в n -мерном евклидовом пространстве R ⁿ как мера такая, что

$${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\,\delta (d\mathbf {x} )=f(\mathbf {0} )}$$

для каждой компактно поддерживаемой непрерывной функции f . Как мера, n -мерная дельта-функция является мерой произведения 1-мерных дельта-функций по каждой переменной в отдельности. Таким образом, формально, при x = ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) , имеем ^[26]

Дельта-функция также может быть определена в смысле распределений точно так же, как и выше в одномерном случае. ^[27] Однако, несмотря на широкое использование в инженерных контекстах, ( 2 ) следует использовать с осторожностью, поскольку произведение распределений может быть определено только при довольно узких обстоятельствах. ^{[28] [29]}

Понятие меры Дирака имеет смысл на любом множестве. ^[30] Таким образом, если X — множество, x ₀ ∈ X — отмеченная точка, а Σ — любая сигма-алгебра подмножеств X , то мера, определенная на множествах A ∈ Σ как

$${\displaystyle \delta _{x_{0}}(A)={\begin{cases}1&{\text{if }}x_{0}\in A\\0&{\text{if }}x_{0}\notin A\end{cases}}}$$

это дельта-мера или единичная масса, сосредоточенная в точке x ₀ .

Другое распространенное обобщение дельта-функции — это дифференцируемое многообразие , где большинство ее свойств как распределения также могут быть использованы из-за дифференцируемой структуры . Дельта-функция на многообразии M с центром в точке x ₀ ∈ M определяется как следующее распределение:

для всех гладких вещественных функций φ с компактным носителем на M. [ 31 ^] Обычным частным случаем этой конструкции является случай, когда M является открытым множеством в евклидовом пространстве Rn ^.

На локально компактном хаусдорфовом пространстве X дельта-мера Дирака, сосредоточенная в точке x, является мерой Радона , связанной с интегралом Даниэля ( 3 ) на компактных непрерывных функциях φ . ^[32] На этом уровне общности исчисление как таковое уже невозможно, однако доступны различные методы абстрактного анализа. Например, отображение является непрерывным вложением X в пространство конечных мер Радона на X , снабженное его нечеткой топологией . Более того, выпуклая оболочка образа X при этом вложении плотна в пространстве вероятностных мер на X. [ ^33] ${\displaystyle x_{0}\mapsto \delta _{x_{0}}}$

Характеристики

Масштабирование и симметрия

Дельта-функция удовлетворяет следующему свойству масштабирования для ненулевого скаляра α : ^[34]

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (\alpha x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (u)\,{\frac {du}{|\alpha |}}={\frac {1}{|\alpha |}}}$$

и так

Доказательство свойства масштабирования: где используется замена переменной x′ = ax . Если a отрицательно, т.е. a = −| a | , то Таким образом, . $${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\delta (ax)={\frac {1}{a}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx'\ g\left({\frac {x'}{a}}\right)\delta (x')={\frac {1}{a}}g(0).}$$ $${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\delta (ax)={\frac {1}{-\left\vert a\right\vert }}\int \limits _{\infty }^{-\infty }dx'\ g\left({\frac {x'}{a}}\right)\delta (x')={\frac {1}{\left\vert a\right\vert }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx'\ g\left({\frac {x'}{a}}\right)\delta (x')={\frac {1}{\left\vert a\right\vert }}g(0).}$$ ${\displaystyle \delta (ax)={\frac {1}{\left\vert a\right\vert }}\delta (x)}$

В частности, дельта-функция является равномерным распределением (симметрией) в том смысле, что

$${\displaystyle \delta (-x)=\delta (x)}$$

которая является однородной степени −1 .

Алгебраические свойства

Распределительное произведение δ на x равно нулю :

$${\displaystyle x\,\delta (x)=0.}$$

В более общем смысле, для всех положительных целых чисел . ${\displaystyle (x-a)^{n}\delta (x-a)=0}$ ${\displaystyle n}$

Наоборот, если xf ( x ) = xg ( x ) , где f и g — распределения, то

$${\displaystyle f(x)=g(x)+c\delta (x)}$$

для некоторой константы c . ^[35]

Перевод

Интеграл любой функции, умноженной на задержку по времени дельта Дирака, равен ${\displaystyle \delta _{T}(t){=}\delta (t{-}T)}$

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,\delta (t-T)\,dt=f(T).}$$

Иногда это называют свойством просеивания ^[36] или свойством выборки . ^[37] Говорят , что дельта-функция «отсеивает» значение f(t) при t = T. ^[38]

Отсюда следует, что эффект свертки функции f ( t ) с задержанной по времени дельтой Дирака заключается в задержке по времени f ( t ) на ту же величину: ^[39]

$${\displaystyle {\begin{aligned}(f*\delta _{T})(t)\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\,\delta (t-T-\tau )\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\,\delta (\tau -(t-T))\,d\tau \qquad {\text{since}}~\delta (-x)=\delta (x)~~{\text{by (4)}}\\&=f(t-T).\end{aligned}}}$$

Свойство просеивания выполняется при точном условии, что f является умеренным распределением (см. обсуждение преобразования Фурье ниже). В качестве особого случая, например, мы имеем тождество (понимаемое в смысле распределения)

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (\xi -x)\delta (x-\eta )\,dx=\delta (\eta -\xi ).}$$

Композиция с функцией

В более общем случае дельта-распределение может быть составлено с помощью гладкой функции g ( x ) таким образом, чтобы соблюдалась известная формула замены переменных:

$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }\delta {\bigl (}g(x){\bigr )}f{\bigl (}g(x){\bigr )}\left|g'(x)\right|dx=\int _{g(\mathbb {R} )}\delta (u)\,f(u)\,du}$$

при условии, что g является непрерывно дифференцируемой функцией с g′ нигде не равным нулю. ^[40] То есть, существует единственный способ придать распределение значение так, чтобы это тождество выполнялось для всех компактно поддерживаемых тестовых функций f . Следовательно, область должна быть разбита, чтобы исключить точку g′ = 0. Это распределение удовлетворяет δ ( g ( x )) = 0 , если g нигде не равна нулю, и в противном случае, если g имеет действительный корень в точке x ₀ , то ${\displaystyle \delta \circ g}$

$${\displaystyle \delta (g(x))={\frac {\delta (x-x_{0})}{|g'(x_{0})|}}.}$$

Поэтому естественно определить композицию δ ( g ( x )) для непрерывно дифференцируемых функций g следующим образом:

$${\displaystyle \delta (g(x))=\sum _{i}{\frac {\delta (x-x_{i})}{|g'(x_{i})|}}}$$

где сумма распространяется на все корни g ( x ) , которые предполагаются простыми . Таким образом, например,

$${\displaystyle \delta \left(x^{2}-\alpha ^{2}\right)={\frac {1}{2|\alpha |}}{\Big [}\delta \left(x+\alpha \right)+\delta \left(x-\alpha \right){\Big ]}.}$$

В интегральной форме обобщенное свойство масштабирования можно записать как

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (g(x))\,dx=\sum _{i}{\frac {f(x_{i})}{|g'(x_{i})|}}.}$$

Неопределенный интеграл

Для константы и «хорошо себя ведущей» произвольной действительной функции y ( x ) , где H ( x ) — ступенчатая функция Хевисайда , а c — константа интегрирования. ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \displaystyle {\int }y(x)\delta (x-a)dx=y(a)H(x-a)+c,}$$

Недвижимость внразмеры

Вместо этого дельта-распределение в n -мерном пространстве удовлетворяет следующему свойству масштабирования, так что δ является однородным распределением степени − n . $${\displaystyle \delta (\alpha {\boldsymbol {x}})=|\alpha |^{-n}\delta ({\boldsymbol {x}})~,}$$

При любом отражении или повороте ρ дельта-функция инвариантна, $${\displaystyle \delta (\rho {\boldsymbol {x}})=\delta ({\boldsymbol {x}})~.}$$

^{Как и в случае с одной переменной, можно однозначно определить композицию δ с билипшицевой функцией [41] g : Rn →} Rn так , что ^для всех функций f с компактным носителем выполняется следующее . $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\delta (g({\boldsymbol {x}}))\,f(g({\boldsymbol {x}}))\left|\det g'({\boldsymbol {x}})\right|d{\boldsymbol {x}}=\int _{g(\mathbb {R} ^{n})}\delta ({\boldsymbol {u}})f({\boldsymbol {u}})\,d{\boldsymbol {u}}}$$

Используя формулу коплощади из геометрической теории меры , можно также определить композицию дельта-функции с погружением из одного евклидова пространства в другое с другой размерностью; результатом является тип тока . В частном случае непрерывно дифференцируемой функции g  : R ⁿ → R такой, что градиент g нигде не равен нулю, выполняется следующее тождество ^[42] , где интеграл справа берется по g −1 ⁽ 0) , ( n − 1) -мерной поверхности, определяемой g ( x ) = 0 относительно меры содержания Минковского . Это известно как простой интеграл слоя . $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}f({\boldsymbol {x}})\,\delta (g({\boldsymbol {x}}))\,d{\boldsymbol {x}}=\int _{g^{-1}(0)}{\frac {f({\boldsymbol {x}})}{|{\boldsymbol {\nabla }}g|}}\,d\sigma ({\boldsymbol {x}})}$$

В более общем случае, если S — гладкая гиперповерхность Rn , то мы можем связать с S распределение, которое интегрирует любую компактно содержащую гладкую ^{функцию} g над S : $${\displaystyle \delta _{S}[g]=\int _{S}g({\boldsymbol {s}})\,d\sigma ({\boldsymbol {s}})}$$

где σ — гиперповерхностная мера, связанная с ^S. Это обобщение связано с потенциальной теорией потенциалов простого слоя на S. Если D — область в Rn с гладкой границей S , то δ _S равно нормальной производной индикаторной функции D в смысле распределения ,

$${\displaystyle -\int _{\mathbb {R} ^{n}}g({\boldsymbol {x}})\,{\frac {\partial 1_{D}({\boldsymbol {x}})}{\partial n}}\,d{\boldsymbol {x}}=\int _{S}\,g({\boldsymbol {s}})\,d\sigma ({\boldsymbol {s}}),}$$

где n — внешняя нормаль. ^{[43] [44]} Доказательство см., например, в статье о поверхностной дельта-функции .

В трех измерениях дельта-функция представлена ​​в сферических координатах следующим образом:

$${\displaystyle \delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0})={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\delta (r-r_{0})\delta (\theta -\theta _{0})\delta (\phi -\phi _{0})&x_{0},y_{0},z_{0}\neq 0\\\displaystyle {\frac {1}{2\pi r^{2}\sin \theta }}\delta (r-r_{0})\delta (\theta -\theta _{0})&x_{0}=y_{0}=0,\ z_{0}\neq 0\\\displaystyle {\frac {1}{4\pi r^{2}}}\delta (r-r_{0})&x_{0}=y_{0}=z_{0}=0\end{cases}}}$$

преобразование Фурье

Функция дельта является умеренным распределением , и поэтому она имеет хорошо определенное преобразование Фурье . Формально, можно найти ^[45]

$${\displaystyle {\widehat {\delta }}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi ix\xi }\,\delta (x)dx=1.}$$

Собственно говоря, преобразование Фурье распределения определяется путем наложения самосопряженности преобразования Фурье при дуальном сопряжении умеренных распределений с функциями Шварца . Таким образом, определяется как единственное умеренное распределение, удовлетворяющее ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle {\widehat {\delta }}}$

$${\displaystyle \langle {\widehat {\delta }},\varphi \rangle =\langle \delta ,{\widehat {\varphi }}\rangle }$$

для всех функций Шварца φ . И действительно, из этого следует, что ${\displaystyle {\widehat {\delta }}=1.}$

В результате этого тождества свертка дельта-функции с любым другим темперированным распределением S равна просто S :

$${\displaystyle S*\delta =S.}$$

То есть, δ является элементом тождества для свертки на умеренных распределениях, и фактически, пространство распределений с компактным носителем при свертке является ассоциативной алгеброй с тождеством дельта-функции. Это свойство является фундаментальным в обработке сигналов , поскольку свертка с умеренным распределением является линейной стационарной системой , и применение линейной стационарной системы измеряет ее импульсный отклик . Импульсный отклик можно вычислить с любой желаемой степенью точности, выбрав подходящее приближение для δ , и как только он известен, он полностью характеризует систему. См. Теория систем LTI § Импульсный отклик и свертка .

Обратное преобразование Фурье темперированного распределения f ( ξ ) = 1 есть дельта-функция. Формально это выражается как и более строго, это следует из того, что для всех функций Шварца f . $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }1\cdot e^{2\pi ix\xi }\,d\xi =\delta (x)}$$ $${\displaystyle \langle 1,{\widehat {f}}\rangle =f(0)=\langle \delta ,f\rangle }$$

В этих терминах дельта-функция обеспечивает наводящее утверждение о свойстве ортогональности ядра Фурье на R. Формально, можно иметь $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{i2\pi \xi _{1}t}\left[e^{i2\pi \xi _{2}t}\right]^{*}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi (\xi _{2}-\xi _{1})t}\,dt=\delta (\xi _{2}-\xi _{1}).}$$

Это, конечно, является сокращением утверждения о том, что преобразование Фурье умеренного распределения равно , что снова следует из условия самосопряженности преобразования Фурье. $${\displaystyle f(t)=e^{i2\pi \xi _{1}t}}$$ $${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi _{2})=\delta (\xi _{1}-\xi _{2})}$$

Аналитическое продолжение преобразования Фурье позволяет получить преобразование Лапласа дельта-функции ^[46] $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\delta (t-a)\,e^{-st}\,dt=e^{-sa}.}$$

Производные

Производная дельта-распределения Дирака, обозначаемая δ′ и также называемая дельта-штрихом Дирака или дельта-производной Дирака , как описано в Лапласиане индикатора , определяется на компактно поддерживаемых гладких тестовых функциях φ по формуле ^[47] $${\displaystyle \delta '[\varphi ]=-\delta [\varphi ']=-\varphi '(0).}$$

Первое равенство здесь является своего рода интегрированием по частям , поскольку если бы δ было истинной функцией, то $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta '(x)\varphi (x)\,dx=\delta (x)\varphi (x)|_{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\varphi '(x)\,dx=-\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\varphi '(x)\,dx=-\varphi '(0).}$$

По математической индукции k -я производная δ определяется аналогично распределению, заданному на тестовых функциях:

$${\displaystyle \delta ^{(k)}[\varphi ]=(-1)^{k}\varphi ^{(k)}(0).}$$

В частности, δ — бесконечно дифференцируемое распределение.

Первая производная дельта-функции представляет собой предел распределения разностных коэффициентов: ^[48] $${\displaystyle \delta '(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\delta (x+h)-\delta (x)}{h}}.}$$

Точнее, где τ _h — оператор сдвига, определенный на функциях как τ _h φ ( x ) = φ ( x + h ) , а на распределении S как $${\displaystyle \delta '=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}(\tau _{h}\delta -\delta )}$$ $${\displaystyle (\tau _{h}S)[\varphi ]=S[\tau _{-h}\varphi ].}$$

В теории электромагнетизма первая производная дельта-функции представляет собой точечный магнитный диполь, расположенный в начале координат. Соответственно, ее называют дипольной или дублетной функцией . ^[49]

Производная дельта-функции удовлетворяет ряду основных свойств, включая: ^[50] что можно показать, применив тестовую функцию и выполнив интегрирование по частям. $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta '(-x)&=-\delta '(x)\\x\delta '(x)&=-\delta (x)\end{aligned}}}$$

Последнее из этих свойств можно также продемонстрировать, применив определение распределительной производной, теорему Либница и линейность внутреннего произведения: ^[51]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle x\delta ',\varphi \rangle \,&=\,\langle \delta ',x\varphi \rangle \,=\,-\langle \delta ,(x\varphi )'\rangle \,=\,-\langle \delta ,x'\varphi +x\varphi '\rangle \,=\,-\langle \delta ,x'\varphi \rangle -\langle \delta ,x\varphi '\rangle \,=\,-x'(0)\varphi (0)-x(0)\varphi '(0)\\&=\,-x'(0)\langle \delta ,\varphi \rangle -x(0)\langle \delta ,\varphi '\rangle \,=\,-x'(0)\langle \delta ,\varphi \rangle +x(0)\langle \delta ',\varphi \rangle \,=\,\langle x(0)\delta '-x'(0)\delta ,\varphi \rangle \\\Longrightarrow x(t)\delta '(t)&=x(0)\delta '(t)-x'(0)\delta (t)=-x'(0)\delta (t)=-\delta (t)\end{aligned}}}$$

Более того, свертка δ′ с компактной гладкой функцией f равна

$${\displaystyle \delta '*f=\delta *f'=f',}$$

что следует из свойств распределительной производной свертки.

Более высокие измерения

В более общем случае, на открытом множестве U в n -мерном евклидовом пространстве дельта-распределение Дирака с центром в точке a ∈ U определяется формулой ^[52] для всех , пространства всех гладких функций с компактным носителем на U. Если — любой мультииндекс с и обозначает связанный смешанный оператор частной производной , то α -я производная ∂ ^α δ _a от δ _a задается формулой ^[52] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \delta _{a}[\varphi ]=\varphi (a)}$$ ${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$ ${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}}$ ${\displaystyle \partial ^{\alpha }}$

$${\displaystyle \left\langle \partial ^{\alpha }\delta _{a},\,\varphi \right\rangle =(-1)^{|\alpha |}\left\langle \delta _{a},\partial ^{\alpha }\varphi \right\rangle =(-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha }\varphi (x){\Big |}_{x=a}\quad {\text{ for all }}\varphi \in C_{c}^{\infty }(U).}$$

То есть, α -я производная δ _a — это распределение, значение которого на любой тестовой функции φ является α -й производной φ в точке a (с соответствующим положительным или отрицательным знаком).

Первые частные производные дельта-функции рассматриваются как двойные слои вдоль координатных плоскостей. В более общем смысле нормальная производная простого слоя, поддерживаемого поверхностью, является двойным слоем, поддерживаемым этой поверхностью, и представляет собой ламинарный магнитный монополь. Высшие производные дельта-функции известны в физике как мультиполи .

Высшие производные естественным образом входят в математику как строительные блоки для полной структуры распределений с точечной поддержкой. Если S — это любое распределение на U , поддерживаемое на множестве { a }, состоящем из одной точки, то существует целое число m и коэффициенты c _α такие, что ^{[52] [53]} $${\displaystyle S=\sum _{|\alpha |\leq m}c_{\alpha }\partial ^{\alpha }\delta _{a}.}$$

Представления дельта-функции

Дельта-функцию можно рассматривать как предел последовательности функций

$${\displaystyle \delta (x)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\eta _{\varepsilon }(x),}$$

где η _ε ( x ) иногда называют зарождающейся дельта-функцией. Этот предел подразумевается в слабом смысле: либо то, что

для всех непрерывных функций f, имеющих компактный носитель , или что этот предел справедлив для всех гладких функций f с компактным носителем. Разница между этими двумя немного разными режимами слабой сходимости часто тонка: первый — это сходимость в неопределенной топологии мер, а второй — это сходимость в смысле распределений .

Приближения к тождеству

Обычно зарождающаяся дельта-функция η _ε может быть построена следующим образом. Пусть η — абсолютно интегрируемая функция на R полного интеграла 1 , и определим $${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\eta \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right).}$$

В n измерениях вместо этого используется масштабирование $${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-n}\eta \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right).}$$

Тогда простая замена переменных показывает, что η _ε также имеет интеграл 1. Можно показать, что ( 5 ) справедливо для всех непрерывных функций f с компактным носителем ^[54] , и поэтому η _ε слабо сходится к δ в смысле мер.

Построенные таким образом η _ε известны как приближение к тождеству . ^[55] Эта терминология обусловлена ​​тем, что пространство L ¹ ( R ) абсолютно интегрируемых функций замкнуто относительно операции свертки функций: f ∗ g ∈ L ¹ ( R ) всякий раз, когда f и g находятся в L ¹ ( R ) . Однако в L ¹ ( R ) нет тождества для сверточного произведения: нет элемента h такого, что f ∗ h = f для всех f . Тем не менее, последовательность η _ε приближает такое тождество в том смысле, что

$${\displaystyle f*\eta _{\varepsilon }\to f\quad {\text{as }}\varepsilon \to 0.}$$

Этот предел выполняется в смысле средней сходимости (сходимости в L ¹ ). Дополнительные условия на η _ε , например, чтобы он был смягчающим фактором, связанным с функцией с компактным носителем, ^[56] необходимы для обеспечения поточечной сходимости почти всюду .

Если начальное η = η ₁ само по себе гладкое и компактно поддерживаемое, то последовательность называется смягчителем . Стандартный смягчитель получается путем выбора η в качестве надлежащим образом нормализованной функции выпуклости , например

$${\displaystyle \eta (x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{1-|x|^{2}}}}&{\text{if }}|x|<1\\0&{\text{if }}|x|\geq 1.\end{cases}}}$$

В некоторых ситуациях, таких как численный анализ , желательно кусочно-линейное приближение к тождеству. Это можно получить, взяв η ₁ в качестве функции шляпы . При таком выборе η ₁ можно иметь

$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\max \left(1-\left|{\frac {x}{\varepsilon }}\right|,0\right)}$$

которые все непрерывны и компактно опираются, хотя и не гладкие и, следовательно, не являются смягчающими.

Вероятностные соображения

В контексте теории вероятностей естественно наложить дополнительное условие, что начальное η ₁ в приближении к тождеству должно быть положительным, поскольку такая функция затем представляет собой распределение вероятностей . Свертка с распределением вероятностей иногда благоприятна, поскольку она не приводит к выбросу или недобору, поскольку выход является выпуклой комбинацией входных значений и, таким образом, попадает между максимумом и минимумом входной функции. Принимая η ₁ за любое распределение вероятностей вообще и полагая η _ε ( x ) = η ₁ ( x / ε )/ ε , как указано выше, получим приближение к тождеству. В общем случае это быстрее сходится к дельта-функции, если, кроме того, η имеет среднее значение 0 и имеет малые высшие моменты. Например, если η ₁ является равномерным распределением на , также известным как прямоугольная функция , то: ^[57] ${\textstyle \left[-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right]}$ $${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}\operatorname {rect} \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{\varepsilon }},&-{\frac {\varepsilon }{2}}<x<{\frac {\varepsilon }{2}},\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

Другой пример — распределение полукруга Вигнера. $${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\begin{cases}{\frac {2}{\pi \varepsilon ^{2}}}{\sqrt {\varepsilon ^{2}-x^{2}}},&-\varepsilon <x<\varepsilon ,\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

Это непрерывно и компактно поддерживается, но не смягчает ситуацию, поскольку не является гладким.

Полугруппы

Возникающие дельта-функции часто возникают как полугруппы свертки . ^[58] Это равносильно дальнейшему ограничению, что свертка η _ε с η _δ должна удовлетворять $${\displaystyle \eta _{\varepsilon }*\eta _{\delta }=\eta _{\varepsilon +\delta }}$$

для всех ε , δ > 0. Сверточные полугруппы в L1 ^, образующие зарождающуюся дельта-функцию, всегда являются приближением к тождеству в указанном выше смысле, однако условие полугруппы является довольно сильным ограничением.

На практике полугруппы, аппроксимирующие дельта-функцию, возникают как фундаментальные решения или функции Грина физически мотивированных эллиптических или параболических уравнений в частных производных . В контексте прикладной математики полугруппы возникают как выход линейной инвариантной во времени системы . Абстрактно, если A — линейный оператор, действующий на функции x , то полугруппа свертки возникает путем решения задачи начального значения

$${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial }{\partial t}}\eta (t,x)=A\eta (t,x),\quad t>0\\[5pt]\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}\eta (t,x)=\delta (x)\end{cases}}}$$

в котором предел, как обычно, понимается в слабом смысле. Установка η _ε ( x ) = η ( ε , x ) дает соответствующую зарождающуюся дельта-функцию.

Вот некоторые примеры физически важных полугрупп свертки, возникающих из такого фундаментального решения.

Тепловое ядро

Тепловое ядро , определяемое как

$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \varepsilon }}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2\varepsilon }}}}$$

представляет собой температуру в бесконечном проводе в момент времени t > 0 , если единица тепловой энергии запасена в начале провода в момент времени t = 0. Эта полугруппа развивается согласно одномерному уравнению теплопроводности :

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.}$$

В теории вероятностей η _ε ( x ) — это нормальное распределение дисперсии ε и среднего значения 0 . Оно представляет собой плотность вероятности в момент времени t = ε положения частицы, начинающейся в начале координат после стандартного броуновского движения . В этом контексте полугрупповое условие является выражением марковского свойства броуновского движения.

В многомерном евклидовом пространстве R ⁿ тепловое ядро ​​имеет ту же физическую интерпретацию, mutatis mutandis . Оно также представляет собой зарождающуюся дельта-функцию в том смысле, что η _ε → δ в смысле распределения при ε → 0 . $${\displaystyle \eta _{\varepsilon }={\frac {1}{(2\pi \varepsilon )^{n/2}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x\cdot x}{2\varepsilon }}},}$$

Ядро Пуассона

Ядро Пуассона $${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\pi }}\mathrm {Im} \left\{{\frac {1}{x-\mathrm {i} \varepsilon }}\right\}={\frac {1}{\pi }}{\frac {\varepsilon }{\varepsilon ^{2}+x^{2}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x-|\varepsilon \xi |}\,d\xi }$$

является фундаментальным решением уравнения Лапласа в верхней полуплоскости. ^[59] Он представляет электростатический потенциал в полубесконечной пластине, потенциал вдоль края которой удерживается на фиксированном значении в дельта-функции. Ядро Пуассона также тесно связано с распределением Коши и функциями ядра Епанечникова и Гаусса . ^[60] Эта полугруппа развивается согласно уравнению $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}u(t,x)}$$

где оператор строго определен как множитель Фурье $${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}f\right](\xi )=|2\pi \xi |{\mathcal {F}}f(\xi ).}$$

Колебательные интегралы

В таких областях физики, как распространение волн и волновая механика , соответствующие уравнения являются гиперболическими и поэтому могут иметь больше сингулярных решений. В результате зарождающиеся дельта-функции, которые возникают как фундаментальные решения связанных задач Коши, обычно являются осциллирующими интегралами . Примером, который исходит из решения уравнения Эйлера–Трикоми околозвуковой газовой динамики , ^[61] является перемасштабированная функция Эйри $${\displaystyle \varepsilon ^{-1/3}\operatorname {Ai} \left(x\varepsilon ^{-1/3}\right).}$$

Хотя с помощью преобразования Фурье легко увидеть, что это порождает полугруппу в некотором смысле — она не является абсолютно интегрируемой и, таким образом, не может определять полугруппу в указанном выше сильном смысле. Многие зарождающиеся дельта-функции, построенные как осциллирующие интегралы, сходятся только в смысле распределений (примером является ядро ​​Дирихле ниже), а не в смысле мер.

Другим примером является задача Коши для волнового уравнения в R ¹⁺¹ : ^[62] $${\displaystyle {\begin{aligned}c^{-2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-\Delta u&=0\\u=0,\quad {\frac {\partial u}{\partial t}}=\delta &\qquad {\text{for }}t=0.\end{aligned}}}$$

Решение u представляет собой смещение из положения равновесия бесконечной упругой струны с начальным возмущением в начале координат.

Другие приближения к тождеству такого рода включают функцию sinc (широко используемую в электронике и телекоммуникациях) $${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\pi x}}\sin \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-{\frac {1}{\varepsilon }}}^{\frac {1}{\varepsilon }}\cos(kx)\,dk}$$

и функция Бесселя $${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}J_{\frac {1}{\varepsilon }}\left({\frac {x+1}{\varepsilon }}\right).}$$

Разложение плоской волны

Один из подходов к изучению линейного уравнения в частных производных $${\displaystyle L[u]=f,}$$

где L — дифференциальный оператор на Rn , заключается ^в поиске сначала фундаментального решения, которое является решением уравнения $${\displaystyle L[u]=\delta .}$$

Когда L особенно прост, эту проблему часто можно решить, используя преобразование Фурье напрямую (как в случае ядра Пуассона и теплового ядра, о которых уже упоминалось). Для более сложных операторов иногда проще сначала рассмотреть уравнение вида $${\displaystyle L[u]=h}$$

где h — плоская волновая функция, то есть она имеет вид $${\displaystyle h=h(x\cdot \xi )}$$

для некоторого вектора ξ . Такое уравнение можно разрешить (если коэффициенты L являются аналитическими функциями ) теоремой Коши–Ковалевской или (если коэффициенты L постоянны) квадратурой. Итак, если дельта-функцию можно разложить на плоские волны, то в принципе можно решить линейные уравнения в частных производных.

Такое разложение дельта-функции на плоские волны было частью общей техники, впервые введенной по существу Иоганном Радоном , а затем развитой в этой форме Фрицем Джоном (1955). ^[63] Выберем k так, чтобы n + k было четным целым числом, и для действительного числа s положим $${\displaystyle g(s)=\operatorname {Re} \left[{\frac {-s^{k}\log(-is)}{k!(2\pi i)^{n}}}\right]={\begin{cases}{\frac {|s|^{k}}{4k!(2\pi i)^{n-1}}}&n{\text{ odd}}\\[5pt]-{\frac {|s|^{k}\log |s|}{k!(2\pi i)^{n}}}&n{\text{ even.}}\end{cases}}}$$

Тогда δ получается путем применения степени Лапласа к интегралу по единичной сферической мере dω от g ( x · ξ ) для ξ в единичной сфере S ^{n −1} : $${\displaystyle \delta (x)=\Delta _{x}^{(n+k)/2}\int _{S^{n-1}}g(x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }.}$$

Лапласиан здесь интерпретируется как слабая производная, так что это уравнение означает, что для любой тестовой функции φ , $${\displaystyle \varphi (x)=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\varphi (y)\,dy\,\Delta _{x}^{\frac {n+k}{2}}\int _{S^{n-1}}g((x-y)\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }.}$$

Результат следует из формулы для ньютоновского потенциала (фундаментального решения уравнения Пуассона). По сути, это форма формулы обращения для преобразования Радона , поскольку она восстанавливает значение φ ( x ) из его интегралов по гиперплоскостям. Например, если n нечетно и k = 1 , то интеграл в правой части равен $${\displaystyle {\begin{aligned}&c_{n}\Delta _{x}^{\frac {n+1}{2}}\iint _{S^{n-1}}\varphi (y)|(y-x)\cdot \xi |\,d\omega _{\xi }\,dy\\[5pt]&\qquad =c_{n}\Delta _{x}^{(n+1)/2}\int _{S^{n-1}}\,d\omega _{\xi }\int _{-\infty }^{\infty }|p|R\varphi (\xi ,p+x\cdot \xi )\,dp\end{aligned}}}$$

где Rφ ( ξ , p ) — преобразование Радона φ : $${\displaystyle R\varphi (\xi ,p)=\int _{x\cdot \xi =p}f(x)\,d^{n-1}x.}$$

Альтернативное эквивалентное выражение разложения плоской волны имеет вид: ^[64] $${\displaystyle \delta (x)={\begin{cases}{\frac {(n-1)!}{(2\pi i)^{n}}}\displaystyle \int _{S^{n-1}}(x\cdot \xi )^{-n}\,d\omega _{\xi }&n{\text{ even}}\\{\frac {1}{2(2\pi i)^{n-1}}}\displaystyle \int _{S^{n-1}}\delta ^{(n-1)}(x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }&n{\text{ odd}}.\end{cases}}}$$

Ядра Фурье

При изучении рядов Фурье основной вопрос состоит в определении того, сходится ли и в каком смысле ряд Фурье, связанный с периодической функцией , к функции . n -я частичная сумма ряда Фурье функции f периода 2π определяется сверткой (на интервале [−π,π] ) с ядром Дирихле : Таким образом, где Фундаментальный результат элементарных рядов Фурье утверждает, что ядро ​​Дирихле, ограниченное интервалом  [−π,π], стремится к кратному дельта-функции при N → ∞ . Это интерпретируется в смысле распределения, что для любой гладкой функции f с компактным носителем . Таким образом, формально на интервале [−π,π] . $${\displaystyle D_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}e^{inx}={\frac {\sin \left(\left(N+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}}.}$$ $${\displaystyle s_{N}(f)(x)=D_{N}*f(x)=\sum _{n=-N}^{N}a_{n}e^{inx}}$$ $${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)e^{-iny}\,dy.}$$ $${\displaystyle s_{N}(f)(0)=\int _{-\pi }^{\pi }D_{N}(x)f(x)\,dx\to 2\pi f(0)}$$ $${\displaystyle \delta (x)={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{inx}}$$

Несмотря на это, результат не справедлив для всех непрерывных функций с компактным носителем: то есть D _N не сходится слабо в смысле мер. Отсутствие сходимости ряда Фурье привело к введению различных методов суммирования для получения сходимости. Метод суммирования Чезаро приводит к ядру Фейера ^[65]

$${\displaystyle F_{N}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}D_{n}(x)={\frac {1}{N}}\left({\frac {\sin {\frac {Nx}{2}}}{\sin {\frac {x}{2}}}}\right)^{2}.}$$

Ядра Фейера стремятся к дельта-функции в более сильном смысле, чем ^[66]

$${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }F_{N}(x)f(x)\,dx\to 2\pi f(0)}$$

для каждой компактно поддерживаемой непрерывной функции f . Подразумевается, что ряд Фурье любой непрерывной функции суммируется по Чезаро к значению функции в каждой точке.

Теория Гильбертова пространства

Распределение дельта Дирака — это плотно определенный неограниченный линейный функционал на гильбертовом пространстве L 2 квадратично интегрируемых функций . Действительно, гладкие функции с компактным носителем плотны в L ² , и действие распределения дельта на такие функции хорошо определено. Во многих приложениях можно выделить подпространства L ² и задать более сильную топологию, на которой функция дельта определяет ограниченный линейный функционал .

Соболевские пространства

Теорема вложения Соболева для пространств Соболева на вещественной прямой R подразумевает, что любая квадратично интегрируемая функция f такая, что

$${\displaystyle \|f\|_{H^{1}}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }|{\widehat {f}}(\xi )|^{2}(1+|\xi |^{2})\,d\xi <\infty }$$

автоматически непрерывен и удовлетворяет, в частности,

$${\displaystyle \delta [f]=|f(0)|<C\|f\|_{H^{1}}.}$$

Таким образом, δ является ограниченным линейным функционалом на пространстве Соболева H ¹ . Эквивалентно δ является элементом непрерывного сопряженного пространства H ⁻¹ к H ¹ . Более общо, в n измерениях, δ ∈ H ^{− s} ( R ⁿ ) при условии s > ⁠н/2⁠ .

Пространства голоморфных функций

В комплексном анализе дельта-функция входит через интегральную формулу Коши , которая утверждает, что если D — область в комплексной плоскости с гладкой границей, то

$${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {f(\zeta )\,d\zeta }{\zeta -z}},\quad z\in D}$$

для всех голоморфных функций f в D , непрерывных на замыкании D. В результате дельта-функция δ _z представляется в этом классе голоморфных функций интегралом Коши:

$${\displaystyle \delta _{z}[f]=f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {f(\zeta )\,d\zeta }{\zeta -z}}.}$$

Более того, пусть H ² (∂ D ) — пространство Харди , состоящее из замыкания в L ² (∂ D ) всех голоморфных функций в D , непрерывных вплоть до границы D . Тогда функции в H ² (∂ D ) однозначно продолжаются до голоморфных функций в D , и интегральная формула Коши продолжает выполняться. В частности, при z ∈ D дельта-функция δ _z является непрерывным линейным функционалом на H ² (∂ D ) . Это частный случай ситуации в нескольких комплексных переменных , в которой для гладких областей D ядро ​​Сегё играет роль интеграла Коши. ^[67]

Другое представление дельта-функции в пространстве голоморфных функций находится на пространстве квадратично-интегрируемых голоморфных функций в открытом множестве . Это замкнутое подпространство , и, следовательно, является гильбертовым пространством. С другой стороны, функционал, который вычисляет голоморфную функцию в в точке , является непрерывным функционалом, и, таким образом, по теореме Рисса о представлении, представляется интегрированием по ядру , ядру Бергмана . Это ядро ​​является аналогом дельта-функции в этом гильбертовом пространстве. Гильбертово пространство, имеющее такое ядро, называется воспроизводящим ядром гильбертового пространства . В частном случае единичного круга имеем ${\displaystyle H(D)\cap L^{2}(D)}$ ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle L^{2}(D)}$ ${\displaystyle H(D)\cap L^{2}(D)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle K_{z}(\zeta )}$ $${\displaystyle \delta _{w}[f]=f(w)={\frac {1}{\pi }}\iint _{|z|<1}{\frac {f(z)\,dx\,dy}{(1-{\bar {z}}w)^{2}}}.}$$

Резолюции идентичности

При наличии полного ортонормированного базисного набора функций { φ _n } в сепарабельном гильбертовом пространстве, например, нормализованных собственных векторов компактного самосопряженного оператора , любой вектор f может быть выражен как Коэффициенты {α _n } находятся как , которые могут быть представлены обозначением: форма обозначения скобок Дирака. ^[68] Принимая это обозначение, разложение f принимает диадическую форму: ^[69] $${\displaystyle f=\sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{n}\varphi _{n}.}$$ $${\displaystyle \alpha _{n}=\langle \varphi _{n},f\rangle ,}$$ $${\displaystyle \alpha _{n}=\varphi _{n}^{\dagger }f,}$$

$${\displaystyle f=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi _{n}\left(\varphi _{n}^{\dagger }f\right).}$$

Обозначим через I оператор тождества в гильбертовом пространстве, выражение

$${\displaystyle I=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi _{n}\varphi _{n}^{\dagger },}$$

называется разрешением тождества . Когда гильбертово пространство является пространством L ² ( D ) квадратично-интегрируемых функций в области D , величина:

$${\displaystyle \varphi _{n}\varphi _{n}^{\dagger },}$$

является интегральным оператором, и выражение для f можно переписать

$${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{D}\,\left(\varphi _{n}(x)\varphi _{n}^{*}(\xi )\right)f(\xi )\,d\xi .}$$

Правая часть сходится к f в смысле L ^2. Она не обязательно должна быть точечно-поточечной, даже когда f — непрерывная функция. Тем не менее, часто злоупотребляют обозначениями и пишут

$${\displaystyle f(x)=\int \,\delta (x-\xi )f(\xi )\,d\xi ,}$$

в результате чего получается представление дельта-функции: ^[70]

$${\displaystyle \delta (x-\xi )=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi _{n}(x)\varphi _{n}^{*}(\xi ).}$$

При наличии подходящего оснащенного гильбертова пространства (Φ, L ² ( D ), Φ*) , где Φ ⊂ L ² ( D ) содержит все гладкие функции с компактным носителем, это суммирование может сходиться в Φ* , в зависимости от свойств базиса φ _n . В большинстве случаев, представляющих практический интерес, ортонормированный базис получается из интегрального или дифференциального оператора, и в этом случае ряд сходится в смысле распределения . ^[71]

Бесконечно малые дельта-функции

Коши использовал бесконечно малую α , чтобы записать единичный импульс, бесконечно высокую и узкую дельта-функцию типа Дирака δ _α, удовлетворяющую в ряде статей в 1827 году. ^[72] Коши определил бесконечно малую в Cours d'Analyse (1827) в терминах последовательности, стремящейся к нулю. А именно, такая нулевая последовательность становится бесконечно малой в терминологии Коши и Лазаря Карно . ${\textstyle \int F(x)\delta _{\alpha }(x)\,dx=F(0)}$

Нестандартный анализ позволяет строго обрабатывать бесконечно малые. Статья Ямашиты (2007) содержит библиографию по современным дельта-функциям Дирака в контексте обогащенного бесконечно малыми континуума, предоставляемого гиперреальными числами . Здесь дельта Дирака может быть задана действительной функцией, обладающей свойством, что для каждой действительной функции F она имеет место, как и предполагали Фурье и Коши. ${\textstyle \int F(x)\delta _{\alpha }(x)\,dx=F(0)}$

гребень Дирака

Гребень Дирака — это бесконечный ряд дельта-функций Дирака, расположенных с интервалом T

A so-called uniform "pulse train" of Dirac delta measures, which is known as a Dirac comb, or as the Sha distribution, creates a sampling function, often used in digital signal processing (DSP) and discrete time signal analysis. The Dirac comb is given as the infinite sum, whose limit is understood in the distribution sense,

$${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} (x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n),}$$

which is a sequence of point masses at each of the integers.

Up to an overall normalizing constant, the Dirac comb is equal to its own Fourier transform. This is significant because if f is any Schwartz function, then the periodization of f is given by the convolution $${\displaystyle (f*\operatorname {\text{Ш}} )(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(x-n).}$$In particular, $${\displaystyle (f*\operatorname {\text{Ш}} )^{\wedge }={\widehat {f}}{\widehat {\operatorname {\text{Ш}} }}={\widehat {f}}\operatorname {\text{Ш}} }$$is precisely the Poisson summation formula.^[73][74]More generally, this formula remains to be true if f is a tempered distribution of rapid descent or, equivalently, if ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ is a slowly growing, ordinary function within the space of tempered distributions.

Sokhotski–Plemelj theorem

The Sokhotski–Plemelj theorem, important in quantum mechanics, relates the delta function to the distribution p.v. ⁠1/x⁠, the Cauchy principal value of the function ⁠1/x⁠, defined by

$${\displaystyle \left\langle \operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}},\varphi \right\rangle =\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{|x|>\varepsilon }{\frac {\varphi (x)}{x}}\,dx.}$$

Sokhotsky's formula states that^[75]

$${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{x\pm i\varepsilon }}=\operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}\mp i\pi \delta (x),}$$

Here the limit is understood in the distribution sense, that for all compactly supported smooth functions f,

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx=\mp i\pi f(0)+\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{|x|>\varepsilon }{\frac {f(x)}{x}}\,dx.}$$

Relationship to the Kronecker delta

The Kronecker delta δ_ij is the quantity defined by

$${\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}1&i=j\\0&i\not =j\end{cases}}}$$

for all integers i, j. This function then satisfies the following analog of the sifting property: if a_i (for i in the set of all integers) is any doubly infinite sequence, then

$${\displaystyle \sum _{i=-\infty }^{\infty }a_{i}\delta _{ik}=a_{k}.}$$

Similarly, for any real or complex valued continuous function f on R, the Dirac delta satisfies the sifting property

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x-x_{0})\,dx=f(x_{0}).}$$

This exhibits the Kronecker delta function as a discrete analog of the Dirac delta function.^[76]

Applications

Probability theory

In probability theory and statistics, the Dirac delta function is often used to represent a discrete distribution, or a partially discrete, partially continuous distribution, using a probability density function (which is normally used to represent absolutely continuous distributions). For example, the probability density function f(x) of a discrete distribution consisting of points x = {x₁, ..., x_n}, with corresponding probabilities p₁, ..., p_n, can be written as

$${\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\delta (x-x_{i}).}$$

As another example, consider a distribution in which 6/10 of the time returns a standard normal distribution, and 4/10 of the time returns exactly the value 3.5 (i.e. a partly continuous, partly discrete mixture distribution). The density function of this distribution can be written as

$${\displaystyle f(x)=0.6\,{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}+0.4\,\delta (x-3.5).}$$

The delta function is also used to represent the resulting probability density function of a random variable that is transformed by continuously differentiable function. If Y = g(X) is a continuous differentiable function, then the density of Y can be written as

$${\displaystyle f_{Y}(y)=\int _{-\infty }^{+\infty }f_{X}(x)\delta (y-g(x))\,dx.}$$

The delta function is also used in a completely different way to represent the local time of a diffusion process (like Brownian motion). The local time of a stochastic process B(t) is given by $${\displaystyle \ell (x,t)=\int _{0}^{t}\delta (x-B(s))\,ds}$$and represents the amount of time that the process spends at the point x in the range of the process. More precisely, in one dimension this integral can be written $${\displaystyle \ell (x,t)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{2\varepsilon }}\int _{0}^{t}\mathbf {1} _{[x-\varepsilon ,x+\varepsilon ]}(B(s))\,ds}$$where ${\displaystyle \mathbf {1} _{[x-\varepsilon ,x+\varepsilon ]}}$ is the indicator function of the interval ${\displaystyle [x-\varepsilon ,x+\varepsilon ].}$

Quantum mechanics

The delta function is expedient in quantum mechanics. The wave function of a particle gives the probability amplitude of finding a particle within a given region of space. Wave functions are assumed to be elements of the Hilbert space L² of square-integrable functions, and the total probability of finding a particle within a given interval is the integral of the magnitude of the wave function squared over the interval. A set {|φ_n⟩} of wave functions is orthonormal if

$${\displaystyle \langle \varphi _{n}\mid \varphi _{m}\rangle =\delta _{nm},}$$

where δ_nm is the Kronecker delta. A set of orthonormal wave functions is complete in the space of square-integrable functions if any wave function |ψ⟩ can be expressed as a linear combination of the {|φ_n⟩} with complex coefficients:

$${\displaystyle \psi =\sum c_{n}\varphi _{n},}$$

where c_n = ⟨φ_n|ψ⟩. Complete orthonormal systems of wave functions appear naturally as the eigenfunctions of the Hamiltonian (of a bound system) in quantum mechanics that measures the energy levels, which are called the eigenvalues. The set of eigenvalues, in this case, is known as the spectrum of the Hamiltonian. In bra–ket notation this equality implies the resolution of the identity:

$${\displaystyle I=\sum |\varphi _{n}\rangle \langle \varphi _{n}|.}$$

Here the eigenvalues are assumed to be discrete, but the set of eigenvalues of an observable can also be continuous. An example is the position operator, Qψ(x) = xψ(x). The spectrum of the position (in one dimension) is the entire real line and is called a continuous spectrum. However, unlike the Hamiltonian, the position operator lacks proper eigenfunctions. The conventional way to overcome this shortcoming is to widen the class of available functions by allowing distributions as well, i.e., to replace the Hilbert space with a rigged Hilbert space.^[77] In this context, the position operator has a complete set of "generalized eigenfunctions", labeled by the points y of the real line, given by

$${\displaystyle \varphi _{y}(x)=\delta (x-y).}$$

The eigenfunctions of the position operator are called the eigenstates and are denoted by φ_y = |y⟩.

Similar considerations apply to the eigenstates of the momentum operator, or indeed any other (unbounded) self-adjoint operator P on the Hilbert space, provided the spectrum of P is continuous and there are no degenerate eigenvalues. In that case, there is a set Ω of real numbers (the spectrum) and a collection of distributions φ_y with y ∈ Ω such that

$${\displaystyle P\varphi _{y}=y\varphi _{y}.}$$

That is, φ_y are the generalized eigenvectors of P. If they form an "orthonormal basis" in the distribution sense, that is:

$${\displaystyle \langle \varphi _{y},\varphi _{y'}\rangle =\delta (y-y'),}$$

then for any test function ψ,

$${\displaystyle \psi (x)=\int _{\Omega }c(y)\varphi _{y}(x)\,dy}$$

where c(y) = ⟨ψ, φ_y⟩. That is, there is a resolution of the identity

$${\displaystyle I=\int _{\Omega }|\varphi _{y}\rangle \,\langle \varphi _{y}|\,dy}$$

where the operator-valued integral is again understood in the weak sense. If the spectrum of P has both continuous and discrete parts, then the resolution of the identity involves a summation over the discrete spectrum and an integral over the continuous spectrum.

The delta function also has many more specialized applications in quantum mechanics, such as the delta potential models for a single and double potential well.

Structural mechanics

The delta function can be used in structural mechanics to describe transient loads or point loads acting on structures. The governing equation of a simple mass–spring system excited by a sudden force impulse I at time t = 0 can be written

$${\displaystyle m{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+k\xi =I\delta (t),}$$

where m is the mass, ξ is the deflection, and k is the spring constant.

As another example, the equation governing the static deflection of a slender beam is, according to Euler–Bernoulli theory,

$${\displaystyle EI{\frac {d^{4}w}{dx^{4}}}=q(x),}$$

where EI is the bending stiffness of the beam, w is the deflection, x is the spatial coordinate, and q(x) is the load distribution. If a beam is loaded by a point force F at x = x₀, the load distribution is written

$${\displaystyle q(x)=F\delta (x-x_{0}).}$$

As the integration of the delta function results in the Heaviside step function, it follows that the static deflection of a slender beam subject to multiple point loads is described by a set of piecewise polynomials.

Also, a point moment acting on a beam can be described by delta functions. Consider two opposing point forces F at a distance d apart. They then produce a moment M = Fd acting on the beam. Now, let the distance d approach the limit zero, while M is kept constant. The load distribution, assuming a clockwise moment acting at x = 0, is written

$${\displaystyle {\begin{aligned}q(x)&=\lim _{d\to 0}{\Big (}F\delta (x)-F\delta (x-d){\Big )}\\[4pt]&=\lim _{d\to 0}\left({\frac {M}{d}}\delta (x)-{\frac {M}{d}}\delta (x-d)\right)\\[4pt]&=M\lim _{d\to 0}{\frac {\delta (x)-\delta (x-d)}{d}}\\[4pt]&=M\delta '(x).\end{aligned}}}$$

Point moments can thus be represented by the derivative of the delta function. Integration of the beam equation again results in piecewise polynomial deflection.

See also

• Atom (measure theory)
• Laplacian of the indicator

Notes

1. atis 2013, unit impulse.
2. Arfken & Weber 2000, p. 84.
3. Dirac 1930, §22 The δ function.
4. Gelfand & Shilov 1966–1968, Volume I, §1.1.
5. Zhao, Ji-Cheng (2011-05-05). Methods for Phase Diagram Determination. Elsevier. ISBN 978-0-08-054996-5.
6. Fourier, JB (1822). The Analytical Theory of Heat (English translation by Alexander Freeman, 1878 ed.). The University Press. p. [1]., cf. https://books.google.com/books?id=-N8EAAAAYAAJ&pg=PA449 and pp. 546–551. Original French text.
7. Komatsu, Hikosaburo (2002). "Fourier's hyperfunctions and Heaviside's pseudodifferential operators". In Takahiro Kawai; Keiko Fujita (eds.). Microlocal Analysis and Complex Fourier Analysis. World Scientific. p. [2]. ISBN 978-981-238-161-3.
8. Myint-U., Tyn; Debnath, Lokenath (2007). Linear Partial Differential Equations for Scientists And Engineers (4th ed.). Springer. p. [3]. ISBN 978-0-8176-4393-5.
9. Debnath, Lokenath; Bhatta, Dambaru (2007). Integral Transforms And Their Applications (2nd ed.). CRC Press. p. [4]. ISBN 978-1-58488-575-7.
10. Grattan-Guinness, Ivor (2009). Convolutions in French Mathematics, 1800–1840: From the Calculus and Mechanics to Mathematical Analysis and Mathematical Physics, Volume 2. Birkhäuser. p. 653. ISBN 978-3-7643-2238-0.
11. See, for example, Cauchy, Augustin-Louis (1789-1857) Auteur du texte (1882–1974). "Des intégrales doubles qui se présentent sous une forme indéterminèe". Oeuvres complètes d'Augustin Cauchy. Série 1, tome 1 / publiées sous la direction scientifique de l'Académie des sciences et sous les auspices de M. le ministre de l'Instruction publique...{{cite book}}: CS1 maint: numeric names: authors list (link)
12. Mitrović, Dragiša; Žubrinić, Darko (1998). Fundamentals of Applied Functional Analysis: Distributions, Sobolev Spaces. CRC Press. p. 62. ISBN 978-0-582-24694-2.
13. Kracht, Manfred; Kreyszig, Erwin (1989). "On singular integral operators and generalizations". In Themistocles M. Rassias (ed.). Topics in Mathematical Analysis: A Volume Dedicated to the Memory of A.L. Cauchy. World Scientific. p. https://books.google.com/books?id=xIsPrSiDlZIC&pg=PA553 553]. ISBN 978-9971-5-0666-7.
14. Laugwitz 1989, p. 230.
15. A more complete historical account can be found in van der Pol & Bremmer 1987, §V.4.
16. Dirac, P. A. M. (January 1927). "The physical interpretation of the quantum dynamics". Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character. 113 (765): 621–641. Bibcode:1927RSPSA.113..621D. doi:10.1098/rspa.1927.0012. ISSN 0950-1207. S2CID 122855515.
17. Gelfand & Shilov 1966–1968, Volume I, §1.1, p. 1.
18. Dirac 1930, p. 63.
19. Rudin 1966, §1.20
20. Hewitt & Stromberg 1963, §19.61.
21. Driggers 2003, p. 2321 See also Bracewell 1986, Chapter 5 for a different interpretation. Other conventions for the assigning the value of the Heaviside function at zero exist, and some of these are not consistent with what follows.
22. Hewitt & Stromberg 1963, §9.19.
23. Hazewinkel 2011, p. 41.
24. Strichartz 1994, §2.2.
25. Hörmander 1983, Theorem 2.1.5.
26. Bracewell 1986, Chapter 5.
27. Hörmander 1983, §3.1.
28. Strichartz 1994, §2.3.
29. Hörmander 1983, §8.2.
30. Rudin 1966, §1.20.
31. Dieudonné 1972, §17.3.3.
32. Krantz, Steven G.; Parks, Harold R. (2008-12-15). Geometric Integration Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-4679-0.
33. Federer 1969, §2.5.19.
34. Strichartz 1994, Problem 2.6.2.
35. Vladimirov 1971, Chapter 2, Example 3(d).
36. Weisstein, Eric W. "Sifting Property". MathWorld.
37. Karris, Steven T. (2003). Signals and Systems with MATLAB Applications. Orchard Publications. p. 15. ISBN 978-0-9709511-6-8.
38. Roden, Martin S. (2014-05-17). Introduction to Communication Theory. Elsevier. p. [5]. ISBN 978-1-4831-4556-3.
39. Rottwitt, Karsten; Tidemand-Lichtenberg, Peter (2014-12-11). Nonlinear Optics: Principles and Applications. CRC Press. p. [6] 276. ISBN 978-1-4665-6583-8.
40. Gelfand & Shilov 1966–1968, Vol. 1, §II.2.5.
41. Further refinement is possible, namely to submersions, although these require a more involved change of variables formula.
42. Hörmander 1983, §6.1.
43. Lange 2012, pp.29–30.
44. Gelfand & Shilov 1966–1968, p. 212.
45. The numerical factors depend on the conventions for the Fourier transform.
46. Bracewell 1986.
47. Gelfand & Shilov 1966–1968, p. 26.
48. Gelfand & Shilov 1966–1968, §2.1.
49. Weisstein, Eric W. "Doublet Function". MathWorld.
50. Bracewell 2000, p. 86.
51. "Gugo82's comment on the distributional derivative of Dirac's delta". matematicamente.it. 12 September 2010.
52. Hörmander 1983, p. 56.
53. Rudin 1991, Theorem 6.25.
54. Stein & Weiss 1971, Theorem 1.18.
55. Rudin 1991, §II.6.31.
56. More generally, one only needs η = η₁ to have an integrable radially symmetric decreasing rearrangement.
57. Saichev & Woyczyński 1997, §1.1 The "delta function" as viewed by a physicist and an engineer, p. 3.
58. Milovanović, Gradimir V.; Rassias, Michael Th (2014-07-08). Analytic Number Theory, Approximation Theory, and Special Functions: In Honor of Hari M. Srivastava. Springer. p. 748. ISBN 978-1-4939-0258-3.
59. Stein & Weiss 1971, §I.1.
60. Mader, Heidy M. (2006). Statistics in Volcanology. Geological Society of London. p. 81. ISBN 978-1-86239-208-3.
61. Vallée & Soares 2004, §7.2.
62. Hörmander 1983, §7.8.
63. Courant & Hilbert 1962, §14.
64. Gelfand & Shilov 1966–1968, I, §3.10.
65. Lang 1997, p. 312.
66. In the terminology of Lang (1997), the Fejér kernel is a Dirac sequence, whereas the Dirichlet kernel is not.
67. Hazewinkel 1995, p. 357.
68. The development of this section in bra–ket notation is found in (Levin 2002, Coordinate-space wave functions and completeness, pp.=109ff)
69. Davis & Thomson 2000, Perfect operators, p.344.
70. Davis & Thomson 2000, Equation 8.9.11, p. 344.
71. de la Madrid, Bohm & Gadella 2002.
72. Laugwitz 1989.
73. Córdoba 1988.
74. Hörmander 1983, §7.2.
75. Vladimirov 1971, §5.7.
76. Hartmann 1997, pp. 154–155.
77. Isham 1995, §6.2.

References

• Aratyn, Henrik; Rasinariu, Constantin (2006), A short course in mathematical methods with Maple, World Scientific, ISBN 978-981-256-461-0.
• Arfken, G. B.; Weber, H. J. (2000), Mathematical Methods for Physicists (5th ed.), Boston, Massachusetts: Academic Press, ISBN 978-0-12-059825-0.
• atis (2013), ATIS Telecom Glossary, archived from the original on 2013-03-13
• Bracewell, R. N. (1986), The Fourier Transform and Its Applications (2nd ed.), McGraw-Hill.
• Bracewell, R. N. (2000), The Fourier Transform and Its Applications (3rd ed.), McGraw-Hill.
• Córdoba, A. (1988), "La formule sommatoire de Poisson", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, 306: 373–376.
• Courant, Richard; Hilbert, David (1962), Methods of Mathematical Physics, Volume II, Wiley-Interscience.
• Davis, Howard Ted; Thomson, Kendall T (2000), Linear algebra and linear operators in engineering with applications in Mathematica, Academic Press, ISBN 978-0-12-206349-7
• Dieudonné, Jean (1976), Treatise on analysis. Vol. II, New York: Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-215502-4, MR 0530406.
• Dieudonné, Jean (1972), Treatise on analysis. Vol. III, Boston, Massachusetts: Academic Press, MR 0350769
• Dirac, Paul (1930), The Principles of Quantum Mechanics (1st ed.), Oxford University Press.
• Driggers, Ronald G. (2003), Encyclopedia of Optical Engineering, CRC Press, Bibcode:2003eoe..book.....D, ISBN 978-0-8247-0940-2.
• Duistermaat, Hans; Kolk (2010), Distributions: Theory and applications, Springer.
• Federer, Herbert (1969), Geometric measure theory, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 153, New York: Springer-Verlag, pp. xiv+676, ISBN 978-3-540-60656-7, MR 0257325.
• Gannon, Terry (2008), "Vertex operator algebras", Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, ISBN 978-1400830398.
• Gelfand, I. M.; Shilov, G. E. (1966–1968), Generalized functions, vol. 1–5, Academic Press, ISBN 9781483262246.
• Hartmann, William M. (1997), Signals, sound, and sensation, Springer, ISBN 978-1-56396-283-7.
• Hazewinkel, Michiel (1995). Encyclopaedia of Mathematics (set). Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Hazewinkel, Michiel (2011). Encyclopaedia of mathematics. Vol. 10. Springer. ISBN 978-90-481-4896-7. OCLC 751862625.
• Hewitt, E; Stromberg, K (1963), Real and abstract analysis, Springer-Verlag.
• Hörmander, L. (1983), The analysis of linear partial differential operators I, Grundl. Math. Wissenschaft., vol. 256, Springer, doi:10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN 978-3-540-12104-6, MR 0717035.
• Isham, C. J. (1995), Lectures on quantum theory: mathematical and structural foundations, Imperial College Press, ISBN 978-81-7764-190-5.
• John, Fritz (1955), Plane waves and spherical means applied to partial differential equations, Interscience Publishers, New York-London, ISBN 9780486438047, MR 0075429.
• Lang, Serge (1997), Undergraduate analysis, Undergraduate Texts in Mathematics (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4757-2698-5, ISBN 978-0-387-94841-6, MR 1476913.
• Lange, Rutger-Jan (2012), "Potential theory, path integrals and the Laplacian of the indicator", Journal of High Energy Physics, 2012 (11): 29–30, arXiv:1302.0864, Bibcode:2012JHEP...11..032L, doi:10.1007/JHEP11(2012)032, S2CID 56188533.
• Laugwitz, D. (1989), "Definite values of infinite sums: aspects of the foundations of infinitesimal analysis around 1820", Arch. Hist. Exact Sci., 39 (3): 195–245, doi:10.1007/BF00329867, S2CID 120890300.
• Levin, Frank S. (2002), "Coordinate-space wave functions and completeness", An introduction to quantum theory, Cambridge University Press, pp. 109ff, ISBN 978-0-521-59841-5
• Li, Y. T.; Wong, R. (2008), "Integral and series representations of the Dirac delta function", Commun. Pure Appl. Anal., 7 (2): 229–247, arXiv:1303.1943, doi:10.3934/cpaa.2008.7.229, MR 2373214, S2CID 119319140.
• de la Madrid, R.; Bohm, A.; Gadella, M. (2002), "Rigged Hilbert Space Treatment of Continuous Spectrum", Fortschr. Phys., 50 (2): 185–216, arXiv:quant-ph/0109154, Bibcode:2002ForPh..50..185D, doi:10.1002/1521-3978(200203)50:2<185::AID-PROP185>3.0.CO;2-S, S2CID 9407651.
• McMahon, D. (2005-11-22), "An Introduction to State Space" (PDF), Quantum Mechanics Demystified, A Self-Teaching Guide, Demystified Series, New York: McGraw-Hill, p. 108, ISBN 978-0-07-145546-6, retrieved 2008-03-17.
• van der Pol, Balth.; Bremmer, H. (1987), Operational calculus (3rd ed.), New York: Chelsea Publishing Co., ISBN 978-0-8284-0327-6, MR 0904873.
• Rudin, Walter (1966). Devine, Peter R. (ed.). Real and complex analysis (3rd ed.). New York: McGraw-Hill (published 1987). ISBN 0-07-100276-6.
• Rudin, Walter (1991), Functional Analysis (2nd ed.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054236-5.
• Vallée, Olivier; Soares, Manuel (2004), Airy functions and applications to physics, London: Imperial College Press, ISBN 9781911299486.
• Saichev, A I; Woyczyński, Wojbor Andrzej (1997), "Chapter1: Basic definitions and operations", Distributions in the Physical and Engineering Sciences: Distributional and fractal calculus, integral transforms, and wavelets, Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3924-2
• Schwartz, L. (1950), Théorie des distributions, vol. 1, Hermann.
• Schwartz, L. (1951), Théorie des distributions, vol. 2, Hermann.
• Stein, Elias; Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9.
• Strichartz, R. (1994), A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms, CRC Press, ISBN 978-0-8493-8273-4.
• Vladimirov, V. S. (1971), Equations of mathematical physics, Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-1713-1.
• Weisstein, Eric W. "Delta Function". MathWorld.
• Yamashita, H. (2006), "Pointwise analysis of scalar fields: A nonstandard approach", Journal of Mathematical Physics, 47 (9): 092301, Bibcode:2006JMP....47i2301Y, doi:10.1063/1.2339017
• Yamashita, H. (2007), "Comment on "Pointwise analysis of scalar fields: A nonstandard approach" [J. Math. Phys. 47, 092301 (2006)]", Journal of Mathematical Physics, 48 (8): 084101, Bibcode:2007JMP....48h4101Y, doi:10.1063/1.2771422

External links

• Media related to Dirac distribution at Wikimedia Commons
• "Delta-function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• KhanAcademy.org video lesson
• The Dirac Delta function, a tutorial on the Dirac delta function.
• Video Lectures – Lecture 23, a lecture by Arthur Mattuck.
• The Dirac delta measure is a hyperfunction
• We show the existence of a unique solution and analyze a finite element approximation when the source term is a Dirac delta measure
• Non-Lebesgue measures on R. Lebesgue-Stieltjes measure, Dirac delta measure. Archived 2008-03-07 at the Wayback Machine