Математическая функция, характеризующая принадлежность множества
В математике индикаторная функция или характеристическая функция подмножества множества — это функция , которая отображает элементы подмножества в единицу, а все остальные элементы — в ноль . То есть, если A — подмножество некоторого множества X , то если и иначе, где — общее обозначение индикаторной функции. Другими распространенными обозначениями являются и
Индикаторной функцией A является скобка Айверсона свойства принадлежности A ; то есть,
Индикаторной функцией подмножества А множества X является функция
определяется как
1 А ( Икс ) знак равно { 1 если Икс ∈ А , 0 если Икс ∉ А . {\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x):={\begin{cases}1~& {\text{ if }}~x\in A~,\\0~& {\text{ if }}~x\notin A~.\end{cases}}}
Скобка Айверсона обеспечивает эквивалентное обозначение, или ⟦ x ∈ A ⟧ , которое можно использовать вместо
Эту функцию иногда обозначают I A , χ A , KA или даже просто A . [а] [б]
Связанное с этим понятие в статистике — это фиктивная переменная . (Это не следует путать с «фиктивными переменными», поскольку этот термин обычно используется в математике и также называется связанной переменной .)
Термин « характеристическая функция » имеет несвязанное значение в классической теории вероятностей . По этой причине традиционные специалисты по теории вероятностей почти исключительно используют термин « индикаторная функция» для обозначения функции, определенной здесь, в то время как математики в других областях чаще используют термин « характеристическая функция [a]» для описания функции, указывающей на принадлежность к множеству.
В более общем смысле, предположим, что это коллекция подмножеств X . Для любого
очевидно, является произведением 0 с и 1 с. Это произведение имеет значение 1 ровно в тех случаях , когда оно не принадлежит ни одному из наборов, и равно 0 в противном случае. То есть
Во многих случаях, например, в теории порядка , может быть определена обратная индикаторная функция. Это обычно называют обобщенной функцией Мёбиуса , как обобщение обратной индикаторной функции в элементарной теории чисел , функции Мёбиуса . (См. параграф ниже об использовании обратного в классической теории рекурсии.)
Среднее значение, дисперсия и ковариация
Учитывая вероятностное пространство с индикаторной случайной величиной, определяется следующим образом: если в противном случае
Характеристическая функция в теории рекурсии, представляющая функция Гёделя и Клини
Курт Гёдель описал представляющую функцию в своей статье 1934 года «О неразрешимых утверждениях формальных математических систем» («¬» указывает на логическую инверсию, т.е. «НЕ»): [1] : 42
Каждому классу или отношению R должна соответствовать представляющая функция, если и если
Клини предлагает то же определение в контексте примитивно -рекурсивных функций, поскольку функция φ предиката P принимает значения 0 , если предикат истинен, и 1, если предикат ложен. [2]
Например, поскольку произведение характеристических функций всякий раз, когда какая-либо из функций равна 0 , оно играет роль логического ИЛИ: ЕСЛИ ИЛИ ИЛИ... ИЛИ ТО их произведение равно 0 . То, что современному читателю кажется логической инверсией представляющей функции, т.е. представляющая функция равна 0 , когда функция R «истинна» или удовлетворена», играет полезную роль в определении Клини логических функций ИЛИ, И и ПОДЛЕЖИТ, [ 2] : 228 ограниченные- [2] : 228 и неограниченные- [2] : 279 ff mu операторы и функция CASE. [2] : 229
Характеристическая функция в теории нечетких множеств
В классической математике характеристические функции множеств принимают только значения 1 (члены) или 0 (не члены). В теории нечетких множеств характеристические функции обобщаются, чтобы принимать значения в действительном единичном интервале [0, 1] или, в более общем смысле, в некоторой алгебре или структуре (обычно требуется, чтобы они были как минимум частично упорядоченным множеством или решеткой ). Такие обобщенные характеристические функции чаще называют функциями принадлежности , а соответствующие «множества» — нечеткими множествами. Нечеткие множества моделируют постепенное изменение степени принадлежности, наблюдаемое во многих реальных предикатах, таких как «высокий», «теплый» и т. д.
Гладкость
В целом индикаторная функция множества не является гладкой; оно непрерывно тогда и только тогда, когда его носитель является компонентой связности . Однако в алгебраической геометрии конечных полей каждое аффинное многообразие допускает непрерывную индикаторную функцию ( Зарисского ). [3] Учитывая конечный набор функций, пусть это их точка исчезновения. Тогда функция действует как индикаторная функция для . Если тогда , в противном случае для некоторого имеем , откуда следует, что , следовательно .
Таким образом, производную ступенчатой функции Хевисайда можно рассматривать как внутреннюю нормальную производную на границе области, заданной положительной полупрямой. В более высоких измерениях производная естественным образом обобщается до производной по внутренней нормали, а ступенчатая функция Хевисайда естественным образом обобщается до индикаторной функции некоторой области D . Поверхность D обозначим S. _ Продолжая, можно сделать вывод, что внутренняя нормальная производная индикатора порождает «поверхностную дельта-функцию», которая может обозначаться :
^ ab Греческая буква χ появляется потому, что это начальная буква греческого слова χαρακτήρ , которое является основным источником слова «характеристика» .
^ Набор всех индикаторных функций на X можно отождествить с набором мощности X. Следовательно, оба множества иногда обозначаются как Это частный случай ( ) обозначения множества всех функций
Рекомендации
^ Дэвис, Мартин , изд. (1965). Неразрешимое . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Книги Raven Press. стр. 41–74.
^ abcde Клини, Стивен (1971) [1952]. Введение в метаматематику (Шестое переиздание, с исправлениями под ред.). Нидерланды: Wolters-Noordhoff Publishing и North Holland Publishing Company. п. 227.
^ Серр. Курс арифметики . п. 5.
^ Ланге, Рутгер-Ян (2012). «Теория потенциала, интегралы по путям и лапласиан индикатора». Журнал физики высоких энергий . 2012 (11): 29–30. arXiv : 1302.0864 . Бибкод : 2012JHEP...11..032L. doi : 10.1007/JHEP11(2012)032. S2CID 56188533.
Источники
Фолланд, Великобритания (1999). Реальный анализ: современные методы и их применение (второе изд.). Джон Уайли и сыновья, Inc. ISBN 978-0-471-31716-6.
Дэвис, Мартин , изд. (1965). Неразрешимое . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Книги Raven Press.
Клини, Стивен (1971) [1952]. Введение в метаматематику (Шестое переиздание, с исправлениями под ред.). Нидерланды: Wolters-Noordhoff Publishing и North Holland Publishing Company.