Поток в открытом канале

Тип потока жидкости внутри трубопровода

В механике жидкости и гидравлике течение в открытом канале — это тип течения жидкости внутри трубопровода со свободной поверхностью , известного как канал . ^{[1] [2]} Другой тип потока внутри трубопровода — это поток в трубе . Эти два типа потока во многом схожи, но отличаются в одном важном отношении: поток в открытом канале имеет свободную поверхность, тогда как поток в трубах ее нет, в результате чего в потоке преобладает сила тяжести, а не гидравлическое давление .

Канал проекта Центральной Аризоны .

Классификации потока

Поток в открытом канале можно классифицировать и описывать различными способами на основе изменения глубины потока во времени и пространстве. ^[3] Основными типами потоков, рассматриваемыми в гидравлике открытого канала, являются:

• Время как критерий
  • Постоянный поток
    • Глубина потока не меняется со временем или ее можно считать постоянной в течение рассматриваемого интервала времени.
  • Нестационарный поток
    • Глубина потока меняется со временем.
• Пространство как критерий
  • Равномерный поток
    • Глубина течения одинакова на всех участках канала. Равномерный поток может быть устойчивым или нестационарным, в зависимости от того, меняется ли глубина со временем (хотя нестационарный равномерный поток встречается редко).
  • Разнообразный поток
    • Глубина течения меняется по длине канала. Технически переменный поток может быть как устойчивым, так и нестационарным. Разнообразный поток можно далее классифицировать как быстро или постепенно меняющийся:
      • Быстро меняющийся поток
        • Глубина меняется резко на сравнительно небольшом расстоянии. Быстро меняющийся поток известен как локальное явление. Примерами являются гидравлический прыжок и гидравлическое падение .
      • Постепенно меняющийся поток
        • Глубина меняется на большом расстоянии.
  • Непрерывный поток
    • Расход постоянный на всем протяжении рассматриваемого канала. Зачастую это происходит при постоянном течении. Этот поток считается непрерывным и поэтому может быть описан с помощью уравнения неразрывности для непрерывного установившегося потока.
  • Пространственно изменчивый поток
    • Расход установившегося потока неравномерен по руслу. Это происходит, когда вода попадает в канал и/или выходит из него по ходу течения. Примером потока, попадающего в канал, может служить желоб на обочине дороги. Примером потока, выходящего из канала, может служить ирригационный канал. Этот поток можно описать с помощью уравнения неразрывности для непрерывного нестационарного течения, требующего учета временного эффекта и включающего элемент времени в качестве переменной.

Состояния потока

Поведение потока в открытом канале определяется эффектами вязкости и силы тяжести по отношению к силам инерции потока. Поверхностное натяжение имеет незначительный вклад, но в большинстве случаев не играет достаточно значительной роли, чтобы быть определяющим фактором. Из-за наличия свободной поверхности сила тяжести обычно является наиболее важной движущей силой потока в открытом канале; поэтому отношение сил инерции к силам тяжести является важнейшим безразмерным параметром. ^[4] Параметр известен как число Фруда и определяется как: где – средняя скорость, – характерный масштаб длины для глубины канала, – гравитационное ускорение . В зависимости от влияния вязкости относительно инерции, представленной числом Рейнольдса , поток может быть ламинарным , турбулентным или переходным . Однако обычно допустимо предположить, что число Рейнольдса достаточно велико, чтобы можно было пренебречь силами вязкости. ^[4] $${\displaystyle {\text{Fr}}={U \over {\sqrt {gD}}}}$$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle g}$

Формулировка

Можно сформулировать уравнения, описывающие три закона сохранения величин, полезных в потоке с открытым каналом: массы, импульса и энергии. Основные уравнения являются результатом рассмотрения динамики векторного поля скорости потока с компонентами . В декартовых координатах эти компоненты соответствуют скорости потока по осям x, y и z соответственно. ${\displaystyle {\bf {v}}}$ ${\displaystyle {\bf {v}}={\begin{pmatrix}u&v&w\end{pmatrix}}^{T}}$

Для упрощения окончательного вида уравнений допустимо сделать несколько допущений:

1. Поток несжимаем (это нехорошее предположение для быстро меняющегося потока).
2. Число Рейнольдса достаточно велико, поэтому вязкой диффузией можно пренебречь.
3. Поток одномерен по оси x.

Уравнение непрерывности

Общее уравнение неразрывности , описывающее сохранение массы, принимает вид: где – плотность жидкости и – оператор дивергенции . В предположении несжимаемого течения при постоянном управляющем объеме это уравнение имеет простое выражение . Однако возможно, что площадь поперечного сечения может меняться как во времени, так и в пространстве в канале. Если мы начнем с интегральной формы уравнения неразрывности: можно разложить интеграл объема на поперечное сечение и длину, что приводит к форме: В предположении несжимаемого одномерного потока это уравнение принимает вид: Заметив, что и определяя объемный расход , уравнение сводится к: Наконец, это приводит к уравнению неразрывности для несжимаемого одномерного потока в открытом канале: $${\displaystyle {\partial \rho \over {\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})=0}$$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nabla \cdot ()}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \nabla \cdot {\bf {v}}=0}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle {d \over {dt}}\int _{V}\rho \;dV=-\int _{V}\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})\;dV}$$ $${\displaystyle {d \over {dt}}\int _{x}\left(\int _{A}\rho \;dA\right)dx=-\int _{x}\left[\int _{A}\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})\;dA\right]dx}$$ $${\displaystyle {d \over {dt}}\int _{x}\left(\int _{A}dA\right)dx=-\int _{x}{\partial \over {\partial x}}\left(\int _{A}u\;dA\right)dx}$$ ${\displaystyle \int _{A}dA=A}$ ${\displaystyle Q=\int _{A}u\;dA}$ $${\displaystyle \int _{x}{\partial A \over {\partial t}}\;dx=-\int _{x}{\partial Q \over {\partial x}}dx}$$

${\displaystyle {\partial A \over {\partial t}}+{\partial Q \over {\partial x}}=0}$

Уравнение импульса

Уравнение количества движения для течения в открытом канале можно найти, исходя из уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости  : где - давление , - кинематическая вязкость , - оператор Лапласа , - гравитационный потенциал . Используя предположения о высоком числе Рейнольдса и одномерном потоке, мы имеем уравнения: Второе уравнение подразумевает гидростатическое давление , где глубина канала представляет собой разницу между высотой свободной поверхности и дном канала . Подстановка в первое уравнение дает: где уклон русла . Чтобы учесть напряжение сдвига вдоль берегов канала, мы можем определить термин силы следующим образом: где – напряжение сдвига , а – гидравлический радиус . Определение наклона трения , способа количественного определения потерь на трение, приводит к окончательной форме уравнения количества движения: $${\displaystyle \overbrace {\underbrace {\partial {\bf {v}} \over {\partial t}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Local}}\\{\text{Change}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {{\bf {v}}\cdot \nabla {\bf {v}}} _{\text{Advection}}} ^{\text{Inertial Acceleration}}=-\underbrace {{1 \over {\rho }}\nabla p} _{\begin{smallmatrix}{\text{Pressure}}\\{\text{Gradient}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {\nu \Delta {\bf {v}}} _{\text{Diffusion}}-\underbrace {\nabla \Phi } _{\text{Gravity}}+\underbrace {\bf {F}} _{\begin{smallmatrix}{\text{External}}\\{\text{Forces}}\end{smallmatrix}}}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Phi =gz}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial u \over {\partial t}}+u{\partial u \over {\partial x}}&=-{1 \over {\rho }}{\partial p \over {\partial x}}+F_{x}\\-{1 \over {\rho }}{\partial p \over {\partial z}}-g&=0\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle p=\rho g\zeta }$ ${\displaystyle \eta (t,x)=\zeta (t,x)-z_{b}(x)}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle z_{b}}$ $${\displaystyle {\partial u \over {\partial t}}+u{\partial u \over {\partial x}}+g{\partial \zeta \over {\partial x}}=F_{x}\implies {\partial u \over {\partial t}}+u{\partial u \over {\partial x}}+g{\partial \eta \over {\partial x}}-gS=F_{x}}$$ ${\displaystyle S=-dz_{b}/dx}$ $${\displaystyle F_{x}=-{1 \over {\rho }}{\tau \over {R}}}$$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S_{f}=\tau /\rho gR}$

${\displaystyle {\partial u \over {\partial t}}+u{\partial u \over {\partial x}}+g{\partial \eta \over {\partial x}}+g(S_{f}-S)=0}$

Уравнение энергии

Чтобы вывести уравнение энергии , обратите внимание, что член адвективного ускорения можно разложить следующим образом: где – завихренность потока, а – евклидова норма . Это приводит к форме уравнения импульса, игнорирующей член внешних сил, который определяется следующим образом: Взятие скалярного произведения с этим уравнением приводит к: Это уравнение было получено с использованием скалярного тройного произведения . Определим как плотность энергии : Отмечая, что она не зависит от времени, мы приходим к уравнению: Предполагая, что плотность энергии не зависит от времени, а поток одномерен, это приводит к упрощению: где константа; это эквивалентно принципу Бернулли . Особый интерес для потока в открытом канале представляет удельная энергия , которая используется для расчета гидравлического напора , который определяется как: ${\displaystyle {\bf {v}}\cdot \nabla {\bf {v}}}$ $${\displaystyle {\bf {v}}\cdot \nabla {\bf {v}}=\omega \times {\bf {v}}+{1 \over {2}}\nabla \|{\bf {v}}\|^{2}}$$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ $${\displaystyle {\partial {\bf {v}} \over {\partial t}}+\omega \times {\bf {v}}=-\nabla \left({1 \over {2}}\|{\bf {v}}\|^{2}+{p \over {\rho }}+\Phi \right)}$$ ${\displaystyle {\bf {v}}}$ $${\displaystyle {\partial \over {\partial t}}\left({1 \over {2}}\|{\bf {v}}\|^{2}\right)+{\bf {v}}\cdot \nabla \left({1 \over {2}}\|{\bf {v}}\|^{2}+{p \over {\rho }}+\Phi \right)=0}$$ ${\displaystyle {\bf {v}}\cdot (\omega \times {\bf {v}})=0}$ ${\displaystyle E}$ $${\displaystyle E=\underbrace {{1 \over {2}}\rho \|{\bf {v}}\|^{2}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Kinetic}}\\{\text{Energy}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {\rho \Phi } _{\begin{smallmatrix}{\text{Potential}}\\{\text{Energy}}\end{smallmatrix}}}$$ ${\displaystyle \Phi }$ $${\displaystyle {\partial E \over {\partial t}}+{\bf {v}}\cdot \nabla (E+p)=0}$$ $${\displaystyle E+p=C}$$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle e=E/\rho g}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\begin{aligned}h&=e+{p \over {\rho g}}\\&={u^{2} \over {2g}}+z+{p \over {\gamma }}\end{aligned}}}$

с удельным весом . Однако реалистичные системы требуют добавления члена потери напора для учета рассеяния энергии из-за трения и турбулентности , который игнорировался путем дисконтирования члена внешних сил в уравнении количества движения. ${\displaystyle \gamma =\rho g}$ ${\displaystyle h_{f}}$

Смотрите также

• ВЭЦ-РАН
• поток потока
• Области исследования
  • Вычислительная гидродинамика
  • Динамика жидкостей
  • Гидравлика
  • Гидрология
• Типы потока жидкости
  • Ламинарный поток
  • Расход трубы
  • Переходный поток
  • Турбулентный поток
• Свойства жидкости
  • Число Фруда
  • Число Рейнольдса
  • Вязкость
• Другие статьи по теме
  • Формула Шези
  • Уравнение Дарси-Вейсбаха
  • Гидравлический прыжок
  • Формула Мэннинга
  • Уравнения Сен-Венана
  • Стандартный пошаговый метод

Рекомендации

1. Чоу, Вен Те (2008). Открытоканальная гидравлика (PDF) . Колдуэлл, Нью-Джерси: Блэкберн Пресс. ISBN 978-1932846188.
2. Баттьес, Юрьен А.; Лабер, Роберт Ян (2017). Нестационарное течение в открытых каналах. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 9781316576878.
3. Джобсон, Харви Э.; Фрелих, Дэвид К. (1988). Основные гидравлические принципы потока в открытом канале (PDF) . Рестон, Вирджиния: Геологическая служба США.
4. Штурм, Терри В. (2001). Гидравлика открытого канала (PDF) . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 2. ISBN 9780073397870.

дальнейшее чтение

• Незу, Иехиса; Накагава, Хиродзи (1993). Турбулентность в потоках в открытом канале . МАПЧ Монография. Роттердам, Нидерланды: А.А. Балкема. ISBN 9789054101185 . 
• Сызмкевич, Ромуальд (2010). Численное моделирование в гидравлике открытого канала . Библиотека водных наук и технологий. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 9789048136735 . 

Внешние ссылки

• Конспекты лекций Калифорнийского технологического института :
  • Вывод уравнений течения в открытом канале.
  • Профили поверхности для устойчивого потока в канале
• Открытый поток
• Концепции потока в открытом канале
• Что такое гидравлический прыжок?
• Пример потока в открытом канале
• Моделирование турбулентных потоков (стр. 26-38)