Правильная карта

Отображение между топологическими пространствами со свойством, что прообраз каждого компакта является компактом

В математике функция между топологическими пространствами называется собственной , если прообразы компактных подмножеств компактны . ^[1] В алгебраической геометрии аналогичное понятие называется собственным морфизмом .

Определение

Существует несколько конкурирующих определений «собственной функции ». Некоторые авторы называют функцию между двумя топологическими пространствами собственной, если прообраз каждого компактного множества в компактен в Другие авторы называют отображение собственным, если оно непрерывно и замкнуто с компактными слоями ; то есть если оно является непрерывным замкнутым отображением и прообраз каждой точки в компактен . Эти два определения эквивалентны, если локально компактно и хаусдорфово . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

Если является хаусдорфовым и локально компактным хаусдорфовым, то собственное эквивалентно универсально замкнутому . Отображение универсально замкнуто, если для любого топологического пространства отображение замкнуто. В случае, если является хаусдорфовым, это эквивалентно требованию, чтобы для любого отображения пулбэк был замкнутым, как следует из того факта, что является замкнутым подпространством ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f\times \operatorname {id} _{Z}:X\times Z\to Y\times Z}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z\to Y}$ ${\displaystyle X\times _{Y}Z\to Z}$ ${\displaystyle X\times _{Y}Z}$ ${\displaystyle X\times Z.}$

Эквивалентное, возможно, более интуитивное определение, когда и являются метрическими пространствами , выглядит следующим образом: мы говорим, что бесконечная последовательность точек в топологическом пространстве стремится к бесконечности , если для каждого компактного множества только конечное число точек находится в Тогда непрерывное отображение является правильным тогда и только тогда, когда для каждой последовательности точек , которая стремится к бесконечности в последовательность стремится к бесконечности в ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \{p_{i}\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \left\{p_{i}\right\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \left\{f\left(p_{i}\right)\right\}}$ ${\displaystyle Y.}$

Характеристики

• Каждое непрерывное отображение компактного пространства в хаусдорфово пространство является как собственным, так и замкнутым .
• Каждое сюръективное собственное отображение является компактным накрывающим отображением.
  • Карта называется компактным покрытием , если для каждого компактного подмножества существует некоторое компактное подмножество такое, что ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle K\subseteq Y}$ ${\displaystyle C\subseteq X}$ ${\displaystyle f(C)=K.}$
• Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда отображение этого пространства в одну точку является правильным.
• Если — собственное непрерывное отображение и — компактно порожденное хаусдорфово пространство (сюда входят хаусдорфовы пространства, которые либо удовлетворяют первой аксиоме счетности , либо локально компактны ), то замкнуто. ^[2] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$

Обобщение

Можно обобщить понятие собственных отображений топологических пространств на локали и топосы , см. (Джонстон 2002).

Смотрите также

• Почти открытая карта  – карта, которая удовлетворяет условию, аналогичному условию открытой карты.
• Открытые и закрытые карты  – функция, которая отправляет открытые (соответственно, закрытые) подмножества в открытые (соответственно, закрытые) подмножества.
• Совершенное отображение  – непрерывное замкнутое сюръективное отображение, каждый из слоев которого также является компактным множеством.
• Топологический глоссарий  – Математический глоссарийPages displaying short descriptions of redirect targets

Цитаты

1. Ли 2012, стр. 610, выше Предложения A.53.
2. Пале, Ричард С. (1970). «Когда правильные карты закрыты». Труды Американского математического общества . 24 (4): 835–836. doi : 10.1090/s0002-9939-1970-0254818-x . MR  0254818.

Ссылки

• Бурбаки, Николас (1998). Общая топология. Главы 5–10 . Элементы математики. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-64563-4. МР  1726872.
• Джонстон, Питер (2002). Эскизы слона: компендиум теории топоса . Оксфорд: Oxford University Press . ISBN 0-19-851598-7., особенно раздел C3.2 "Соответствующие карты"
• Браун, Рональд (2006). Топология и группоиды . Северная Каролина: Booksurge . ISBN 1-4196-2722-8., особенно стр. 90 «Правильные карты» и упражнения к разделу 3.6.
• Браун, Рональд (1973). «Последовательно правильные отображения и последовательная компактификация». Журнал Лондонского математического общества . Вторая серия. 7 (3): 515–522. doi :10.1112/jlms/s2-7.3.515.
• Ли, Джон М. (2012). Введение в гладкие многообразия . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 218 (Второе изд.). New York London: Springer-Verlag . ISBN 978-1-4419-9981-8. OCLC  808682771.