Ньютоновский потенциал

В математике ньютоновский потенциал или потенциал Ньютона — это оператор векторного исчисления , который действует как обратный отрицательному лапласиану на функциях, которые являются гладкими и достаточно быстро затухают на бесконечности. По существу, это фундаментальный объект исследования в теории потенциала . По своей общей природе это сингулярный интегральный оператор , определяемый сверткой с функцией, имеющей математическую особенность в начале координат, ядром Ньютона Γ, которое является фундаментальным решением уравнения Лапласа . Она названа в честь Исаака Ньютона , который первым открыл ее и доказал, что это гармоническая функция в частном случае трех переменных , где она служила фундаментальным гравитационным потенциалом в законе всемирного тяготения Ньютона . В современной теории потенциала ньютоновский потенциал вместо этого рассматривается как электростатический потенциал .

Ньютонов потенциал интегрируемой функции f с компактным носителем определяется как свертка

u(x)=\Gamma *f(x)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\Gamma (x-y)f(y)\,dy

\Gamma (x)={\begin{cases}{\frac {1}{2\pi }}\log {|x|}&d=2\\{\frac {1}{d(2-d)\omega _{d}}}|x|^{2-d}&d\neq 2.\end{cases}}

Здесь ω _d — объем единичного d -шара (иногда соглашения о знаках могут различаться; сравните (Evans 1998) и (Gilbarg & Trudinger 1983)). Например, поскольку у нас есть $d=3$ $\Gamma (x)=-1/(4\pi |x|).$

Ньютоновский потенциал w функции f является решением уравнения Пуассона

\Delta w=f,

wfнепрерывно по Гёльдеру Отто Гёльдер Хенрик Петриниfwwзадачи Дирихле для уравнения Пуассона в достаточно регулярных областях, а также для функций f

Ньютоновский потенциал определяется в более широком смысле как свертка

\Gamma *\mu (x)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\Gamma (x-y)\,d\mu (y)

µ — мера Радона

\Delta w=\mu

распределений положительна субгармониченR ^d

Если f — непрерывная функция с компактным носителем (или, в более общем смысле, конечная мера), которая является вращательно-инвариантной , то свертка f с $Γ$ удовлетворяет для x вне носителя f

f*\Gamma (x)=\lambda \Gamma (x),\quad \lambda =\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(y)\,dy.

В размерности d = 3 это сводится к теореме Ньютона о том, что потенциальная энергия небольшой массы вне гораздо большего сферически-симметричного распределения массы такая же, как если бы вся масса более крупного объекта была сосредоточена в его центре.

Когда мере µ соответствует распределение массы на достаточно гладкой гиперповерхности S (поверхность Ляпунова класса Гёльдера C ^1,α ), делящей R ^d на две области D ₊ и D ₋ , то ньютоновский потенциал µ называется как простой потенциал слоя . Потенциалы простых слоев непрерывны и решают уравнение Лапласа, за исключением S . Они естественным образом возникают при изучении электростатики в контексте электростатического потенциала , связанного с распределением заряда на замкнутой поверхности. Если $d µ = f d H$ является произведением непрерывной функции на S с ( d − 1)-мерной мерой Хаусдорфа , то в точке y из S нормальная производная претерпевает скачок f ( y ) при пересечении слой. Более того, нормальная производная w является четко определенной непрерывной функцией на S . Это делает простые слои особенно подходящими для изучения задачи Неймана для уравнения Лапласа.

Ньютоновский потенциал

Смотрите также

Рекомендации