Правила сумм (квантовая теория поля)

Соотношение между статическими и динамическими величинами

В квантовой теории поля правило сумм — это соотношение между статической величиной и интегралом по динамической величине. Поэтому они имеют вид:

${\displaystyle \int A(x)dx=B}$

где — динамическая величина, например, структурная функция, характеризующая частицу, а — статическая величина, например, масса или заряд этой частицы. ${\displaystyle A(x)}$ ${\displaystyle B}$

Правила сумм квантовой теории поля не следует путать с правилами сумм в квантовой хромодинамике или квантовой механике .

Характеристики

Существует множество правил сумм. Действительность конкретного правила сумм может быть обоснованной, если его вывод основан на твердых предположениях, или, наоборот, некоторые правила сумм экспериментально оказались неверными из-за необоснованных предположений, сделанных при их выводе. Список правил сумм ниже иллюстрирует это.

Правила сумм обычно получаются путем объединения дисперсионного соотношения с оптической теоремой ^[1], используя операторное разложение произведения или алгебру токов ^[2] .

Правила сумм квантовой теории поля полезны во многих отношениях. Они позволяют проверить теорию, используемую для их вывода, например, квантовую хромодинамику , или предположение, сделанное для вывода, например, инвариантность Лоренца . Их можно использовать для изучения частицы, например, как спины партонов составляют спин протона . Их также можно использовать в качестве метода измерения. Если статическую величину трудно измерить напрямую, ее измерение и интегрирование предлагают практический способ получения (при условии , что конкретное правило сумм, связывающее с, является надежным). ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A(x)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A(x)}$ ${\displaystyle B}$

Хотя в принципе является статической величиной, обозначение правила сумм было распространено на случай, когда является амплитудой вероятности , например, амплитудой вероятности комптоновского рассеяния , ^[1] см. список правил сумм ниже. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

Список правил суммирования

(Список не является исчерпывающим)

• Правило сумм Адлера . ^[3] Это правило сумм связывает функцию структуры заряженного тока протона (здесь — масштабная переменная Бьёркена , а — квадрат абсолютной величины четырёхимпульса , переданного между рассеивающимся нейтрино и протоном) с углом Кабиббо . Оно гласит , что в пределе , тогда . Верхние индексы и указывают, что относится к антинейтрино-протонному или нейтрино-протонному глубоконеупругому рассеянию соответственно. ${\displaystyle F_{2}^{\nu p}(Q^{2},x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Q^{2}}$ ${\displaystyle \theta _{c}}$ ${\displaystyle Q^{2}\to \infty }$ ${\displaystyle \int _{0}^{1}F_{2}^{{\bar {\nu }}p}(Q^{2},x)-F_{2}^{\nu p}(Q^{2},x){\frac {dx}{x}}=2(1+\sin ^{2}\theta _{c})}$ ${\displaystyle {\bar {\nu }}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle F_{2}}$
• Правило сумм Балдина . ^[4] Это неполяризованный эквивалент правила сумм ГДХ (см. ниже). Оно связывает вероятность того, что поглощенный частицей фотон приведет к образованию адронов (эта вероятность называется сечением фоторождения ), с электрической и магнитной поляризуемостями поглощающей частицы. Правило сумм выглядит так: , где — энергия фотона, — минимальное значение энергии, необходимое для создания легчайшего адрона (т. е. пиона), — сечение фоторождения, а и — электрическая и магнитная поляризуемости частицы соответственно . Предполагая его справедливость , правило сумм Балдина дает важную информацию о наших знаниях об электрической и магнитной поляризуемости, дополняющую их прямые вычисления или измерения. (См., например, рис. 3 в статье ^[5] .) ${\displaystyle \int _{\nu _{0}}^{\infty }\sigma _{tot}/\nu ^{2}d\nu =4\pi ^{2}(\alpha +\beta )}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu _{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{tot}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$
• Правило сумм Бьёркена (поляризованное). ^{[6] [7]} Это правило сумм является прототипическимправилом сумм спина КХД . Оно гласит, что в области масштабирования Бьёркена интеграл функции спиновой структуры протоназа вычетом функции нейтрона пропорционален аксиальному заряду нуклона. А именно:, где— переменная масштабирования Бьёркена,— первая функция спиновой структуры протона (нейтрона), а — аксиальный заряд нуклона , характеризующий β-распад нейтрона . За пределами области масштабирования Бьёркена правило сумм Бьёркена приобретает поправки к масштабированию КХД , которые известны с точностью до 5-го. ^[2] Правило сумм было экспериментально проверено с точностью лучше 10%. ^[2] ${\displaystyle \int _{0}^{1}g_{1}^{p}(x)-g_{1}^{n}(x)dx=g_{A}/6}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle g_{1}^{p(n)}(x)}$ ${\displaystyle g_{A}}$
• Правило сумм Бьёркена (неполяризованное). ^[8] Правило сумм в ведущем порядке в пертурбативной КХД выглядит следующим образом :гдеи— первые структурные функции для реакций глубоконеупругого рассеяния протон - нейтрино , протон-антинейтрино и нейтрон -нейтрино,— квадрат 4-импульса, которым обмениваются нуклон и (анти)нейтрино в реакции, а — связь КХД. ${\displaystyle \int _{0}^{1}F_{1}^{p\nu }(x,Q^{2})-F_{1}^{p{\bar {\nu }}}(x,Q^{2})dx=\int _{0}^{1}F_{1}^{p\nu }(x,Q^{2})-F_{1}^{n\nu }(x,Q^{2})dx=1-{\frac {2}{3}}{\frac {\alpha _{s}(Q^{2})}{\pi }},}$ ${\displaystyle F_{1}^{p\nu }(x,Q^{2}),~F_{1}^{p{\bar {\nu }}}(x,Q^{2})}$ ${\displaystyle F_{1}^{n\nu }(x,Q^{2})}$ ${\displaystyle Q^{2}}$ ${\displaystyle \alpha _{s}}$
• Правило сумм Буркхардта–Коттингема . ^[9] Правило сумм было экспериментально проверено. ^[2] Правило сумм является «суперконвергентным», что означает, что его форма не зависит от . Правило сумм имеет вид: где — вторая спиновая структурная функция изучаемого объекта. ${\displaystyle Q^{2}}$ ${\displaystyle \int _{0}^{1}g_{2}(x,Q^{2})dx=0,~\forall ~Q^{2}}$ ${\displaystyle g_{2}(x,Q^{2})}$
• ${\displaystyle \delta _{LT}}$Правило суммы. ^[10]
• Правило сумм Ефремова–Теряева–Лидера . ^[11]
• Правило сумм Эллиса-Джаффе . ^[12] Экспериментально было показано, что правило сумм не выполняется, ^[2] что предполагает, что спин странного кварка вносит немалый вклад в спин протона . Правило сумм Эллиса-Джаффе дает пример того, как нарушение правила сумм учит нас фундаментальному свойству материи (в данном случае, происхождению спина протона).
• Правило суммы поляризуемости спина вперед . ^[10]
• Правило сумм Фубини–Фурлана–Россетти . ^[13]
• Правило сумм Герасимова– Дрелла –Хирна (GDH, иногда правило сумм DHG). ^{[14] [15] [16]} Это поляризованный эквивалент правила сумм Балдина (см. выше). Правило сумм выглядит так: , где — минимальная энергия, необходимая для образования пиона после поглощения фотона целевой частицей, — разность сечений поглощения фотона, когда спин фотона выровнен и антивыровнен со спином мишени, — энергия фотона, — постоянная тонкой структуры , и , и — аномальный магнитный момент , спиновое квантовое число и масса целевой частицы соответственно. Вывод правила сумм GDH предполагает, что теория, которая управляет структурой целевой частицы (например, КХД для нуклона или ядра ), является причинной (то есть можно использовать дисперсионные соотношения или, что эквивалентно для GDH, соотношения Крамерса–Кронига ), унитарной и лоренцевой и калибровочно-инвариантной . Эти три предположения являются очень базовыми предпосылками квантовой теории поля . Поэтому проверка правила сумм GDH проверяет эти фундаментальные предпосылки. Правило сумм GDH было экспериментально проверено (с точностью до 10%). ^[2] ${\displaystyle \int _{\nu _{0}}^{\infty }(2\sigma _{TT})/(\nu )d\nu =-4\pi ^{2}\alpha \kappa ^{2}S/m_{t}^{2}}$ ${\displaystyle \nu _{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{TT}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle m_{t}}$
• Обобщенное правило сумм GDH . Было предложено несколько обобщенных версий правила сумм GDH. ^[2] Первая и наиболее распространенная из них: , где — первая спиновая структурная функция целевой частицы, — масштабная переменная Бьёркена , — виртуальность фотона или, что эквивалентно, квадрат абсолютного значения четырехимпульса , переданного между частицей пучка, которая произвела виртуальный фотон, и целевой частицей, а — первая амплитуда виртуального рассеяния Комптона вперед . Можно утверждать, что называть это отношение правилом сумм неправильно, поскольку — не статическое свойство целевой частицы и не измеримая непосредственно наблюдаемая величина . Тем не менее, правило сумм номиналов широко используется. ${\displaystyle \int _{0}^{1}g_{1}(x,Q^{2})dx=Q^{2}S_{1}(0,Q^{2})/8}$ ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Q^{2}}$ ${\displaystyle S_{1}(\nu ,Q^{2})}$ ${\displaystyle S_{1}(\nu ,Q^{2})}$
• Правило суммы Готфрида . ^[17]
• Правило сумм Гросса-Ллевеллина-Смита . ^[18] Оно гласит, что в области масштабирования Бьёркена интеграл структурной функции нуклона равен числу валентных кварков, составляющих нуклон, т. е. равен 3. А именно: . За пределами области масштабирования Бьёркена правило сумм Гросса-Ллевеллина-Смита приобретает поправки к масштабированию КХД , которые идентичны поправкам правила сумм Бьёркена. ${\displaystyle F_{3}(x)}$ ${\displaystyle \int _{0}^{1}F_{3}(x)dx=3}$
• Правило суммы импульсов : ^[19] Оно гласит, что сумма долей импульса всех партонов ( кварков , антикварков и глюонов) внутри адрона равна 1. ${\displaystyle x}$
• Правило суммы Джи : связывает интеграл обобщенных распределений партонов с угловым моментом, переносимым кварками или глюонами . [ ^20]
• Правило суммы масс протона : ^{[21] [22]} Оно разлагает массу протона на четыре члена: энергию кварка , массу кварка, энергию глюона и квантовую аномальную энергию , причем каждый из этих членов является интегралом по трехмерному координатному пространству.
• Правило сумм Швингера . ^[23] Правило сумм Швингера является теоретическим результатом, включающим рассеяние поляризованных лептонов на поляризованных целевых частицах. Оно гласит:, где- масса целевой частицы,квадрат абсолютного значения 4-импульса, переданного целевой частице в процессе рассеяния,Бьёркена,-значениеминимальной энергии, необходимой для создания пиона на целевой частице, иипервая и вторая спиновые структурные функции целевой частицы, соответственно. Предел равен, саномальным магнитным моментом целевой частицы иее зарядом . Подынтегральное выражение правила сумм также может быть выражено с помощью-взвешенного поперечно-продольного интерференционного сечения,. Это делает его похожим на обобщенное правило сумм ГДХ. ^[2] Интересно, что правило сумм включает продольные фотоны, которые не существуют вв пределеможно ожидать. Однако, несмотря на это, интеграл по отношению,как ожидается, будет конечным и ненулевым в этом пределе, согласно правилу сумм. Правило сумм было экспериментально проверено для нейтрона, ^[24] и, хотя существуют экспериментальные неопределенности, было обнаружено, что оно выполняется, при условии, что также выполняется правило сумм GDH. ${\displaystyle {\frac {8M^{2}}{Q^{2}}}\int _{0}^{x_{0}}g_{1}(x,Q^{2})+g_{2}(x,Q^{2})dx\to \kappa e{\text{ as }}Q^{2}\to 0}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Q^{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle g_{1}(x,Q^{2})}$ ${\displaystyle g_{2}(x,Q^{2})}$ ${\displaystyle Q\to 0}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle 1/Q}$ ${\displaystyle \sigma _{LT}/Q}$ ${\displaystyle Q\to 0}$ ${\displaystyle \sigma _{LT}=0}$ ${\displaystyle Q\to 0}$ ${\displaystyle \sigma _{LT}/Q}$
• Правило сумм Вандзуры– Вильчека . ^[25]

Смотрите также

• Квантовая хромодинамика
• Кризис спина протона

Ссылки

1. Pasquini, Barbara; Vanderhaeghen, Marc (2018). «Теория дисперсии в электромагнитных взаимодействиях». Annual Review of Nuclear and Particle Science . 68 : 75–103. arXiv : 1805.10482 . Bibcode : 2018ARNPS..68...75P. doi : 10.1146/annurev-nucl-101917-020843.
2. Deur, Alexandre; Brodsky, Stanley J.; De Téramond, Guy F. (2019). "Спиновая структура нуклона". Reports on Progress in Physics . 82 (7). arXiv : 1807.05250 . Bibcode :2019RPPh...82g6201D. doi :10.1088/1361-6633/ab0b8f. PMID  30818290.
3. Адлер, Стивен Л. (1966). «Правила сумм, дающие тесты локальных токовых коммутационных соотношений в реакциях нейтрино высокой энергии». Physical Review . 143 (4): 1144–1155. Bibcode : 1966PhRv..143.1144A. doi : 10.1103/PhysRev.143.1144.
4. Балдин, AM (1960). «Поляризуемость нуклонов». Ядерная физика . 18 : 310–317. Bibcode :1960NucPh..18..310B. doi :10.1016/0029-5582(60)90408-9.
5. Холстейн, Барри Р.; Шерер, Стефан (2014). «Поляризуемости адронов». Annual Review of Nuclear and Particle Science . 64 (1): 51–81. arXiv : 1401.0140 . Bibcode :2014ARNPS..64...51H. doi :10.1146/annurev-nucl-102313-025555.
6. Бьёркен, Дж. Д. (1966). «Применение киральной 𝑈⁡(6)⊗𝑈⁡(6) алгебры плотностей тока». Physical Review . 148 (4): 1467–1478. doi :10.1103/PhysRev.148.1467.
7. JD Bjorken (1970) «Неупругое рассеяние поляризованных лептонов на поляризованных нуклонах» Phys. Rev. D 1, 1376
8. Broadhurst, DJ; Kataev, AL (2002). "Неполяризованные и поляризованные правила сумм Бьёркена: Сравнительный анализ больших разложений N(F)". Phys. Lett. B . 544 (1–2): 154–160. arXiv : hep-ph/0207261 . Bibcode :2002PhLB..544..154B. doi :10.1016/S0370-2693(02)02478-4. S2CID  17436687.
9. Буркхардт, Хью; Коттингем, ВН (1970). «Правила сумм для прямого виртуального комптоновского рассеяния». Annals of Physics . 56 (2): 453–463. Bibcode : 1970AnPhy..56..453B. doi : 10.1016/0003-4916(70)90025-4.
10. Guichon, PAM; Liu, GQ; Thomas, AW (1995). "Виртуальное комптоновское рассеяние и обобщенные поляризуемости протона". Nuclear Physics A . 591 (4): 606–638. arXiv : nucl-th/9605031 . Bibcode :1995NuPhA.591..606G. doi :10.1016/0375-9474(95)00217-O.
11. Ефремов, АВ; Теряев, ОВ; Лидер, Эллиот (1997). "Точное правило сумм для поперечно поляризованного ДИС". Physical Review D. 55 ( 7): 4307–4314. arXiv : hep-ph/9607217 . Bibcode : 1997PhRvD..55.4307E. doi : 10.1103/PhysRevD.55.4307.
12. Эллис, Джон; Джаффе, Роберт (1974). «Правило сумм для глубоконеупругого электророждения из поляризованных протонов». Physical Review D. 9 ( 5): 1444–1446. Bibcode : 1974PhRvD...9.1444E. doi : 10.1103/PhysRevD.9.1444.
13. Фубини, С.; Фурлан, Г.; Россетти, К. (1965). «Дисперсионная теория нарушения симметрии». Иль Нуово Чименто А. 40 (4): 1171–1193. Бибкод : 1965NCimA..40.1171F. дои : 10.1007/BF02824674.
14. С. Б. Герасимов (1965) «Правило сумм для магнитных моментов и затухание магнитного момента нуклонов в ядрах» Sov. J. Nucl. Phys. 2, 430 (1966) [Ядерная физика 2, 598 (1965)]
15. Дрелл, SD; Хирн, AC (1966). «Точное правило суммы для магнитных моментов нуклонов». Physical Review Letters . 16 (20): 908–911. Bibcode : 1966PhRvL..16..908D. doi : 10.1103/PhysRevLett.16.908. OSTI  1444298.
16. Хосода, Масатака; Ямамото, Кунио (1966). «Правило сумм для магнитного момента частицы Дирака». Progress of Theoretical Physics . 36 (2): 425–426. Bibcode :1966PThPh..36..425H. doi : 10.1143/PTP.36.425 .
17. Готфрид, Курт (1967). «Правило сумм для рассеяния электронов и протонов при высоких энергиях». Physical Review Letters . 18 (25): 1174–1177. Bibcode : 1967PhRvL..18.1174G. doi : 10.1103/PhysRevLett.18.1174.
18. Гросс, Дэвид Дж.; Смит, Ч. Л. Левеллин (1969). «Высокоэнергетическое нейтрино-нуклонное рассеяние, токовая алгебра и партоны». Nuclear Physics B. 14 ( 2): 337–347. Bibcode : 1969NuPhB..14..337G. doi : 10.1016/0550-3213(69)90213-2.
19. Коллинз, Джон К.; Сопер, Дэвисон Э. (1982). «Функции распределения и распада партонов». Nuclear Physics B. 194 ( 3): 445–492. Bibcode : 1982NuPhB.194..445C. doi : 10.1016/0550-3213(82)90021-9.
20. Цзи, Сяндун (1997-01-27). «Калибровочно-инвариантное разложение спина нуклона». Physical Review Letters . 78 (4): 610–613. arXiv : hep-ph/9603249 . Bibcode : 1997PhRvL..78..610J. doi : 10.1103/PhysRevLett.78.610. S2CID  15573151.
21. Ji, XD (1995). «Анализ КХД массовой структуры нуклона». Physical Review Letters . 74 (6): 1071–1074. arXiv : hep-ph/9410274 . Bibcode : 1995PhRvL..74.1071J. doi : 10.1103/PhysRevLett.74.1071. PMID  10058927.
22. Ji, XD (1995). «Распад масс адронов и тензор энергии-импульса КХД». Physical Review D. 52 ( 1): 271–281. arXiv : hep-ph/9502213 . Bibcode : 1995PhRvD..52..271J. doi : 10.1103/PhysRevD.52.271. PMID  10019040.
23. Швингер, Джулиан (1975). «Обсуждение теории источников глубоконеупругого рассеяния с поляризованными частицами». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 72 (4): 1559–1563. Bibcode : 1975PNAS...72.1559S. doi : 10.1073 /pnas.72.4.1559 . JSTOR  64895. PMC 432577. PMID  16592243. 
24. Sulkosky, V.; et, al. (2021). «Измерение обобщенных спиновых поляризуемостей нейтрона в области низкого Q2». Nature Physics . 17 (6): 687-692. arXiv : 2103.03333 . doi :10.1038/s41567-021-01245-9.
25. Wandzura, S.; Wilczek, F. (1977). «Правила сумм для спин-зависимого электророждения — тест релятивистских составляющих кварков». Physics Letters B. 72 ( 2): 195–198. Bibcode :1977PhLB...72..195W. doi :10.1016/0370-2693(77)90700-6.